Угол 90 градусов как вычислить: Как найти угол 90 градусов с помощью рулетки: три способа без погрешностей

Cos угла 90 градусов

Таблица косинусов – это записанные в таблицу посчитанные значения косинусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу косинусов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение косинуса от нужного Вам угла, достаточно найти его в таблице или вычислить с помощью калькулятора.

Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.

Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α . Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° – положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.

КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
α (радианы)π/6π/4π/3π/2π3π/2
α (градусы)30°45°60°90°180°270°360°
cos α (Косинус)13/22/21/2-11
Полная таблица косинусов для углов от 0° до 360°
Угол в градусахCos (Косинус)
1
0.9998
0.9994
0.9986
0.9976
0.9962
0.9945
0.9925
0.9903
0.9877
10°0.9848
11°0.9816
12°0.9781
13°0.9744
14°0.9703
15°0.9659
16°0.9613
17°0.9563
18°0.9511
19°0.9455
20°0.9397
21°0.9336
22°0.9272
23°0.9205
24°0.9135
25°0.9063
26°0.8988
27°0.891
28°0.8829
29°0.8746
30°0.866
31°0.8572
32°0.848
33°0.8387
34°0.829
35°0.8192
36°0.809
37°0.7986
38°0.788
39°0.7771
40°0.766
41°0.7547
42°0.7431
43°0.7314
44°0.7193
45°0.7071
46°0.6947
47°0.682
48°0.6691
49°0.6561
50°0.6428
51°0.6293
52°0.6157
53°0.6018
54°0.5878
55°0.5736
56°0.5592
57°0.5446
58°0.5299
59°0.515
60°0.5
61°0.4848
62°0.4695
63°0.454
64°0.4384
65°0.4226
66°0.4067
67°0.3907
68°0.3746
69°0.3584
70°0.342
71°0.3256
72°0.309
73°0.2924
74°0.2756
75°0.2588
76°0.2419
77°0.225
78°0.2079
79°0.1908
80°0.1736
81°0.1564
82°0.1392
83°0.1219
84°0.1045
85°0.0872
86°0.0698
87°0.0523
88°0.0349
89°0.0175
90°
Таблица косинусов для углов от 91° до 180°
Уголcos (Косинус)
91°-0.0175
92°-0.0349
93°-0.0523
94°-0.0698
95°-0.0872
96°-0.1045
97°-0.1219
98°-0.1392
99°-0.1564
100°-0.1736
101°-0.1908
102°-0.2079
103°-0.225
104°-0.2419
105°-0.2588
106°-0.2756
107°-0.2924
108°-0.309
109°-0.3256
110°-0.342
111°-0.3584
112°-0.3746
113°-0.3907
114°-0.4067
115°-0.4226
116°-0.4384
117°-0.454
118°-0.4695
119°-0.4848
120°-0.5
121°-0.515
122°-0.5299
123°-0.5446
124°-0.5592
125°-0.5736
126°-0.5878
127°-0.6018
128°-0.6157
129°-0.6293
130°-0.6428
131°-0.6561
132°-0.6691
133°-0.682
134°-0.6947
135°-0.7071
136°-0.7193
137°-0.7314
138°-0.7431
139°-0.7547
140°-0.766
141°-0.7771
142°-0.788
143°-0.7986
144°-0.809
145°-0.8192
146°-0.829
147°-0.8387
148°-0.848
149°-0.8572
150°-0.866
151°-0.8746
152°-0.8829
153°-0.891
154°-0.8988
155°-0.9063
156°-0.9135
157°-0.9205
158°-0.9272
159°-0.9336
160°-0.9397
161°-0.9455
162°-0.9511
163°-0.9563
164°-0.9613
165°-0.9659
166°-0.9703
167°-0.9744
168°-0.9781
169°-0.9816
170°-0.9848
171°-0.9877
172°-0.9903
173°-0.9925
174°-0.9945
175°-0.9962
176°-0.9976
177°-0.9986
178°-0.9994
179°-0.9998
180°-1
Таблица косинусов для углов от 180° до 270°
Уголcos (косинус)
181°-0.9998
182°-0.9994
183°-0.9986
184°-0.9976
185°-0.9962
186°-0.9945
187°-0.9925
188°-0.9903
189°-0.9877
190°-0.9848
191°-0.9816
192°-0.9781
193°-0.9744
194°-0.9703
195°-0.9659
196°-0.9613
197°-0.9563
198°-0.9511
199°-0.9455
200°-0.9397
201°-0.9336
202°-0.9272
203°-0.9205
204°-0.9135
205°-0.9063
206°-0.8988
207°-0.891
208°-0.8829
209°-0.8746
210°-0.866
211°-0.8572
212°-0.848
213°-0.8387
214°-0.829
215°-0.8192
216°-0.809
217°-0.7986
218°-0.788
219°-0.7771
220°-0.766
221°-0.7547
222°-0.7431
223°-0.7314
224°-0.7193
225°-0.7071
226°-0.6947
227°-0.682
228°-0.6691
229°-0.6561
230°-0.6428
231°-0.6293
232°-0.6157
233°-0.6018
234°-0.5878
235°-0.5736
236°-0.5592
237°-0.5446
238°-0.5299
239°-0.515
240°-0.5
241°-0.4848
242°-0.4695
243°-0.454
244°-0.4384
245°-0.4226
246°-0.4067
247°-0.3907
248°-0.3746
249°-0.3584
250°-0.342
251°-0.3256
252°-0.309
253°-0.2924
254°-0.2756
255°-0.2588
256°-0.2419
257°-0.225
258°-0.2079
259°-0.1908
260°-0.1736
261°-0.1564
262°-0.1392
263°-0.1219
264°-0.1045
265°-0.0872
266°-0.0698
267°-0.0523
268°-0.0349
269°-0.0175
270°
Таблица косинусов для углов от 270° до 360°
УголCos (Косинус)
271°0.0175
272°0.0349
273°0.0523
274°0.0698
275°0.0872
276°0.1045
277°0.1219
278°0.1392
279°0.1564
280°0.1736
281°0.1908
282°0.2079
283°0.225
284°0.2419
285°0.2588
286°0.2756
287°0.2924
288°0.309
289°0.3256
290°0.342
291°0.3584
292°0.3746
293°0.3907
294°0.4067
295°0.4226
296°0.4384
297°0.454
298°0.4695
299°0.4848
300°0.5
301°0.515
302°0.5299
303°0.5446
304°0.5592
305°0.5736
306°0.5878
307°0.6018
308°0.6157
309°0.6293
310°0.6428
311°0.6561
312°0.6691
313°0.682
314°0.6947
315°0.7071
316°0.7193
317°0.7314
318°0.7431
319°0.7547
320°0.766
321°0.7771
322°0.788
323°0.7986
324°0.809
325°0.8192
326°0.829
327°0.8387
328°0.848
329°0.8572
330°0.866
331°0.8746
332°0.8829
333°0.891
334°0.8988
335°0.9063
336°0.9135
337°0.9205
338°0.9272
339°0.9336
340°0.9397
341°0.9455
342°0.9511
343°0.9563
344°0.9613
345°0.9659
346°0.9703
347°0.9744
348°0.9781
349°0.9816
350°0.9848
351°0.9877
352°0.9903
353°0.9925
354°0.9945
355°0.9962
356°0.9976
357°0.9986
358°0.9994
359°0.9998
360°1

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен косинус 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866

Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A

Коэффициенты для суммы углов

Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
1. sin(A + B) не является равным sinA + sinB. В этом случае не срабатывает простое раскрытие скобок, как в алгебре.
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).

Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.

Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.

Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)

Нахождение sin(A + B)

Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей. Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).

Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Нахождение cos(A + B)

Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.

Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.

Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).

Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
            cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B

Нахождение tan(A + B)

Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
      tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
            tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]

Коэффициенты для 75 градусов

Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.


Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения или вы упрщаете выражения сначала или просто пропускаете его! Все зависит от калькулятора: некоторые вычисля.т разницу, некоторые нет!

Коэффициенты углов, больших, чем 90 градусов

До сих пор рассматривалось соотношение острых углов (между 0 и 90 градусами). Другие треугольники с тупым углом (более 90 градусов) и до 180 градусов могут появиться в последующих задачах. Для упрощения классификации углов по размеру, они делятся на сектора (квадранты).

Квадрант есть четвертой частью круга. Так как круг делится на 360 градусов, квадранты имеют по 90 градусов. 0-90 градусов это первый квадрант, 90-180 — второй, 180-270 — третий и 270-360 — четвертый.

Используя линии, обозначающие границы квадранта, 0 или 360 это горизонталь направо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонталь слева и 270 сверху вниз. Теперь, используем этот метод для построения графиков.

Большие углы определяется вектором вращения, начиная с нуля и вращением против часовой стрелки. Горизонтальные элементы х: положительные справа, отрицательные слева. Вертикальные элементы у: положительные вверх, отрицательные вниз. Вращающийся вектор является р. Таким образом, синус угла есть y/r, косинус х/r, и тангенс у/х. Вектор r — всегда положителен. Таким образом, знак отношения может быть вычислен для различных секторов.

Здесь приведены знаки для трех отношений в четырех квадрантах. Кроме того, как эквивалентный угол в первой четверти «переключается» когда вектор переходит из одного квадранта в другой. В первой четверти, стороны определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. При перемещении к большим углам в остальных секторах, противоположная сторона всегда есть вертикальная (у). То, что называется смежное, всегда есть горизонталью (х). Гипотенуза это всегда вращающийся вектор (r). Вы можете видеть картину как изменяются тригонометрические соотношения для углов.

Отношения в четырех квадрантах

Отношения для различных углов

Теперь у вас есть два пути получить формулы для различных углов. Во-первых, используя геометрическую конструкцию, такую, которая, например, была использована для суммы углов, реверсивную так, что (A — B) есть угол B вычитающийся из угла A.

В рассуждениях, аналогичных тем, которые были использованы для суммы углов, здесь представлены несколько сокращенные формулы для синуса и косинуса:
        sin(A — B) = sin A cos B — cos A sin B
and
        cos(A — B) = cos A cos B + sin A sin B
      Геометрическая конструкция

Формулы суммы и разницы

Второй способ нахождения формулы для разницы углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным. Из нашего исследования знаков для различных секторов, отрицательные углы с 1-го квадранта будут в 4 квадранте. Проводя эту подстановку, получим тот же результат, который был получен геометрически в предыдущем разделе.

Поиск формулы тангенса проходит тем же методом, или заменой синуса и косинуса в формулах или более непосредственно, превращая tg(-B) = — tg B. В любом случае вы получите:
          tan(A — B) = [tan A — tan B]/[1 + tan A tan B]

Отношения с помощью четырех секторов

Вы можете вывести несколько отношений с формулами суммы и разности. Вы уже сделали соотношение для 75 градусов. Теперь можно выполнить то же для 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов в 15 градусов интервалы через четыре квадранта. Построив их на 360 градусов, вы можете увидеть, как эти три соотношения изменяются, когда вектор проходит через четыре квадранта.

«Волна» синуса и косинуса колеблется вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены на 90 градусов друг относительно друга. Этот факт станет важным позже.

Кривая тангенса начинается, как синусоида, но вскоре она стремится достичь бесконечности на 90 градусах. Двигаясь » вне видимости» в положительном направлении, она «приходит» с отрицательного направления с другой стороны на 90 градусах. Проходя через точку в 180 градусов, функция тангенса повторяет то, что она «делала» проходя 0 или 360 градусов. На 270 градусах она повторяет то же, было на 90 градусах.

