Cos угла 90 градусов
Таблица косинусов – это записанные в таблицу посчитанные значения косинусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу косинусов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение косинуса от нужного Вам угла, достаточно найти его в таблице или вычислить с помощью калькулятора.
Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.
Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α . Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° – положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.
КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…
| α (радианы) | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | √3π/2 | 2π | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| α (градусы) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| cos α (Косинус) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | -1 | 1 |
| Угол в градусах | Cos (Косинус) |
|---|---|
| 0° | 1 |
| 1° | 0.9998 |
| 2° | 0.9994 |
| 3° | 0.9986 |
| 4° | 0.9976 |
| 5° | 0.9962 |
| 6° | 0.9945 |
| 7° | 0.9925 |
| 8° | 0.9903 |
| 9° | 0.9877 |
| 10° | 0.9848 |
| 11° | 0.9816 |
| 12° | 0.9781 |
| 13° | 0.9744 |
| 14° | 0.9703 |
| 15° | 0.9659 |
| 16° | 0.9613 |
| 17° | 0.9563 |
| 18° | 0.9511 |
| 19° | 0.9455 |
| 20° | 0.9397 |
| 21° | 0.9336 |
| 22° | 0.9272 |
| 23° | 0.9205 |
| 24° | 0.9135 |
| 25° | 0.9063 |
| 26° | 0.8988 |
| 27° | 0.891 |
| 28° | 0.8829 |
| 29° | 0.8746 |
| 30° | 0.866 |
| 31° | 0.8572 |
| 32° | 0.848 |
| 33° | 0.8387 |
| 34° | 0.829 |
| 35° | 0.8192 |
| 36° | 0.809 |
| 37° | 0.7986 |
| 38° | 0.788 |
| 39° | 0.7771 |
| 40° | 0.766 |
| 41° | 0.7547 |
| 42° | 0.7431 |
| 43° | 0.7314 |
| 44° | 0.7193 |
| 45° | 0.7071 |
| 46° | 0.6947 |
| 47° | 0.682 |
| 48° | 0.6691 |
| 49° | 0.6561 |
| 50° | 0.6428 |
| 51° | 0.6293 |
| 52° | 0.6157 |
| 53° | 0.6018 |
| 54° | 0.5878 |
| 55° | 0.5736 |
| 56° | 0.5592 |
| 57° | 0.5446 |
| 58° | 0.5299 |
| 59° | 0.515 |
| 60° | 0.5 |
| 61° | 0.4848 |
| 62° | 0.4695 |
| 63° | 0.454 |
| 64° | 0.4384 |
| 65° | 0.4226 |
| 66° | 0.4067 |
| 67° | 0.3907 |
| 68° | 0.3746 |
| 69° | 0.3584 |
| 70° | 0.342 |
| 71° | 0.3256 |
| 72° | 0.309 |
| 73° | 0.2924 |
| 74° | 0.2756 |
| 75° | 0.2588 |
| 76° | 0.2419 |
| 77° | 0.225 |
| 78° | 0.2079 |
| 79° | 0.1908 |
| 80° | 0.1736 |
| 81° | 0.1564 |
| 82° | 0.1392 |
| 83° | 0.1219 |
| 84° | 0.1045 |
| 85° | 0.0872 |
| 86° | 0.0698 |
| 87° | 0.0523 |
| 88° | 0.0349 |
| 89° | 0.0175 |
| 90° |
| Угол | cos (Косинус) |
|---|---|
| 91° | -0.0175 |
| 92° | -0.0349 |
| 93° | -0.0523 |
| 94° | -0.0698 |
| 95° | -0.0872 |
| 96° | -0.1045 |
| 97° | -0.1219 |
| 98° | -0.1392 |
| 99° | -0.1564 |
| 100° | -0.1736 |
| 101° | -0.1908 |
| 102° | -0.2079 |
| 103° | -0.225 |
| 104° | -0.2419 |
| 105° | -0.2588 |
| 106° | -0.2756 |
| 107° | -0.2924 |
| 108° | -0.309 |
| 109° | -0.3256 |
| 110° | -0.342 |
| 111° | -0.3584 |
| 112° | -0.3746 |
| 113° | -0.3907 |
| 114° | -0.4067 |
| 115° | -0.4226 |
| 116° | -0.4384 |
| 117° | -0.454 |
| 118° | -0.4695 |
| 119° | -0.4848 |
| 120° | -0.5 |
| 121° | -0.515 |
| 122° | -0.5299 |
| 123° | -0.5446 |
| 124° | -0.5592 |
| 125° | -0.5736 |
| 126° | -0.5878 |
| 127° | -0.6018 |
| 128° | -0.6157 |
| 129° | -0.6293 |
| 130° | -0.6428 |
| 131° | -0.6561 |
| 132° | -0.6691 |
| 133° | -0.682 |
| 134° | -0.6947 |
| 135° | -0.7071 |
| 136° | -0.7193 |
| 137° | -0.7314 |
| 138° | -0.7431 |
| 139° | -0.7547 |
| 140° | -0.766 |
| 141° | -0.7771 |
| 142° | -0.788 |
| 143° | -0.7986 |
| 144° | -0.809 |
| 145° | -0.8192 |
| 146° | -0.829 |
| 147° | -0.8387 |
| 148° | -0.848 |
| 149° | -0.8572 |
| 150° | -0.866 |
| 151° | -0.8746 |
| 152° | -0.8829 |
| 153° | -0.891 |
| 154° | -0.8988 |
| 155° | -0.9063 |
| 156° | -0.9135 |
| 157° | -0.9205 |
| 158° | -0.9272 |
| 159° | -0.9336 |
| 160° | -0.9397 |
