Два быстрых способа для разметки прямого угла 90° на местности (теорема Пифагора стоит в стороне) | Строю для себя
Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!
Данная статья относится к разметке фундаментов и к построению обноски/выноса осей дома непосредственно перед выемкой грунта.
По сути, соблюдение прямых углов фундамента — это одно из самых важных требований к конструкции, так как от этого напрямую зависит качество работ по сооружению стен и кровли. Отклонение угла на несколько градусов влечет смещение стен относительно фундамента, как представлено на иллюстрации ниже:
Из-за малейшей ошибки, начинаются проблемы с облицовкой цоколя и что немаловажно, ухудшаются эксплуатационные характеристики дома.
Увы, но таких ситуаций море и они берут свое начало из неправильной разметки.
Сегодня, я хотел бы рассказать о двух быстрых способах построения прямых углов на местности без лишних вычислений. Для первого способа нужны две рулетки, для второго — только веревка.
Как вы знаете, построить прямой угол можно:а) прибегая к вычислениям, т.е. математическим способом. Производя вычисления по теореме Пифагора мы можем отложить полученные значения и получить прямой угол (частный случай — египетский треугольник 3-4-5).
б) геометрическим способом
И, в данной статье я приведу способы геометрического построения без каких-либо вычислений.
Разметка фундамента всегда начинается с привязки одной из его сторон к фасаду или к меже по соседскому забору сбоку. Таким образом, натянув бечевку параллельно забору, у нас уже появляется одна сторона фундамента с которой нам и предстоит работать.
Итак, способ № 1: две рулетки
Отметив угол дома (точка О) на первой стороне дома (прямая АВ), нам нужно отложить две точки, равноудаленные от точки О. После чего, зафиксировать концы двух рулеток на полученных точках и совместить полотна так, чтобы две шкалы пересекались на одном и том же значении.
Прямая, проходящая через точку О и точку пересечения полотен рулеток Х будет перпендикулярна прямой АВ, тем самым мы получили прямой угол между АВ и ОХ, где О — внешний угол фундамента.
Способ №2: веревка
Данный способ похож на первый, только здесь нужна одна веревка. Нам требуется так же отложить от точки О две равноудаленные точки и установить в каждую из них по колышку.
На концах веревки вяжутся петельки (рис.1), которые продеваются в один колышек. Натянув веревку, получаем её центр и отмечаем его (рис.2).
Теперь, накидываем петли на соответствующие колья и натягиваем веревку (рис.3)
Всё. Точка Х, как и в случае с рулетками, образует с точкой О перпендикуляр по отношению к прямой АВ.
Как видите, построение очень простое и что немаловажно — быстрое и точное. Основывается оно на свойстве равнобедренных треугольников, где их высота всегда делит основание на два равных отрезка.
На этом всё! Надеюсь, статья была Вам полезна.
Спасибо за внимание и удачи в строительстве!
Дед рассказал, как 45 лет назад делал «чудо-раствор», что швы даже перфоратор берёт с трудом
«Зачем мудрить?» Проектировщик ландшафта показал, как и куда проще всего отвести воду с крыши (практичное решение)
Всегда догадывался, что на фасовке дурят, но насколько? Взвешиваю 50 кг. цемента и 25 кг. гипса: итоги
Синус, косинус и тангенс ?
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
- Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Имеем:
Отсюда
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Вспомним, что прямоугольным называют треугольник, который содержит прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а противолежащую сторону — гипотенузой прямоугольного треугольника.
Теорема:
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Свойство:
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Доказательство:
Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то:
Что и требовалось доказать.
Свойство:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов, а ∠А=30 градусов. А тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠В=60 градусов. Докажем, что катет ВС равен половине гипотенузы АВ.
Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом:
Получили, что у треугольника АВD все углы равны по 60 градусов, то есть он является равносторонним. Получаем:
Что и требовалось доказать.
Свойство:
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.
Доказательство:
Пусть АВС — прямоугольный треугольник, у которого катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Докажем, что угол ВАС=30 градусов.
Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом:
Получили равносторонний треугольник АВD. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам. Полуаем:
Что и требовалось доказать.
Пример.
Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30 градусов, равна 15 сантиметров. Найти длину гипотенузы.
Пусть АВС — прямоугольный треугольник. ∠А=30 градусов. Получим:
Подставим это в предыдущее равенство и получаем:
Пример.
В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С=90 градусов, а ∠ВАС=60 градусов. Найти длину катета ВС, если высота СD треугольника АСВ равна 5 сантиметров.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. ∠АСВ=90 градусов, ∠ВАС=60 градусов. А так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то ∠АВС=90-60=30 градусов.
Рассмотрим треугольник ВСD, который является прямоугольным, так как СD - высота и ∠СВD=30 градусов, то катет СD лежит против угла в 30 градусов. Следовательно, по выше доказанному свойству, гипотенуза ВС=2*5=10 см.
Пример.
Отрезок СD - высота прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, ВС=2*ВD. Доказать, что АВ=4*ВD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:
У него ∠ВСD=30 градусов, так как по условию ВС=2*ВD.
По условию задачи ∠АСВ=90 градусов, а ∠ВСD=30 градусов, значит, ∠АСD=60 градусов.
Так как СD - высота, то треугольник АСD - прямоугольный. ∠АСD=60 градусов. Следовательно, ∠САD=30 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник АВС. У него ∠ВАС=30 градусов. Следовательно, гипотенуза АВ=2*ВС, так как катет ВС лежит против угла в 30 градусов. По условию задачи ВС=2*ВD.
Получаем, что АВ=4*ВD.
{- \ frac {1} {2}} $$ Таким образом, $ \ bar {u} $ имеет единичную длину. Вы также должны убедиться, что знак $ \ bar {u} $ соответствует направлению, в котором вы хотите двигаться от точки $ B $ (при необходимости умножьте на $ -1 $). T $.{2}} = \ sqrt {8} $$ таким образом $$ \ bar {u} = \ left (\ begin {array} {c} — \ frac {2} {\ sqrt {8}} \\ \ frac {2} {\ sqrt {8}} \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} — \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {array} \ right) $$ Нам нужно расстояние $ 2 $ между точкой $ C $ и $ B $, $ \ left | C-B \ right | \ overset {!} {=} 2 $ и, следовательно, $ \ left | d \ right | = 2 $. Но мы должны быть осторожны, чтобы идти в правильном направлении, то есть выбрать правильный знак для $ d $.Используя $ d = 2 $, получаем: $$ C = 2 \ cdot \ left (\ begin {array} {c} — \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {array} \ right) + \ left (\ begin {array} {c} 2 \\ 2 \ end {array} \ right) \ приблизительно \ left (\ begin {array} {c} 0.59 \\ 3,41 \ end {array} \ right) $$
Треугольник имеет один угол 90 градусов, и оттуда длина одной ножки составляет 10,25, а другой — 7,75, каковы градусы для двух других углов?
Вы можете начать с использования Пифагора, чтобы найти длину третьей стороны, чтобы дать себе больше вариантов (длинный путь), а затем закончите, используя SOHCAHTOA *, чтобы найти углы:
Треугольник, который вы описываете, выглядит примерно так:
Это прямоугольный треугольник , и у нас есть только , одна сторона , которую нужно найти (как я объясню долгий путь), поэтому мы можем легко использовать Пифагор для вычисления длины недостающей стороны:
Теорема Пифагора утверждает:
# a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 # где # a # — длина гипотенузы , а # b # и # c # — другие длины двух других сторон.2 # — Квадратный корень!
#a = sqrt (165,125) #
#a = 12,850 # (округлено до 3DP)
Теперь мы можем добавить это к нашему треугольнику:
Pythagoras — в этом вопросе — не нужен, но все же можно сделать.
