Проект поп математике — Геометрия измерительных приборов

---

Подборка по базе: АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ.docx, СӨЖ Аналитикалық геометрия Мех-21 2021 (1).doc, ВСРЗ 9 сынып геометрия каз.docx, 9-сынып геометрия ҚМЖ.pdf, 11 Геометрия КТЖ.docx, 9 сынып олқылық геометрия.docx, БЖБ ТЖБ талдау геометрия 7- класс.doc, 1-урок геометрия.docx, БЖБ №1 9 геометрия.docx, 9 класс геометрия 12.10.ppt

---

Министерство образования Республики Башкортостан

ГАПОУ Уфимский топливно-энергетический колледж

Индивидуальный проект

По дисциплине «Математика»

Специальность: 13.02.02 Теплоснабжение и теплотехническое оборудование

Тема: «Геометрия измерительных приборов»

Выполнил: студент группы 1ТС-2

Гибадуллина Рашита

Научный руководитель: Елизарьева Э.Ф.

Уфа, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

1. АННОТАЦИЯ 3

2. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЕКТА 4

3. ВВЕДЕНИЕ 5-8

4. ТЕОРИЯ О ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ В ГЕОМЕТРИИ 9-22

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ 23-32

5.1 ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ НА МЕСТНОСТИ 23

5.2 ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫЙ СРЕДНЕГО ШАГА 24

5.3 ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМЫХ УГЛОВ НА МЕСТНОСТИ 24

5.4 ПОСТРОЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 25

5.5 ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО МЕСТНОСТИ 25

5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТЫ ПРЕДМЕТА 26-27

5.7ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ДО НЕДОСТУПНОЙ ТОЧКИ 28-33

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34

7. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 35

Все заголовки заглавными буквами и в содержании, и в работе

Приведите текст в порядок, красная строка, уберите разрыв между абзацами

2

АННОТАЦИЯ

Основываясь на высказывания Д.И. Менделеева

«Наука начинается с тех пор, 

Как начинают измерять,

Точная наука немыслима

без измерения».

Д. И. Менделеев.
Измерительные приборы нам нужна практически везде. Применяются нами во всех профессиях.
Измерения- Важнейший этап Деятельности исследователей и экспериментов во всех отраслях науки и техники
Главное:Чтобы гарантировать точность размеров и соответствие действующим стандартам, необходимо использовать высокоточные

измерительные приборы

3

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЕКТА:

Действительно, роль измерений в жизни современного человека очень велика.

В популярном энциклопедическом словаре дается определение измерению. Измерения – это действия, производимые с целью нахождения числовых значений, количественной величины в принятых единицах измерения.

Измерить величину можно с помощью приборов. В повседневной жизни мы уже не можем обойтись без часов, линейки, измерительной ленты, мерного стакана, термометра, электрического счетчика. Можно сказать, с приборами мы сталкиваемся на каждом шагу.

Данный проект показывает о необходимости геометрических измерительных приборов

В данном проекте поставили такие цели.

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

узнать и изучить измерительных приборов в геометрии ,для чего они созданы и кем они были созданы ,для чего мы их используем в повседневной жизни тебе связать с профессией
ЗАДАЧИ ПРОЕКТА:

1. 
   Узнать о приборах
   
2. 
   Кто их придумал, кто их создал детские задачи
   
3. 
   Узнать, как они используются
   
4. 
   Для чего мы их используем
   
5. 
   Сделать практическую часть «геометрия в местности» связать с профессией
   

4

ВВЕДЕНИЕ

Измерение физических величин является одним из способов познания окружающего нас мира и основным средством контроля различных технологических процес­сов. Роль и значение измерений как объективного фактора изучения природы в свое время отметил великий русский ученый Д. И. Менделеев, который считал их основой научных исследований. Действительно, значение метро­логии1 (1 Метрологией называется наука об измерениях.) в развитии науки и техники исключительно велико, и в настоящее время без измерений не может обойтись почти ни одна область знаний. Научно-технический прог­ресс в стране также неразрывно связан с развитием и совершенствованием метрологии.

Измерение физических величин имеет давнюю историю. Еще в средние века производились измерения времени, геометриче­ских размеров и массы тел. В XVII столетии появились термометры для измерения температуры, манометры для измерения давления, барометры для определения атмосферного давления и пр. В XVIII и XIX вв. стали применяться динамометры для измерения силы, ка­лориметры для измерения количества тепла и многие другие при­боры, а также начали создаваться приборы для измерения электри­ческих величин.

В развитии измерительной техники в России большое значение имеют многочисленные труды русских ученых, изобретателей и инженеров XVIII и XIX вв. Многие оригинальные конструкции из­мерительных приборов различного назначения были созданы основоположником русской науки М. В. Ломоносовым (1711— 1765 гг.). Некоторые из них являются прототипами приборов, при­меняемых и в настоящее время. Заслугой М. В. Ломоносова является также создание температурной шкалы, основанной на тепловом расширении жидкости. Кроме того, им впервые была показана возможность измерения электрических величин и в 1752 г. сов­местно с академиком Г. В. Рихманом создан первый электроизме­рительный прибор.

В ряду пионеров отечественного приборостроения одно из первых мест принадлежит выдающемуся русскому механику Й. П. Кули-бину (1735—1818 гг.). Им сделано много ценных изобретений, изго­товлено большое количество разнообразных измерительных прибо­ров (термометров, барометров, точных весов и пр.).

Известный русский механик И. И. Ползунов (1728—1766 гг.) создал первый промышленный указатель и регулятор уровня воды в паровом котле. Прототип современного объемного счетчика жидкости предложил в 1831 г. русский изобретатель Н. Кандалинцев. Во второй половине XIX века на

5

Урале инженер Поленов впервые построил прибор для измерения высоких температур прока­тываемого металла.В создании различных устройств, предназначенных для пере­дачи показаний измерительных приборов на расстояние с помощью электрического тока, большое значение имели работы русских ученых П. Л. Шиллинга, Б. С. Якоби, Б. Б. Голицына и др.

Исключительно важные работы в области измерений, не поте­рявшие своего аначения и в настоящее время, были выполнены гениальным русским ученым Д. И. Менделеевым (1834—1907 гг.), который является основоположником отечественной метрологии. Им, в частности, были произведены классические измерения длины, массы, давления, объема и других физических величин н установ­лены точные соотношения между прежними русскими и метриче­скими мерами, что облегчило в дальнейшем введение в нашей стране метрической системы мер 1. ( 1 Метрическая система мер была узаконена советским прави­тельством в 1918 г. и внедрена повсеместно с 1927 г.)

Придавая большое значение точности измерений и правильно­сти технического контроля производственных процессов, Д. И. Мен­делеев стремился создать в России специальное научное учреж­дение по метрологии и организовать в широких масштабах пове­рочное дело. В 1892 г. он был назначен ученым-хранителем Депо русских образцовых мер, а в 1893 г., когда для обеспечения в стране единообразия и правильности измерений была организована Глав­ная палата мер и весов, Д. И. Менделеев был назначен первым ее руководителем 2. (2 В настоящее время на базе Главной палаты мер и весов су­ществует Всесоюзный научно-исследовательский институт метрологииим. Д.И.Менделеева (ВНИИМ) в г. Ленинграде .) .

Теплотехнические измерения служат для определения многих физических величин, связанных с процессами выработки и потребления тепловой энергии. Они включают определение как чисто тепловых величин (температуры, теплоты сгорания, теплопроводности и пр.), так и некоторых других (давления, расхода и коли­чества, уровня, состава газов и пр.), играющих важную роль в теплоэнергетике.

Теплотехнические измерения широко применяются во многих отраслях народного хозяйства: в энергетике, ме­таллургии, химии и др. В энергетической промышлен­ности они используются для повседневного контроля и наблюдения за работой и состоянием установленного на электростанциях оборудования.

Наряду с этим теплотехнические измерения необходимы при изучении и дальней­шем совершенствовании способов производства электри­ческой и тепловой энергии и методов потребления тепла.