Пифагор в тригонометрии

Формула часто может быть упрощена, так как были найдены выводы формулы тангенса от формул синуса и косинуса, а также изменение ее членов одного отношения к другому отношению, использeущеuj другие члены. При этом, теорема Пифагора, выраженная в тригонометрическом соотношении, очень удобна.

Предположим, что прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 1. Тогда одна из сторон будет иметь длину sinA, а другая — cosA. Отсюда, согласно теореме Пифагора: cos2 A + sin2 A = 1. Это выражение всегда истинно для любого значения A.

Немного о том, как это было записано. Cos2 A означает (cos A)2. Если вы написали это как cos A2, уравнение будет означать что-то другое. A есть число в нескольких угловых значениях, которое представляет угол. A2 было бы то же самое число, возведенное в квадрат. Его значение зависело бы от использованного числового значения, поэтому это не очень хороший член для использования. Это означает квадрат синуса ли косинуса, не сам угол.

Формула Пифагора может быть выражена иначе. Например, две другие формы:
cos2 A = 1 — sin2 A, и sin2 = 1 — cos2 A.

Умножение углов

Формулы сумм, вместе с теоремой Пифагора, используются для углов, которые в 2, 3 или больше раз кратны любым оригинальным углам. Здесь приводятся формулы для 2А и 3А.

Формула суммы работает, когда оба угла одинаковые или различны: sin(A + B) или sin(A + A). Однако, sin(A + A) в действительности sin 2A. Поэтому, sin 2A есть sin A cos A + cos A sin A. Оба члена выражения есть одним и тем же произведением, записанным в разном порядке, так что это выражение может быть упрощено до sin 2A = 2 sin A cos A.

Подобным образом, cos 2A = cos A cos A — sin A sin A, что также может быть записано как: cos 2A = cos2 A — sin2 A. Используя теорему Пифагора, изменяем это к виду: cos 2A = 2cos2 A — 1. Наконец, tg 2A = 2 tg A/[1 — tg2 A].

Теперь тройной угол (3А) используется, чтобы показать, как получены следующие кратные углы. В основном, это так же просто, как запись 3A = 2 + A и повторного применения формулы суммы. Но тогда, чтобы получить в результате формулу в работающем виде, необходимо заменить часть 2А, на выражения с простым углом А.

На рисунках внизу вы можете видеть, что с каждым разом вычисления становятся сложнее.

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Производные от формул суммы

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Соотношения для 3A

Свойства равнобедренного треугольника

Вы уже видели, что прямоугольный треугольник является полезным строительным блоком для других фигур. Равнобедренный треугольник имеет несколько различных видов использования. Дело в том, что его использование основывается на том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равные углы между основанием и боковыми равными сторонами. Перпендикуляр из третьего угла на третью сторону делит ее пополам. Таким образом весь треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.

Любой треугольник, за исключением прямоугольного треугольника, можно разделить на три прилегающих равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и построить перпендикуляры из точек разделения. Там, где любые два из этих перпендикуляров встречаются, если линии тянутся к углам исходного треугольника, три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равностороннего треугольника. Таким образом, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника должен также встретиться в одной точке.

Это утверждение справедливо, как мы покажем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Разница с тупым прямоугольным треугольником в том, что место встречи перпендикуляров лежит снаружи исходного треугольника, а не внутри.

Что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры от средней точки гипотенузы другой стороны будут делить пополам эти две стороны — вы получаете два из трех! Место встречи находится гипотенузе.

Углы в окружности

Основное свойство окружности это то, что ее центр находится на одинаковом расстоянии от любой точки окружности. Это расстояние есть радиусом окружности.

Если вы нарисуете любой треугольник внутри круга, перпендикуляры из средней точки его сторон встретятся в центре окружности а радиусы из углов треугольника делят его на три равнобедренных треугольника

Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A+B, один угол B+C, и один угол A+ C. Три угла в сумме дают 2A + 2B + 2С, а это как известно равно 180 градусов.

В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Поэтому, согласно предыдущего пункта, 180 — 2A должен быть такой же, как и 2B + 2С, например.

Рассмотрим угол правый нижний угол, опирающийся на окружность. Угол в центре равен 2B + 2С. Углом, опирающийся на окружность равен B + C. Вы видите, что для любого сегмента круга, угол в центре всегда в два раза больше угла, опирающегося на окружность.

Утверждение выше приводит к интересным фактам об углах в окружностях. Вместо определения углов со стороной треугольника, используют дугу (часть окружности) круга. Часть окружности, которая определяется углом в центре называется хордой окружности.

Угол в центре в два раза больше чем угол на окружности

Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре. Таким образом, все углы в круге, с основанием на той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Угол на окружности будет равен 60 градусам.

Особый случай представляет собой полукруг (точный полукруг). Угол в центре представляет собой прямую линию (180 градусов). Каждый угол в полукруге равен 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник в полукруге является прямоугольным треугольником.

Определения

Выше мы часто использовали углы, которые дополняют углы до прямого угла (90 градусов) или до двух прямых углов (180 градусов). Когда два угла образовывают угол 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными. Если два угла добавить до 90 градусов (один прямой угол), их называют комплементарными

Вопросы и задачи

1. Синус угла А равен 0,8 и синус угла B равен 0.6. Из различных зависимостей, полученных до сих пор, найдите следующее: тангенс А, тангенс B, синус (A + B), косинус (A + B), синус (A — B), косинус (A — B), тангенс (А + B) и тангенс (A — B) без использования таблиц или тригонометрических клавиш калькулятора.

2.На экваторе Земля имеет радиус 4000 км. Углы вокруг экватора измеряется в меридианах долготы, с линией с севера на юг проходящей через Гринвич (Англия), в качестве нулевого отсчета. Два места используются для наблюдения за луной: первое это Кения, на экваторе 37,5 к востоку от Гринвича, а другой является Суматра, на экваторе к востоку 100,5. Как далеко друг от друга эти два места, если расстояние измерять мнимой прямой, проходящей через Землю?

3.Если бы наблюдения были сделаны горизонтально от точки наблюдения в вопросе 2 (к востоку от первой, к западу от второй), под каким углом была бы линия пересечения наблюдений?

4.В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник. В Кении, высота линии визирования с центром на спутнике составляет 58 градусов выше горизонтали на восток. На Суматре, высота составляет 58 градусов выше горизонтали на запад. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками рассчитанное в вопросе 2.

5. Косинус определенного угла в два раза больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

6. Синус определенного угла равен именно 0.28. Найдите косинус и тангенс этого угла. Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

7. Синус определенного угла равен 0.6. Найдите синус углов, больших чем заданный в два и три раза.

8. Найдите синус и косинус угла, большего ровно в два раза чем угол из вопроса 7.

9. Используя 15 градусов, как единичный угол, и формулы для отношения 2А и 3А найдите значения синусов 30 и 45 градусов.

10. Используя 30 градусов, как единичный угол, найти значения синусов 60 и 90 градусов.

11. Используя 45 градусов, как единичный угол, найдите значения тангенсов 60 и 90 градусов.

12. Используя 60 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.

13. Используя 90 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.

14. Используя формулы тангенса для умножения углов и таблицы, найдите тангенсы утроенных углов в 29, 31, 59 и 61 градусов. Посчитайте изменения знака между утроенным углом 29 и 31 градусов и между 59 и 61 градусов.

15. Синус угла составляет 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.

16. Задача сводится к алгебраической выражению вида 8cos2 A + cos A = 3. Решите для косинуса А, и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение придет. Приведите приближенные значения из таблицы или используя калькулятор.

Таблица тангенсов углов, вычислить тангенс угла

Современные определения тригонометрических функций и их символика принадлежат Л. Эйлеру. Хотя еще в 3-м в. до н. э в трудах Архимеда, Евклида и других рассматриваются отношения сторон в прямоугольном треугольнике, что фактически и является тригонометрическими функциями. В переводе с греческого тригонометрия означает «треугольник» и «измеряю» и является разделом математики, изучающим связь между сторонами и углами треугольника. Как нам известно, в прямоугольном треугольнике 2 угла острых, а один является прямым. Стороны треугольника, прилежащие к углу, равному 90 градусов, называются катетами, с сторона напротив прямого угла является гипотенузой. Тангенс представляет собой одну из тригонометрических функций угла. Функцию тангенс для острых углов можно рассматривать как отношение двух катетов: противолежащего к прилежащему.

tg (a)=а/в

где а — катет, противолежащий углу а;
в — прилежащий катет.

Тангенс заданного угла можно определить, воспользовавшись таблицей Брадиса, где помещены тригонометрические функции всех углов. Если в задаче известна величина угла и одна из сторон треугольника, будет несложно определить остальные его стороны и углы. С помощью онлайн калькулятора ваши расчеты будут более быстрыми и правильными.

Рассчитать тангенс угла

tg (°) = 

Таблица тангенсов углов от 0° до 180°

tg (1°)0.0175
tg (2°)0.0349
tg (3°)0.0524
tg (4°)0.0699
tg (5°)0.0875
tg (6°)0.1051
tg (7°)0.1228
tg (8°)0.1405
tg (9°)0.1584
tg (10°)0.1763
tg (11°)0.1944
tg (12°)0.2126
tg (13°)0.2309
tg (14°)0.2493
tg (15°)0.2679
tg (16°)0.2867
tg (17°)0.3057
tg (18°)0.3249
tg (19°)0.3443
tg (20°)0.364
tg (21°)0.3839
tg (22°)0.404
tg (23°)0.4245
tg (24°)0.4452
tg (25°)0.4663
tg (26°)0.4877
tg (27°)0.5095
tg (28°)0.5317
tg (29°)0.5543
tg (30°)0.5774
tg (31°)0.6009
tg (32°)0.6249
tg (33°)0.6494
tg (34°)0.6745
tg (35°)0.7002
tg (36°)0.7265
tg (37°)0.7536
tg (38°)0.7813
tg (39°)0.8098
tg (40°)0.8391
tg (41°)0.8693
tg (42°)0.9004
tg (43°)0.9325
tg (44°)0.9657
tg (45°)1
tg (46°)1.0355
tg (47°)1.0724
tg (48°)1.1106
tg (49°)1.1504
tg (50°)1.1918
tg (51°)1.2349
tg (52°)1.2799
tg (53°)1.327
tg (54°)1.3764
tg (55°)1.4281
tg (56°)1.4826
tg (57°)1.5399
tg (58°)1.6003
tg (59°)1.6643
tg (60°)1.7321
tg (61°)1.804
tg (62°)1.8807
tg (63°)1.9626
tg (64°)2.0503
tg (65°)2.1445
tg (66°)2.246
tg (67°)2.3559
tg (68°)2.4751
tg (69°)2.6051
tg (70°)2.7475
tg (71°)2.9042
tg (72°)3.0777
tg (73°)3.2709
tg (74°)3.4874
tg (75°)3.7321
tg (76°)4.0108
tg (77°)4.3315
tg (78°)4.7046
tg (79°)5.1446
tg (80°)5.6713
tg (81°)6.3138
tg (82°)7.1154
tg (83°)8.1443
tg (84°)9.5144
tg (85°)11.4301
tg (86°)14.3007
tg (87°)19.0811
tg (88°)28.6363
tg (89°)57.29
tg (90°)
tg (91°)-57.29
tg (92°)-28.6363
tg (93°)-19.0811
tg (94°)-14.3007
tg (95°)-11.4301
tg (96°)-9.5144
tg (97°)-8.1443
tg (98°)-7.1154
tg (99°)-6.3138
tg (100°)-5.6713
tg (101°)-5.1446
tg (102°)-4.7046
tg (103°)-4.3315
tg (104°)-4.0108
tg (105°)-3.7321
tg (106°)-3.4874
tg (107°)-3.2709
tg (108°)-3.0777
tg (109°)-2.9042
tg (110°)-2.7475
tg (111°)-2.6051
tg (112°)-2.4751
tg (113°)-2.3559
tg (114°)-2.246
tg (115°)-2.1445
tg (116°)-2.0503
tg (117°)-1.9626
tg (118°)-1.8807
tg (119°)-1.804
tg (120°)-1.7321
tg (121°)-1.6643
tg (122°)-1.6003
tg (123°)-1.5399
tg (124°)-1.4826
tg (125°)-1.4281
tg (126°)-1.3764
tg (127°)-1.327
tg (128°)-1.2799
tg (129°)-1.2349
tg (130°)-1.1918
tg (131°)-1.1504
tg (132°)-1.1106
tg (133°)-1.0724
tg (134°)-1.0355
tg (135°)-1
tg (136°)-0.9657
tg (137°)-0.9325
tg (138°)-0.9004
tg (139°)-0.8693
tg (140°)-0.8391
tg (141°)-0.8098
tg (142°)-0.7813
tg (143°)-0.7536
tg (144°)-0.7265
tg (145°)-0.7002
tg (146°)-0.6745
tg (147°)-0.6494
tg (148°)-0.6249
tg (149°)-0.6009
tg (150°)-0.5774
tg (151°)-0.5543
tg (152°)-0.5317
tg (153°)-0.5095
tg (154°)-0.4877
tg (155°)-0.4663
tg (156°)-0.4452
tg (157°)-0.4245
tg (158°)-0.404
tg (159°)-0.3839
tg (160°)-0.364
tg (161°)-0.3443
tg (162°)-0.3249
tg (163°)-0.3057
tg (164°)-0.2867
tg (165°)-0.2679
tg (166°)-0.2493
tg (167°)-0.2309
tg (168°)-0.2126
tg (169°)-0.1944
tg (170°)-0.1763
tg (171°)-0.1584
tg (172°)-0.1405
tg (173°)-0.1228
tg (174°)-0.1051
tg (175°)-0.0875
tg (176°)-0.0699
tg (177°)-0.0524
tg (178°)-0.0349
tg (179°)-0.0175
tg (180°)-0