Теперь у нас есть все стороны, мы можем использовать SOHCAHTOA :
#Sinx = («Противоположно») / («Гипотенуза») #
#Cosx = («Соседний») / («Гипотенуза») #
#Tanx = («Противоположный») / («Соседний») #
Значения напротив и по соседству зависят от того, какой угол вы используете:
Напротив находится сторона поперек от угла.
Соседний — это сторона на другой стороне угла.
Гипотенуза никогда не меняется и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника.
Давайте обозначим наши углы, используя # A # и # B #:
Давайте посмотрим на угол # A #:
Мы можем выбрать любую сторону для использования, но давайте представим, что у нас не было 12,85 (сторона # a #), поскольку это экономит время в условиях экзамена, оставляя Пифагора вне, что оставляет нам сторону # c # и сторону # b #. (- 1) (1.323) #
#A = 52,916 ° # (округлено до 3DP)
Другой угол можно найти, выполнив тот же процесс (используя # Sin #, # Cos # или # Tan #), или манипулируя тем фактом, что сумма всех углов в треугольнике должна быть равной 180 ° :
У нас 90 ° и 52.916 ° :
# 90 ° + 52,916 ° = 142,916 ° #
Итак, мы можем использовать следующее, чтобы найти окончательный угол:
#B = 180 ° — 142,916 ° #
#B = 37.084 ° #
Измерение углов
Измерение угловПонятие угла
Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .Есть две обычно используемые единицы измерения углов.Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. Пока мы будем рассматривать только углы от 0 ° до 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы. Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунд, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды. |
Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут 7.5 & град.
Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .
Радианы
Другое распространенное измерение углов — радианы. Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла.Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , следовательно, 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно, 1 ° равняется π /180 радиани 1 радиан равен 180/ π градусовБольшинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор. |
Краткая заметка по истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей книге Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e iθ = cos θ + i sin θгде θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.
Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.
Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.
Радианы и площадь сектора
Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, когда он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга составляет πr 2 , а сектор относится ко всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтомуУглы общие
Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в терминах π . Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .| Уголок | градусов | Радианы |
|---|---|---|
| 90 ° | π /2 | |
| 60 ° | π /3 | |
| 45 ° | π /4 | |
| 30 ° | π /6 |
Упражнения
Эдвин С.Кроули написал книгу Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии, Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.
Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.
1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.
2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.
3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.
(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.
4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, стянутый в центре.
(а). l = 0,16296, r = 12,587.
(б). l = 1,3672, r = 1,2978.
5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.
6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.
7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.
9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?
10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?
14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?
23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?
Подсказки
1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.
2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.
3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.
4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.
5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.
6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.
7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.
9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)
10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?
14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.
23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?
ответы
1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».
3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.
4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.
5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.
6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.
7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a — 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.
9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.
10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.
14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.
23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.
Насчет цифр точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.
Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.
Дополнительные углы — объяснения и примеры
Что такое дополнительный угол?
Дополнительные углы — это парные углы с суммой 90 градусов. Говоря о дополнительных углах, всегда помните, что углы появляются парами. Один угол является дополнением другого угла.
Хотя прямой угол равен 90 градусам, его нельзя назвать дополнительным, потому что он не попадает в пары.Это просто полный угол. Три или более углов, сумма которых равна 90 градусам, также нельзя назвать дополнительными углами.
Дополнительные углы всегда имеют положительную величину. Он состоит из двух острых углов размером менее 90 градусов.
Общие примеры дополнительных углов:
- Два угла по 45 градусов каждый.
- Углы размером 30 и 60 градусов.
- Углы измерения 1 градус и 89 градусов.
Дополнительный угол может быть смежным.
Например, ,
∠ STA = 65 градусов и ∠ATR = 25 градусов являются смежными дополнительными углами.
У нас также могут быть дополнительные углы, которые не примыкают друг к другу.
Например, ,
∠ DGO = 20 градусов и ∠ ODG = 70 градусов — это пары дополнительных углов, которые не примыкают друг к другу.