6

Большую роль они играют и в устройствах автоматизации тепловых электростанций-регулирова­нии и управлении, технологической защите, сигнализации), где осуществляются с помощью специальных измеритель­ных преобразователей.Надежная и экономичная эксплуатация современных тепловых электростанций немыслима без применения зна­чительного количества разнообразных по устройству, назначению и принципу действия приборов теплотехни­ческого контроля. На этих электростанциях, оснащенных сложным энергетическим оборудованием, теплотехнический контроль органически связан с его работой и является весьма важным звеном управления.В СССР создана крупная и хорошо оснащенная прибо­ростроительная промышленность, обеспечивающая серий­ный выпуск многочисленных и разнообразных приборов теплотехнического контроля. Создается и внедряется единая государственная система промышленных приборов и средств автоматизации (ГСП), призванная значительно обновить и сократить номенклатуру выпускаемой изме­рительной аппаратуры, повысить качество, надежность и долговечность приборов и снизить их стоимость. Харак­терной ее особенностью является максимальная унифика­ция отдельных элементов, узлов и блоков, что весьма упрощает и удешевляет производство приборов различ­ного назначения, облегчает их монтаж, обслуживание и ремонт.Большое значение для электростанций приобретает централизация системы автоматического контроля круп­ных энергоблоков на базе применения машин централизо­ванного контроля (МЦК), информационно-вычислитель­ных машин (ИВМ) и другой современной измерительной техники.В настоящее время широкое распространение полу­чают автоматизированные системы управления технологи­ческими процессами (АСУ ТП). В таких системах информа­ционно-измерительные функции выполняют электронно-вычислительные машины (ЭВМ), к которым поступает информация от большого числа разнообразных средств измерений, характеризующая ход технологических про­цессов. Применение электронно-вычислительных машин требует применения методов и средств измерений, обеспе­чивающих в условиях эксплуатации необходимую точ­ность и высокую надежность.Большинство современных теплотехнических измери­тельных приборов основано на применении электрических принципов измерения неэлектрических величин (темпе­ратуры, давления, расхода и пр.). Указанный принцип измерения, построенный на количественных соотноше­ниях между некоторыми электрическими и неэлектричес­кими величинами, повышает точность и надежность изме­рений, упрощает устройство приборов и обеспечивает возможность передачи их показаний на расстояние.Широкое применение для теплотехнических измерений получили автоматические электронные измерительные при­боры, отличающиеся простотой устройства, высокой точ­ностью, чувствительностью и быстродействием. Созданы также приборы, основанные на использовании свойств радиоизотопов, ультразвука, высоких частот и на ряде других прогрессивных методов измерений.

7

Что такое линейка? Линейка- простейший измерительный инструмент, представляющий собой узкую пластину, у которой как минимум одна сторона прямая. Обычно линейка имеет нанесенные штрихи, кратные единице измерения длины, которые используются для измерения расстояний.

8

9

Масштабная линейка. На одном ребре линейки нанесены миллиметровые деления. Каждые 5 мм на линейке отделяются штрихами, а 10 мм- более длинными. Ценой деления масштабной линейки является 1 мм. Не заштрихованное ребро линейки используется для проведения на бумаг прямых линий при построении различных прямолинейных фигур.

Логарифметическая линейка- аналоговое вычислительноеустройство,позволяющее выполнять несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в степень и вычисление квадратных и кубических корней.

10

Линейка Дробышева. Линейка Дробышева- инструмент для точного построения ортогональной координатной сетки. Линейка представляет собой

стальную полосу с пятью прорезями, которые служат для карандашных засечек на листе ватмана. Появилась эта линейка в 1925 году получила название по имени изобретателя- Федора Васильевича Дробышева. Позже получила название «линейка Базеева- Лизунова».

11

Уильям Отред (1575-1660). Уильям Отред был английским математиком. Родился Уильям 5 марта 1575 года в Итоне. Уильям известен как изобретатель линейки (1622г). Он закончил Кембриджский университет в 1595г. После чего стал там преподавать до 1608г. Затем недалеко от Лондона в Олберии Уильям провел большую часть своей жизни. Уильям Отред умер 30 июня 1660года в Олберии, прожил 85 лет. Труды Уильяма оказали значительное влияние на развитие алгебры. Уильям Отред (1575-1660).

12

Транспорти́р (фр. transporteur, от лат. transporto «переношу») — инструмент для построения и измерения углов. Транспортир состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделённого на градусы от 0 до 180°. В некоторых моделях — от 0 до 360°.

Транспортиры изготавливаются из стали, пластмассы, дерева и других материалов. Точность транспортира прямо пропорциональна его размеру (чем больше транспортир, тем меньше цена одного деления и соответственно точность выше).

История транспортира.

Транспортир известен с древних времён. Предположительно учеными, транспортир изобрели в древнем Вавилоне.Предполагают, что создание транспортира связано с историей возникновения первого календаря

Когда же появился транспортир? Оказывается, эта угловая мера возникла много тысяч лет тому назад. Предполагают, что это было связано с созданием первого календаря. Древние математики нарисовали круг и разделили его на столько частей, сколько дней в году. Но они думали, что в году не 365 или 366 дней, а 360. Поэтому круг, обозначающий год, они разделили на 360 равных частей. Такое изображение было очень полезным, на нём можно было отмечать каждый прошедший день, и видеть, сколько дней осталось до конца года. Каждой части дали название – градус. Градусная мера сохранилась и до наших дней. Картинку с древним календарем легко сделать, имея транспортир.

История транспортира.

Транспортир известен с древних времён. Предположительно учеными, транспортир изобрели в древнем Вавилоне.Предполагают, что создание транспортира связано с историей возникновения первого календаря

Когда же появился транспортир? Оказывается, эта угловая мера возникла много тысяч лет тому назад. Предполагают, что это было связано с созданием первого календаря. Древние математики нарисовали круг и разделили его на столько частей, сколько дней в году. Но они думали, что в году не 365 или 366 дней, а 360. Поэтому круг, обозначающий год, они разделили на 360 равных частей.

Такое изображение было очень полезным, на нём можно было отмечать каждый прошедший день, и видеть, сколько дней осталось до конца года.

13

Каждой части дали название – градус. Градусная мера сохранилась и до наших дней. Картинку с древним календарем легко сделать, имея транспортир.

Разновидности транспортиров.

Полукруговые (180 градусов) — наиболее простые и древние транспортиры.

• 
  Круговые (360 градусов).
  
• 
  Геодезические, которые бывают двух типов: ТГ-А — для построения и измерения углов на планах и картах; ТГ-Б — для нанесения точек на чертежной основе по известным углам и расстояниям. Цена деления угломерной шкалы — 0,5°, прямолинейной — 1 миллиметр.
  
• 
  Улучшенные типы транспортиров, которые необходимы для более точных построений и измерений. Например, существуют специальные транспортиры с прозрачной линейкой с угломерным нониусом, которая вращается вокруг центра.
  

14

ЦИРКУЛЬ—инструмент для черчения окружностей. И дугой окружностей, также может быть использован для измерения расстояний в частности, на картах. Может быть использован в геометрии, черчении, для навигации и других целей.

Разметочный циркуль

Простейшее приспособление для измерения длин и перенесения их с чертежа на деталь. Имеет две остроконечные ножки, которые разводятся и смыкаются за счет шарнирного соединения. Также в конструкции может быть предусмотрен винт, с помощью которого можно зафиксировать ножки в нужном положении для более точного перенесения размеров или сравнения параметров нескольких деталей.

Чертежный циркуль

По строению напоминает разметочный, отличительной деталью является кольцо для карандаша, закрепленное на одной из ножек. Зафиксировав карандаш на одной ножке, а другую воткнув в поверхность, на

15

которой будет выполнен чертеж, нужно выбрать необходимое расстояние между ножками и начертить окружность, перемещая карандаш вокруг оси опорной ножки.

Кронциркуль для наружных измерений

Состоит из двух загнутых внутрь ножек, между которыми зажимается измеряемая деталь. Даже когда концы циркуля сомкнуты, между ножками остается большое расстояние, что позволяет делать замеры труднодоступных участков заготовок. Если нужны максимально точные данные, то лучше выбрать изделие с фиксирующим винтом.

Кронциркуль для внутренних измерений

Состоит из двух ножек, разведенных в разные стороны на концах. Такая конструкция оптимально подходит для измерения ширины отверстий, пазов и углублений. Поместив ножки внутрь и разведя их в стороны, пока они не упрутся в стенки, можно получить точные результаты измерений, чего невозможно добиться при использовании линейки. Такой инструмент еще называют нутромером, так как он предназначен только для внутренних измерений. Не путайте его с устройством, которое называют «нутромер индикаторный», так как пользоваться им нужно по-другому и устроен он иначе.

