д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

7. Определение расстояния до недоступной точки.

а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А₁В₁С₁, у которого угол А₁ = угол А, угол С_! = угол С и измеряем длины сторон А₁В₁ и А₁С₁ этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁, то АВ: А₁В₁ = АС : А₁С₁, откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А₁С₁, А₁В_1.. Для удобства вычислений удобно построить треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы А₁С₁ : АС = 1 : 1000

б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90⁰ (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).

в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ₁С₁. Точка А выбрана на берегу реки, В₁ и С у кромки поверхности воды, ВВ₁ – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС₁, АВ₁.

Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.

В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом применяется теорема синусов и теорема косинусов. Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

1. Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b, угол ВАС = a – b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a.

№ 1036

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10⁰ к горизонту, а вершину – под углом 45⁰ к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45⁰, то и угол ВСА =45⁰, значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10⁰, отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

№ 1038

На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60⁰ к горизонту, а потом с её основания С под углом 30⁰. Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).

Решение:

Дано:

СВ = 100 м

угол ЕВА = 60⁰

угол КСА =30⁰

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30⁰, т.к. угол ЕВС =90⁰ и угол ЕВА =60⁰, отсюда угол СКА =60⁰, значит уголСКА = 180⁰ – 60⁰ = 120⁰.

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30⁰, уголСКА = 120⁰, то уголСАК = 30⁰, получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. уголСВК = 30⁰ и уголВАС = 30⁰, значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30⁰ (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30⁰ лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

2. Измерение расстояния до недоступной точки ( измерение ширины реки).

Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).

Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180⁰ — угол А — угол В

Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.

2 случай.

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.

Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ² = АС² + ВС² – 2 АС * ВС cos угла С.

3 случай:

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

Практическая работа в 9 кл на уроках геометрии:

• измерить высоту предмета;
• расстояние до недоступной точки (ширину реки).

Работу провести и через подобие треугольников и через тему “Решение треугольников”.

Задание: сравнить полученные результаты.

В результате проведения цикла уроков по вопросам рассмотрения практического применения геометрии, учащиеся убеждаются в непосредственном применении математики в практической жизни человека (измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета различными способами к концу обучения в основной школе, использование измерительных приборов). Решение задач этого типа вызывает заинтересованность учащихся, которые с нетерпением ждут уроков, связанных с непосредственным измерением на местности. А задачи, предложенные в учебнике, знакомят с различными способами решения этих задач.

Литература:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 -9. – Москва: Просвещение, 2000 г.

Урок 5. измерение углов — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок №5

Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Измерительные инструменты.
• Градусная мера угла; биссектриса.
• Транспортир.
• Классификация углов.

Тезаурус:

Градус – угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Минута – 1/60 часть градуса.

Секунда – 1/60 часть минуты.

Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Вершина угла – общее начало сторон угла.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее вы уже познакомились с геометрической фигурой – уголи его составными элементами.

Сегодня мы продолжим изучать углы, познакомимся с их классификацией и будем измерять углы с помощью транспортира.

Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении, только отрезки сравнивались с отрезком, принятым за единицу измерения, а углы с углом, тоже принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус.

Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла.

Для измерения углов используют транспортир. Вспомним, как проводить измерение углов с помощью транспортира.

Транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах на той же шкале.

Например:

∠О = 50°

Но обычно говорят кратко – угол О равен 50 градусам.

Если масштабныйугол не укладываетсяцелое число раз в измеряемом угле, тоединицу измерения делят ещё на части.

Определённые части градуса носят специальные названия.

Части градуса.

Минута – 1/60 часть градуса.

Обозначается «´».

Секунда – 1/60 часть минуты.

Обозначается «´´».

Например:

∠А = 40 ° 15´ 16 ´´

Далее, аналогично понятию равные отрезки, ведём понятие равные углы.

Дваугла считаются равными, если градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если один угол меньше другого, то градус в нём (или его часть) укладываются в этом углу меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

∠АОС =∠АОL + ∠LОС,

∠АОL = 64°,

∠LОС = 64°,

∠АОС = 64° + 64° = 128°.

Далее рассмотрим классификацию углов.

Мы уже знаем, что есть развёрнутый угол, его градусная мера сто восемьдесят градусов.

Но есть и другие углы.

Например, прямой угол, его градусная мера девяносто градусов;

острый угол, его градусная мера меньше девяноста градусов;

тупой угол, его градусная мера больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти.

Выполним практическое задание – построим биссектрису угла с помощью транспортира.

Мы знаем, что биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

∠АОС = 128°,

128° : 2 = 64°,

OL – биссектриса ∠АОС.

Поэтому для начала определим градусную меру ∠АОС, она составляет 128°, тогда биссектриса этого угла, исходя из определения, составит 64 °.

Итак, сегодня получили представление о том, как измерять и изображать угол с помощью транспортира. Перейдем к практическим заданиям.

Способы измерения на местности.

Измерение углов на местности проводят с помощью различных приборов. Один из таких – астролябия, она состоит из диска (лимб), разбитого на градусы и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады есть окошечки, которые нужны, чтобы устанавливать её в определённом направлении.