Еще одно важное свойство , которое следует отметить в отношении дополнительных углов , заключается в том, что два дополнительных угла не обязательно должны быть на одной и той же фигуре.
Пока углы складываются в 90 градусов, они дополняют друг друга.
Например:
Два угла на разных рисунках выше дополняют друг друга.
∠ABC + ∠ XYZ = 90 градусов
Как найти дополнительный угол?
Поскольку мы знаем, что дополнительные углы складываются в 90 градусов, мы можем легко вычислить значение любого угла, вычтя данные углы из 90 градусов.
Пример 1
Рассчитайте дополнительный угол 33 °.
Решение
Вычтите заданный угол из 90 °.
90 ° — 33 °
= 57 °
Следовательно, дополнение до 33 ° составляет 57 °
Пример 2
Определите недостающий угол на следующем рисунке
Решение
∠ABC + ∠ACB + 90 ° = 180 °
Следовательно, BAC + ∠ACB = 90 ° (дополнительные углы)
∠BAC + 43 ° = 90 °
∠BAC = 90 ° — 43 °
∠ BAC = 47 °
Пример 3
Найдите дополнение 27 ° 20 ′
Решение
90 ° — 27 ° 20 ′
= 89 ° 60 ′ — 27 ° 20 ′
= 62 ° 40 ′
Следовательно, дополнение к 27 ° 20 ′ равно 62 ° 40 ′
Пример 4
Найдите угол, который на 46 ° меньше его дополнения.
Решение
Пусть x будет неизвестным углом.
(90 — x) — x = 46 °
90 — x — x = 46 °
90 — 2x = 46 °
90 — 90 — 2x = 46 ° — 90
-2x = 46 ° — 90
-2x = 46 ° — 90
-2x = -44 °
2x = 44 °
x = 44/2
x = 22 °
Следовательно, 90-22 = 68 °
Пример 5
Если разница между двумя дополнительными составляет 18 градусов, найдите углы.
Решение
Пусть меньший угол будет x градусов, а больший угол будет (90 — x) °.
(90 ° — x) — x = 18 °
90 ° — 2x = 18 °
x = 72 ° / 2
x = 36 °
90 ° — x
= 90 ° — 36 °
= 54 °.
Таким образом, два дополнительных угла равны 36 ° и 54 °.
Пример 6
Рассчитайте значение x на следующем рисунке:
Решение
⟹ (2x — 7) ° + (x + 4) ° = 90 °
⟹2x + x — 7 ° + 4 ° = 90 °
⟹ 3x — 3 ° = 90 °
⟹ 3x — 3 ° + 3 ° = 90 ° + 3 °
⟹ 3x = 93 °
⟹ x = 93 ° / 3
⟹ x = 31 °
Пример 7
Найдите угол дополнения 2/3 от 90 градусов.
Решение
⟹ 90 ° x 2/3 = 60 °
⟹ 90 ° — 60 ° = 30 °
Следовательно, угол дополнения равен 30 °
Пример 8
Определить дополнительный угол (x + 10) °.
Раствор
⟹ (x + 10) ° = 90 ° — (x + 10) °
= 90 ° — 10 ° — y °
= (80 — x) °
Пример 9
Два дополнительных угла таковы, что один из углов в два раза больше суммы другого угла плюс 3 градуса.Найдите два дополнительных угла.
Решение
Пусть два угла равны x и y градусам.
⟹ x + y = 90 °
Один из углов равен удвоенной сумме другого угла плюс 3 градуса.
⟹ x = 2 (y + 3)
⟹ x = 2y + 6
Теперь решим два одновременных уравнения подстановкой.
⟹ 2y + 6 + y = 90
⟹ 3y + 6 = 90
⟹ 3y = 84
⟹ y = 28
⟹ x = 2 (28) + 6
⟹ x = 56 + 6
⟹ x = 62
Прямоугольники | GMAT бесплатно
Прямые треугольники — это треугольники, в которых один из внутренних углов равен 90 градусам, то есть прямым углом.Поскольку три внутренних угла треугольника в сумме составляют 180 градусов, в прямоугольном треугольнике, поскольку один угол всегда равен 90 градусам, два других всегда должны составлять 90 градусов (они дополняют друг друга).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Боковые стороны, прилегающие к прямому углу, — это ноги. При использовании теоремы Пифагора гипотенуза или ее длина часто обозначается строчными буквами c . Ножки (или их длина) обычно имеют маркировку a и b .