16

Штангенциркуль

Состоит из линейки (штанги со шкалой делений), с одного конца которой находится неподвижная губка, а вдоль линейки перемещается подвижная. Зажав между ними деталь, можно получить ее наружный размер. У большинства штангенциркулей есть дополнительные верхние губки, которые предназначены для внутренних измерений. Таким образом, устройство сочетает в себе измерение нутромером и кронциркулем. Можно измерять не только длину и ширину деталей, но толщину металлических листов или проволоки.

Штангенглубиномер

По виду напоминает штангенциркуль, только предназначен для измерения глубины отверстий, канавок и пазов. Для определения глубины нужно поместить рабочую часть внутрь отверстия до упора, если же необходимо определить высоту уступа, то рабочую часть нужно прислонить к нему и по шкале насечек определить значение.

17

«Измерительные работы на местности в курсе геометрии ».

В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Учащиеся учатся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.

Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения. Формирование отвлеченного мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями. При этом удачное и умелое применение наглядности побуждает учеников к познавательной самостоятельности и повышает их интерес к предмету, является важнейшим условием успеха

Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.

По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т.д.

Цели проведения уроков “Измерение на местности”:

• 
  практическое применение теоретических знаний;
  
• 
  активизация познавательной деятельности;
  

18

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:

• 
  взаимосвязи теории с практикой;
  
• 
  научности;
  
• 
  наглядности;
  
• 
  учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
  
• 
  сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
  
• 
  дифференцированного подхода;
  

 Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение учащимися на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны научиться производить измерения, пользоваться справочниками и таблицами, свободно владеть чертёжными и измерительными инструментами. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:

• 
  “Провешивание прямой на местности” (п.2),
  
• 
  “Измерительные инструменты” (п.8),
  
• 
  “Измерение углов на местности” (п.10),
  
• 
  “Построение прямых углов на местности” (п.13),
  
• 
  “Задачи на построение. Окружность” (п.21),
  
• 
  “Практические способы построения параллельных прямых” (п.26),
  
• 
  “Уголковый отражатель” (п.36),
  
• 
  “Расстояние между параллельными прямыми” (п.37 – рейсмус),
  
• 
  “Построение треугольника по трём элементам” (п.38)
  

• 
  “Практические приложения подобия треугольников” (п.64 – определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки)
  

• 
  “Измерительные работы” (п.100 – измерение высоты предмета, измерение расстояния до недоступной точки).
  

Практические работы на уроках геометрии позволяют решать педагогические задачи: ставить перед учащимися познавательную математическую проблему, актуализировать их знания и готовить к усвоению нового материала, формировать практически умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.. Они позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории и областью её применения.

Система проведения уроков “Измерение на местности” ставит цели:

• 
  практическое применение теоретических знаний учащихся;
  
• 
  активизация познавательной деятельности учащихся;
  

Предусматривает выполнение следующих задач:

• 
  расширение кругозора учащихся;
  
• 
  повышение интереса к предмету;
  
• 
  развитие смекалки, любознательности, логического и творческого мышления;
  
• 
  формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе
  

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:

• 
  взаимосвязи теории с практикой;
  
• 
  научности;
  
• 
  наглядности;
  
• 
  учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
  
• 
  сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
  
• 
  дифференцированного подхода;
  

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• 
  активность учащихся;
  
• 
  самостоятельность учащихся в выполнении заданий;
  
• 
  практические применения математических знаний;
  
• 
  уровень творческих способностей участников.
  

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

20

• 
  подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;
  
• 
  выявить наиболее активных и способных участников;
  
• 
  воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.
  
• 
  научить применять математические знания в повседневной практической жизни;
  
• 
  обращаться с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.
  

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

• 
  Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.
  
• 
  Экер – прибор для построения прямых углов на местности.
  
• 
  Астролябия – прибор для измерения углов на местности.
  
• 
  Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.
  
• 
  Землемерный циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.
  

21

Экер

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.
Экер

Астролябия

Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу

прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

22

астролябия

Практические работы

1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.

23

2. Измерение средней длины шага.

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.

 

3. Построение прямых углов на местности.

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

24

4. Построение и измерение углов с помощью астролябии.

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.

Практическая работа:

• 
  измерение заданных углов,
  
• 
  построение углов заданной градусной меры,
  
• 
  построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.
  

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

5. Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.

Практическая работа: построение окружности.

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

25

6. Определение высоты предмета.

а) С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А₁С₁ (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С₁ столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А₁А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А₁С₁В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( угол А₁ = углу А = 90^о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА₁ и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А₁С₁ столба.

б) С помощью тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева (задача №580). Можно таким образом определить высоту дерева и в 6 кл, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

26

в) С помощью зеркала.

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (задача №581). Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника.

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30⁰, то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30⁰лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до

27

предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия

треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

7. Определение расстояния до недоступной точки.

а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А₁В₁С₁, у которого угол А₁ = угол А, угол С_! = угол С и измеряем длины сторон А₁В₁ и А₁С₁ этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁, то АВ: А₁В₁ = АС : А₁С₁, откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А₁С₁, А₁В_1.. Для удобства вычислений удобно построить треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы А₁С₁ : АС = 1 : 1000

 

б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90⁰ (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).

в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ₁С₁. Точка А выбрана на берегу реки, В₁ и С у кромки поверхности воды, ВВ₁ – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС₁, АВ₁.

Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.

В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом

28

применяется теорема синусов и теорема косинусов.Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

1. Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b, угол ВАС = a – b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a.

№ 1036

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10⁰ к горизонту, а вершину – под углом 45⁰ к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)

29

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45⁰, то и угол ВСА =45⁰, значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10⁰, отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

№ 1038

На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60⁰ к горизонту, а потом с её основания С под углом 30⁰. Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).

30

Решение:

Дано:

СВ = 100 м

угол ЕВА = 60⁰

угол КСА =30⁰

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30⁰, т.к. угол ЕВС =90⁰ и угол ЕВА =60⁰, отсюда угол СКА =60⁰, значит уголСКА = 180⁰ – 60⁰ = 120⁰.

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30⁰, уголСКА = 120⁰, то уголСАК = 30⁰, получим, что треугольник ВСА равнобедренный с

31

основанием АВ, т.к. уголСВК = 30⁰ и уголВАС = 30⁰, значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30⁰ (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30⁰ лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

2. Измерение расстояния до недоступной точки ( измерение ширины реки).

Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).

Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180⁰ — угол А — угол В

Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.

2 случай.

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.

Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ² = АС² + ВС² – 2 АС * ВС cos угла С.

32

3 случай:

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

геогметрия нужна для определения площади отопляемого помещениея, комнаты ,дома , для определениея для обогревательных труб

часто надо измерять площади не в одной

33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Измерительные приборы нам нужна практически везде. Применяются нами во всех профессиях.
Измерения- Важнейший этап Деятельности исследователей и экспериментов во всех отраслях науки и техники
2.Главное:Чтобы гарантировать точность размеров и соответствие действующим стандартам, необходимо использовать высокоточные

измерительные приборы

В настоящем проекте рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерение высоты дерева или столба или здания, измерения длины до недоступной точки, измерение ширины реки. Приведено большое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Таким образом, цель проекта считаем, достигнута, поставленные задачи выполнены.

Свяжите работу с теплоснабжением, сократите оббьем работы, убрать некоторые задачи, рисунки меньше и чтобы располагались в тексте, расчет по теплоснабжению должен быть вашим личным, не из интернета

34

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Сайты где брал информацию:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейка

https://ru.wikipedia.org/wiki/Транспортир

https://ru.wikipedia.org/wiki/Циркуль

http://открытыйурок.рф/статьи/418615/

https://vuzlit.ru/855377/opredelenie_vysoty_predmeta http://www.handworker.ru/otdyih/opredelenie_vysoty_predmetov/

http://gotowalk.blogspot.ru/2014/05/Dlina-shaga.html

https://infourok.ru/lekciya-na-temu-eker-ego-ustroystvo-i-rabota-s-nim-1039838.html

http://voennizdat.com/konspekt.php?mark=vtop&model=vtop15

https://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-na-temuizmeritelnie-raboti-na-mestnosti-v-kurse-geometrii-klassa-298101.html

http://myschoolsciencewiki.wikispaces.com/Геометрические%20приборы

http://docplayer.ru/27072561-Tema-proekta-izmeritelnye-instrumenty-istoriya-i-sovremennost.html

Литература:

Геометрия. 8 класс. Измерительные материалы: — Санкт-Петербург, ВАКО, 2014 г.