Опишем, как происходит измерение углов с помощью этого прибора. При измерении углов астролябию устанавливают в его вершине, например, точке О, при этом лимб должен находится горизонтально плоскости угла, а отвес, в центе диска, совпадать с вершиной угла.

Затем устанавливаем алидаду вдоль одной из сторон угла, например, АО, отмечаем деление, напротив которого находится указатель алидады.

Далее поворачиваем алидаду по часовой стрелке, пока она не совпадёт со второй стороной угла, у нас это сторона ОВ, отмечаем деление, напротив которого оказался указатель алидады. Теперь можно найти градусную меру измеряемого угла, как разность второго и первого измерения.

Тренировочные задания.

1. Луч ВК делит развернутый ∠ОВС на два угла, разность которых равна 56°. Найдите образовавшиеся углы.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи.

Обозначим ∠СВК за х, тогда ∠ОВК= х + 56°, исходя из условия задачи (разность углов равна 56°). Развёрнутый угол равен 180°. Составим уравнение и решим его.

х + х +56 =180,

2х= 180 – 56,

2х= 124,

х = 124:2,

х = 62° (∠СВК).

Тогда ∠ОВК= х + 56°= 62° +56° = 118°.

Ответ: ∠СВК = 62°; ∠ОВК = 118°.

2. Чему равен ∠ЕОА, если ∠ВОА = 130° 54´, а ∠ВОЕ = 105° 76´?

Решение: Найдём ∠ЕОА = ∠ВОА – ∠ВОЕ, т.к. ОЕ – луч, проведённый из вершины ∠ВОА и делящий этот угол на 2 части. Подставим в выражение градусные меры углов и найдём градусную меру ∠ЕОА. Так как в градусе 60 минут, то 105° 76´ = 106° 16´.

∠ЕОА = 130° 54´ – 106° 16´ = 24° 38´.

Ответ: ∠ЕОА = 24° 38´.

угол — это… Что такое угол?

Морфология: (нет) чего? угла́, чему? углу́, (вижу) что? у́гол, чем? угло́м, о чём? об угле́ и на углу́; мн. что? углы́, (нет) чего? угло́в, чему? угла́м, (вижу) что? углы́, чем? угла́ми, о чём? об угла́х

геометрия

2. Прямым углом называется угол, который равен девяноста градусам.

3. Тупой угол — это угол более девяноста градусов.

4. Острый угол — это угол менее девяноста градусов.

7. Если вы что-то рассматриваете под иным углом зрения, чем кто-либо другой, то это означает, что вы оцениваете какие-то события иначе, чем другой человек.

8. Мягкий угол — это сборный комплект мягкой мебели, который устанавливают в одном из углов помещения.

движение

9. Если вы говорите, что кто-то срезает угол, то это означает, что этот человек движется пешком или на автотранспорте таким образом, что путь его следования сокращается, он движется не по перпендикулярным улицам, а диагонально, наискосок.

10. Если вы говорите, что кто-то ходит (шагает) из угла в угол, то это означает, что этот человек в помещении в раздумье движется взад и вперёд, или праздно прохаживается, бездельничает.

14. Если вы говорите, что на кого-то напали из-за угла, то это означает, что этот человек неожиданно для себя подвергся вероломному нападению другого человека.

17. Если вы говорите, что кто-то шепчется по углам, то это означает, что эти люди о чём-то тайно от кого-то беседуют.

жилище

18. Углом комнаты называют место схождения двух комнатных стен.

20. Если вы говорите, что, к примеру, члены семьи разбрелись по своим углам, то это означает, что каждый из них удалился в свою комнату или в ту часть квартиры, где он может побыть наедине с самим собой.

21. Глухим, медвежьим углом называют отдалённую, безлюдную местность.

• уголо́к

• углово́й

Измерение вертикальных углов

Вертикальный угол – это плоский угол, лежащий в вертикальной плоскости. К вертикальным углам относятся угол наклона и зенитное расстояние. Угол между горизонтальной плоскостью и направлением линии местности называется углом наклона и обозначается буквой ν. Углы наклона бывают положительные и отрицательные.

Угол между вертикальным направлением и направлением линии местности называется зенитным расстоянием и обозначается буквой Z. Зенитные расстояния всегда положительные (рис.4.20).

Рис.4.20

Угол наклона и зенитное расстояние одного направления связаны соотношением:

Z + ν = 90 ,                 (4.22)

или

ν = 90 – Z ,                   (4.23)

или

Z = 90 – ν .                     (4.24)

Вертикальный круг теодолита. Вертикальный круг теодолита предназначен для измерения вертикальных углов, то-есть, углов наклона или зенитных расстояний.