| 161° | -0.9455 |
| 162° | -0.9511 |
| 163° | -0.9563 |
| 164° | -0.9613 |
| 165° | -0.9659 |
| 166° | -0.9703 |
| 167° | -0.9744 |
| 168° | -0.9781 |
| 169° | -0.9816 |
| 170° | -0.9848 |
| 171° | -0.9877 |
| 172° | -0.9903 |
| 173° | -0.9925 |
| 174° | -0.9945 |
| 175° | -0.9962 |
| 176° | -0.9976 |
| 177° | -0.9986 |
| 178° | -0.9994 |
| 179° | -0.9998 |
| 180° | -1 |
| Угол | cos (косинус) |
|---|---|
| 181° | -0.9998 |
| 182° | -0.9994 |
| 183° | -0.9986 |
| 184° | -0.9976 |
| 185° | -0.9962 |
| 186° | -0.9945 |
| 187° | -0.9925 |
| 188° | -0.9903 |
| 189° | -0.9877 |
| 190° | -0.9848 |
| 191° | -0.9816 |
| 192° | -0.9781 |
| 193° | -0.9744 |
| 194° | -0.9703 |
| 195° | -0.9659 |
| 196° | -0.9613 |
| 197° | -0.9563 |
| 198° | -0.9511 |
| 199° | -0.9455 |
| 200° | -0.9397 |
| 201° | -0.9336 |
| 202° | -0.9272 |
| 203° | -0.9205 |
| 204° | -0.9135 |
| 205° | -0.9063 |
| 206° | -0.8988 |
| 207° | -0.891 |
| 208° | -0.8829 |
| 209° | -0.8746 |
| 210° | -0.866 |
| 211° | -0.8572 |
| 212° | -0.848 |
| 213° | -0.8387 |
| 214° | -0.829 |
| 215° | -0.8192 |
| 216° | -0.809 |
| 217° | -0.7986 |
| 218° | -0.788 |
| 219° | -0.7771 |
| 220° | -0.766 |
| 221° | -0.7547 |
| 222° | -0.7431 |
| 223° | -0.7314 |
| 224° | -0.7193 |
| 225° | -0.7071 |
| 226° | -0.6947 |
| 227° | -0.682 |
| 228° | -0.6691 |
| 229° | -0.6561 |
| 230° | -0.6428 |
| 231° | -0.6293 |
| 232° | -0.6157 |
| 233° | -0.6018 |
| 234° | -0.5878 |
| 235° | -0.5736 |
| 236° | -0.5592 |
| 237° | -0.5446 |
| 238° | -0.5299 |
| 239° | -0.515 |
| 240° | -0.5 |
| 241° | -0.4848 |
| 242° | -0.4695 |
| 243° | -0.454 |
| 244° | -0.4384 |
| 245° | -0.4226 |
| 246° | -0.4067 |
| 247° | -0.3907 |
| 248° | -0.3746 |
| 249° | -0.3584 |
| 250° | -0.342 |
| 251° | -0.3256 |
| 252° | -0.309 |
| 253° | -0.2924 |
| 254° | -0.2756 |
| 255° | -0.2588 |
| 256° | -0.2419 |
| 257° | -0.225 |
| 258° | -0.2079 |
| 259° | -0.1908 |
| 260° | -0.1736 |
| 261° | -0.1564 |
| 262° | -0.1392 |
| 263° | -0.1219 |
| 264° | -0.1045 |
| 265° | -0.0872 |
| 266° | -0.0698 |
| 267° | -0.0523 |
| 268° | -0.0349 |
| 269° | -0.0175 |
| 270° |
| Угол | Cos (Косинус) |
|---|---|
| 271° | 0.0175 |
| 272° | 0.0349 |
| 273° | 0.0523 |
| 274° | 0.0698 |
| 275° | 0.0872 |
| 276° | 0.1045 |
| 277° | 0.1219 |
| 278° | 0.1392 |
| 279° | 0.1564 |
| 280° | 0.1736 |
| 281° | 0.1908 |
| 282° | 0.2079 |
| 283° | 0.225 |
| 284° | 0.2419 |
| 285° | 0.2588 |
| 286° | 0.2756 |
| 287° | 0.2924 |
| 288° | 0.309 |
| 289° | 0.3256 |
| 290° | 0.342 |
| 291° | 0.3584 |
| 292° | 0.3746 |
| 293° | 0.3907 |
| 294° | 0.4067 |
| 295° | 0.4226 |
| 296° | 0.4384 |
| 297° | 0.454 |
| 298° | 0.4695 |
| 299° | 0.4848 |
| 300° | 0.5 |
| 301° | 0.515 |
| 302° | 0.5299 |
| 303° | 0.5446 |
| 304° | 0.5592 |
| 305° | 0.5736 |
| 306° | 0.5878 |
| 307° | 0.6018 |
| 308° | 0.6157 |
| 309° | 0.6293 |
| 310° | 0.6428 |
| 311° | 0.6561 |
| 312° | 0.6691 |
| 313° | 0.682 |
| 314° | 0.6947 |
| 315° | 0.7071 |
| 316° | 0.7193 |
| 317° | 0.7314 |
| 318° | 0.7431 |
| 319° | 0.7547 |
| 320° | 0.766 |
| 321° | 0.7771 |
| 322° | 0.788 |
| 323° | 0.7986 |
| 324° | 0.809 |
| 325° | 0.8192 |
| 326° | 0.829 |
| 327° | 0.8387 |
| 328° | 0.848 |
| 329° | 0.8572 |
| 330° | 0.866 |
| 331° | 0.8746 |
| 332° | 0.8829 |
| 333° | 0.891 |
| 334° | 0.8988 |
| 335° | 0.9063 |
| 336° | 0.9135 |
| 337° | 0.9205 |
| 338° | 0.9272 |
| 339° | 0.9336 |
| 340° | 0.9397 |
| 341° | 0.9455 |
| 342° | 0.9511 |
| 343° | 0.9563 |
| 344° | 0.9613 |
| 345° | 0.9659 |
| 346° | 0.9703 |
| 347° | 0.9744 |
| 348° | 0.9781 |
| 349° | 0.9816 |
| 350° | 0.9848 |
| 351° | 0.9877 |
| 352° | 0.9903 |
| 353° | 0.9925 |
| 354° | 0.9945 |
| 355° | 0.9962 |
| 356° | 0.9976 |
| 357° | 0.9986 |
| 358° | 0.9994 |
| 359° | 0.9998 |
| 360° | 1 |
Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».