Учебник: Г. Г. Шишкин, А. Г. Шишкин — Москва, Юрайт, 2014 г.-

35

Измерение углов на местности, Реферат

метки: Измерение, Длина, Рисунок, Артиллерист, Палец, Знать, Живой, Линейка

Плоский угол —неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки(вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним. Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Угол измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги к длине окружности , в радианах — отношение длины дуги к радиусу ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

Угол называется острым, если он меньше 90°. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°.Угол равный 90°, называется прямым. Угол называется развернутым, если он равен 180°, т.е. двум прямым углам.

Углы бывают вертикальными и смежными. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные. Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой . Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальный угол Смежный угол

Измерение углов на местности.

Углы на местности можно измерять несколькими способами: Живой угломер, Посох Якова, Грабельный угломер, угол артиллериста.

Живой угломер.

Изготовить самому угломерный прибор простого устройства не очень трудно, особенно если воспользоваться транспортиром. Но и самодельный угломер не всегда бывает под рукою во время загородной прогулки. В таких случаях можно пользоваться услугами того «живого угломера», который всегда при нас. Это — наши собственные пальцы. Чтобы пользоваться ими для приблизительной оценки углов зрения, нужно лишь произвести предварительно несколько измерений и расчетов.

Прежде всего, надо установить, под каким углом зрения видим мы ноготь указательного пальца своей вытянутой вперед руки. Обычная ширина ногтя — 1 см, а расстояние его от глаза в таком положении — около 60 см; поэтому мы видим его примерно под углом в 1° (немного менее, потому что угол в 1° получился бы при расстоянии в 67 см).

У подростков ноготь меньше, но и рука короче, так что угол зрения для них примерно тот же — 1°. Читатель хорошо сделает, если, не полагаясь на книжные данные, выполнит для себя это измерение и расчет, чтобы убедиться, не слишком ли отступает результат от 1°; если уклонение велико, надо испытать другой палец.

23 стр., 11182 слов

Методика поверки угломеров

… Согласно ГОСТ 5378—66 угломеры с нониусом изготовляют двух типов: УН —для измерения наружных и внутренних углов; УМ — для измерения наружных углов. Оптическими угломерами по ГОСТ 11197—73 … измеряют наружные углы. Основные параметры и размеры угломеров приведены в табл. …

Зная это, вы располагаете способом оценивать малые углы зрения буквально голыми руками. Каждый отдаленный предмет, который как раз покрывается ногтем указательного пальца вытянутой руки, виден вами под углом в 1° и, следовательно! отодвинут в 57 раз дальше своего поперечника. Если ноготь покрывает половину предмета, значит, угловая величина его 2°, а расстояние равно 28 поперечникам.

Полная Луна покрывает только половину ногтя, т. е. видна под углом в полградуса, и значит, отстоит от нас на 114 своих поперечников; вот ценное астрономическое измерение, выполненное буквально голыми руками!

Для углов побольше воспользуйтесь ногтевым суставом вашего большого пальца, держа его согнутым на вытянутой руке. У взрослого человека длина (заметьте: длина, а их ширина) этого сустава около 3 ½ см, а расстояние от глаза при вытянутой руке — около 55 см. Легко рассчитать, что угловая величина его в таком положении должна равняться 4°. Это дает средство оценивать углы зрения в 4° (а значит и в 8°).

Сюда надо присоединить еще два угла, которые могут быть измерены пальцами, — именно те, под которыми нам представляются на вытянутой руке промежутки 1) между средним и указательным пальцами, расставленными возможно шире; 2) между большим и указательным, также раздвинутыми в наибольшей степени. Нетрудно вычислить, что первый угол равен примерно 7-8°, второй 15-16°.

Случаев применить ваш живой угломер во время прогулок по открытой местности может представиться множество. Пусть вдалеке виден товарный вагон, который покрывается примерно половиною сустава большого пальца вашей вытянутой руки, т. е. виден под углом около 2°. Так как длина товарного; вагона известна (около 6 м), то вы легко находите, какое расстояние вас от него отделяет: 6х28=170 м или около того. Измерение, конечно, грубо приближенное, но все же более надежное, чем необоснованная оценка просто на глаз.

Заодно укажем также способ проводить на местности прямые углы, пользуясь лишь своим собственным телом.

Если вам нужно провести через некоторую точку перпендикуляр к данному направлению, то, став на эту точку лицом в направлении данной линии, вы, не поворачивая пока головы, свободно протягиваете руку в ту сторону, куда желаете провести перпендикуляр. Сделав это, приподнимите большой палец своей вытянутой руки, поверните к нему голову и заметьте, какой предмет-камешек, кустик и т. п.-

• покрывается большим пальцем, если на него смотреть соответствующим глазом (т. е. правым, когда вытянута правая рука, и левым — когда левая).

Вам остается лишь отметить на земле прямую линию от места, где вы стояли, к замеченному предмету, — это и будет искомый перпендикуляр.

Рисунок. Съемка озера на план.

Способ, как будто не обещающий хороших результатов, но после недолгих упражнений вы научитесь ценить услуги этого «живого эккера» ¹ ) не ниже настоящего, крестообразного.

20 стр., 9544 слов

Измерение горизонтальных и вертикальных углов теодолитом

… дальномерных штрихов наносить окружность, пересекающую вертикальный и горизонтальный основные штрихи сетки, для измерения расстояний как по вертикальной, так и по горизонтальной рейке. Компенсатор углов наклона должен иметь характеристики, … теодолитов следует изготовлять видов, указанных на рисунке 1. Рис. 1. В местах пересечения основных и дальномерных штрихов сетки допускается наличие разрывов. …

Далее пользуясь «живым угломером», вы можете, при отсутствии всяких приспособлений, измерять угловую высоту светил над горизонтом, взаимное удаление звезд в градусной мерз, видимые размеры огненного пути метеора и т. п. Наконец, умея без приборов проводить прямые углы на местности, вы можете снять план небольшого участка по способу, сущность которого ясна из рисунке, например, при съемке озера измеряют прямоугольник ABCD, а также длины перпендикуляров, опущенных из приметных точек берега, и расстояния их оснований от вершин прямоугольника. Словом, в положении Робинзона уменье пользоваться собственными руками для измерения углов (и ногами для измерения расстояний) могло бы пригодиться для самых разнообразных надобностей.

Посох Якова.

При желании располагать более точными измерителями углов, нежели сейчас описанный нами природный «живой угломер», вы можете изготовить себе простой и удобный прибор, некогда служивший нашим предкам. Это — названный по имени изобретателя «посох Якова»-прибор, бывший в широком употреблении у мореплавателей до XVIII века (рисунок), до того как его постепенно вытеснили еще бол*е удобные и точные угломеры (секстанты).

Рисунок Посох Якова и схема его употребления.

Он состоит из длинной линейки АВ в 70-100 см, по которой может скользить перпендикулярный к ней брусок CD; обе части СО и OD скользящего бруска равны между собою. Если вы желаете при помощи этого бруска определить угловое расстояние между звездами S и S’ (рисунок), то приставляете к глазу конец А линейки (где для удобства наблюдения приделана просверленная пластинка) и направляете линейку так, чтобы звезда S’ была видна у конца В линейки; затем двигаете поперечину CD вдоль линейки до тех пор, пока звезда 5 не будет видна как раз у конца С (рисунок).

Теперь остается лишь измерить расстояние АО, чтобы, зная длину СО, вычислить величину угла

Грабельный угломер.

Главная часть его- дощечка любой формы, у одного края которого укреплена просверленная пластинка; её отверстие наблюдатель приставляет к глазу. У противоположного края дощечки втыкают ряд тонких булавок (употребляемых для коллекций насекомых), промежутки между которыми составляют 57-ю долю их расстояния от отверстия просверленной пластинки ^! ).

Мы уже знаем, что при этом каждый промежуток усматривается под углом в один градус. Можно разместить булавки также следующим приемом, дающим более точный результат; на стене чертят две параллельные линии в расстоянии одного метра одну от другой н, отойдя от стены

Рисунок . Грабельный угломер.

по перпендикуляру к ней на 57 м, рассматривают эти линии в отверстии просверленной пластинки; булавки втыкают в дощечку так, чтобы каждая пара смежных булавок покрывала начерченные на стене линии.