Вертикальный круг большинства теодолитов устроен следующим образом: лимб вертикального круга жестко соединен с трубой (насажен на один из концов оси трубы), центр лимба совмещен с геометрической осью вращения трубы, а его плоскость перпендикулярна этой оси. Деления на лимбе наносят по разному: либо от 0 до 360, либо от 0 до 180 в обе стороны со знаками “плюс” и “минус” или без знаков и т.д. Для отсчета по лимбу имеется алидада. Основные части алидады: отсчетное приспособление, цилиндрический уровень (или компенсатор) и микрометренный винт.

Пузырек уровня в момент отсчета приводится в нуль-пункт, то есть, ось уровня служит указателем горизонтального направления. Отсчетным индексом является нулевой штрих отсчетного приспособления. Ось уровня и линия отсчетного индекса (линия, соединяющая отсчетный индекс с центром лимба) должны быть параллельны; при выполнении этого условия линия отсчетного индекса будет горизонтальна в момент взятия отсчета по вертикальному кругу.

Взаимное положение лимба и зрительной трубы должно удовлетворять условию: визирная линия трубы и нулевой диаметр лимба должны быть параллельны.

Оба условия вместе составляют так называемое главное условие вертикального круга теодолита; оно читается так: визирная линия трубы должна занимать горизонтальное положение, когда отсчет по лимбу равен нулю и пузырек уровня находится в нульпункте. На практике оба эти условия могут не выполняться и имеет место случай, изображенный на рис.4.21-а.

Во-первых, при насаживании лимба на ось трубы между нулевым диаметром лимба и визирной линией трубы остается малый угол x. Во-вторых, линия отсчетного индекса может быть непараллельна оси уровня и между ними существует малый угол y. Таким образом, хотя отсчет по лимбу равен нулю, визирная линия трубы занимает наклонное положение, и угол наклона ее равен:

ν = x + y.

Рис.4.21

Если установить визирную линию горизонтально (рис.4.21-б), то отсчет по лимбу станет равным:

N = 360 – (x + y).                  (4.25)

Этот отсчет называется местом нуля вертикального круга и обозначается М0.

Таким образом, место нуля вертикального круга теодолита – это отсчет по лимбу вертикального круга при горизонтальном положении визирной линии трубы и оси уровня вертикального круга.

Для конкретного теодолита формулы для вычисления угла наклона и места нуля приводятся в паспорте. Например, для теодолитов 2Т30 и Т15 эти формулы имеют вид:

М0 = 0.5 . (NL + NR),                (4.26)

ν = 0.5 . (NL – NR),

ν = NL – M0,

ν = M0 – NR.

Положение вертикального круга, при котором отсчет по лимбу вертикального круга равен (с точностью до M0) углу наклона, считается основным; у большинства современных теодолитов основным положением является КЛ.

Для измерения углов наклона удобно иметь М0 близким к нулю, поэтому нужно регулярно выполнять поверку места нуля, которая предусматривает следующие действия:

наведение трубы на точку при КЛ, приведение пузырька уровня в нульпункт и взятие отсчета по вертикальному кругу,
перевод трубы через зенит, наведение трубы на точку при КП, приведение пузырька уровня в нульпункт и взятие отсчета по вертикальному кругу,
вычисление по соответствующим формулам места нуля М0 и угла наклона ν.

Если М0 получается большим, то при основном положении круга нужно навести трубу на точку и микрометренным винтом алидады установить отсчет, равный углу наклона; при этом пузырек уровня отклонится от нульпункта. Исправительными винтами уровня привести пузырек в нульпункт.

Ориентирование линий. Прямая и обратная. | Инженерная геодезия. Часть 1.

3.1. Углы ориентирования

Ориентировать линию – значит определить её направление относительно исходного направления, например, меридиана или оси абсцисс х системы плоских прямоугольных координат.

Угол, измеряемый по ходу часовой стрелки от северного направления меридиана до заданного направления, называется азимутом.

Если исходным направлением служит геодезический меридиан, то азимут называют геодезическим азимутом. Если – астрономический, то — астрономическим азимутом. Обобщением обоих понятий служит термин — географический азимут или просто — азимут.

Значения азимута лежат в пределах от 0° до 360°. На рис. 3.1, а обозначено: С – северное направление меридиана, угол А₁ – азимут направления на точку 1 и А₂ – азимут направления на точку 2.

Рис. 3.1. Углы ориентирования: а — азимуты географические; б — магнитный азимут

На местности азимут заданного направления можно определить астрономическим методом — измерив горизонтальный угол между направлением на небесное светило (Солнце, звезду) и заданным направлением. Зная азимут светила, вычисляемый с использованием астрономического ежегодника, и измеренный угол, соображают азимут заданного направления.

Угол, отсчитываемый от северного направления магнитной стрелки до заданного направления, называется магнитным азимутом.

Магнитная стрелка компаса отклоняется от направления истинного меридиана на угол d, который называется склонением магнитной стрелки (рис. 3.1, б).

Если северный конец магнитной стрелки отклоняется от меридиана к востоку, то склонение называют восточным и считают положительным, а если — к западу, то называют западным и считают отрицательным.

Азимут с магнитным азимутом связывает формула:

где А — азимут, А_м — магнитный азимут и d – склонение магнитной стрелки.