Любую из опор можно рассматривать как основу, а другую опору — за высоту (или высоту), потому что прямой угол автоматически делает их перпендикулярными. Если длина обоих катетов известна, то, задав одну из этих сторон как основание b , а другую — как высоту h , площадь прямоугольного треугольника легко вычислить, используя стандартную формулу для треугольника. площадь:
Это интуитивно логично, потому что другой равный прямоугольный треугольник может быть помещен напротив него так, чтобы гипотенузы были одним и тем же отрезком прямой, образуя прямоугольник со сторонами, имеющими длину b и ширину h .Площадь прямоугольника равна ( b ) ( h ), поэтому любой из образующих его конгруэнтных прямоугольных треугольников имеет площадь, равную половине этого прямоугольника.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон.
Теорема Пифагора
Стороны, которые мы обозначили выше как b и h , теперь обозначены как b и a , поскольку при использовании теоремы Пифагора обычно используются переменные a, b и c. .Тем не менее важно понимать, что обе формулы относятся к одним и тем же сторонам. Например, в типичном вопросе GMAT вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы определить основание и высоту треугольника, а затем в конечном итоге найти его площадь.
Довольно часто на экзамене GMAT вы попадаете в ситуацию, когда знаете, что конкретный треугольник является прямоугольным, и знаете длины двух из трех сторон. Затем вы сможете найти длину третьей стороны, вставив две известные длины в
.Ранее мы обсуждали, как теорему Пифагора можно использовать для вычисления расстояния между любыми двумя точками на координатной плоскости.
Распространенные тройки Пифагора
Определенные тройки чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора, часто появляются на GMAT. Здесь следует запомнить хотя бы первые три тройки. Вам не нужно знать углы этих треугольников, только соотношение длин сторон:
На экзамене GMAT предполагается, что вы знаете углы и , боковые отношения для треугольников 45-45-90 и 30-60-90, но вы , а не , должны запомнить или уметь определять углы. для перечисленных выше троек Пифагора; вы можете определить длину сторон, просто используя формулу Пифагора.
45-45-90 Треугольник
Поскольку прямоугольный треугольник особенный, треугольник 45-45-90 особенный вдвойне. К нему применимы все общие правила треугольника, к нему применима теорема Пифагора, а затем он обладает некоторыми собственными особыми свойствами.
A 45-45-90 треугольник
Треугольник 45-45-90 — это то, что вы получите, когда у вас будет равнобедренный прямоугольный треугольник. Если треугольник прямоугольный и равнобедренный, то две стороны, кроме прямого угла, должны составлять в сумме 90 градусов, и они должны быть равны, поэтому каждая должна быть равна 45 градусам.
Кроме того, поскольку это прямоугольный треугольник, мы знаем, что
верно, но если a = b (потому что мы говорим о равнобедренном треугольнике), мы можем подставить это в теорему Пифагора, чтобы получить:
Если вы попытаетесь установить a = 1, то вы получите c = √2, как на диаграмме выше. Стороны каждого треугольника 45-45-90 имеют длину в соотношении 1: 1: √2.
Соотношение сторон не означает, что стороны, противоположные углам в 45 градусов, обязательно равны 1, как указано выше.Скорее, любая длина, равная 45 градусам, назовем ее длиной x , будет сопровождаться поперек гипотенузы стороной, равной √2, или x √2.
30-60-90 Треугольник
Треугольник 30-60-90 похож на треугольник 45-45-90 тем, что это «дважды особый» прямоугольный треугольник. Также, как и в случае с треугольником 45-45-90, когда у нас есть один из этих треугольников, мы знаем величину углов и отношение длин сторон.