Таблица тангенсов углов от 180° до 360°

tg (181°)0.0175
tg (182°)0.0349
tg (183°)0.0524
tg (184°)0.0699
tg (185°)0.0875
tg (186°)0.1051
tg (187°)0.1228
tg (188°)0.1405
tg (189°)0.1584
tg (190°)0.1763
tg (191°)0.1944
tg (192°)0.2126
tg (193°)0.2309
tg (194°)0.2493
tg (195°)0.2679
tg (196°)0.2867
tg (197°)0.3057
tg (198°)0.3249
tg (199°)0.3443
tg (200°)0.364
tg (201°)0.3839
tg (202°)0.404
tg (203°)0.4245
tg (204°)0.4452
tg (205°)0.4663
tg (206°)0.4877
tg (207°)0.5095
tg (208°)0.5317
tg (209°)0.5543
tg (210°)0.5774
tg (211°)0.6009
tg (212°)0.6249
tg (213°)0.6494
tg (214°)0.6745
tg (215°)0.7002
tg (216°)0.7265
tg (217°)0.7536
tg (218°)0.7813
tg (219°)0.8098
tg (220°)0.8391
tg (221°)0.8693
tg (222°)0.9004
tg (223°)0.9325
tg (224°)0.9657
tg (225°)1
tg (226°)1.0355
tg (227°)1.0724
tg (228°)1.1106
tg (229°)1.1504
tg (230°)1.1918
tg (231°)1.2349
tg (232°)1.2799
tg (233°)1.327
tg (234°)1.3764
tg (235°)1.4281
tg (236°)1.4826
tg (237°)1.5399
tg (238°)1.6003
tg (239°)1.6643
tg (240°)1.7321
tg (241°)1.804
tg (242°)1.8807
tg (243°)1.9626
tg (244°)2.0503
tg (245°)2.1445
tg (246°)2.246
tg (247°)2.3559
tg (248°)2.4751
tg (249°)2.6051
tg (250°)2.7475
tg (251°)2.9042
tg (252°)3.0777
tg (253°)3.2709
tg (254°)3.4874
tg (255°)3.7321
tg (256°)4.0108
tg (257°)4.3315
tg (258°)4.7046
tg (259°)5.1446
tg (260°)5.6713
tg (261°)6.3138
tg (262°)7.1154
tg (263°)8.1443
tg (264°)9.5144
tg (265°)11.4301
tg (266°)14.3007
tg (267°)19.0811
tg (268°)28.6363
tg (269°)57.29
tg (270°)— ∞
tg (271°)-57.29
tg (272°)-28.6363
tg (273°)-19.0811
tg (274°)-14.3007
tg (275°)-11.4301
tg (276°)-9.5144
tg (277°)-8.1443
tg (278°)-7.1154
tg (279°)-6.3138
tg (280°)-5.6713
tg (281°)-5.1446
tg (282°)-4.7046
tg (283°)-4.3315
tg (284°)-4.0108
tg (285°)-3.7321
tg (286°)-3.4874
tg (287°)-3.2709
tg (288°)-3.0777
tg (289°)-2.9042
tg (290°)-2.7475
tg (291°)-2.6051
tg (292°)-2.4751
tg (293°)-2.3559
tg (294°)-2.246
tg (295°)-2.1445
tg (296°)-2.0503
tg (297°)-1.9626
tg (298°)-1.8807
tg (299°)-1.804
tg (300°)-1.7321
td>tg (301°)
-1.6643
tg (302°)-1.6003
tg (303°)-1.5399
tg (304°)-1.4826
tg (305°)-1.4281
tg (306°)-1.3764
tg (307°)-1.327
tg (308°)-1.2799
tg (309°)-1.2349
tg (310°)-1.1918
tg (311°)-1.1504
tg (312°)-1.1106
tg (313°)-1.0724
tg (314°)-1.0355
tg (315°)-1
tg (316°)-0.9657
tg (317°)-0.9325
tg (318°)-0.9004
tg (319°)-0.8693
tg (320°)-0.8391
tg (321°)-0.8098
tg (322°)-0.7813
tg (323°)-0.7536
tg (324°)-0.7265
tg (325°)-0.7002
tg (326°)-0.6745
tg (327°)-0.6494
tg (328°)-0.6249
tg (329°)-0.6009
tg (330°)-0.5774
tg (331°)-0.5543
tg (332°)-0.5317
tg (333°)-0.5095
tg (334°)-0.4877
tg (335°)-0.4663
tg (336°)-0.4452
tg (337°)-0.4245
tg (338°)-0.404
tg (339°)-0.3839
tg (340°)-0.364
tg (341°)-0.3443
tg (342°)-0.3249
tg (343°)-0.3057
tg (344°)-0.2867
tg (345°)-0.2679
tg (346°)-0.2493
tg (347°)-0.2309
tg (348°)-0.2126
tg (349°)-0.1944
tg (350°)-0.1763
tg (351°)-0.1584
tg (352°)-0.1405
tg (353°)-0.1228
tg (354°)-0.1051
tg (355°)-0.0875
tg (356°)-0.0699
tg (357°)-0.0524
tg (358°)-0.0349
tg (359°)-0.0175
tg (360°)-0

Все основные формулы площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза


1. Если известны только катеты

ab — катеты треугольника

 

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

 

 

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c — гипотенуза

a, b — катеты

αβ — острые углы

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

 


Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

 


 

 

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c — гипотенуза

c1c2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r — радиус вписанной окружности

О — центр вписанной окружности

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

 

Как выставить 90 градусов. Египетский треугольник

При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.

Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах и других объектах.

Теорема Пифагора

Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы . В виде формулы записывается это так:

a²+b²=c²

Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза. Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем размечать прямые углы, а также проверять их.

Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5, причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все сходится!

А теперь применим теорему на практике.

Проверка прямого угла

Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности стен. Перпендикулярные стены — это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.

Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250 см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат (умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 — это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали — проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.

Калькулятор расчета диагонали прямого угла

Внимание! Для работы калькулятора необходимо включить поддержку JavaScript в вашем браузере!

Длина a

Длина b

Диагональ c

Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же, не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см. Таким образом, у прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.

Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров не даст отклонения в один целый градус.

Как проверить внешний угол? Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.

Как разметить прямой угол рулеткой

Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или линиями на полу — задача посложнее.

Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах. Картинки увеличиваются по клику!




Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.

Кто занимается самостоятельным строительством знает, что до начала постройки сооружения надо своими руками разметить фундамент. Здесь рассмотрен случай начала работ по возведению свайного винтового фундамента на участке по ряду причин садоводческого характера не очищенного от полезных растений. Это затрудняло работы по разметке будущего фундамента, но эти трудности легко были преодолены с помощью простого приспособления по выставлению прямых углов.

Как сделать разметку фундамента своими руками

Обычно разметка фундамента в самостоятельном строительстве делается на глаз при помощи рулетки. Сначала выставляются столбики разметки углов стен на расстояниях длины и ширины будущей постройки. Потом делается замер диагоналей полученного прямоугольника и начинается процесс перестановки двух смежных столбов до выравнивания замеров диагоналей. По основам геометрии прямоугольником является фигура у которой две диагонали равны между собой. Но именно из за посадок замер диагоналей в процессе подгонки и был затруднен. Посадки мешали натянуть рулетку и затеняли лазер дальномера. Но эту трудность можно преодолеть.

1. До начала работ надо обладать минимальными знаниями геометрии и знать решение теоремы Пифагора:). Напомню теорему. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике.

2. Натянем между двумя колышками шнур обозначающий первую стену фундамента. Если сторона фундамента, например, равна 6 метрам, то расстояние между колышками должно быть не меньше 8 метров.

3. Сделаем приспособление для выставления прямого угла на местности. Для этого надо приобрести упаковку обязательно нетянущегося шнура или применить стальной тросик. Всего потребуется около 13 метров шнура.

4. Связываем сложенные вместе концы шнура так, чтобы длина полученной петли равнялась 6 метрам. Точность завязывания и выставления размера важна.

5. Берем перманентный фломастер и от центра узла при помощи рулетки делаем отметки на расстоянии 3 метра в одну сторону и на расстоянии 4 метра в другую сторону. Так мы получили веревочный прямоугольный треугольник. Это изобретение позволит вычислить направление угла 90° простым растягиванием треугольника.

Разметка первой стены Набор для лайфхака Стороны треугольника

6. Для работы на местности нам потребуются тонкие деревянные колышки или куски тонкой арматуры.

7. Устанавливаем один колышек для обозначения угла фундамента на линии разметки сделанной ранее в п.2.

8. Берем веревочный лайфхак. Узел помещаем на колышке обозначающем угол и растягиваем стороны веревочного треугольника вбивая первый колышек на расстоянии 4 метра в разметки стены п.2., перегиб шнура должен быть на метке фломастера 4 метра.

9. Выставляем колышек на метке 3 метра. Одна сторона прямоугольника параллельна разметке первой стены, а вторая сторона указывает направление разметки под углом 90° для второй стены. Теорема Пифагора в действии — смотри фото.

Куски арматуры Колышек основания прямого угла Веревочный треугольник

10. Натягиваем разметочный шнур для второй стены, параллельно стороне треугольника.

11. Проводим аналогичные действия для разметки третьей стены.