Магнитные азимуты в геодезии измеряют буссолью (рис. 3.2). Однако точность этих измерений невысока (несколько минут), так как склонение магнитной стрелки непостоянно. На территории России оно меняется от места к месту в пределах от –15° до 25°. В аномальных районах (например, в районе Курской магнитной аномалии) эти изменения так велики, что магнитной стрелкой пользоваться нельзя. Кроме того, склонение изменяется во времени, испытывая суточные, годовые и вековые изменения.

Углом ориентирования, применяемым при использовании системы плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера, является дирекционный угол.

Дирекционным углом называется угол между северным направлением осевого меридиана или линии ему параллельной и заданным направлением (рис. 3.3).

Угол g между северным направлением меридиана и направлением оси абсцисс х прямоугольных координат (то есть линии, параллельной осевому меридиану) называется сближением меридианов.

Рис. 3.3. Углы ориентирования: а — дирекционные углы a₁, a₂; б — азимут A и дирекционный угол a

При отклонении оси абсцисс от меридиана к востоку, сближение меридианов считают положительным, а при отклонении к западу — отрицательным. При этом справедлива формула (рис. 3.3 б)

А = a + g,

где a — дирекционный угол, g — сближение меридианов.

Приближенно сближение меридианов равно

g = Dl sinj,

где Dl = l-l₀, причем l -долгота географического данной точки и l₀ — долгота осевого меридиана; j — широта точки.

На рис. 3.4 показано соотношение между азимутами и дирекционными углами в пределах одной координатной зоны. Легко заметить, что для точек, расположенных к востоку от осевого меридиана зоны, сближение меридианов положительное, а к западу – отрицательное. При этом дирекционные углы в разных точках прямой линии равны a₁ = a₂ = a₃. Поэтому обратный дирекционный угол в точке 3 отличается от прямого в точке 1 ровно на 180°, то есть a_1-3 = a_3-1 ± 180°. Азимуты же в разных точках прямой различаются: А₁ ¹ А₂ ¹ А₃, что обусловлено различием сближения меридианов. Поэтому и А_1-3 ¹ А_3-1 ± 180°.

Рис. 3.4. Связь между азимутами и дирекционными углами: 1 – в западной половине зоны; 2 – на осевом меридиане; 3 – в восточной половине зоны; Р – полюс; 1Р, 3Р – меридианы; 2Р – осевой меридиан.

При использовании местной системы прямоугольных координат направление оси абсцисс x не связано с направлением осевого меридиана координатной зоны, и тогда дирекционные углы отсчитывают от положительного направления оси абсцисс х.

В практике вычислений находят применение также вспомогательные углы ориентирования – румбы. Румбом называют острый угол, измеряемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного). Румбу приписывают название координатной четверти (СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ), в которой расположено заданное направление. Например, для a = 240°36¢ румб равен r = ЮЗ: 60°36¢.

Проекция

Поверхность земли имеет сферическую форму, поэтому приходится каким-то образом изображать реальный мир в плоской, или планарной системе координат. При создании карт эллипсоид вращения должен быть развернут на плоскость. Понятно, что он не может быть развернут на плоскости без складок или разрывов, поэтому при создании карт прибегают к помощи картографических проекций, в которых отображение поверхности земли или иного небесного тела происходит по строгим математическим законам. Эти законы выражают функциональную связь координат точек на поверхности эллипсоида вращения и плоскости (карте). В основу такого отображения положена система географических или геодезических координат, координатными линиями которой являются меридианы и параллели.

Различные проекции имеют разные типы искажений. Некоторые проекции разработаны с учетом минимизации искажений одной или двух характеристик данных. Проекция может сохранять площадь объектов, но изменять их форму. Растяжение и сжатие отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной проекции неизбежно сопровождается искажениями длин, площадей и углов. В одних проекциях можно избежать искажения углов, в других – площадей, но длины линий будут искажены во всех проекциях, за исключением отдельных точек или некоторых линий на карте, о чем мы поговорим несколько позже.

Картографические проекции предназначены для определенных целей, так некоторые картографические проекции могут использоваться для отображения крупномасштабных объектов на ограниченной площади, другие – для составления мелкомасштабных карт мира.

Проекции классифицируются по следующим основным признакам:

• по характеру искажений;

• по виду нормальной сетки параллелей и меридианов;

• по ориентировке вспомогательной поверхности.

По характеру искажений различают проекции:

• Равновеликие— в них отсутствует искажение площадей. Значительны искажения углов и форм. Такие проекции часто используются для землеустроительных целей, измерения площадей и картографирования плотности населения, а также для исследований одной определённой области.

• Равноугольные— отсутствует искажения углов, вследствие этого в них не искажаются формы фигур, а масштаб длин в любой точке остается одинаковым по всем направлениям. В этих проекциях карты больших территорий отличаются значительным искажением площадей. Весьма удобны для решения навигационных задач. Угол на местности всегда равен углу на карте, линия прямая на местности, прямая на карте. Главным примером данной проекции является поперечно-цилиндрическая Проекция Меркатора (1569 г) и до сих пор она используется для морских навигационных карт.