Чему равен косинус 30? …
— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866
Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A
Коэффициенты для суммы углов
Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
1. sin(A + B) не является равным sinA + sinB. В этом случае не срабатывает простое раскрытие скобок, как в алгебре.
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).
Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.
Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.
Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)
Нахождение sin(A + B)
Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей.
Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в
знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).
Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).
Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
Нахождение cos(A + B)
Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.
Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.
Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).
Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B
Нахождение tan(A + B)
Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]
Коэффициенты для 75 градусов
Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.
Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения или вы упрщаете выражения сначала или просто пропускаете его! Все зависит от калькулятора: некоторые вычисля.т разницу, некоторые нет!
Коэффициенты углов, больших, чем 90 градусов
До сих пор рассматривалось соотношение острых углов (между 0 и 90 градусами). Другие треугольники с тупым углом (более 90 градусов) и до 180 градусов могут появиться в последующих задачах. Для упрощения классификации углов по размеру, они делятся на сектора (квадранты).
Квадрант есть четвертой частью круга. Так как круг делится на 360 градусов, квадранты имеют по 90 градусов. 0-90 градусов это первый квадрант, 90-180 — второй, 180-270 — третий и 270-360 — четвертый.
Используя линии, обозначающие границы квадранта, 0 или 360 это горизонталь направо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонталь слева и 270 сверху вниз. Теперь, используем этот метод для построения графиков.
Большие углы определяется вектором вращения, начиная с нуля и вращением против часовой стрелки. Горизонтальные элементы х: положительные справа, отрицательные слева. Вертикальные элементы у: положительные вверх, отрицательные вниз. Вращающийся вектор является р. Таким образом, синус угла есть y/r, косинус х/r, и тангенс у/х. Вектор r — всегда положителен. Таким образом, знак отношения может быть вычислен для различных секторов.
Здесь приведены знаки для трех отношений в четырех квадрантах.
Кроме того, как эквивалентный угол в первой четверти «переключается» когда вектор переходит из одного квадранта в другой. В первой четверти, стороны определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. При перемещении к большим углам в остальных секторах, противоположная сторона всегда есть вертикальная (у). То, что называется смежное, всегда есть горизонталью (х). Гипотенуза это всегда вращающийся вектор (r). Вы можете видеть картину как изменяются тригонометрические соотношения для углов.
Отношения в четырех квадрантах
Отношения для различных углов
Теперь у вас есть два пути получить формулы для различных углов. Во-первых, используя геометрическую конструкцию, такую, которая, например, была использована для суммы углов, реверсивную так, что (A — B) есть угол B вычитающийся из угла A.
В рассуждениях, аналогичных тем, которые были использованы для суммы углов, здесь представлены несколько сокращенные формулы для синуса и косинуса:
sin(A — B) = sin A cos B — cos A sin B
and
cos(A — B) = cos A cos B + sin A sin B
Геометрическая конструкция
Формулы суммы и разницы
Второй способ нахождения формулы для разницы углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным. Из нашего исследования знаков для различных секторов, отрицательные углы с 1-го квадранта будут в 4 квадранте. Проводя эту подстановку, получим тот же результат, который был получен геометрически в предыдущем разделе.
Поиск формулы тангенса проходит тем же методом, или заменой синуса и косинуса в формулах или более непосредственно, превращая tg(-B) = — tg B. В любом случае вы получите:
tan(A — B) = [tan A — tan B]/[1 + tan A tan B]
Отношения с помощью четырех секторов
Вы можете вывести несколько отношений с формулами суммы и разности. Вы уже сделали соотношение для 75 градусов. Теперь можно выполнить то же для 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов в 15 градусов интервалы через четыре квадранта. Построив их на 360 градусов, вы можете увидеть, как эти три соотношения изменяются, когда вектор проходит через четыре квадранта.
«Волна» синуса и косинуса колеблется вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены на 90 градусов друг относительно друга. Этот факт станет важным позже.
Кривая тангенса начинается, как синусоида, но вскоре она стремится достичь бесконечности на 90 градусах. Двигаясь » вне видимости» в положительном направлении, она «приходит» с отрицательного направления с другой стороны на 90 градусах. Проходя через точку в 180 градусов, функция тангенса повторяет то, что она «делала» проходя 0 или 360 градусов. На 270 градусах она повторяет то же, было на 90 градусах.