12. Обозначаем на разметке длины второй и третьей стены и проводим контроль на одном из углов правильности направления четвертой стены. Если длина стены в разметке составила 6 метров и ее направление пересекло точки разметки стен два и три, то можно сказать, что замер диагоналей даст равный результат. Если схождения не получилось, проверьте еще раз правильность установки разметки.

Выставление разметки 2-й стены Шнур второй стены

Это — древнейшая геометрическая задача .

Пошаговая инструкция

1й способ. — С помощью «золотого», или «египетского», треугольника . Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град . Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.

Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника

  • Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров . Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины — «узелок ».
  • Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 — 3 узелка».
  • Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
  • В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
  • Затем — снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
  • После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
  • В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника , со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О .

2й способ. С помощью циркуля .

Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера . См:

Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.

Илл.2. Циркуль-шагомер

Построение – также по Илл.1.

  • От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины — но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
  • Ставим ногу циркуля в точку О.
  • Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра — А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
  • Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль .
  • Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем — в натянутом состоянии веревки, две дуги — так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
  • Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
  • Все! Полученный отрезок, или прямая, — есть точное направление на север:). Простите, — на прямой угол .
  • На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
  • Поставьте на углу О колышек, а в точке C — временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.

Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля

Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного . Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.

  • Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой — в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.

Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки

  • Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности — контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..

Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.

Откосы под 90 градусов

[ Нажмите на фото
для увеличения ]

Вероятнее всего — углы далеки от идеала. Как же выставить маяки так, чтобы все углы помещения были 90 градусов? А всё проще простого.

Вам из дополнительных инструментов потребуется лишь угольник. Рассмотрим весь технологический процесс более подробно. Разметьте одну стену под маяки. Просверлите отверстия под саморезы. Вставьте саморезы по дереву в распорные пластмассовые дюбеля, которые вы предварительно вставили в просверленные отверстия.

Выставите их по уровню. Оштукатурьте эту стену. Для чего? У вас тогда будет готова одна плоскость, от которой вы будете выставлять 90 градусов для примыкающих к ней двух стен. На одной из стен, которые примыкают к оштукатуренной плоскости, рядом с углом, отметьте вертикальную линию.

Просверлите отверстия в ней для дюбелей. Вставьте в эти отверстия дюбеля. Вкрутите саморезы. Теперь надо выставить саморезы линии по уровню. Берите угольник. Маленькой стороной прикладывайте к готовой поверхности стены, а длинной стороной на один из выставленных саморезов.

Отметьте линию, чтобы она не выходила за пределы стороны угольника. Потом рисуйте вертикальную линию по отмеченной линии. Просверлите отверстия на линии параллельно саморезам на первой вертикальной линии, которые уже выставлены по уровню. Вкрутите саморезы. Далее.

Приложите угольник к оштукатуренной поверхности и на саморез первой линии. Смотрите, что получилось. Если саморез второй линии не касается угольника, подкрутите его отвёрткой до того момента, чтобы саморез коснулся угольника. Так выставляйте все саморезы второй линии. Теперь у вас получилась ровная линия по уровню и с углом 90 градусов.

Размечайте далее всю стену линиями для маяков и выставляйте на них саморезы. Только саморезы должны находиться на одной горизонтальной линии с саморезами первой и второй линии. Берите правило и приложите его к двум саморезам первой и второй линии горизонтально. Смотрите на саморез третьей линии. Подкрутите его отвёрткой до правила. Так выставляйте все саморезы.

Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм.

Потом переходите дальше. Как выставите маяки на этой стене — оштукатуривайте её. И снова выставляйте маяки. Когда вы оштукатурите все стены, шпателем широким зачистите углы от лишнего раствора. Углы должны быть ровными и чистыми. Ваши углы будут ровно 90 градусов — это гарантировано.

На внешние углы обязательно ставьте перфорированный уголок. По уровню, разумеется. Справа и слева от уголка нанесите жидкий слой штукатурки. Протяните его большим правилом. Роль маяка сыграет уголок, а роль второго маяка — конец самого правила. Это сделает ваши стены идеально ровными.

Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм. Старайтесь, чтобы было меньше ям и царапин. Тогда шпаклевать будет намного легче и расход шпаклёвки будет минимальный. В ванной комнате и туалете маяки извлекать не стоит. Да и жидким слоем проходить не надо. Там ведь всё равно будет плитка.

Если у вас в санузле будут углы 90 градусов, то плитка будет смотреться просто изумительно. Потому что идеальные углы — это красиво. Обои или краска на стенах помещения с идеально ровными углами также будут выглядеть идеально, без погрешностей.

Технологии

Техника сграффито – шаг к совершенству вашего интерьера
В последнее время очень часто в качестве отделки стала применяться цветная декоративная штукатурка, которая прекрасно подходит для отделки фасадов зданий и различных элементов архитектуры

Шелковая штукатурка – изюминка в дизайне помещений
Многие дизайнеры в последнее время часто используют шелковые штукатурки для отделки стен. Что они собой представляют? Разберемся в чем их красота и изюминка?

Штукатурка: виды, назначение, техника работы
Штукатурка – материал, предназначенный для ведения строительных работ. Технология нанесения штукатурки подобна технологии для шпатлевок за небольшим отличием – штукатурка не шлифуется абразивными материалами

Штукатурка поверхностей машинным способом – преимущества
Штукатурка стен — один из важных этапов отделки помещения. При незначительных объемах работ штукатурку наносят вручную, а на объектах более 300 м2 требуется машинное нанесение штукатурки

Подготовка поверхности к оштукатуриванию
Штукатурка считается основной работой выравнивания поверхности, а также является подготовкой для очередного этапа ремонта. Сама технология оштукатуривания тоже нуждается в подготовительном этапе

К ачественный ремонт и отделка подразумевает хорошую геометрию помещения. Без выверенной геометрии, хотя бы в самых нужных местах, хороший ремонт сделать не удастся. Здесь я расскажу как сделать угол 90 градусов между стенами своими руками и о том, где он действительно необходим. Так же можно почитать статью по ссылке → и как проверить правильность геометрии, и что будет если геометрия нарушена.

Содержание:
1.
2.
2.1
2.2
3.
4.
5.
5.1
6.
7.

Где нужен угол 90 градусов между стенами

Углы под 90 градусов в основном везде по квартире не выводятся. В эконом-ремонтах, да и в большинстве евро-ремонтах, выведенные в 90 градусов углы необходимы лишь в двух местах:

  1. в том углу, где будет висеть/стоять кухонная мебель,
  2. и в ванной комнате, где будет стоять сама ванна, в двух смежных углах (или в одном, если душевая кабина стоит в углу). Или по всем 4-м углам ванной, поскольку там будут стоять раковина, стиральная машина и т.п.

В остальных случаях — всё на желание заказчика или человека, осуществляющего ремонт своими силами.

Чем проверять и выставлять углы

Угол легко проверить строительным угольником, можно приобрести в магазине, если собираетесь выводить углы, он будет вам необходим.

Просто прислоняем угольник к внутреннему углу. Наружные углы мы пока рассматривать не будем, ради понимания самого процесса. После понимания как выравнивать внутренние углы под 90 градусов своими руками, внешние для вас проблем не составят.

Смотрим, что получается. Если всё нормально, зазоров между угольником нет, то расслабьтесь. Если зазор превышает 5 мм, то следует насторожиться и узнать как выровнять такой угол в прямой, что бы и ванна и шкафы висели хорошо. Дело в том, что зазор в 5 мм под небольшим, пускай полуметровым (в длину хотя бы одной грани) угольником, на всю длину стены оказывается довольно крупным и в конце стены может достичь и 5 см.

Делаем угольник самостоятельно

Угольник можно соорудить и самостоятельно, причём любого размера. Удобнее всего делать такой угольник из гипсокартонных профилей 27*28 мм (жёстких или полужёстких).

Пользуемся пра́вилом египетского треугольника, при котором: если катеты угла равны 3 и 4 частям, а гипотенуза 5 частям, то угол будет прямоугольным (прямой угол между катетами).

Надрезаем и сгибаем нужной длины профиль посредине (стороны нашего угольника не обязательно должны быть равны 3 и 4 определённым нами частям, пра́вило нужно лишь для того, чтобы сделать прямой угол). Сгибаем, принимаем за 1 часть, к примеру, 30 см. Чем больше вы сделаете часть, тем «прямее» получится угол.

SIN (функция SIN)

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает синус заданного угла.

Синтаксис

SIN(число)

Аргументы функции SIN описаны ниже.

Замечание

Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула

Описание

Результат

=SIN(ПИ())

Синус пи радиан (0, приблизительно).

0,0

=SIN(ПИ()/2)

Синус пи/2 радиан.

1,0

=SIN(30*ПИ()/180)

Синус угла 30 градусов.

0,5

=SIN(РАДИАНЫ(30))

Синус 30 градусов.

0,5

тригонометрии — Почему косинус прямого угла 90 градусов равен нулю?

В ваших рассуждениях есть ошибка. При выполнении тригонометрии (классическим способом) мы рассматриваем прямоугольный треугольник. Значение $ \ cos (\ alpha) $ обычно определяется как отношение $ \ frac {\ text {смежная сторона}} {\ text {hypotenuse}}. $ Это определение, однако, является неполным и не может быть найдено как это, например, в голландских школьных учебниках. В голландских школьных книгах написано что-то вроде: $$ \ cos (\ alpha) = \ frac {\ text {aanliggende $ \ color {red} {\ text {rechthoeks}} $ zijde}} {\ text {hypotenusa}}.\ circ) $ можно «наблюдать» только в треугольнике с двумя прямыми углами. Вы можете интерпретировать это по-разному: вырожденный треугольник с одной вершиной в бесконечно удаленной точке; предел $ \ lim_ {h \ to \ infty} \ frac {\ text {a}} {\ text {h}} $; возможно каким-то другим способом.

В любом случае ключевой момент здесь такой:

При выполнении классической тригонометрии, в нормальном случае, но определенно и в «крайних» случаях, вам необходимо определить смежную сторону и противоположную сторону таким образом, чтобы ни одна из них никогда не могла быть гипотенузой.\ circ $, тогда $ C $ окажется ниже $ B $ вместо верхнего, и мы считаем «противоположность» и «гипотенузу» отрицательными.

Sin 90 градусов — значение, расчет, формула, методы

Sin 90 градусов

Тригонометрия — это исследование связи между измерениями углов прямоугольного треугольника и длиной сторон треугольника. Строители широко используют тригонометрию для измерения высоты и расстояния до здания с его точки обзора. Он также используется учащимися для решения вопросов на основе тригонометрии.Наиболее широко используемые тригонометрические отношения — это синус, косинус и тангенс. Углы прямоугольного треугольника вычисляются с помощью основных функций, таких как sin, косинус и загар. Другие функции, такие как cosec, cot и secant, являются производными от основных функций. Здесь мы изучим значение sin 90 градусов и то, как разные значения будут выводиться вместе с другими градусами.

Значение Sin 90

\ [Sin90 {\ text {}} value = 1 \]

Как мы знаем, с различными тригонометрическими функциями связаны разные степени.Широко используются градусы: 0 °, 30 °, 45 °, 90 °, 60 °, 180 ° и 360 °. Мы определим sin 90 градусов через нижний прямоугольный треугольник ABC и с использованием как смежных, так и противоположных сторон треугольника и интересующего угла.

Три стороны треугольника:

Противоположная сторона также известна как перпендикулярная и находится напротив интересующего угла.

Смежная сторона — Точка, где обе противоположные стороны и гипотенуза встречаются в прямоугольном треугольнике, называется смежной стороной.