Когда булавки поставлены, можно некоторые из них снять, чтобы получить углы в 2°, в 3°, в 5°. Способ употребления этого угломера, конечно, понятен читателю и без объяснений. Пользуясь этим угломером, можно измерять углы зрения с довольно большою точностью, не меньше чем ¹ /₄ °.

6 стр., 2961 слов

Крнтрольно-измерительные приборы (линейка,штангенциркуль)

… простейшие из­мерительные приборы — штангенциркули, микромет­ры называют измерительным инструментом. Для специальных линейных и угловых измерений в машиностроении также … рамка 3, зажим рамки 4, нониус 5, глубомерная линейка 6 и микрометрическая пода­ча 7 для установки … Оптико-механические Принцип действия оптиче­ского рычага показан на рисунке зеркало 1 падает луч света 2 и отражает­ …

Угол артиллериста.

Артиллерист не стреляет вслепую. Зная высоту цели, он определяет ее угловую величину и вычисляет расстояние до цели; в другом случае определяет, артиллериста какой угол ему надо повернуть орудие для переноса огня с одной цели на другую.

Подобного рода задачи он решает быстро и в уме. Каким образом?

Посмотрите на рис, 72. АВ- это дуга окружности радиуса OA = D) ab-дуга окружности радиуса Оа =r.

Рисунок, Схема угломера артиллериста.

Из подобия двух секторов АОВ и аb следует: = или AB=D

Отношение характеризует величину угла зрения AОВ;

• зная это отношение, легко вычислить АВ по известному D или D по известному АB.

Артиллеристы облегчают себе расчет тем, что делят окружность не на 360 частей, как обычно, а на 6000 равных дуг, тогда длина каждого деления составляет примерно радиуса окружности.

Какими инструментами пользуются для измерения расстояний геометрия — MOREREMONTA

Подробное решение повторение / Глава 1 13 по геометрии для учащихся 7 класса, авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдин 2016

показать содержание

• Гдз рабочая тетрадь по Геометрии за 7 класс можно найти тут
• Гдз рабочая тетрадь по Геометрии за 8 класс можно найти тут
• Гдз рабочая тетрадь по Геометрии за 9 класс можно найти тут
• Гдз дидактические материалы по Геометрии за 7 класс можно найти тут
• Гдз дидактические материалы по Геометрии за 8 класс можно найти тут
• Гдз дидактические материалы по Геометрии за 9 класс можно найти тут
• Гдз самостоятельные и контрольные работы по Геометрии за 7 класс можно найти тут

смотреть решения

13 Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?

При строительстве или проведении ремонтных работ точность измерений исключительно важна, ведь неправильно выполненные замеры может спровоцировать серьезные проблемы уже на завершающей стадии работ. Нестыковка важных швов – это практически катастрофа, а решение этого вопроса часто обходится дорого. Для каждого вида работ применяются определенные инструменты. Но какими инструментами пользуются для измерения расстояний? Об этом далее и поговорим.

Виды приборов

В строительных магазинах продаются различные инструменты, с помощью которых можно измерить расстояние. Более дорогие можно арендовать. Для многих компаний это солидный бизнес – они дают в аренду инструменты. Это выгодно не только им, но и строительным бригадам — это дает возможность сократить финансовые затраты на покупку собственного инструментария.

Из наиболее популярных инструментов для измерения расстояния можно выделить следующие:

1. Обычная рулетка.
2. Нивелир.
3. Лазерная рулетка.
4. Стандартная линейка, которая есть у каждого школьника.
5. Штангенциркуль.
6. Микрометр.

В школе базовыми инструментами для измерения расстояний на геометрии являются всем известные линейки. А вот в строительстве они используются крайне редко.

Металлическая рулетка

Рулетки бывают разными, но все они работают по одному принципу. Они идеально подходят для проведения простых измерений на улицах и в помещении.

Преимущества этого прибора:

1. Компактность. Тонкий стальной прут удобно намотан и спрятан в корпусе. Прибор можно носить с собой в кармане.
2. Безопасность и экологичность.
3. Не требует элементов питания.
4. Можно использовать в любую погоду на улице.
5. Срок эксплуатации измеряется десятками лет.
6. Показывает минимальную погрешность. Собственно, погрешность зависит от пользователя.
7. Приемлемая цена и доступность. Продается в любом магазине и стоит недорого.

1. Фиксированная длина. Если объем измерения будет иметь длину больше длины рулетки, то для измерения придется перекладывать сам прибор, чтобы измерить дополнительное расстояние. Это не только неудобно, но и неэффективно, так как появляются погрешности.
2. Учитывая тот факт, что этот инструмент для измерения длины выполнен из металла, при частом контакте с водой он подвергается коррозии.
3. В труднодоступных местах его применение невозможно.

Лазерная рулетка

Существуют и более современные и эффективные инструменты, какими измеряют расстояние. Например, лазерная рулетка. Ее применяют для измерения большой длины или в местах с ограниченным доступном. Они чрезвычайно удобны и представляют собой весьма технологичные инструменты, которые быстро и точно снимают показания в тех местах, куда не добраться обычной рулеткой.

Все дальномеры (лазерные рулетки) имеют дисплей – на нем отображаются настройки, а также произведенные замеры. Суть работы состоит в следующем: специальный микропроцессор считывает время, за которое лазерный луч достигает конечной точки (твердой поверхности), затем на основании полученного времени и известной скорости распространения света высчитывается расстояние.

В строительных работах лазерные рулетки используются часто. Бригады, занимающиеся реконструкциями, отделочными работами, устройством потолков, возведением сооружений и стен, в своем арсенале обязательно имеют дальномер, а иногда даже несколько. Несмотря на высокую стоимость, это один из самых распространенных современных инструментов, какими пользуются для измерения расстояний.

Плюсы и минусы длинномеров

Лазерные рулетки имеют свои плюсы и минусы.

1. Возможность замерять расстояние в труднодоступных местах.
2. Можно снимать показания в одиночку.
3. Есть встроенный калькулятор для удобства проведения прочих расчетов.
4. Может работать почти при любых погодных условиях.
5. Гарантирует высокую точность замеров расстояния.
6. Обладает функцией замера высоты.
7. Сохраняет в памяти несколько полученных результатов, к которым можно вернуться позже.
8. Снимает замеры между двумя точками, не соприкасаясь с поверхностью.
9. Умеет конвертировать единицы измерения.

1. Цена. Эти приборы дорогие.
2. При измерении больших расстояний даже легкое дрожание руки пользователя приводит к колебаниям, поэтому необходимо использовать специальный штатив.
3. При измерении малой длины погрешность высока.
4. Аккумулятор на холоде разряжается очень быстро.

Самый большой недостаток прибора – это высокая цена. Впрочем, на рынке продаются дешевые китайские дальномеры, однако они дают большую погрешность при измерении даже больших расстояний, не говоря о малых.

Какими инструментами пользуются для измерения расстояний небольших величин?

Для измерения малой длины (когда, например, нужно узнать сечение болта, провода, каких-либо других деталей) нужно использовать другой специальный инструмент высокой точности. К таким можно отнести штангенциркуль, микрометр, нутрометр. Суть измерений этими устройствами проста: между планками прибора помещается искомый объект, затем он фиксируется зажимами, и на шкале пользователь видит расстояние с точностью до десятой доли миллиметра.

Нивелиры

На местности расстояние удобнее всего замерять по плоским поверхностям. Делается это с помощью нивелиров. Они широко применяются при выполнении отделочных работ (при укладке плитки и других напольных материалов), а также для снятия отметок о зданиях с уровня земли. Благодаря чему формируется точная разметка для будущего сооружения, правильное направление стен.

Классические устройства оснащаются шкалой и окуляром, в новых моделях есть даже лазерные лучи. Используются эти приборы только со штативом, без него трудно удержать инструмент в руках неподвижно, и точность будет невысокой.

Заключение

Теперь вы знаете, какими инструментами пользуются для измерения расстояний. На самом деле, если включить фантазию, подобные устройства можно придумать самостоятельно. К примеру, можно сбросить с крыши дома обычный камень и посчитать, за сколько секунд он достигнет земли. Зная время, а также уравнение свободного падения, мы сможем легко определить расстояние, которое преодолел камень. И никаких инструментов для этого не нужно (разве что секундомер). Впрочем, подобный принцип применяется в длинномерах, только там вместо камня – свет.