Пифагор в тригонометрии
Формула часто может быть упрощена, так как были найдены выводы формулы тангенса от формул синуса и косинуса, а также изменение ее членов одного отношения к другому отношению, использeущеuj другие члены. При этом, теорема Пифагора, выраженная в тригонометрическом соотношении, очень удобна.
Предположим, что прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 1. Тогда одна из сторон будет иметь длину sinA, а другая — cosA. Отсюда, согласно теореме Пифагора: cos2 A + sin2 A = 1. Это выражение всегда истинно для любого значения A.
Немного о том, как это было записано. Cos2 A означает (cos A)2. Если вы написали это как cos A2, уравнение будет означать что-то другое. A есть число в нескольких угловых значениях, которое представляет угол. A2 было бы то же самое число, возведенное в квадрат. Его значение зависело бы от использованного числового значения, поэтому это не очень хороший член для использования. Это означает квадрат синуса ли косинуса, не сам угол. Формула Пифагора может быть выражена иначе. Например, две другие формы:
cos2 A = 1 — sin2 A, и sin2 = 1 — cos2 A.
Умножение углов
Формулы сумм, вместе с теоремой Пифагора, используются для углов, которые в 2, 3 или больше раз кратны любым оригинальным углам. Здесь приводятся формулы для 2А и 3А.
Формула суммы работает, когда оба угла одинаковые или различны: sin(A + B) или sin(A + A). Однако, sin(A + A) в действительности sin 2A. Поэтому, sin 2A есть sin A cos A + cos A sin A. Оба члена выражения есть одним и тем же произведением, записанным в разном порядке, так что это выражение может быть упрощено до sin 2A = 2 sin A cos A.
Подобным образом, cos 2A = cos A cos A — sin A sin A, что также может быть записано как: cos 2A = cos2 A — sin2 A. Используя теорему Пифагора, изменяем это к виду: cos 2A = 2cos2 A — 1. Наконец, tg 2A = 2 tg A/[1 — tg2 A].
Теперь тройной угол (3А) используется, чтобы показать, как получены следующие кратные углы. В основном, это так же просто, как запись 3A = 2 + A и повторного применения формулы суммы. Но тогда, чтобы получить в результате формулу в работающем виде, необходимо заменить часть 2А, на выражения с простым углом А.
На рисунках внизу вы можете видеть, что с каждым разом вычисления становятся сложнее.
УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ Производные от формул суммы
УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ Соотношения для 3A
Свойства равнобедренного треугольника
Вы уже видели, что прямоугольный треугольник является полезным строительным блоком для других фигур. Равнобедренный треугольник имеет несколько различных видов использования. Дело в том, что его использование основывается на том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равные углы между основанием и боковыми равными сторонами. Перпендикуляр из третьего угла на третью сторону делит ее пополам. Таким образом весь треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.
Любой треугольник, за исключением прямоугольного треугольника, можно разделить на три прилегающих равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и построить перпендикуляры из точек разделения. Там, где любые два из этих перпендикуляров встречаются, если линии тянутся к углам исходного треугольника, три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равностороннего треугольника. Таким образом, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника должен также встретиться в одной точке.
Это утверждение справедливо, как мы покажем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Разница с тупым прямоугольным треугольником в том, что место встречи перпендикуляров лежит снаружи исходного треугольника, а не внутри.
Что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры от средней точки гипотенузы другой стороны будут делить пополам эти две стороны — вы получаете два из трех! Место встречи находится гипотенузе.
Углы в окружности
Основное свойство окружности это то, что ее центр находится на одинаковом расстоянии от любой точки окружности. Это расстояние есть радиусом окружности.
Если вы нарисуете любой треугольник внутри круга, перпендикуляры из средней точки его сторон встретятся в центре окружности а радиусы из углов треугольника делят его на три равнобедренных треугольника
Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A+B, один угол B+C, и один угол A+ C. Три угла в сумме дают 2A + 2B + 2С, а это как известно равно 180 градусов.
В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Поэтому, согласно предыдущего пункта, 180 — 2A должен быть такой же, как и 2B + 2С, например.
Рассмотрим угол правый нижний угол, опирающийся на окружность. Угол в центре равен 2B + 2С. Углом, опирающийся на окружность равен B + C. Вы видите, что для любого сегмента круга, угол в центре всегда в два раза больше угла, опирающегося на окружность.
Утверждение выше приводит к интересным фактам об углах в окружностях. Вместо определения углов со стороной треугольника, используют дугу (часть окружности) круга. Часть окружности, которая определяется углом в центре называется хордой окружности.
Угол в центре в два раза больше чем угол на окружности
Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре. Таким образом, все углы в круге, с основанием на той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Угол на окружности будет равен 60 градусам.
Особый случай представляет собой полукруг (точный полукруг). Угол в центре представляет собой прямую линию (180 градусов). Каждый угол в полукруге равен 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник в полукруге является прямоугольным треугольником.
Определения
Выше мы часто использовали углы, которые дополняют углы до прямого угла (90 градусов) или до двух прямых углов (180 градусов). Когда два угла образовывают угол 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными. Если два угла добавить до 90 градусов (один прямой угол), их называют комплементарными
Вопросы и задачи
1. Синус угла А равен 0,8 и синус угла B равен 0.6. Из различных зависимостей, полученных до сих пор, найдите следующее: тангенс А, тангенс B, синус (A + B), косинус (A + B), синус (A — B), косинус (A — B), тангенс (А + B) и тангенс (A — B) без использования таблиц или тригонометрических клавиш калькулятора.