Гипотенуза = -самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Поскольку наш интересующий угол — это Sin 90. Соответственно, функция Sin угла или Sin 90 градусов будет равна отношению длины противоположной стороны к длине стороны гипотенузы.

Формула Sin 90

\ [Sin90 {\ text {}} Значение {\ text {}} = \ frac {{Противоположная {\ text {}} сторона}} {{Гипотенуза {\ text {}} сторона}} . \]

Метод получения значения Sin 90 градусов

Давайте вычислим значение Sin 90 градусов через единичную окружность.Круг, нарисованный ниже, имеет радиус 1 единицу, а центр круга — это место в начале координат.

Как мы знаем, функция синуса равна отношению длины противоположной стороны или перпендикуляра к длине гипотенузы с учетом измерения смежной стороны единицы x и перпендикуляра единицы y под прямым углом. треугольник. Мы можем получить значение Sinϴ с помощью наших знаний тригонометрии и рисунка, приведенного выше.

Следовательно, \ [\ sin \ theta = \ frac {1} {y} \]

Теперь мы измерим угол от первого квадранта до точки, до которой он достигает положительной оси «y» i.2} x = 1 \]

\ [\ sin \ left ({- x} \ right) = — \ sin x \]

\ [\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x \]

Аналогично , мы можем получить другие значения степени Sin, такие как O °, 30 °, 45 °, 90 °, 60 °, 180 ° и 360 °.

Здесь, в таблице ниже, вы можете найти значения синуса для разных углов, а также различные другие тригонометрические соотношения.

Значение коэффициентов тригонометрии

0

Углы в градусах

0

30

45

60

Sin

0

\ [\ frac {1} {2} \]

\ [\ frac {1} {{\ sqrt 2}} \]

\ [\ frac {{\ sqrt 3}} {2} \]

1

Cos

1

\ [\ frac {{\ sqrt 3}} {2} \]

\ [\ frac {1} {{\ sqrt 2}} \]

\ [\ frac {1} {2} \]

0

Тан

0

\ [\ frac {1} {{\ sqrt 3}} \]

1

\ [\ sqrt 3 \] 9 0009

Не определено

Cosec

Не определено

2

\ [\ sqrt 2 \]

\ [\ frac {2} {{\ sqrt 3}} \]

1

Сек. O}} \ right) = \ frac {1} {2} \ ]

Теперь подставляем значения: —

\ [= 1 + 1 + 1 + \ frac {1} {2} \]

\ [= 3 + \ frac {1} {2} \]

= 3.5

Интересные факты

  • Обратный грех обозначается как Sin-1, его также можно записать как arcsin или asine

  • Гиппарх известен как отец тригонометрии. Он также обнаружил значения дуги и хорды для ряда углов.

Время опроса

1. Если x и y считаются дополнительными углами, то

a. Sin x = Sin y

б. Желто-коричневый x = Желто-коричневый y

c. Cos x = Cos y

d.Sec x = Cosec y

2. Какое будет минимальное значение Sin A, 0

a. -1

б. 0

с. 1

г. \ [\ frac {1} {2} \]

Как использовать специальный прямоугольный треугольник 45-45-90

Специальные прямоугольные треугольники 45 45 90

Специальные треугольники — это способ получить точные значения для тригонометрических уравнений. На большинство триггерных вопросов, которые вы задавали до сих пор, требовалось округлить ответы в конце. Когда числа округляются, это означает, что ваш ответ неточный, а это то, что математикам не нравится.Специальные треугольники берут те длинные числа, которые требуют округления, и дают для них точные соотношения.

Не так много углов, которые дают чистые и аккуратные тригонометрические значения. Но тем, кто это делает, вам придется запоминать значения их углов в тестах и ​​экзаменах. Это те, которые вы чаще всего будете использовать и в математических задачах. Список всех различных специальных треугольников, с которыми вы встретитесь в математике.

Одним из таких треугольников является треугольник 45 45 90.Это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами. Поскольку вы также обнаружите, что этот треугольник является прямоугольным, мы знаем, что третья сторона, не равная остальным, является гипотенузой. Вы также знаете красивую формулу для определения длины гипотенузы (теорема Пифагора), и мы покажем вам, как она будет использоваться. Если вы хотите взглянуть на другие примеры треугольника 45 45 90, взгляните на этот интерактивный онлайн-справочник по этому специальному прямоугольному треугольнику.

Свойства прямоугольного треугольника 45-45-90

Как решить 45 45 90 треугольник

Чтобы продемонстрировать, как выглядит специальный прямоугольный треугольник с углами 45 45 90, а также объяснить значения, с которыми вам придется работать в будущем, мы воспользуемся приведенным ниже примером. Он показывает стандартный треугольник 45 45 90, который может помочь вам понять отношения, возникающие при использовании этого треугольника.

1 выбрано в качестве длины сторон, которые равны в этом специальном треугольнике, так как с ним проще всего работать.2 = 1 + 1 = 2c2 = 1 + 1 = 2
c = 2c = \ sqrt {2} c = 2

С гипотенузой у нас есть информация для определения следующего:


sin⁡45 \ sin 45sin45 ° = 12 = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = 2 1
cos⁡45 \ cos 45cos45 ° = 12 = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = 2 1
tan⁡45 \ tan 45tan45 ° = 11 = 1 = \ frac {1} {1} = 1 = 11 = 1

Вы можете видеть, что мы смотрим на «тэту» 45 градусов, и вы должны помнить SOHCAHTOA, который помогает вам вспомнить, какие стороны вам нужно принять, чтобы найти синус, косинус и тангенс. Таким образом, мы получили, что синус равен 12 \ frac {1} {\ sqrt {2}} 2 1, поскольку 1 — это длина стороны, противоположной 45 градусам, а гипотенуза равна 2 \ sqrt {2} 2.Для косинуса вам понадобится смежное по гипотенузе, что дает вам 12 \ frac {1} {\ sqrt {2}} 2 1. Наконец, касательная противоположна смежной, что дает вам 11 \ frac {1} {1} 11, или, в более упрощенной форме, всего 1.

Зная, что вам нужно запомнить эти значения, вы можете сохранить их в памяти или перерисовать этот треугольник и использовать SOHCAHTOA, чтобы найти соотношения углов. В любом случае, мы надеемся, что, объясняя вам компоненты треугольника, вы теперь лучше понимаете особый треугольник 45 45 90 и то, как возникли его соотношения.

Что такое теорема треугольника 45 45 90?

Теорема треугольника 45 45 90 гласит, что 45 45 90 специальных прямоугольных треугольников со сторонами, длина которых находится в особом соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2 и два 454545 Углы ° и один прямой угол 0 °.

Давайте более подробно рассмотрим взаимосвязь этих соотношений и спросим, ​​почему все особые прямоугольные треугольники 45 45 90 обладают следующими свойствами:

Стандартные размеры и свойства особого треугольника 45 45 90.

1. У равнобедренных треугольников длина двух сторон любого специального треугольника 45 45 90 всегда будет одинаковой. Это обозначено буквой a на диаграмме выше. Вследствие того, что эти две стороны имеют одинаковую длину, соответствующим свойством является то, что они имеют одинаковые углы. Это можно определить по двум углам 454545 ° на диаграмме выше. Поскольку общая сумма углов в треугольнике всегда равна 180180180 °, оставшийся угол составляет 0 °, всегда называемый прямым углом.Отсюда и произошло название этого особенного треугольника.

2. Гипотенуза любого специального треугольника 45 45 90 будет иметь длину a2a \ sqrt {2} a2. Это особые отношения, обнаруженные в 45 45 90 треугольниках. Это значение получается путем умножения длины любой из двух равных сторон (т.е. aaa) на радикал 2 \ sqrt {2} 2. Этот радикал представляет собой простейшую форму длины гипотенузы в треугольнике 45 45 90. Его можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, как было показано выше, когда мы узнали, как решать треугольники 45 45 90 градусов.

Работает ли теорема Пифагора для 45 45 90 треугольников?

Как обсуждали наши опытные преподаватели в StudyPug, теорема Пифагора описывает соотношение длин каждой стороны прямоугольных треугольников. Это лишь одно из многих уравнений треугольника, которые вы можете вспомнить в геометрии. Поскольку треугольник 45 45 90 действительно является примером прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы определить длину любой из сторон. Что делает стороны специального прямоугольного треугольника 45 45 90 особенно легкими для решения, так это то, что две стороны имеют одинаковую длину.2a2 + b2 = c2, где ccc — гипотенуза, а aaa и bbb — две равные стороны треугольника 45 45 90.

Как доказать теорему о треугольнике 45-45-90?

Есть два способа проверить теорему треугольника 45-45-90. Помните, что для треугольников 45-45-90 нам предоставлены углы и отношения длин сторон. Это сразу говорит нам о том, что нам нужно будет решить просто размеры треугольника 45-45-90, чтобы подтвердить теорему о треугольнике 45-45-90.Зная эту информацию, мы можем дважды проверить нашу работу, работая в обратном направлении, чтобы показать, что длина сторон соответствует соотношениям. Помните, что для равнобедренного треугольника половина работы заключается в простом нахождении длины смежных или противоположных сторон треугольника 45-45-90. Эти значения будут эквивалентны!

Два способа проверить теорему треугольника 45-45-90:

1. Использование теоремы Пифагора
2. Использование специального соотношения 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2

Каковы длины сторон треугольника 45 45 90?

Использование теоремы Пифагора — В прямоугольном треугольнике длина сторон треугольника 45 45 90 может быть легко решена с помощью теоремы Пифагора.2a2 + b2 = c2. В любой задаче вам будет предоставлено значение aaa, bbb или ccc. Поскольку aaa и bbb, противоположные и смежные стороны любого треугольника 45 45 90 эквивалентны, зная длину стороны aaa, можно получить длину стороны bbb или наоборот. Зная это, мы можем просто подставить эти значения в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти значение ccc, длины гипотенузы.

А что, если бы мы были просто с учетом длины гипотенузы (т.е.е. ccc)? Мы можем упростить формулу Пифагора, чтобы найти длину как aaa, так и bbb, противоположных и смежных сторон треугольника 45-45-90. Длина обоих aaa и bbb равна, поскольку мы имеем дело с равнобедренным треугольником.

Уравнение 1: упрощенное уравнение формулы Пифагора, когда a2 эквивалентно b2

Используя упрощенное уравнение, мы можем просто подставить значение ccc, которое нам было дано изначально, и решить как aaa, так и bbb, двух других сторон треугольника 45-45-90.Зная длины сторон треугольника 45 45 90, мы можем теперь показать, что они находятся в особом соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.

Метод 2: Использование специального соотношения 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2 — Теперь этот метод намного быстрее и дает точные значения. Если в вопросе вас просят оставить ответы в упрощенной радикальной форме или ответить с точными значениями, воспользуйтесь этим методом! Имейте в виду, что из-за этой особой связи это соотношение также можно обобщить и записать как x: x: x2x: x: x \ sqrt {2} x: x: x2 (см. Изображение ниже).

Соотношение соотношений между длинами сторон треугольника 45-45-90.

Теперь предположим, что нам дано значение одной стороны, равное 8.

Треугольник 45-45-90, длина сторон 8

Взяв это значение и вставив в нашу стандартную формулу отношения, x: x: x2x: x: x \ sqrt {2} x: x: x2, мы видим, что мы быстро и легко решили для всех сторон нашего 45 45 90 треугольник — 8: 8: 828: 8: 8 \ sqrt {2} 8: 8: 82.

Теперь, как упростить эти отношения, чтобы показать, что размеры этого прямоугольного треугольника соответствуют отношениям треугольника 45 45 90? Поскольку наибольший общий множитель между этими отношениями равен 8, мы можем разделить и упростить это соотношение на 8.