Треугольник 30-60-90 внутри равностороннего треугольника
Треугольник 30-60-90 имеет углы, которые составляют 30 градусов, 60 градусов и 90 градусов, а стороны, обращенные к этим углам, имеют длину в соотношении 1: √3: 2 соответственно. Как и в случае любого соотношения, мы можем представить, что отсутствует число x , поэтому длины равны x : x √3: 2 x .
Если мы попробуем вставить эти длины в теорему Пифагора, мы получим следующее:
Наш результат подтверждает, что теорема верна — как и лучше, поскольку мы имеем дело с прямоугольным треугольником.
Вы можете запомнить, какая сторона и какой угол пересекают, используя тот факт, что большая длина стороны в треугольнике обращена к большим углам. Это означает, что сторона под углом 30 градусов будет самой маленькой стороной, сторона под углом 60 градусов будет стороной средней длины, а сторона под углом 90 градусов будет самой длинной стороной. При использовании этого трюка с памятью люди иногда задаются вопросом, больше ли √3 или 2. Вы можете помнить, что √3 меньше 2, потому что 2 равно √4, а √3 меньше √4.
Рисунок выше демонстрирует свойство, которое иногда проявляется в GMAT: обратите внимание, что изображенный треугольник 30-60-90 находится внутри равностороннего треугольника. Изучив схему, вы можете убедиться, что любой равносторонний треугольник содержит два «спрятанных» внутри треугольника 30-60-90. Этот факт может появиться в ответах на вопросы по более тонкой геометрии на GMAT, поэтому подготовьте себя к тому, чтобы видеть два треугольника 30-60-90, когда присутствует равносторонний треугольник.
Тригонометрия?
Для сдачи GMAT необязательно знать тригонометрию.Помните синусы, косинусы и тангенсы углов? Может быть, да, а может и нет, но для сдачи GMAT вам не обязательно знать их. И, если вы изучали эти предметы, и они свежи в вашей памяти, не поддавайтесь искушению попробовать их использовать. Лучше поищите другой метод решения вопросов геометрии, используя материал в этом резюме.
Практические вопросы
Закат на дороге:
http://www.gmatfree.com/decline-in-a-road
Периметр прямоугольного треугольника:
http: // www.gmatfree.com/perimeter-of-a-right-triangle
вложенных треугольников:
http://www.gmatfree.com/nested-triangles/
Использование базовой тригонометрии для измерения расстояния
В нашем приложении Quick Measure мы используем базовую тригонометрию для расчета расстояния. Вы вводите высоту своего устройства, наводите телефон на основание объекта, а затем приложение указывает расстояние до этого объекта. Ниже я объясню, как этот расчет выполняется в приложении.
Если мы посмотрим на сценарий, в котором вы направляете свой телефон на основание объекта, мы можем создать прямоугольный треугольник:
Где:
A = высота вашего телефона от земли
B = расстояние до объекта
c = угол, под которым вы держите телефон по горизонтали
Я не буду вдаваться в подробности о тригонометрии и о том, как она работает.Вы просто должны поверить мне, что одно из правил тригонометрии — это то, что в приведенном выше треугольнике:
Tan (e) = A / B
Или перестроить:
B (расстояние) = A (высота) / tan (e)
Следовательно, чтобы вычислить B (расстояние), нам нужно знать значение A (высота) и угол e. (tan — это тригонометрическая функция, которую вы должны найти на приличном калькуляторе, просто убедитесь, что вы рассчитываете, используя градусы, а не радианы).
В нашем приложении Quick Measure мы знаем A.Вы вводите это, когда мы запрашиваем высоту, на которой вы держите свое устройство.
Итак, что такое угол е?
Еще одно правило, которое мы здесь используем, состоит в том, что все углы внутри треугольника в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, поскольку это прямоугольный треугольник, один из трех углов равен 90 градусам и:
угол е + угол d = 90 градусов.