1 сколько прямых можно провести через две точки?
2 сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3 объясните,что такое отрезок.
4 объясните,что такое луч.как обозначаются лучи?
5.какая фигура называется углом?Объясните,что такое вершина и стороны угла.
6 какой угол называется развернутым?
7.какие фигуры называются равными?
8.объясните,как сравнить два отрезка?
9.какая точна называется серединой отрезка?
10 как сравнить два угла?
11.какой луч называется бессиктрисой угла?
12.точка С делит отрезок АВ на два отрезка как найти длину отрезка АВ,если известны длины отрезков Ас и СВ?
13 какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14 что такое градусная мера угла?
15 луч ОС делит угол АОВ на два угла как найтит градусную меру угла АОВ ,если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16 какой угол называтся острым?прямым и тупым?
17 какие углы называются смежными?чему равна сумма двух смежных углов ?
18.какие углы называются вертикальные? каким свойством обладают вертикальные углы&
19какие прямые называются перпендекулярными?
20 оъяснитепочему две прямые перпендикулярными к третей не пересекаются.
21 какие приборы применяют для построения прямых углов на местности

Геометрия в геодезии

Геометрия в геодезии

Зизень В.С. 1

---

1ГБПОУ ЛО «Мичуринский многопрофильный техникум»

Каштанова М.С. 1Романенко Е.О. 1

---

1ГБПОУ ЛО «Мичуринский многопрофильный техникум»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

«Геодезия относится к числу прикладных математических наук, геодезию и называют иногда практическою геометриею» – С.М. Соловьев (1914 г.)

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности. Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли ничем, по существу, не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенном листе бумаги. Это не совсем так. Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой — любые прямые. На местности же, где расстояния между точками довольно велики, для подобных действий понадобилась бы длинная веревка или огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще чертить прямо на земле, какие бы то ни было линии-дуги или прямые — представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику.

Ещё на уроках математики я узнала, что существует наука, которая занимается измерениями и построениями на местности — геодезия. Я заинтересовалась ею. Появилась гипотеза: если использовать знания о свойствах геометрических фигур, то можно решить практические задачи на местности.

Очень часто можно услышать такие высказывания: «Зачем нужно изучать математику, решать задачи? Где мне это пригодится?» Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

Актуальность моего исследовательского проекта заключается в том, что наука геодезия не может развиваться без геометрии.

Плотное отношение между геодезией и геометрией показывает слово «геометрия», которое в переводе с греческого означает «землеизмерение».

Геодезия и геометрия долго взаимно дополняют и развивают друг друга. Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики, инструментальной техники. Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности, и при разведках месторождений полезных ископаемых. Геодезические работы ведутся при планировке, озеленении и благоустройстве городов и рабочих поселков. Осушение и орошение земель, лесоустройство требуют применения геодезии. Большую роль геодезия играет и в военном деле. «Карта — глаза армии». Карта используется для изучения местности, для отражения на ней боевой обстановки, для разработки боевых операций и т.д.

Цель исследовательского проекта: узнать, какова связь между геометрией и геодезией и каковы различия.

Для реализации поставленной цели я определил следующие задачи:

Изучить математическую литературу по данной теме;

ознакомиться с приборами для измерения на местности;

подобрать теоретический и практический материал, позволяющий продемонстрировать приложение геометрических фактов к решению задач;

применить полученные знания на практике.

Объектом моих наблюдений стали:

Определение высоты предмета.

Определение расстояния до недоступной точки.

Методы исследования: Находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу с применением проектной технологии. Основной метод, который использовался в работе, — это метод систематизации и обработки данных.

Основная часть. Геометрия в геодезии

1.Что такое геодезия

Геодезия — наука о производстве измерений на местности, определении фигуры и размеров Земли и изображении земной поверхности в виде планов и карт. «Геодезия» — слово греческое и в переводе на русский язык означает «землеразделение». Название предмета показывает, что геодезия как наука возникла из практических потребностей человека. С развитием фотографии и особенно авиации стали широко применять для создания планов и карт фотоснимки земной поверхности. Геодезия развивается в тесной связи с другими научными дисциплинами. Огромное влияние на развитие геодезии оказывают математика, физика, астрономия. Математика вооружает геодезию средствами анализа и методами обработки результатов измерений. На основе физики рассчитывают оптические приборы и инструменты для геодезических измерений. Тесную связь геодезия имеет также с географией и геологией.

Из истории геодезии

Геодезия возникла в глубокой древности. Дошедшие до нас памятники свидетельствуют о том, что за много веков до нашей эры в Египте и Китае имелось представление о том, как в различных случаях измерять земельные участки. Приемы измерения земли были известны и в древней Греции, где они получили теоретическое обоснование и положили начало геометрии, что в переводе с греческого означает измерение земли. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали одна другую. Потребность в измерении Земли возникла на Руси еще в очень отдаленные времена. В 1068 г., т. е. в X I веке, было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керченский пролив по льду. В 1696 году начата первая съемка реки Дон. Преобладающая часть европейского цивилизованного мира также не имела точной географической карты, основанной на геодезических или астрономических работах. Петр I вместе с адмиралом Корнелием Крюйсом лично проводил эту съемку во время Азовского похода. Таким образом, русского царя можно назвать геодезистом. Измерения земной поверхности производились не только в интересах землевладения и земельного обложения налогами, но и для строительных и военных целей. [1].

Сегодня геодезия – это, по большей части, спутниковая геодезия, основанная на системах GPS (США) и ГЛОНАСС (РОССИЯ). Трудно представить современную геодезию без тесного взаимодействия с аэрокосмическим зондированием, геоинформатикой. Электронные карты и атласы, трехмерные картографические модели и другие геоизображения стали привычными средствами исследования для геодезистов.

Геодезия-геометрия (различия-аналогии)

Истоки геометрии, как это вытекает из названия (геометрия– землемерие), берут свое начало в землемерии. Формирование классической абстрактной геометрии началось еще с Фалеса и приняло свое заключительное выражение в «Началах» Евклида. Аристотель в своем трактате «Метафизика» положил четкую границу между геодезией и геометрией, применительно к «чувственным» и «умопостигаемым» абстрактным объектам. Геодезия к этому времени стала специфической системой профессиональных знаний, применявшихся в землеустройстве, земельном кадастре. Из самого термина (геодезия– землеразделение) вытекают характер и специфика этого рода знаний. Классическая геометрия (греческая) – «геометрия циркуля и линейки», а геодезия – геометрия прямого угла и мерной ленты (веревки). В совокупности вся система знаний разделилась на теоретическую и практическую геометрию, сохранивших свое деление и название практически до XXв. Но одновременно практическая система знаний именовалась геодезией. Геометрия развивалась и совершенствовалась благодаря заложенным в нее основам в виде постулатов и аксиом. По аналогии с теоретической геометрией, можно было бы в геодезии ввести постулаты и аксиомы, способствовавшие ее теоретическому развитию. В постулатах Евклида введены основные объекты геометрии: точки (то, что не имеет частей) и линия (не имеет ширины). В геодезии основными объектами являются введенные в работах [1, 2] структурные элементы (точки, линии, поверхности). Сохранив для точки и линии геометрическую интерпретацию, поверхность можно определить как то, что имеет ширину и длину. В геодезии использование и восприятие линии многофункционально:

— линия деления;

— линия границы

— линия как ориентир.

Особенно роль линии возросла, когда человек начал строиться и заниматься земледелием, т.е. при планировке земель и т.п.

Свои задачи геодезия решает, используя структурные элементы точки, линии, поверхности, углы. В геодезии существует ориентирование по четырем направлениям. В глобальной ориентировки формировались две важнейшие перпендикулярные линии (линии ориентирования), прямой угол сыграл роль мирового геометрического стандарта.

Понятие симметрии очень важно для геодезии. С учетом симметрии, пропорциональности формировались требования и технологии в строительстве и в геодезии. Главными фигурами в геодезических сетях были прямой угол и связанные с ним две простейшие фигуры: прямоугольный треугольник и квадрат (или прямоугольник) ( рис.1а,б,2)

Рис.1 Рис.2

Вся совокупность геодезических задач, решавшихся в древнее время под знаком практической геометрии, была представлена великим механиком и математиком Героном Александрийским. С позиций предмета «Практической геометрии» Герон излагает 17 известных геодезических задач:[1].