88: 88: 828 \ frac {8} {8}: \ frac {8} {8}: \ frac {8 \ sqrt {2}} {8} 88: 88: 882
= 1: 1 : 12 = 1: 1: 1 \ sqrt {2} = 1: 1: 12
= 1: 1: 2 = 1: 1: \ sqrt {2} = 1: 1: 2

Теперь мы показали, что этот прямоугольный треугольник удовлетворяет требованиям теоремы о прямоугольном треугольнике 45 45 90.

Что, если бы нам дали значение гипотенузы (т.е. x2 x \ sqrt {2} x2) равным 2?

45-45-90 прямоугольный треугольник, гипотенуза равна 2

Для этих типов вопросов есть дополнительный шаг решения для xxx:

x2 = 2x \ sqrt {2} = 2×2 = 2
x = 22 = 22⋅22 = 222 = 2x = \ frac {2} {\ sqrt {2}} = \ frac {2} {\ sqrt {2} } \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {2} = \ sqrt {2} x = 2 2 = 2 2 ⋅2 2 = 222 = 2

Итак, вставив эти значения в нашу формулу обобщенного соотношения, мы получим 2: 2: 2 \ sqrt {2}: \ sqrt {2}: 22: 2: 2.Для упрощения мы можем разделить на 2 \ sqrt {2} 2.

22: 22: 22 \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}: \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}: \ frac {2} {\ sqrt {2} } 2 2: 2 2: 2 2
= 1: 1: 22 = 1: 1: \ frac {2} {\ sqrt {2}} = 1: 1: 2 2

Чтобы упростить 22 \ frac {2} {\ sqrt {2}} 2 2 , мы умножаем знаменатель и числитель на 2 \ sqrt {2} 2

Это включает рационализацию знаменателя:

22⋅22 = 222 = 2 \ frac {2} {\ sqrt {2}} \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {2 } = \ sqrt {2} 2 2 ⋅2 2 = 222 = 2

Таким образом, мы снова видим, что мы получаем соотношение 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2, что соответствует стандартным отношениям специального прямоугольного треугольника 45 45 90!

Используйте любой из этих методов или формулы треугольника 45-45-90, чтобы решить любую задачу треугольника 45-45-90!

Какая гипотенуза у треугольника 45 45 90?

Гипотенуза треугольника 45 45 90 действительно может быть любым числом — единственное, что имеет значение, это то, что значение гипотенузы относительно других сторон треугольника следует особому соотношению, которое мы обсуждали ранее: 1: 1: 21 : 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.

Поскольку значение гипотенузы может быть любым рациональным, иррациональным или действительным числом, треугольник 45 45 90 может иметь наименьшую гипотенузу среди любого треугольника! Однако бесконечно малый характер таких чисел дает множество возможностей для длины гипотенузы треугольника 45 45 90. Это не позволяет утверждать, что у 45 45 90 треугольников наименьшие гипотенусы. Посмотрите на этот интерактивный треугольник 45 45 90, чтобы увидеть это в действии!

Итак, как найти длины гипотенузы 45 45 90 треугольников? Прокрутите вверх, чтобы увидеть, как мы вычисляем гипотенузы 45 45 90 треугольников!

Каковы соотношения треугольника 45 45 90

В простейшей форме отношение длин сторон специального прямоугольного треугольника 45 45 90 должно быть 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2.Напомним, что специальный прямоугольный треугольник 45 45 90 — это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами и одной большей стороной (т.е. определение гипотенузы).

Как рассчитать площадь прямоугольного треугольника 45-45-90

Как и многие другие формулы фундаментального треугольника, формула для вычисления площади треугольника должна быть такой, которую вы можете запомнить: A = 12⋅b⋅hA = \ frac {1} {2} \ cdot b \ cdot hA = 21 ⋅ бах. Эта же формула может быть применена к специальным прямоугольным треугольникам с углами 45 45 90.

Давайте рассмотрим это в нашем простейшем прямоугольном треугольнике 45-45-90:

Простой треугольник 45-45-90 с размерами 1,1, квадрат2.A = 12⋅b⋅hA = \ frac {1} {2} \ cdot b \ cdot h A = 21 ⋅b⋅h
= 12⋅1⋅1 = \ frac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot 1 = 21 ⋅1⋅1
A = 0,5 A = 0,5 A = 0,5

Альтернативный способ найти площадь прямоугольного треугольника 45-45-90 включает использование специальной формулы треугольника 45 45 90, полученной из формулы, используемой для вычисления площади квадрата.

Простой треугольник 45-45-90 с начерченным контуром его зеркального отражения.

Глядя на изображение выше, мы видим, что причина, по которой мы можем адаптировать формулу для вычисления площади квадрата, заключается в том, что прямоугольный треугольник 45-45-90 составляет половину площади квадрата. .2} {2} A = 2s2, потому что прямоугольный треугольник 45-45-90 составляет только половину площади квадрата.

Используйте этот калькулятор треугольников 45 45 90, чтобы проверить свою работу и более внимательно изучить особую взаимосвязь между соотношением размеров, периметром и площадью 45 45 90 треугольников. Этот решатель прямоугольного треугольника — всего лишь помощник, так что не забудьте сначала потренироваться самостоятельно!

Образует ли ромб 45-45-90 треугольников?

Хотя пересечение обеих диагоналей в ромбе может образовывать 4 прямоугольных треугольника (см. Ниже), другие углы в этих прямоугольных треугольниках не равны и не обязательно равны 454545 °.Кроме того, эти прямоугольные треугольники не равнобедренные, поэтому длины сторон треугольника (без учета гипотенузы) не равны. Следовательно, поскольку эти прямоугольные треугольники не повторяют те же углы треугольников 45-45-90 и не имеют длины сторон, которые находятся в соотношении 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2, a ромб не образует 45-45-90 треугольников.

Простой треугольник 45-45-90 с начерченным контуром его зеркального отражения.

Используйте этот интерактивный инструмент для изучения различных свойств различных ромбов.

Пример и практика с 45 45 90 треугольниками

Прежде чем мы рассмотрим пример, вот несколько советов, которые помогут вам при решении вопросов по тригонометрии 45 45 90 треугольников:

1. Если триггерный вопрос запрашивает ответ в форме « точное значение », это, вероятно, потребует использования специального треугольника. Это может быть треугольник 45 45 90 или, возможно, 30 60 90. Напомним, что в специальной тригонометрии треугольника нам не нужно округлять или использовать десятичные дроби из-за уникального соотношения между длинами сторон.Однако всегда не забывайте упростить ответ, рационализируя знаменатель, упрощая радикал или дробь.

2. Запомните соотношение длин сторон 45 45 90 треугольников — 1: 1: 21: 1: \ sqrt {2} 1: 1: 2. Легкий способ запомнить это соотношение состоит в том, что, поскольку у вас есть два эквивалентных угла (например, 454545 °, 454545 °), длина / соотношение двух сторон также должны быть эквивалентными.

3. Еще одно запоминающее устройство, которое нужно держать под рукой — SOHCAHTOA . Хотя мы можем знать базовое соотношение длины сторон в треугольниках 45 45 90, нам также необходимо знать, как использовать эту информацию и как подставлять значения в правильную тригонометрическую формулу.23 (sinθ) 2 = 3 (sin45) 2

  • Шаг 2. Нарисуйте специальный прямоугольный треугольник 45 45 90 и определите, что говорит триггерная функция. В этом случае для «sin 45» функция синуса и соответствующее правило, которому мы следуем: SOH , то есть sin⁡ = противоположная гипотенуза \ sin = \ frac {противоположная} {гипотенуза} sin = гипотенуза противоположная

    Пример 1. Специальный прямоугольный треугольник 45-45-90, изображающий особые соотношения и углы.
  • Шаг 3. Подставьте значения, полученные с помощью соответствующей тригонометрической формулы, и упростите.Помните, что вопрос требует точных значений, поэтому в этом случае вы можете оставить свой ответ в виде дроби.

  • Уже чувствуете себя уверенно с 45 45 90 специальными прямоугольными треугольниками? Давайте вместе исследуем другие особые прямоугольные треугольники и попрактикуемся в тригонометрии прямоугольного треугольника! Другой тип специального прямоугольного треугольника, который вы часто встретите в тригонометрии, — это 30 60 90 специальных треугольников.

    Какие значения тригонометрических отношений для 0, 30,45, 60 и 90 градусов

    Значения тригонометрических отношений для 0, 30,45, 60 и 90 градусов

    Я заметил, что ученики не могут запомнить значения шести тригонометрических соотношений (sin, cos, tan, cosec, sec и cot) для 0

    , 30

    , 45

    , 60

    и 90

    .Эти значения используются очень часто, и, с моей точки зрения, рекомендуется, чтобы учащийся мог мгновенно определять значения, когда их спрашивают.

    Есть подходящий способ запомнить их все. Давайте пройдемся через это.

    В этом посте наш мотив — научиться заполнять стол. Как только вы научитесь заполнять эту таблицу, вы сможете вычислять любое значение в уме.

    (i)

    Просто запомните значения для sin 0

    , грех 30

    , грех 45

    , грех 60

    и грех 90

    .Даже не нужно слишком стараться их запомнить. Есть простой способ их запомнить.

    грех 0

    грех 30

    грех 45

    грех 60

    грех 90

    Запишите образец из греха 0

    грех 90

    :

    Таким образом, теперь мы можем заполнить все значений sin в таблице.

    Теперь мы заполним все значениями cos .

    Все значения cos заполняются в обратном порядке, начиная с sin 0

    грех 90

    . Я хочу сказать, что

    грех 0

    = cos 90

    грех 30

    = cos 60

    грех 45

    = соз 45

    sin60

    = соз 30

    грех 90

    = cos 0

    Следовательно, все значений cos теперь могут быть заполнены.

    Мы знаем, что загар

    = (грех

    ) / (cos

    )

    Следовательно, все значений tan могут быть получены из значений sin и cos.

    загар 0

    = грех 0

    / cos 0

    = 0/1 = 0

    загар 30

    = грех 30

    / cos 30

    загар 45

    = грех 45

    / cos 45

    загар 60

    = грех 60

    / cos 60

    загар 90

    = грех 90

    / cos 90

    = 1/0, что равно НЕ ОПРЕДЕЛЕННО

    Аналогично имеем sec

    = 1 / cos

    , детская кроватка

    = cos

    / грех

    и кодов

    = 1 / грех

    .

    Следовательно, все значения tan, sec, cosec и cot теперь могут быть заполнены.

    А теперь попробуйте вывести эти значения в уме :).


    Тригонометрия — Терминология

    Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия , исследование треугольников. Большинство людей знакомятся с тригонометрией в старшей школе.В тригонометрии много сложных частей, но на этой странице нас интересуют в основном определения и терминология. Начнем с общего треугольника. Треугольник — это замкнутая форма, имеющая три стороны и три внутренних угла. Сумма трех углов любой треугольник равен 180 градусам. Если мы обозначим углов треугольника c , d и e , тогда:

    c + d + e = 180 градусов

    Есть два способа измерить углы внутри треугольника.Один из способов — измерить угол в градусов , где 360 градусов равны полному кругу. В Другой способ — измерить угол в радиан , где 2 пи радиана равны полный круг. Следовательно;

    360 (градусы) = 2 * пи (радианы)

    1 градус = 0,01745 радиана

    1 радиан = 57,2957 градуса

    Прямоугольный треугольник — частный случай общего треугольника с один из его углов равен 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , и именно отсюда прямоугольный треугольник получил свое название. Прямоугольный треугольник обладает некоторыми особыми свойствами, которые очень полезны для решения задач. Сумма трех углов прямоугольного треугольника равна 180 градусам и одному углов равняется 90 градусам. Тогда сумма двух других углов тоже будет 90 градусов. Для прямоугольного треугольника:

    c + d = 90 градусов = пи / 2 радиана

    Важным фактором здесь является то, что если мы знаем (или измеряем) один угол прямоугольного треугольника, мы автоматически узнаем значение другого угла.Если мы знаем значение d , то

    c = 90 — d

    Чтобы описать треугольник в целом, нам нужно знать значение двух углов; за право треугольник нам нужно знать (или измерить) только один угол.