2.На экваторе Земля имеет радиус 4000 км. Углы вокруг экватора измеряется в меридианах долготы, с линией с севера на юг проходящей через Гринвич (Англия), в качестве нулевого отсчета. Два места используются для наблюдения за луной: первое это Кения, на экваторе 37,5 к востоку от Гринвича, а другой является Суматра, на экваторе к востоку 100,5. Как далеко друг от друга эти два места, если расстояние измерять мнимой прямой, проходящей через Землю?
3.Если бы наблюдения были сделаны горизонтально от точки наблюдения в вопросе 2 (к востоку от первой, к западу от второй), под каким углом была бы линия пересечения наблюдений?
4.В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник. В Кении, высота линии визирования с центром на спутнике составляет 58 градусов выше горизонтали на восток. На Суматре, высота составляет 58 градусов выше горизонтали на запад. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками рассчитанное в вопросе 2.
5. Косинус определенного угла в два раза больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.
6. Синус определенного угла равен именно 0.28. Найдите косинус и тангенс этого угла. Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.
7. Синус определенного угла равен 0.6. Найдите синус углов, больших чем заданный в два и три раза.
8. Найдите синус и косинус угла, большего ровно в два раза чем угол из вопроса 7.
9. Используя 15 градусов, как единичный угол, и формулы для отношения 2А и 3А найдите значения синусов 30 и 45 градусов.
10. Используя 30 градусов, как единичный угол, найти значения синусов 60 и 90 градусов.
11. Используя 45 градусов, как единичный угол, найдите значения тангенсов 60 и 90 градусов.
12. Используя 60 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.
13. Используя 90 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.
14. Используя формулы тангенса для умножения углов и таблицы, найдите тангенсы утроенных углов в 29, 31, 59 и 61 градусов. Посчитайте изменения знака между утроенным углом 29 и 31 градусов и между 59 и 61 градусов.
15. Синус угла составляет 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.
16. Задача сводится к алгебраической выражению вида 8cos2 A + cos A = 3. Решите для косинуса А, и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение придет. Приведите приближенные значения из таблицы или используя калькулятор.
Таблица тангенсов углов, вычислить тангенс угла
Современные определения тригонометрических функций и их символика принадлежат Л. Эйлеру. Хотя еще в 3-м в. до н. э в трудах Архимеда, Евклида и других рассматриваются отношения сторон в прямоугольном треугольнике, что фактически и является тригонометрическими функциями. В переводе с греческого тригонометрия означает «треугольник» и «измеряю» и является разделом математики, изучающим связь между сторонами и углами треугольника. Как нам известно, в прямоугольном треугольнике 2 угла острых, а один является прямым. Стороны треугольника, прилежащие к углу, равному 90 градусов, называются катетами, с сторона напротив прямого угла является гипотенузой. Тангенс представляет собой одну из тригонометрических функций угла. Функцию тангенс для острых углов можно рассматривать как отношение двух катетов: противолежащего к прилежащему.
tg (a)=а/в
где а — катет, противолежащий углу а;
в — прилежащий катет.
Рассчитать тангенс угла
tg (°) =
Таблица тангенсов углов от 0° до 180°
|
|
|
Таблица тангенсов углов от 180° до 360°
|
|
|
Все основные формулы площади прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза
1. Если известны только катеты
a, b — катеты треугольника
Формула площади треугольника через катеты ( S ) :
2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет
c — гипотенуза
a, b — катеты
α, β — острые углы
Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :
Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :
Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если
то справедливы следующие тождества:
3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза
c — гипотенуза
c1, c2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности
r — радиус вписанной окружности
О — центр вписанной окружности
Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :
Как выставить 90 градусов. Египетский треугольник
При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.
Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах и других объектах.
Теорема Пифагора
Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы . В виде формулы записывается это так:
a²+b²=c²
Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза. Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем размечать прямые углы, а также проверять их.
Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5, причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все сходится!
А теперь применим теорему на практике.
Проверка прямого угла
Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности стен. Перпендикулярные стены — это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.
Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250 см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат (умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 — это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали — проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.
Калькулятор расчета диагонали прямого угла
Внимание! Для работы калькулятора необходимо включить поддержку JavaScript в вашем браузере!
Длина a
Длина b
Диагональ c
Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же, не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см. Таким образом, у прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.
Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров не даст отклонения в один целый градус.
Как проверить внешний угол? Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.
Как разметить прямой угол рулеткой
Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или линиями на полу — задача посложнее.
Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах. Картинки увеличиваются по клику!
Как разметить острый угол
Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.
Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.
Кто занимается самостоятельным строительством знает, что до начала постройки сооружения надо своими руками разметить фундамент. Здесь рассмотрен случай начала работ по возведению свайного винтового фундамента на участке по ряду причин садоводческого характера не очищенного от полезных растений. Это затрудняло работы по разметке будущего фундамента, но эти трудности легко были преодолены с помощью простого приспособления по выставлению прямых углов.
Как сделать разметку фундамента своими руками
Обычно разметка фундамента в самостоятельном строительстве делается на глаз при помощи рулетки. Сначала выставляются столбики разметки углов стен на расстояниях длины и ширины будущей постройки. Потом делается замер диагоналей полученного прямоугольника и начинается процесс перестановки двух смежных столбов до выравнивания замеров диагоналей. По основам геометрии прямоугольником является фигура у которой две диагонали равны между собой. Но именно из за посадок замер диагоналей в процессе подгонки и был затруднен. Посадки мешали натянуть рулетку и затеняли лазер дальномера. Но эту трудность можно преодолеть.
1. До начала работ надо обладать минимальными знаниями геометрии и знать решение теоремы Пифагора:). Напомню теорему. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике.