Измерить разность высот двух точек, невидимых одна от другой;

Провести прямую между двумя точками, невидимых одна от другой;

Найти расстояние места, где находишься, от другой недоступной точки;

Провести перпендикуляр на прямую, к которой нельзя приблизиться;

Измерить ширину реки;

Измерить глубину ямы;

Сквозь гору провести прямую, соединяющую две точки, данные с различных сторон горы;

Начертить контур реки;

Придать насыпи форму данного сферического сегмента;

Сообщить насыпи определенный уклон;

Измерить поле, не входя в него;

Разделить его на данное число частей посредством прямых, выходящих из одной точки;

Разделить трапецию и треугольник в данном отношении; и др..

Рис. 3. Трассировка дорог, каналов, водопроводов, использовавшаяся

римскими агрименсорами.

Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошѐ л от латинского слова «триангумом», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы уже изучили, и сегодня будем закреплять и применять.

В геометрии рассматриваются две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки (рисунки 4 -8). Решение этих задач основано на использовании теоремы синусов, теоремы косинусов, теоремы о сумме треугольника, следствие из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол) [2].

Рис.4. Рис.5.

Рис.6. Рис.7. Рис.8. [2].

Метод Фалеса (построение триангуляции). Определение расстояния до корабля

Рис.9

Рассматривалась фигура прямоугольного треугольника в веревочном варианте —

узлы на веревке в интервале «Пифагоровы тройки»-3,4,5. Фалес при помощи такого построения треугольника определил расстояние до корабля (Рис. 9.) Применение такого треугольника использовалось при пробивке тоннеля на острове Самос (рис.2.)

Наконец известен исторический факт. Фалес определил высоту пирамиды при помощи её тени.(рис.10) [1,4].

Рис.10 ( Метод Фалеса) [3].

Прямоугольный треугольник использовался в Древнем Риме и других странах при проектировании водопроводов, каналов и городской канализации. Наклон стока воды задавался стандартным отклонением (1:200)

Рис.11. Вертикальный треугольник в определении уклона при проложении римских водопроводов .[1].

Теорема Пифагора для геодезии имела громаднейшее значение, так как она определяла метрику окружающего (евклидова) пространства. В плане оценки площади прямоугольного треугольника и использовалась формула S=1/2 ab/

Прямоугольный четырехугольник и квадрат нашли более раннее применение при планировке отдельных сооружений и особенно в землеустройстве, межевании, земельном кадастре.

В римском земледелии все угодья делились на центурии(квадратной формы) (рис.12). [1].

Рис.12.

Исследование. Измерение и построение на местности.

В своём исследовании я не ставила задачу изучить основы геодезии. Я подобрала практические задачи на построение и вычисление на местности, которые надо знать любому из нас. Построения на местности, основываясь на геометрических законах, имеют свою специфику: все прямые не проводятся на земле, а прокладываются, т. е. отмечается на них, например, колышками, достаточно густая сеть точек. Обычно прокладку прямых на местности называют провешиванием прямых. При геодезических работах используются специальные колышки длиной 15-20 см и диаметром 2-3 см, в торец которых забиваются гвоздики для более точного обозначения концов отмеряемого отрезка, и вехи – деревянные заостренные шесты длиной 1,5-2 м и диаметром 2-4 см. [3].

Приборы:

Теодолит ― геодезический инструмент для определения направлений и измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах.

Тахеометр― геодезический инструмент для измерения расстояний, горизонтальных и вертикальных углов. Близок к классу неповторительных теодолитов, используется для определения координат и высот точек местности при топографической съёмке местности, при разбивочных работах, выносе на местность высот и координат проектных точек, прямых и обратных засечек, тригонометрического нивелирования и т. д.

Оптический нивелир ― геодезический инструмент для определения разницы высот точек земной поверхности.

Астролябия И.Э.Эслинга – угломерный прибор, которым пользовались геодезисты, посланные Петром Великим для геодезической съемки Камчатки и Курильских островов. Этот прибор предназначен, главным образом, для измерения горизонтальных углов. Не имеет уровней, горизонтальная установка, возможно, выполнялась с помощью съемного уровня. (рис 13)

Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояний на местности.

Экер – прибор для измерения прямых углов на местности. (рис.12.)

Вехи (вешки) – колья которые вбивают в землю.

Земляной циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м. и шириной 2 м. для измерения на местности. [3,5].

Рис.12 Экер. Рис.13. Астролябия.

Как правило, участки местности представляют собой не идеально ровную поверхность, как тетрадный лист, на земле есть возвышения и углубления. Чтобы они не искажали геометрические образы прокладываемых линий, на местности строят не наклонные отрезки, а их ортогональные проекции на горизонтальную плоскость. Их можно определить, зная угол наклона – угол, образованный линией местности и ее проекцией на горизонтальную плоскость.

Эти углы измеряются специальными приборами эклиметрами.[1,3,5].

Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность (рис.14). Практическая работа: построение окружности. .[3].

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

рис.14.

Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.[3].

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м. (Рис.15) .[3].

Рис.15.

Измерение средней длины шага

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.[3].

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20м, проверьте с помощью рулетки.

Построение прямых углов на местности

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ) (рис.16).[3,5].

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

Рис.16.

Построение и измерение углов с помощью астролябии

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.[3,5].

Практическая работа:

измерение заданных углов,

построение углов заданной градусной меры,

построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

Измерение высоты горы.

У подножия горы прикрепим вертикальный шест, прикрепим горизонтальную палку так, чтобы один конец задел поверхность горы, измеряем высоту h_1. Таким образом поднимаемся до вершины горы M. Высота горы H=h₁+h₂+h₃+h₄+…(рис.17) [3].

Рис.17.

Измерение ширины реки.

Для измерения ширины реки останавливаемся в точке В и проводим мнимую прямую до дерева А, стоящего на том берегу реки и прикрепим шест в точке В. По реке проходим расстояние ВЕ и прикрепим шест в точке Е. От точки Е до точки С откладываем отрезок равный пятой части отрезка ВЕ Проводим мнимую прямую через точку Е к дереву А и прикрепим шест в точке К, измеряем расстояние СК. Расстояние АВ= 5× СК.(рис.18.) .[3].

Рис.18.

Заключение

В ходе выполнения данной работы я выяснил, что человек, не знающий геометрию, не сможет понять что – либо в геодезии, а значит, эти науки неразрывно связаны между собой. Геодезия и геометрии дополняют друг друга. В моей работе я подобрал задачи на построение и измерение на местности, которые можно применять нам в практической жизни. Профессия землеустроителя и геодезиста с древних времен и до настоящего времени остается одной из самых востребованных.

Список использованных источников и литературы:

Г.Н.Тетерин «Феномен и проблемы геодезии» Новосибирск:СТГА,2015,77 с.

В.Н. Клюшниченко « Многогранная геодезия» Новосибирск:СТГА,2016.-164 с.

В.Н.Ганьшин «Простейшие измерения на местности», Москва, «Недра», 2014г, 110с.

Г.И.Глейзер «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 2014г, 240с.

Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- М: Просвещение, 2014г.

Просмотров работы: 1616

о принципе «вертикаль – горизонталь» и значении прямого угла в геодезии — История геодезии

Мария Синянская – исследователь, защитивший кандидатскую диссертацию геодезии, популяризатор наук о Земле, сооснователь и редактор проекта «История геодезии», автор многочисленных научных и научно-популярных статей – представила статью с тонкими наблюдениями об условиях параллельности и перпендикулярности.

О принципе «вертикаль – горизонталь»

В человека природой изначально заложены прямой угол, условия параллельности и перпендикулярности. Этих знаний на первых этапах жизнедеятельности было достаточно для построения на земле прямоугольных фигур и выполнения различных измерений на местности, в том числе при разбивке земельных угодий.

В применяемых системах измерений, в конструировании всех геодезических инструментов раннего времени изначально был заложен принцип «вертикаль – горизонталь». Вследствие данного обстоятельства все приборы и устройства (ватерпасы, хоробаты, землемерные кресты, позднее – теодолиты, нивелиры и др. приборы) должны были иметь устройства для приведения их в рабочее положение, где одна ось была бы расположена вертикально, а другая горизонтально. Принцип четырех направлений являлся также основой таких геодезических понятий, как азимут, дирекционный угол, румб и т.д.