    Еще одна важная информация касается размер сторон прямоугольного треугольника. Назовем сторону прямоугольного треугольника противоположной от прямого угла гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Обозначим гипотенузу символом h и мы обозначим две другие стороны a и b .

    Независимо от размера гипотенузы соотношение от размера стороны a до гипотенузы h зависит Только от величины угла между стороной и гипотенузой.Величина отношения равна функция угла и получил название косинус угла. На рисунке

    cos (c) = a / h

    Благодаря соотношению углов прямоугольного треугольника мы можем определить другая функция угла, называемая синус угла, который связывает стороны b и гипотенуза:

    грех (с) = б / ч

    Ключевым моментом здесь является то, что если мы измеряем один угол, мы знаем значение всех три угла в прямоугольном треугольнике.А если дополнительно измерить одну сторону, мы можем использовать эти тригонометрических функций для определения длины со всех трех сторон. Мы можем определить 5 единиц информации (2 угла и 3 стороны), сделав всего два измерения.

    Между сторонами прямоугольного треугольника существует дополнительная связь. Если мы нарисуем квадрат на гипотенузе и квадрат на каждой из двух сторон, площадь квадрата на гипотенузе равна сумме квадраты по бокам.2

    Теорема Пифагора может использоваться с тригонометрическими функциями чтобы определить размер всех сторон прямоугольного треугольника.


    Действия:

    Экскурсии с гидом

    Навигация ..


    Руководство для начинающих Домашняя страница

    Полное руководство по треугольнику 30-60-90

    Треугольник 30-60-90 — это специальный прямоугольный треугольник, знание которого может сэкономить вам много времени на стандартных тестах, таких как SAT и ACT.Поскольку его углы и соотношения сторон одинаковы, разработчики тестов любят использовать этот треугольник в задачах, особенно в части теста SAT без калькулятора. Вот что вам нужно знать о треугольнике 30-60-90.

    Что такое треугольник 30-60-90?

    Треугольник 30-60-90 — это прямоугольный треугольник с углами 30º, 60º и 90º (прямой угол). Поскольку углы всегда находятся в этом соотношении, стороны также всегда находятся в одинаковом соотношении друг к другу.

    • Сторона, противоположная углу 30º, является самой короткой, и ее длина обычно обозначается как \ (x \)
    • Сторона, противоположная углу 60º, имеет длину, равную \ (x \ sqrt3 \)
    • Сторона, противоположная углу 90º, имеет наибольшую длину и равна \ (2x \).

    Вот пример базового треугольника 30-60-90:

    Знание этого отношения может легко помочь вам определить недостающую информацию о треугольнике, не прибегая к более сложной математике.В стандартных тестах это может сэкономить ваше время при решении проблем. Если вы понимаете взаимосвязь между углами и сторонами, вам не придется использовать свойства треугольника, такие как теорема Пифагора.

    Почему 30-60-90 работает

    Откуда мы знаем, что длины сторон треугольника 30-60-90 всегда находятся в соотношении \ (1: \ sqrt3: 2 \)? Хотя мы можем использовать геометрическое доказательство, вероятно, более полезно просмотреть свойства треугольника, поскольку знание этих свойств поможет вам с другими проблемами геометрии и тригонометрии.

    Вот несколько свойств треугольника, о которых следует знать:

    1. В любом треугольнике сумма углов составляет 180 °. Другими словами, если вы знаете меру двух углов, вы можете найти меру третьего, вычитая меру двух углов из 180.
    2. В любом треугольнике сторона, противоположная наименьшему углу, всегда самая короткая, а сторона, противоположная наибольшему углу, всегда самая длинная. Вы можете увидеть, как это применимо к треугольнику 30-60-90 выше.
    3. Треугольники с одинаковыми градусами равны и , и их стороны будут иметь одинаковое отношение друг к другу. Это означает, что все треугольники 30-60-90 похожи, и мы можем использовать эту информацию для решения задач, используя подобие.

    Кроме того, вот несколько свойств треугольников, специфичных для прямоугольных треугольников:

    • В прямоугольных треугольниках сторона, противоположная углу 90º, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.2 \).

    На основе этой информации, если проблема говорит, что у нас прямоугольный треугольник, и нам говорят, что один из углов равен 30º, мы можем использовать первое указанное свойство, чтобы знать, что другой угол будет 60º. Часто 30-60-90 треугольников появляются в стандартных тестах в виде прямоугольного треугольника с углом 30 или 60 градусов, и вам остается выяснить, что это 30-60-90.

    Не только это, прямой угол прямоугольного треугольника всегда является наибольшим углом — снова используя свойство 1, два других угла должны будут составлять в сумме 90 °, то есть каждый из них не может быть больше 90 °.2 \)

    \ (\ sqrt4 = 2 = с \)

    Используя свойство 3, мы знаем, что все треугольники 30-60-90 похожи и их стороны будут в одинаковом соотношении.

    Когда использовать 30-60-90 треугольников

    Для задач геометрии: Зная три части информации, одна из которых состоит в том, что треугольник является прямоугольным, мы можем легко найти недостающие части информации, такие как размеры углов и длины сторон.Три части информации, обычно две меры угла и 1 длина стороны или 1 мерка угла и 2 длины стороны, позволят вам полностью заполнить оставшуюся часть треугольника.

    Для задач тригонометрии: , зная основные определения синуса, косинуса и тангенса, очень легко найти их значения для любого треугольника 30-60-90. Синус, косинус и касательная представляют собой отношение сторон треугольника на основе одного из углов, обозначенных тета или \ (\ тета \).Поскольку соотношение сторон одинаково для каждого треугольника 30-60-90, значения синуса, косинуса и тангенса всегда одинаковы, особенно следующие два, которые часто используются в стандартизированных тестах:

    • Синус \ (30 \) равен \ (\ frac {1} {2} \)
    • Косинус \ (60 \) равен \ (\ frac {1} {2} \)

    Тригонометрических и геометрических преобразований, Sin (A + B), Sin (A

    Список всех тригонометрических тождеств (формул)

    Коэффициенты суммирования углов

    Как показали примеры, иногда нам нужны углы, отличные от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов.В этой главе вам нужно узнать две вещи:
    1. Sin (A + B) не равно sin A + sin B . Это не похоже на удаление скобок в алгебре.
    2. Формула того, чему равен sin (A + B).

    Во-первых, чтобы показать, что удаление скобок «не работает». Здесь: сделайте A 30 градусов и B 45 градусов.

    Грех 30 равен 0,5. Sin 45 равен 0,7071. Если сложить два, получится 1,2071.

    Вы знаете, что никакой синус (или косинус) не может быть больше 1. Почему? знаменателем этого отношения является гипотенуза.Максимум, что может быть в числителе, равно знаменателю. Синус или косинус никогда не могут быть больше 1, поэтому значение 1,2071 должно быть неправильным.

    Требуемый синус, косинус или тангенс полного угла (A + B)

    В поисках греха (A + B)

    Самый простой способ найти sin (A + B) — это геометрическая конструкция, показанная здесь. Большой угол (A + B) состоит из двух меньших, A и B. Конструкция (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей.Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), равна sin A. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), равна cos B. Средняя линия находится как в числителе, так и в знаменателе, поэтому каждая из них отменяет и оставляет нижнюю часть противоположной точки над гипотенузой (4).

    Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Заштрихованный угол — A, потому что линия на его верхней стороне параллельна базовой линии. Подобные прямоугольные треугольники с углом A показывают, что верхний угол, отмеченный A, также равен исходному A.Верхняя часть противоположной гипотенузы (6) над самым длинным заштрихованным треугольником — это cos A. Противоположная часть главной гипотенузы (7) — это sin B. Поскольку сторона, отмеченная «противоположная» (7), находится в обоих числителях и знаменатель, когда cos A и sin B умножаются вместе, cos A sin B — это верхняя часть исходной противоположности — для (A + B) — деленная на главную гипотенузу (8).

    Теперь соберите все вместе (9). Sin (A + B) — это две противоположные части, разделенные гипотенузой (9). Помещаем это в его триггерную форму:

    sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

    Нахождение cos (A + B)

    Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла, образованного двумя сложенными углами.

    Используя ту же конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной базовой линией (для cos A), с вычтенной частью справа. Каждая часть должна использовать один и тот же знаменатель — гипотенузу треугольника (A + B).

    Полная базовая линия, разделенная линией раздела между углами A и E, равна cos A (2). Эта разделительная линия, разделенная гипотенузой треугольника (A + B), есть cos B (3). Таким образом, полная базовая линия, деленная на гипотенузу, представляет собой произведение cos A cos B (4).

    Теперь о маленькой части, которую нужно вычесть. Заштрихованная часть (5) представляет sin A, который, умноженный на заштрихованную часть (6), равен sin E, что дает вам другой кусок, который вам нужен (7). Вычитание дает cos (A + B) (8), поэтому нам нужна формула:

    cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B

    В поисках загара (A + B)

    Полный геометрический вывод формулы для tan (A + B) сложен. Самый простой способ — вывести его из двух формул, которые вы уже сделали.При любом угле тангенс равен синусу, деленному на косинус. Используя этот факт, tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B). Так оно и есть, но вы можете расширить это до:
    $ \ tan (A + B) = \ frac {\ sin \ A \ cos \ B + \ cos \ A \ \ sin \ B} {\ cos \ A \ cos \ B — \ sin \ A \ \ sin \ B} $
    Разделим верхнюю и нижнюю части на cos A cos B, что превратит все члены в касательные, получив:
    $ \ tan (A + B) = \ frac {\ tan \ A + \ tan \ B} {1 — \ tan \ A \ \ tan \ B} $

    Передаточное отношение для 75 градусов

    Покажите соотношения для синуса, косинуса и тангенса, подставив их в формулу суммы, а затем уменьшив результат до его простейшего вида, прежде чем оценивать отклонения.После внесения основных замен в каждом случае черновая работа заключается в закрашивании — чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.


    Если вы используете свой карманный калькулятор для оценки, вероятно, не будет никакой разницы, упростите вы сначала выражения или просто пройдетесь по ним! Все зависит от калькулятора: некоторые имеют значение, некоторые — нет!

    Углы более 90 градусов

    До сих пор учитывались отношения острых углов (от 0 до 90 градусов).Другие треугольники с тупыми углами (более 90 градусов) могут быть более 180 градусов в более поздних задачах. Чтобы упростить классификацию углов по размеру, они разделены на квадранты.

    Квадрант — это четверть круга. Поскольку круг обычно делится на 360 градусов, квадранты называются сегментами с углом 90 градусов. 0-90 градусов — это 1-й квадрант, 90-180 — 2-й, 180-270 — 3-й и 270-360 — 4-й.

    Рисование линиями для представления границ квадранта с 0 или 360 по горизонтали вправо, 90 по вертикали, 180 по горизонтали влево и 270 по вертикали вниз.Теперь воспользуйтесь этим методом для построения графиков.