2. Натянем между двумя колышками шнур обозначающий первую стену фундамента. Если сторона фундамента, например, равна 6 метрам, то расстояние между колышками должно быть не меньше 8 метров.
3. Сделаем приспособление для выставления прямого угла на местности. Для этого надо приобрести упаковку обязательно нетянущегося шнура или применить стальной тросик. Всего потребуется около 13 метров шнура.
4. Связываем сложенные вместе концы шнура так, чтобы длина полученной петли равнялась 6 метрам. Точность завязывания и выставления размера важна.
5. Берем перманентный фломастер и от центра узла при помощи рулетки делаем отметки на расстоянии 3 метра в одну сторону и на расстоянии 4 метра в другую сторону. Так мы получили веревочный прямоугольный треугольник. Это изобретение позволит вычислить направление угла 90° простым растягиванием треугольника.
Разметка первой стены Набор для лайфхака Стороны треугольника
6. Для работы на местности нам потребуются тонкие деревянные колышки или куски тонкой арматуры.
7. Устанавливаем один колышек для обозначения угла фундамента на линии разметки сделанной ранее в п.2.
8. Берем веревочный лайфхак. Узел помещаем на колышке обозначающем угол и растягиваем стороны веревочного треугольника вбивая первый колышек на расстоянии 4 метра в разметки стены п.2., перегиб шнура должен быть на метке фломастера 4 метра.
9. Выставляем колышек на метке 3 метра. Одна сторона прямоугольника параллельна разметке первой стены, а вторая сторона указывает направление разметки под углом 90° для второй стены. Теорема Пифагора в действии — смотри фото.
Куски арматуры Колышек основания прямого угла Веревочный треугольник10. Натягиваем разметочный шнур для второй стены, параллельно стороне треугольника.
11. Проводим аналогичные действия для разметки третьей стены.
12. Обозначаем на разметке длины второй и третьей стены и проводим контроль на одном из углов правильности направления четвертой стены. Если длина стены в разметке составила 6 метров и ее направление пересекло точки разметки стен два и три, то можно сказать, что замер диагоналей даст равный результат. Если схождения не получилось, проверьте еще раз правильность установки разметки.
Выставление разметки 2-й стены Шнур второй стеныЭто — древнейшая геометрическая задача .
Пошаговая инструкция
1й способ. — С помощью «золотого», или «египетского», треугольника . Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град . Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.
Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника
- Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров . Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины — «узелок ».
- Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 — 3 узелка».
- Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
- В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
- Затем — снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
- После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
- В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника , со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О .
2й способ. С помощью циркуля .
Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера . См:
Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.
Илл.2. Циркуль-шагомер
Построение – также по Илл.1.
- От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины — но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
- Ставим ногу циркуля в точку О.
- Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра — А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
- Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль .
- Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем — в натянутом состоянии веревки, две дуги — так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
- Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
- Все! Полученный отрезок, или прямая, — есть точное направление на север:). Простите, — на прямой угол .
- На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
- Поставьте на углу О колышек, а в точке C — временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.
Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля
Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного . Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.
- Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой — в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.
Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки
- Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности — контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..
Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.
Откосы под 90 градусов
[ Нажмите на фото
для увеличения ]
Вероятнее всего — углы далеки от идеала. Как же выставить маяки так, чтобы все углы помещения были 90 градусов? А всё проще простого.
Вам из дополнительных инструментов потребуется лишь угольник. Рассмотрим весь технологический процесс более подробно. Разметьте одну стену под маяки. Просверлите отверстия под саморезы. Вставьте саморезы по дереву в распорные пластмассовые дюбеля, которые вы предварительно вставили в просверленные отверстия.
Выставите их по уровню. Оштукатурьте эту стену. Для чего? У вас тогда будет готова одна плоскость, от которой вы будете выставлять 90 градусов для примыкающих к ней двух стен. На одной из стен, которые примыкают к оштукатуренной плоскости, рядом с углом, отметьте вертикальную линию.
Просверлите отверстия в ней для дюбелей. Вставьте в эти отверстия дюбеля. Вкрутите саморезы. Теперь надо выставить саморезы линии по уровню. Берите угольник. Маленькой стороной прикладывайте к готовой поверхности стены, а длинной стороной на один из выставленных саморезов.
Отметьте линию, чтобы она не выходила за пределы стороны угольника. Потом рисуйте вертикальную линию по отмеченной линии. Просверлите отверстия на линии параллельно саморезам на первой вертикальной линии, которые уже выставлены по уровню. Вкрутите саморезы. Далее.
Приложите угольник к оштукатуренной поверхности и на саморез первой линии. Смотрите, что получилось. Если саморез второй линии не касается угольника, подкрутите его отвёрткой до того момента, чтобы саморез коснулся угольника. Так выставляйте все саморезы второй линии. Теперь у вас получилась ровная линия по уровню и с углом 90 градусов.
Размечайте далее всю стену линиями для маяков и выставляйте на них саморезы. Только саморезы должны находиться на одной горизонтальной линии с саморезами первой и второй линии. Берите правило и приложите его к двум саморезам первой и второй линии горизонтально. Смотрите на саморез третьей линии. Подкрутите его отвёрткой до правила. Так выставляйте все саморезы.
Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм.
Потом переходите дальше. Как выставите маяки на этой стене — оштукатуривайте её. И снова выставляйте маяки. Когда вы оштукатурите все стены, шпателем широким зачистите углы от лишнего раствора. Углы должны быть ровными и чистыми. Ваши углы будут ровно 90 градусов — это гарантировано.