• Произвольные— в них имеются искажения и углов, и площадей, но в значительно меньшей степени, чем в равновеликих и равноугольных проекциях, поэтому они наиболее употребляемые.

  Среди них особое место занимают проекции равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений сохраняется постоянным.

По по виду нормальной сетки параллелей и меридианов различают проекции:

• Конические— это проекции, в которых поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного к нему (а) или секущего его конуса (б), а затем последний разрезается по образующей его линии и развертывается в плоскость. В конических проекциях параллели- это дуги одноцентренных окружностей, а меридианы – прямые линии, сходящиеся в одной точке (полюсе) под углами, пропорциональными разности долгот (в). В таких проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях.

  Рисунок 27. Коническая проекция

• Цилиндрические— это проекции, в которых происходит проектирование земной поверхности на боковую поверхность цилиндра, которая потом разворачивается в плоскость. Цилиндр может быть касательным к земному шару или секущим его. В первом случае длины сохраняются по экватору. Во втором – по двум стандартным параллелям.

  Цилиндрические проекции бывают прямые, косые и поперечные. В прямых цилиндрических проекциях одни и те же участки поверхности изображаются одинаково вдоль линии разреза в восточной и западной частях карты, что обеспечивает удобство чтения карты по широтным поясам. Косые цилиндрические проекции имеют географическую сетку, которая дает представление о сферичности земного шара. С уменьшением широты полюса кривизна параллелей увеличивается, а их протяженность уменьшается, что дает представление о сферичности земли.

  Цилиндрические проекции применяются при составлении карт мелких и крупных масштабов — от общегеографических до специальных. Так, например, аэронавигационные маршрутные полетные карты чаще всего составляются в косых и поперечных цилиндрических равноугольных проекциях (на шаре).

  Рисунок 28. Цилиндрическая проекция

• Азимутальные— проекции, в которых параллели нормальной сетки есть концентрические окружности, а меридианы — их радиусы, расходящиеся из общего центра параллелей под углами, равными разности долгот. Каждая точка на карте имеет тот же самый азимут по отношению к среднему меридиану, который эта же точка имеет со средним меридианом на сфере. Название азимутальных проекции получили благодаря основному их свойству сохранять без искажений азимуты линий, выходящих из точки касания картинной плоскости.

  Рисунок 29. Азимутальная проекция

  Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.

• Псевдоконические— проекции, у которых параллели изображаются дугами концентрических окружностей, один из меридианов, называемый средним — прямой линией, а остальные — кривыми, симметричными относительно среднего. Примером псевдоконической проекции может служить равновеликая псевдоконическая проекция Бонна.

• Псевдоцилиндрические— проекции, в которых все параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан — прямой линией, перпендикулярной параллелям, а остальные меридианы — кривыми. Причём средний меридиан является осью симметрии проекции. Псевдоцилиндрические проекции в основном применяются для изображения всей земной поверхности или значительных ее частей в мелких масштабах. Поэтому земная поверхность принимается за поверхность шара с радиусом R. Эти проекции имеют две оси симметрии- экватор и средний меридиан нормальной сетки. Косые и поперечные псевдоцилиндрические проекции используются крайне редко.

Что такое прямой угол? — Определение, факты и пример

Что такое прямой угол?

Два соединяющихся луча образуют угол. Общая точка, где встречаются эти два луча, называется вершиной, а лучи — плечами угла.

Мера угла — это величина поворота или поворота точки от одного плеча к другому вдоль его вершины.

Когда стороны угла лежат в противоположном направлении, они образуют прямой угол.Углы образуют прямую линию через вершину.

Прямой угол также называется « плоский угол ».

На рисунке OX и OY — рукава угла. Общая точка O, где встречаются лучи, называется вершиной.

Как изобразить прямой угол?

Существуют различные способы представления прямых углов в соответствии с системой измерения.

1. Записывается как 180 °

2. Также записывается как π

Все углы, указанные на рисунке, прямые.

Свойства прямого угла

• В прямом угле лучи смотрят в противоположных направлениях.

• Прямой угол меняет направление точки

• Прямой угол составляет ровно половину оборота.

• Прямой угол можно также образовать, сложив два прямых угла.

Построение прямого угла с помощью транспортира

1. Начертите прямую OA со стрелкой в ​​точке A.

2. Теперь держите транспортир на этой линии так, чтобы базовая линия транспортира была выровнена по OA. Буква A должна быть направлена ​​в сторону 0 ° транспортира.

3. Начинайте с 0 ° и двигайтесь к отметке 180 ° транспортира. Достигнув 180 °, отметьте точку B на бумаге.

4. Соедините вершину прямой OA с точкой B. второй луч OB будет иметь стрелку в точке B.

Прямые углы в реальной жизни

Прямой угол — значение, свойства, примеры

Прямой угол составляет 180 ° и выглядит как прямая линия, поэтому это математический способ выразить прямую линию. Это угол, плечи которого лежат в противоположных направлениях от вершины и соединяются вместе, образуя 180 °. Давайте узнаем больше о прямом угле в этой статье.