    Постепенно большие углы определяются вращающимся вектором, начинающимся с нуля и вращающимся против часовой стрелки. Горизонтальные элементы — это x: положительный справа, отрицательный слева. Вертикальные элементы — y. положительный вверх, отрицательный вниз. Вращающийся вектор — r. Итак, синус угла равен y / r, косинус x / r и тангенс y / x. Вектор r всегда положителен. Итак, знаком соотношений могут быть цифры для различных квадрантов.

    Здесь знаки трех соотношений сведены в таблицу для четырех квадрантов.Также как эквивалентный угол в первом квадранте «переключается», когда вектор переходит от одного квадранта к другому. В первом квадранте стороны были определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. По мере того, как вы переходите к большим углам в оставшихся квадрантах, противоположная сторона всегда будет вертикальной (y). То, что называлось смежным, всегда является горизонтальным (x). Гипотенуза — это всегда вращающийся вектор (r). Вы начнете видеть закономерность в изменении этих тригонометрических соотношений углов.

    Передаточные числа в четырех квадрантах

    Передаточные числа для разностных углов

    Теперь у вас есть два способа получить формулы для разностных углов. Во-первых, используйте геометрическую конструкцию, такую ​​как та, которая использовалась для суммирования углов, изменив ее так, чтобы (A — B) был углом B, вычтенным из угла A.

    В рассуждениях, аналогичных тем, которые использовались для суммирования углов, здесь представлены несколько сокращенно формулы синуса и косинуса:

    sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B

    а также

    cos (A — B) = cos A cos B + sin A sin B

    Геометрическая конструкция

    Формулы суммы и разности

    Второй метод нахождения формулы для разностных углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным.Из нашего исследования знаков для различных квадрантов, отрицательные углы от 1-го квадранта будут в 4-м квадранте. Выполнение этой замены дает те же результаты, которые геометрически были получены в предыдущем разделе.

    Для нахождения формулы тангенса используется тот же метод, либо путем подстановки в формулы синуса и косинуса, либо, более напрямую, путем определения tan (-B) = — tan B. В любом случае вы получите:
    $ \ tan (A — B) = \ frac {\ tan \ A — \ tan \ B} {1 + \ tan \ A \ \ tan \ B} $

    Соотношения по четырем квадрантам

    Вы можете вывести еще несколько соотношений с помощью формул суммы и разности.Вы уже сделали передаточные числа на 75 градусов. Теперь сделайте это на 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов с 15-градусным интервалом в четырех квадрантах. Нанося их на полные 360 градусов, вы можете увидеть, как меняются три соотношения, когда вектор проходит через четыре квадранта.

    И синус, и косинус «колеблются» вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены одна относительно другой на 90 градусов. Этот факт станет важным позже.

    Касательная начинается как синусоида, но быстро поднимается вверх, достигая бесконечности под углом 90 градусов.Выходя за пределы шкалы в положительном направлении, он «появляется» из отрицательного направления по другую сторону 90 градусов. Проходя через точку 180 градусов, касательная кривая дублирует то, что она делает, проходя через 0 или 360 (в зависимости от того, как вы ее видите). При 270 градусах он повторяет то же самое, что и при 90 градусах.

    Пифагор в тригонометрии

    Формулу часто можно упростить, как это было обнаружено путем получения касательных формул из формул синуса и косинуса и изменения ее с членов, использующих одно отношение, на члены, использующие другое отношение.При этом очень удобна теорема Пифагора, выраженная в тригонометрических соотношениях.

    Предположим, что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 1 единице. Тогда одна из других сторон будет иметь длину sin A, а другая — cos A. Из этого теорема Пифагора показывает, что: cos 2 A + sin 2 A = 1. Это утверждение всегда верно, поскольку любое значение A.

    Немного о том, как это написано. Cos 2 A означает (cos A) 2 .Если бы вы написали это cos A 2 , уравнение означало бы что-то другое. A — это число в некоторых угловых обозначениях, обозначающее угол. 2 будет тем же числом в квадрате. Его значение будет зависеть от используемой угловой записи, так что это не лучший термин для использования. Имеется в виду синус или косинус угла в квадрате, а не сам угол.

    Формулу Пифагора можно транспонировать. Например, две другие формы:
    cos 2 A = 1 — sin 2 A и sin 2 = 1 — cos 2 A.

    Несколько углов

    Формулы суммы, наряду с теоремой Пифагора, используются для углов, которые равны 2, 3 или более точному кратному любому исходному углу. Здесь приведены формулы для 2A и 3A. Тот же метод используется далее в частях 3 и 4 этой книги.

    Формула суммы работает независимо от того, одинаковые или разные углы: sin (A + B) или sin (A + A). Однако грех (А + А) на самом деле грех 2А. Итак, sin 2A — это sin A cos A + cos A sin A. Они оба являются одним и тем же произведением в противоположном порядке, поэтому это утверждение можно упростить до sin 2A = 2 sin A cos A.2 австралийских доллара

    Теперь тройной угол (3A) используется только для того, чтобы показать, как получаются дальнейшие кратные.

    По сути, это так же просто, как написать 3A = 2A + A и повторно применить формулы суммы. Но затем, чтобы получить результирующую формулу в работоспособной форме, вам нужно заменить часть 2A, чтобы получить все в терминах соотношений для простого угла A.

    Пройдите свой путь по трем показанным здесь производным. Вы можете видеть, что при 4 А и более все усложняется (в частях 3 и 4 этой книги).

    НЕСКОЛЬКО УГЛОВ, полученных из формул суммы

    НЕСКОЛЬКО УГЛОВ для 3A

    Свойства равнобедренного треугольника

    Вы уже видели, что прямоугольный треугольник — полезный строительный блок для других фигур. Равнобедренный треугольник используется несколько иначе. Но факт, на котором основано это использование, состоит в том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла, противоположных этим двум сторонам. Перпендикуляр от третьего угла (не одного из равных) к третьей стороне (не одной из равных) делит эту третью сторону пополам.То есть он делит его на две равные части, превращая весь треугольник в зеркальные прямоугольные треугольники.

    В случае равнобедренных треугольников любой треугольник, кроме прямоугольного, можно разделить на три смежных равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и возведя перпендикуляры из точек деления пополам. Если любые два из этих перпендикуляров пересекаются, если линии проводят к углам исходного треугольника, эти три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равнобедренного треугольника.Итак, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника также должен пересекаться в той же точке.

    Это утверждение верно, как мы показываем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Отличие от треугольника с тупым углом состоит в том, что точка встречи находится за пределами исходного треугольника, а не внутри.

    Что делает прямоугольный треугольник? Перпендикуляры от середины гипотенузы к двум другим сторонам разделят эти две стороны пополам — вы получите две из трех! Точка встречи находится на гипотенузе.

    Углы по окружности

    Основное свойство круга — то, что его центр находится на равном расстоянии от каждой точки на его окружности. Это равное расстояние и есть радиус круга.

    Если вы нарисуете какой-либо треугольник внутри круга, перпендикуляры из средних точек его стороны встретятся в центре круга, а радиусы углов треугольника разделят его на три равнобедренных треугольника.

    Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике, A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A + B, один угол B + C и один угол A. + С.Сумма трех углов составляет 2A + 2B + 2C. Это, знаете ли, в сумме составляет 180 градусов.

    В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусам минус удвоенный угол основания. Из-за факта, выведенного в предыдущем абзаце, например, 180 — 2A должно быть таким же, как 2B + 2C.

    Рассмотрим углы, противоположные той части круга, против которой сидит верхняя левая сторона треугольника. Угол в центре равен 2B + 2C, как только что было вычислено. Угол на окружности B + C.»Вы обнаружите, что для любого сегмента круга угол в центре всегда в два раза больше угла на окружности.

    Приведенное выше доказательство приводит к интересному факту об углах в окружностях. Вместо того, чтобы определять углы со стороной треугольника, используйте дугу (часть окружности) круга. Важен угол, соответствующий дуге в центре. Часть окружности круга, которая определяется углом в центре, называется хордой круга.

    Угол в центре в два раза больше угла на окружности

    Любой угол, касающийся окружности с использованием этой хорды в качестве завершения линий, ограничивающих угол, должен составлять лишь половину угла в центре. Таким образом, все углы в окружности, основанной на одной и той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Углы на окружности будут ровно 60 градусов.

    Частный случай — полукруг (точный полукруг).Угол в центре — прямая линия (180 градусов). Каждый угол на окружности полукруга составляет ровно 90 градусов (прямой угол). Любой треугольник в полукруге — это прямоугольный треугольник.

    Определения

    Выше мы часто использовали углы, которые в сумме составляют либо прямой угол (90 градусов), либо два прямых угла (180 градусов). Когда два угла в сумме составляют 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными . Когда два угла в сумме составляют 90 градусов (один прямой угол), они называются дополнительными .

    Вопросы и проблемы

    1. Синус угла A равен 0,8, а синус угла B равен 0,6. Из различных соотношений, полученных на данный момент, найдите следующее: tan A, tan B, sin (A + B), cos (A + B), sin (A — B), cos (A — B), tan (A + B) и tan (A — B), без использования таблиц или триггерных кнопок калькулятора.

    2. На экваторе Земля имеет радиус 4000 миль. Углы вокруг экватора измеряются в меридианах долготы с линией с севера на юг, проходящей через Гринвич, Англия, в качестве нулевой точки отсчета.Для наблюдения за луной используются два места: одно — гора Кения, на экваторе в 37,5 км к востоку от Гринвича; другой — Суматра, на экваторе, в 100,5 м восточной долготы. Насколько далеко друг от друга находятся эти два места, если измерять их воображаемой прямой линией, проходящей через Землю?

    3. Если прицелы производились горизонтально из точек наблюдения, упомянутых в вопросе 2 (на восток от первой, на запад от второй), под каким углом пересекались бы линии обзора?

    4. В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник.В Кении угол обзора спутника с центром на 58 градусов выше горизонтали в восточном направлении. На Суматре высота 58 градусов над горизонтом в западном направлении. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками, вычисленное в вопросе 2.

    5. Косинус определенного угла ровно в два раза больше синуса того же угла. Каков тангенс этого угла? Для этого вопроса не нужны ни таблицы, ни калькулятор.

    6. Синус определенного угла равен нулю.28. Найдите косинус и тангенс без таблиц или триггерных функций на вашем калькуляторе.

    7. Синус определенного угла равен 0,6. Найдите синус двойного этого угла и тройного этого угла.

    8. Найдите синус и косинус угла, ровно вдвое больше, чем в вопросе 7.

    9. Используя 15 градусов как единичный угол и формулы для соотношений 2A и?> A, найдите значения синусов 30 и 45 градусов.

    10. Используя 30 градусов в качестве единицы угла, найдите значения синусов 60 и 90 градусов.

    11. Используя 45 градусов как единичный угол, найдите значения для касательных 90 и 135 градусов.

    12. Используя 60 градусов в качестве единицы угла, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.

    13. Используя 90 градусов в качестве единицы угла, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.

    14. Используя формулы касательных для нескольких углов и таблицы, найдите касательные для трех, умноженных на 29, 31, 59 и 61 градус. Учтите изменения знака между 29 и 31 градусом и между 59 и 61 градусом.

    15. Синус угла равен 0,96. Найдите синус и косинус для удвоенного угла.

    16. Задача приводит к алгебраическому выражению в форме 8cos 2 A + cos A = 3. Решите для cos A и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение. Приведите приблизительные значения из таблиц или вашего калькулятора.

    Тригонометрия
    Тригонометрические тождества (формулы)

    .