На внешние углы обязательно ставьте перфорированный уголок. По уровню, разумеется. Справа и слева от уголка нанесите жидкий слой штукатурки. Протяните его большим правилом. Роль маяка сыграет уголок, а роль второго маяка — конец самого правила. Это сделает ваши стены идеально ровными.
Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм. Старайтесь, чтобы было меньше ям и царапин. Тогда шпаклевать будет намного легче и расход шпаклёвки будет минимальный. В ванной комнате и туалете маяки извлекать не стоит. Да и жидким слоем проходить не надо. Там ведь всё равно будет плитка.
Если у вас в санузле будут углы 90 градусов, то плитка будет смотреться просто изумительно. Потому что идеальные углы — это красиво. Обои или краска на стенах помещения с идеально ровными углами также будут выглядеть идеально, без погрешностей.
Технологии
Техника сграффито – шаг к совершенству вашего интерьера
В последнее время очень часто в качестве отделки стала применяться цветная декоративная штукатурка, которая прекрасно подходит для отделки фасадов зданий и различных элементов архитектуры
Шелковая штукатурка – изюминка в дизайне помещений
Многие дизайнеры в последнее время часто используют шелковые штукатурки для отделки стен. Что они собой представляют? Разберемся в чем их красота и изюминка?
Штукатурка: виды, назначение, техника работы
Штукатурка – материал, предназначенный для ведения строительных работ. Технология нанесения штукатурки подобна технологии для шпатлевок за небольшим отличием – штукатурка не шлифуется абразивными материалами
Штукатурка поверхностей машинным способом – преимущества
Штукатурка стен — один из важных этапов отделки помещения. При незначительных объемах работ штукатурку наносят вручную, а на объектах более 300 м2 требуется машинное нанесение штукатурки
Подготовка поверхности к оштукатуриванию
Штукатурка считается основной работой выравнивания поверхности, а также является подготовкой для очередного этапа ремонта. Сама технология оштукатуривания тоже нуждается в подготовительном этапе
К ачественный ремонт и отделка подразумевает хорошую геометрию помещения. Без выверенной геометрии, хотя бы в самых нужных местах, хороший ремонт сделать не удастся. Здесь я расскажу как сделать угол 90 градусов между стенами своими руками и о том, где он действительно необходим. Так же можно почитать статью по ссылке → и как проверить правильность геометрии, и что будет если геометрия нарушена.
Содержание:
1.
2.
2.1
2.2
3.
4.
5.
5.1
6.
7.
Где нужен угол 90 градусов между стенами
Углы под 90 градусов в основном везде по квартире не выводятся. В эконом-ремонтах, да и в большинстве евро-ремонтах, выведенные в 90 градусов углы необходимы лишь в двух местах:
- в том углу, где будет висеть/стоять кухонная мебель,
- и в ванной комнате, где будет стоять сама ванна, в двух смежных углах (или в одном, если душевая кабина стоит в углу). Или по всем 4-м углам ванной, поскольку там будут стоять раковина, стиральная машина и т.п.
В остальных случаях — всё на желание заказчика или человека, осуществляющего ремонт своими силами.
Чем проверять и выставлять углы
Угол легко проверить строительным угольником, можно приобрести в магазине, если собираетесь выводить углы, он будет вам необходим.
Просто прислоняем угольник к внутреннему углу. Наружные углы мы пока рассматривать не будем, ради понимания самого процесса. После понимания как выравнивать внутренние углы под 90 градусов своими руками, внешние для вас проблем не составят.
Смотрим, что получается. Если всё нормально, зазоров между угольником нет, то расслабьтесь. Если зазор превышает 5 мм, то следует насторожиться и узнать как выровнять такой угол в прямой, что бы и ванна и шкафы висели хорошо. Дело в том, что зазор в 5 мм под небольшим, пускай полуметровым (в длину хотя бы одной грани) угольником, на всю длину стены оказывается довольно крупным и в конце стены может достичь и 5 см.
Делаем угольник самостоятельно
Угольник можно соорудить и самостоятельно, причём любого размера. Удобнее всего делать такой угольник из гипсокартонных профилей 27*28 мм (жёстких или полужёстких).
Пользуемся пра́вилом египетского треугольника, при котором: если катеты угла равны 3 и 4 частям, а гипотенуза 5 частям, то угол будет прямоугольным (прямой угол между катетами).
Надрезаем и сгибаем нужной длины профиль посредине (стороны нашего угольника не обязательно должны быть равны 3 и 4 определённым нами частям, пра́вило нужно лишь для того, чтобы сделать прямой угол). Сгибаем, принимаем за 1 часть, к примеру, 30 см. Чем больше вы сделаете часть, тем «прямее» получится угол.
SIN (функция SIN)
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает синус заданного угла.
Синтаксис
SIN(число)
Аргументы функции SIN описаны ниже.
Замечание
Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|---|---|---|
|
=SIN(ПИ()) |
Синус пи радиан (0, приблизительно). |
0,0 |
|
=SIN(ПИ()/2) |
Синус пи/2 радиан. |
1,0 |
|
=SIN(30*ПИ()/180) |
Синус угла 30 градусов. |
0,5 |
|
=SIN(РАДИАНЫ(30)) |
Синус 30 градусов. |
0,5 |
тригонометрии — Почему косинус прямого угла 90 градусов равен нулю?