Угол c + угол d составляют прямой угол и, следовательно, в сумме составляют 90 градусов. Поскольку мы знаем, что углы e + d также равны 90 градусов, мы можем сделать вывод, что:
Угол e = Угол c
Приложение знает угол c, поскольку оно использует датчики в телефоне для определения угла, под которым вы держите телефон по горизонтали.
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы провести расчет и показать ответ на экране. Простой!
Рабочий пример:
Допустим, вы наводите телефон на основание объекта и держите его на высоте 1,5 м от земли под углом 45 градусов.
Расстояние = 1,5 м / загар (45) = 1,5 м.
Загрузите Quick Measure из магазина Google Play.
30 60 90 Правые треугольники
Треугольник особого вида
Прямоугольный треугольник 30-60-90 (буквально произносится как «тридцать шестьдесят девяносто») — это особый тип прямоугольного треугольника, в котором три угла составляют 30 градусов, 60 градусов и 90 градусов.Треугольник важен, потому что стороны существуют в легко запоминающемся соотношении: 1: \ (\ sqrt {3} \): 2. Иными словами, гипотенуза в два раза длиннее более короткого отрезка, а более длинное отрезок представляет собой квадратный корень из 3-кратного более короткого отрезка. Вы также можете помнить его как «корни X, 2X и X из 3», как я его помню, но тогда вы должны помнить, что на самом деле самая длинная сторона — это 2X, а не корни X из 3.
Какая сторона какая? Сторона, противоположная углу 30 градусов, будет иметь наименьшую длину.Сторона, противоположная углу 60 градусов, будет в \ (\ sqrt {3} \) раз длиннее, а сторона, противоположная углу 90 градусов, будет вдвое длиннее. Треугольник ниже показывает эту взаимосвязь. Помните, что самая длинная сторона будет противоположна наибольшему углу, а самая короткая — противоположному наименьшему углу.
Мы можем использовать соотношение между углами и сторонами треугольника 30-60-90, чтобы найти недостающие углы или длины сторон. Взгляните на этот пример:
Пример 1
Для треугольника 30-60-90 ниже найдите длины недостающих сторон:
Поскольку это прямоугольный треугольник 30-60-90, мы знаем, что стороны существуют в пропорции 1: \ (\ sqrt {3} \): 2.Самая короткая сторона, 1, находится напротив угла 30 градусов. Поскольку сторона X противоположна углу в 60 градусов, мы знаем, что он равен \ (1 * \ sqrt {3} \), или примерно 1,73. Наконец, сторона Y противоположна прямому углу, и это в два раза короче сторона, или 2.
Откуда взялась формула?
Это еще одна выдуманная математическая формула? Нет! Это просто приложение базовой тригонометрии. В приведенном выше примере мы могли бы взять синус крайнего левого угла: sin (30) = 1/2.Поскольку синус дает нам отношение противоположности к гипотенузе, мы бы знали, что гипотенуза должна быть равна 2. По сути, вся причина, по которой треугольник 30-60-90 легко решить, заключается в том, что синус и косинус этих углов равны Тоже очень простой.
Пример 2
Используйте те же принципы для поиска неизвестных переменных X и Y.
Известная сторона — 4, и это самая длинная сторона. Помните, как длинная сторона в два раза больше самой короткой стороны для треугольника 30-60-90? Это означает, что Y должно быть 2!
Теперь мы можем найти оставшуюся сторону.Поскольку сторона , противоположная углу в 60 градусов, равна умножению более короткой стороны на квадратный корень из 3 , мы можем вычислить, что X равно \ (2 * \ sqrt {3} \).
Сводка
Для прямоугольного треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов стороны будут иметь длину в соотношении 1: \ (\ sqrt {3} \): 2, как показано на этой диаграмме:
Дополнительная справка
Как всегда, вы можете задать свои конкретные вопросы на нашей доске сообщений справки по математике, выполнить поиск в Google или пройти этот урок по 30-60-90 треугольникам или этот.