Определение прямого угла

Когда два луча соединяются вместе, они образуют угол, и угол, образованный двумя лучами в противоположных направлениях, называется прямым углом. В геометрии прямой угол — это угол, вершина которого имеет значение 180 градусов.

Другими словами, когда стороны угла лежат в противоположном направлении, они образуют прямой угол. Руки образуют прямую линию через макушку.

Свойства прямого угла

• Прямой угол образуется путем поворота одного луча на 180 ° по отношению к другому лучу.
• Прямой угол меняет направление точки на противоположное.
• Прямой угол составляет ровно половину оборота.
• Прямой угол можно также образовать путем соединения двух прямых углов.

Угол под прямым углом

Градус или мера прямого угла всегда 180º. В традиционной системе измерения углов мы считаем, что прямой угол равен 90 °, а угол вокруг точки равен 360 °.Прямой угол состоит из двух прямых углов. Чтобы понять этот факт, обратите внимание на рисунок ниже.

Построение прямого угла с помощью транспортира

Прямой угол можно легко построить с помощью транспортира. Следуйте инструкциям ниже, чтобы нарисовать прямой угол с помощью транспортира:

• Шаг 1: Нарисуйте прямую линию, назовите ее AB и отметьте стрелку на B.
• Шаг 2: Поместите транспортир на линию AB так, чтобы базовая линия транспортира находилась над линией AB.Убедитесь, что B указывает на 0 °.
• Шаг 3: Начиная с 0 ° на внутренней шкале и удерживая транспортир на своем месте, медленно перемещайте карандаш, пока не достигнете 180 °. Отметьте эту точку как C, а также отметьте здесь стрелку.
• Шаг 4: Соедините точку C с линией AB. Таким образом, образуется прямой угол CAB 180º.

На следующем рисунке показано, как построить прямой угол с помощью этих шагов.

Пара прямых углов

Пара углов, образующих прямую линию, называется парой прямых углов.Сумма двух углов, составляющих пару прямых углов, всегда равна 180 °. Их также называют линейными парами углов. На изображении ниже показаны два угла a = 135 ° и b = 45 ° , которые вместе составляют 180 °. Пары прямых углов имеют следующие общие свойства. У них общая рука и общая вершина. На следующем рисунке QS — это общее плечо, а Q — общая вершина.

Прямые углы в реальной жизни

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с прямыми углами.Ниже приведены некоторые примеры прямого угла.

• Часы, показывающие 6 часов, образуют прямой угол.
• Прямоугольная столешница представляет собой прямой угол.
• Линия вашего взгляда — прекрасный пример прямого угла.

Все углы, указанные ниже, являются прямыми углами. Они различаются только ориентацией. Следуя им, мы можем найти множество прямых углов вокруг нас.

Темы, связанные с прямыми углами

Важные примечания:

• Прямой угол образуется путем поворота одного луча на 180 ° по отношению к другому лучу.
• Прямой угол составляет ровно половину оборота.
• В радианах прямой угол обозначается π.
• Прямой угол меняет направление точки на противоположное.
• Прямой угол также называют «плоским углом».
• Пара прямых углов — это набор двух смежных углов на прямой, которые в сумме составляют 180 °
• Если ∠A + ∠B = 180 °, то ∠A и ∠B образуют пару прямых углов (линейную пару).

Часто задаваемые вопросы о прямых углах

Что такое прямой угол в математике?

Когда два луча или стороны угла направлены в противоположные стороны, они образуют прямую линию.Угол, образованный этими двумя лучами, равен 180 °. Это называется прямым углом.

Что такое прямой угол?

Прямой угол составляет 180 °, потому что он образуется, когда два луча соединяются в противоположных направлениях.

Что такое половина прямого угла?

90 ° ^{— половина прямого угла. Его еще называют прямым углом.}

Можно ли сказать, что прямая линия — это прямой угол?

Да, прямая линия с двумя концами составляет угол 180 °.Таким образом, мы можем рассматривать прямую линию как прямой угол.

Какая часть прямого угла является прямым углом?

Прямой угол составляет 90 °, а прямой угол — 180 °. Следовательно, прямой угол равен половине прямого угла. 1/2 × 180 ° = 90 °.

Что больше прямого и меньше прямого?

Угол, который больше прямого (90 °) и меньше прямого (180 °), называется тупым углом.

Сколько прямых углов у прямого угла?

Так как прямой угол равен 90 °, а прямой угол равен 180 °, это означает, что в прямом угле есть два прямых угла.90 ° + 90 ° = 180 °

Как выглядит прямой угол?

Прямой угол выглядит как прямая линия с углом 180 °. Лучший пример прямого угла — это когда часовая стрелка часов находится в положении 6, а минутная стрелка — в положении 12, время — 6 часов, а стрелки образуют прямую линию или прямой угол.

Прямой угол: что это такое, градусы, примеры и многое другое

В сегодняшнем посте мы узнаем, что такое прямой угол, сколько градусов он имеет и его свойства.Мы также попрактикуемся на некоторых примерах.