В ваших рассуждениях есть ошибка. При выполнении тригонометрии (классическим способом) мы рассматриваем прямоугольный треугольник. Значение $ \ cos (\ alpha) $ обычно определяется как отношение $ \ frac {\ text {смежная сторона}} {\ text {hypotenuse}}. $ Это определение, однако, является неполным и не может быть найдено как это, например, в голландских школьных учебниках. В голландских школьных книгах написано что-то вроде: $$ \ cos (\ alpha) = \ frac {\ text {aanliggende $ \ color {red} {\ text {rechthoeks}} $ zijde}} {\ text {hypotenusa}}.\ circ) $ можно «наблюдать» только в треугольнике с двумя прямыми углами. Вы можете интерпретировать это по-разному: вырожденный треугольник с одной вершиной в бесконечно удаленной точке; предел $ \ lim_ {h \ to \ infty} \ frac {\ text {a}} {\ text {h}} $; возможно каким-то другим способом.
В любом случае ключевой момент здесь такой:
При выполнении классической тригонометрии, в нормальном случае, но определенно и в «крайних» случаях, вам необходимо определить смежную сторону и противоположную сторону таким образом, чтобы ни одна из них никогда не могла быть гипотенузой.\ circ $, тогда $ C $ окажется ниже $ B $ вместо верхнего, и мы считаем «противоположность» и «гипотенузу» отрицательными.
Sin 90 градусов — значение, расчет, формула, методы
Sin 90 градусов
Тригонометрия — это исследование связи между измерениями углов прямоугольного треугольника и длиной сторон треугольника. Строители широко используют тригонометрию для измерения высоты и расстояния до здания с его точки обзора. Он также используется учащимися для решения вопросов на основе тригонометрии.Наиболее широко используемые тригонометрические отношения — это синус, косинус и тангенс. Углы прямоугольного треугольника вычисляются с помощью основных функций, таких как sin, косинус и загар. Другие функции, такие как cosec, cot и secant, являются производными от основных функций. Здесь мы изучим значение sin 90 градусов и то, как разные значения будут выводиться вместе с другими градусами.
Значение Sin 90
\ [Sin90 {\ text {}} value = 1 \]
Как мы знаем, с различными тригонометрическими функциями связаны разные степени.Широко используются градусы: 0 °, 30 °, 45 °, 90 °, 60 °, 180 ° и 360 °. Мы определим sin 90 градусов через нижний прямоугольный треугольник ABC и с использованием как смежных, так и противоположных сторон треугольника и интересующего угла.
Три стороны треугольника:
Противоположная сторона также известна как перпендикулярная и находится напротив интересующего угла.
Смежная сторона — Точка, где обе противоположные стороны и гипотенуза встречаются в прямоугольном треугольнике, называется смежной стороной.
Гипотенуза = -самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Поскольку наш интересующий угол — это Sin 90. Соответственно, функция Sin угла или Sin 90 градусов будет равна отношению длины противоположной стороны к длине стороны гипотенузы.
Формула Sin 90
\ [Sin90 {\ text {}} Значение {\ text {}} = \ frac {{Противоположная {\ text {}} сторона}} {{Гипотенуза {\ text {}} сторона}} . \]
Метод получения значения Sin 90 градусов
Давайте вычислим значение Sin 90 градусов через единичную окружность.Круг, нарисованный ниже, имеет радиус 1 единицу, а центр круга — это место в начале координат.
Как мы знаем, функция синуса равна отношению длины противоположной стороны или перпендикуляра к длине гипотенузы с учетом измерения смежной стороны единицы x и перпендикуляра единицы y под прямым углом. треугольник. Мы можем получить значение Sinϴ с помощью наших знаний тригонометрии и рисунка, приведенного выше.
Следовательно, \ [\ sin \ theta = \ frac {1} {y} \]
Теперь мы измерим угол от первого квадранта до точки, до которой он достигает положительной оси «y» i.2} x = 1 \]
\ [\ sin \ left ({- x} \ right) = — \ sin x \]
\ [\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x \]
Аналогично , мы можем получить другие значения степени Sin, такие как O °, 30 °, 45 °, 90 °, 60 °, 180 ° и 360 °.
Здесь, в таблице ниже, вы можете найти значения синуса для разных углов, а также различные другие тригонометрические соотношения.
Значение коэффициентов тригонометрии
Углы в градусах
0
30
45
60
0
Sin
0
\ [\ frac {1} {2} \]
\ [\ frac {1} {{\ sqrt 2}} \]
\ [\ frac {{\ sqrt 3}} {2} \]
1
Cos
1
\ [\ frac {{\ sqrt 3}} {2} \]
\ [\ frac {1} {{\ sqrt 2}} \]
\ [\ frac {1} {2} \]
0
Тан
0
\ [\ frac {1} {{\ sqrt 3}} \]
1
\ [\ sqrt 3 \] 9 0009
Не определено
Cosec
Не определено
2
\ [\ sqrt 2 \]
\ [\ frac {2} {{\ sqrt 3}} \]
1
Сек. O}} \ right) = \ frac {1} {2} \ ]
Теперь подставляем значения: —
\ [= 1 + 1 + 1 + \ frac {1} {2} \]
\ [= 3 + \ frac {1} {2} \]
= 3.5
Интересные факты
Обратный грех обозначается как Sin-1, его также можно записать как arcsin или asine
Гиппарх известен как отец тригонометрии. Он также обнаружил значения дуги и хорды для ряда углов.
Время опроса
1. Если x и y считаются дополнительными углами, то
a. Sin x = Sin y
б. Желто-коричневый x = Желто-коричневый y
c. Cos x = Cos y
d.Sec x = Cosec y