Что такое прямой угол?

Угол — это часть плоскости между двумя лучами, соединенными вершиной.

Прямой угол — это общее пространство между двумя лучами, соединенными вершиной размером 180º .

Мы также можем думать об угле как об амплитуде вращения линии над точкой. Следовательно, прямой угол имеет амплитуду 180º луча над точкой.

Сколько градусов у прямого угла?

Прямой угол составляет 180 градусов (180º). Амплитуду угла можно измерить транспортиром.

Наиболее распространенные транспортиры имеют амплитуду 180 °, другими словами, прямой угол.

Как измерить угол

Чтобы освежить память о том, как измеряется амплитуда угла с помощью транспортира, взгляните на следующее видео интерактивного руководства Smartick.В нем кратко объясняются различные типы углов, включая прямой угол.

Когда угол прямой?

Угол является прямым, когда два луча, составляющие угол, находятся в одинаковом положении на противоположных сторонах точки. То есть они образуют форму линии .

Прямой угол — это когда луч совершает половину оборота вокруг точки. Таким образом, он заканчивается в том же положении, но в противоположном направлении.Другими словами, если вы стоите и смотрите на дверь и поворачиваетесь на 180 градусов, дверь окажется позади вас. Вот почему мы говорим, что человек «сделал 180» , когда полностью передумал. Например, если однажды друг говорит нам, что кошки — его любимое животное, а в другой день они им совсем не нравятся, мы можем сказать, что они сделали 180.

Свойства прямых углов

• Измеряет ровно 180º.
• Образует линию.
• Поворот на 180 ° всегда заканчивается в противоположном направлении.
• Это граница между выпуклым (острый, прямой и тупой углы) и вогнутым углами.
• Это сумма двух прямых углов.
• Это половина полного угла.
• Если мы посмотрим на углы внутри окружности, это разделит круг на две равные половины и соответствует диаметру окружности.
• Когда сумма острого угла и тупого угла равна прямому углу, эти углы считаются дополнительными .

Кроме того, в других сообщениях блога вы можете узнать больше об углах и различных типах.

Примеры прямых углов

Мы часто находим примеры таких углов в нашей повседневной жизни.

• Вы можете найти его, когда будете читать часы на аналоговых часах. В какое время стрелки часов образуют прямой угол?

• Когда вы вытягиваете руки или танцор вытягивает ноги, вы можете видеть эти углы.

• Это всего лишь несколько примеров, не могли бы вы придумать еще?

Практика

Посмотрите на эти упражнения Smartick об этом типе угла и подумайте, как их решить. Вы найдете решения в конце этого раздела.

Решения

1. Да, это так. Если вы присмотритесь, само упражнение дает вам примеры прямых и непрямых углов.
2. Это не прямой угол. Возникающий угол острый и выпуклый.
3. Это угол, который составляет 180 °.

Если вы хотите получить доступ к реальным интерактивным упражнениям, зарегистрируйтесь в Smartick, онлайн-методе обучения математике для детей в возрасте от 4 до 14 лет, и приступайте к работе уже сегодня!

Подробнее:

Развлечение — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

• 15 веселых минут в день
• Адаптируется к уровню вашего ребенка
• Миллионы учеников с 2009 года

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Определение прямых углов — видео и стенограмма урока

Характеристики

Как видите, прямой угол ужасно похож на прямую линию. Это потому, что прямой угол на самом деле дает прямую линию.Этот тип угла составляет 180 градусов. 180 градусов — прямая линия, и она вас разворачивает. Вот почему вы можете услышать, как кто-то говорит, что он только что сделал полный 180, имея в виду, что они изменили свое направление или мнение так, что они идут в противоположном направлении или мысли.

Определение прямых углов

Когда вы сталкиваетесь с математическими задачами, связанными с прямыми углами, вам может не сразу дать прямой угол. Возможно, вам придется его поискать. Ваши прямые углы могут иметь форму двух углов, расположенных бок о бок.Например, у вас может быть два угла 90 градусов или прямых углов , расположенных рядом друг с другом. Когда у вас есть два прямых угла рядом друг с другом, вы получаете 90 + 90 = 180 градусов, что дает вам прямой угол. Вы также можете видеть, что крайние ответвления двух прямых углов объединяются, образуя прямую линию.

Или у вас может быть два или более углов, которые в сумме составляют 180, все рядом друг с другом. В любом случае, если ваш угол составляет 180 градусов, у вас будет прямой угол.Глядя на него, он должен выглядеть как прямая линия.

Пример

Давайте посмотрим на возможную проблему.

Бекки строит полумесяц из глиняных кусков разного цвета. Кусочки из глины созданы в виде кусочков пирога. У каждого из них есть разные угловые размеры на конце. Угловые размеры частей — 70, 50, 60 и 40. Если Бекки использует угловые части на 70 и 50 градусов, какая еще часть ей понадобится, чтобы закончить свой полумесяц?

Плоская сторона полумесяца представляет собой прямой угол.Итак, Бекки нужна деталь, которая даст ей общий угол в 180 градусов. 70 и 50 уже в сумме дают 120 (70 + 50 = 120). Итак, Бекки нужна деталь 180 — 120 = 60 градусов.

Сначала мы добавили две части, которые уже есть у Бекки. Затем мы вычли эту сумму из 180, чтобы найти размер третьей части. Мы обнаружили, что угол должен составлять 60 градусов. Есть такая штука? Да, есть, поэтому наш ответ — 60 градусов. ° $ называется прямым углом.g $ в десятичной системе счисления

Пример использования

Прямые углы, возможно, геометрически образуются в трех различных случаях.

1.

Угол прямой

Угол прямой может быть геометрически прямым, но при этом должны соблюдаться два правила.

1. Линия должна быть параллельна горизонтальному направлению.
2. Начальная точка линии должна быть правой или считаться правой стороной как начальная точка линии.

$ \ overrightarrow {QR} $ — луч на плоскости. Он начинается с точки $ Q $ и продолжается бесконечно через другую точку $ R $ в левом направлении от своей начальной точки.

Никакая другая линия не может считаться опорной линией для измерения угла луча $ \ overrightarrow {QR} $. Таким образом, горизонтальное направление считается опорной линией и измеряется угол против часовой стрелки.

Угол луча $ \ overrightarrow {QR} $ с горизонтальным направлением составляет $ 180 ^ ° $, и он лежит на прямой.° $, чтобы выйти из исходного положения в конечное положение.

Он сформировал прямую линию, комбинируя начальную и конечную позиции луча. Следовательно, он называется прямым углом, а также прямым углом.

Обратите внимание, что луч $ \ overrightarrow {XY} $ не обязательно должен быть параллелен горизонтальной опорной линии, и он может образовывать любой угол. В этом случае считается, что измеряется угол, образованный лучом от его начального положения до конечного положения, и это не относится к углу, образованному горизонтальной опорной линией.° $. Следовательно, угол называется углом прямой линии, а просто прямым углом.

Обратите внимание, что угол измеряется, рассматривая один луч как опорную линию по отношению к другому, и наоборот, чтобы измерить угол между ними, и нет необходимости учитывать угол, образованный прямой линией с горизонтальной опорной линией, потому что это случай угла между две линии, а не угол, образованный линией.

8.1: Измерение угла — Математика LibreTexts

Угол — это мера размера отверстия двух пересекающихся линий. VERTEX является точкой пересечения, а линии, образующие проем, называются SIDES .

Угол можно вызвать по

3 буквы с вершиной посередине: \ (\ angle ABC \) или только вершиной \ (\ angle B \), либо числом или буквой внутри угла.

В круге 360 градусов. Углы измеряются в градусах.

A Прямой угол составляет 90 градусов или 1/4 окружности. Right Angle будет выглядеть следующим образом.

Острый угол — это угол менее 90 градусов. Ниже приведены примеры острых углов

Тупой угол — это угол больше 90 градусов и меньше 180 градусов. Ниже приведены примеры тупых углов.

A Прямой угол — это угол, равный 180 градусам.

Вертикальные углы

При пересечении двух прямых линий они образуют четыре угла.

Предположим, что \ (\ angle A \) равен 65 градусам, \ (\ angle B \) равен 115 градусам, \ (\ angle C \) равен 65 градусам, а \ (\ angle D \) равен 115 градусам

Вы заметили, что противоположные углы равны при измерении? Противоположные углы также называются Вертикальные углы . Когда две прямые линии пересекаются или пересекаются, вертикальных углов равны , всегда равняется . Прямой угол — 180 градусов.

Углы W и X образуют прямую линию, вместе они составляют 180 градусов.

Они также известны как Смежные углы . Смежные углы в сумме составляют 180 градусов. Смежные углы также равны

• \ (\ angle Y \) и \ (\ angle Z \),
• \ (\ angle W \) и \ (\ angle Y \)
• \ (\ угол X \) и \ (\ угол Z \).

Сумма трех углов треугольника всегда составляет 180 градусов.

Линии Z и Y параллельны друг другу. Линия P, пересекающая обе линии, называется Transversal .

\ (\ angle C \) и \ (\ angle F \) называются Alternate Internal Angles ; Они равны по размеру.

\ (\ angle D \) и \ (\ angle E \) также называются Alternate Internal Angles .

Если угол равен 70 градусам, то \ (\ angle P \) будет равен 110 градусам, их сумма равна 180 градусам.

• \ (\ angle P \) и \ (\ angle Q \) — противоположные углы, поэтому они равны 110 градусам, потому что вертикальные углы равны друг другу.
• \ (\ angle P \) и \ (\ angle T \) и соответствующие углы, поэтому оба они равны 110 градусам.
• \ (\ angle W \) равняется 70 градусам, потому что \ (\ angle T \) плюс \ (\ angle W \) должно равняться в сумме 180 градусам.

прямой угол | перевод на китайский: Cambridge Dict.

Примеры прямых углов

прямой угол

Википедия