Геодезические системы измерения развивались на основе этих принципов, в том числе и для решения задач, связанных с геометризацией и координатизацией пространства, с практикой и теорией обработки результатов измерений. В основу структуры систем измерения был заложен, как правило, прямой угол, и поэтому, по существу, эти системы измерений представляли инструменты прямого угла. Конструирование геодезических инструментов начиная с ватерпаса, хоробата и землемерных крестов, а в дальнейшем – астролябии, теодолита, нивелира и других осуществлялось с жестким соблюдением условий прямоугольности основных частей приборов. Во всех геодезических инструментах такими составными частями являлись различные оси и плоскости: вертикальная ось вращения инструмента, ось вращения зрительной трубы, зрительная ось, ось уровня, плоскости лимба, алидады горизонтального и вертикального кругов.

О методах построения прямого угла

Во взаимном положении рассматриваемых плоскостей и осей закладывалось условие прямого угла, условие перпендикулярности. Соответственно основными поверками во всех геодезических инструментах закладывались соблюдения условий перпендикулярности взаимного положения плоскостей и осей. Например, зрительная ось должна быть перпендикулярна оси вращения трубы; ось уровня перпендикулярна или параллельна оси вращения инструмента; плоскости горизонтальных и вертикальных кругов перпендикулярны соответствующим осям и т.д.

Поверки перпендикулярности (поверки прямого угла) осуществлялись во все времена, начиная с использования ватерпаса. Поэтому конструктивной особенностью геодезических инструментов не только Древнего мира, но и Нового времени являлось жесткое условие взаимного расположения в инструменте рассматриваемых частей и обязательное выполнение соответствующих поверок и юстировок.

Угловых измерений как таковых, в нынешнем их понимании, в Древнем мире не существовало. Все измерения сводились в основном к построению прямого угла и разделялись (по тому времени) на приближенные и точные. В первом случае измерения осуществлялись с помощью всевозможных землемерных крестов, угольников и различных способов с использованием человеческой фигуры.

Во втором случае применялся египетский треугольник, в вещественном варианте представлявший собой веревочный шаблон из мерной веревки с метками на расстоянии в 3, 4, 5 единиц длины, в вершинах которых устанавливались колышки. Далее по ним натягивалась веревка, которая образовывала прямоугольный треугольник, у которого при вершине двух катетов получался прямой угол, как показано на рис. 1 (египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5).

Данный вариант имел наибольшую точность построения прямого угла, которая в большей степени зависела от точности изготовления (нанесения меток) мерной веревки.

Другой вариант точного построения прямого угла (циркульный) был в большей степени теоретическим способом построений и основывался на получении вписанного в окружность прямого угла, стороны которого опирались на концы диаметра (см. рисунок ниже). Для получения прямого угла нужно было провести полуокружность, на которой взять любую точку и соединить ее с концами диаметра. При вершине, противолежащей диаметру получившегося треугольника, образовывался прямой угол.

Проложение хода. При проложении ходов требовалось построение прямого угла. Например, на какой-либо выбранной стороне хода АВ в намеченной точке требуется построить прямой угол. Первоначально на основании отрезка АВ строился равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу окружности, а затем в эту окружность вписывался прямой угол. Третьей точкой (вершиной) для этого треугольника являлась точка О, как центр окружности. Далее на продолжении в направлении АО откладывался отрезок ОС, равный радиусу R. В этом случае отрезок АС является диаметром этой окружности, в которую вписан прямой угол АВС. Сторона ВС, естественно, является перпендикуляром к линии АВ. Если точки В или С являются крайними точками хода, то в них всегда имеется возможность построить прямоугольный треугольник, необходимый для решения той или иной инженерной задачи.

Способы, связанные с египетским треугольником и циркульным методом, послужили средством для получения образцовых мер построения прямого угла. Именно на их основе получали рабочие меры, в частности, различные землемерные кресты и т.п.

В решении различных землеустроительных задач и задач по созданию различных сооружений, в том числе инженерно-технических, в системе геодезических построений использовалось всего несколько главных фигур: прямой угол, прямоугольный треугольник, прямоугольный четырехугольник и квадрат.

Прямой угол. Прямой угол является универсальным мировым стандартом, заложенным в человека, в природу и взаимодействие различных физических сил.

Для реализации прямого угла в геодезических работах использовался угольник. Нивелирование с применением вертикальных реек или ватерпасов широко применялось с древнейших времен и вплоть до XX века. В различных системах координат, использовавшихся с древнейших времен, их основу составляли две взаимно перпендикулярные (координатные) линии (рис. 3): начальный меридиан и экватор (декуманус максимум и кардо максимум). На рисунке ниже изображён маркировочный центурийный камень (СМ – кардо максимум, ориентация с юга на север, DM – декуманус максимум, ориентация с востока на запад):

Построение прямого угла на местности было возможным начиная с глубокой древности с помощью ранее описанных различных вариантов. В Средневековье и в более позднее время применялись землемерные кресты различных видов и формы, в том числе экеры. В построении прямых углов использовались героновские диоптры, а также астрономические методы и устройства. Во всех видах построений их точность была невысокой (около ¼ градуса), но в особых случаях (как при сооружении египетских пирамид) достигала величины порядка 3 минут.

Человек в вершине угла

Следует отметить, что в глубокой древности, ещё до использования инструментов, люди могли проводить межевание с помощью фигуры человека. Так, например, человек вставал в вершине первого угла. По направлению створа плеч строилось одно направление, а по прямому взгляду – перпендикулярное ему направление. В одном из этих направлений человек шагами измерял нужное расстояние. Затем в другой точке операция повторялась. Такая реальность, возможно, предшествовала появлению первых геодезических инструментов. Точность построения прямого угла подобным способом находилась в пределах от 10^-1 до 10^-2.

Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник представляется структурным продолжением прямого угла. Эта фигура и ее материальные реализации, в том числе в веревочном варианте, находили самое разнообразное применение. Так, с помощью подобного построения треугольника Фалес определял расстояние до корабля. Иногда это построение считают открытием триангуляции. Фалес Милетский, находясь в Египте, использовал условие подобия прямоугольных треугольников для решения задач по определению высоты Гизехских пирамид. Он утверждал, что, как только его тень станет равной длине (высоте) его фигуры, в это время нужно измерить длину тени пирамиды, которая будет равна её высоте, что показано на рисунке ниже:

Реализация семнадцати героновских задач в большинстве случаев была возможна с применением прямоугольного треугольника. С помощью прямоугольного треугольника простейшим способом определялись длины катетов, гипотенуза и площадь треугольника. Египтяне еще в III тысячелетии до н.э. определяли эту площадь по известной формуле половины произведения двух катетов. Открытие Пифагором доказательства теоремы было значительным событием для теоретической и практической геометрии, а также для хозяйственной действительности. Формула Пифагора по существу определяет и характеризует метрику окружающего (евклидова) пространства. А такие фигуры, как прямоугольный четырехугольник и квадрат, получили свое раннее применение при планировке отдельных сооружений, особенно в землеустройстве, межевании, земельном кадастре. Прямоугольный треугольник использовался в Древнем Риме и других странах при проектировании водопроводов, каналов и городской канализации. Вместе с тем для подсчета площади прямоугольного треугольника использовалась формула:

где S – площадь; a, b – соответствующие прямоугольные катеты.

Возможно, данное выражение было известно еще с тех времен, когда люди изобрели формулы для подсчета площади квадрата и прямоугольного четырехугольника (как их половину). В плане исторического времени это уже совпадает со временем деления земельных угодий и их оценки (не позднее третьего тысячелетия до н.э.).

Важнейшим фактором для широкого использования прямоугольного четырёхугольника является его универсальность и оптимальность, а также его преимущество перед другими формами при разбивке, планировке сооружений, городов, земельных угодий и т.д. Необходимо заметить, что данная фигура в большей степени отвечает использовавшимся тогда формам координатизации пространства.

Около 10 тысячелетий назад в строительстве жилищ человек перешел от круглой формы к прямоугольной. Примерно в это же время (или чуть позднее) начали делить земельные угодья прямыми линиями с прямым углом между ними. Намного раньше прямой угол стали использовать в организации окружающего пространства и ориентировке в нем. Объяснение феномена раннего появления и использования прямого угла в деятельности людей лежит в сфере влияния внешней среды. Это влияние выражено и сформировано в виде принципов влияния: принцип «вертикаль – горизонталь» и принцип четырех направлений. Они оказывали фундаментальное влияние на развитие геодезии в течение всей истории ее развития. Главной характеристикой и составной частью этих принципов является прямой угол. Он стал важнейшей характеристикой окружающей среды и всего пространства, как и два других геометрических свойства – перпендикулярность и параллельность. Наиболее наглядно эти геометрические свойства выражены в фигуре человека. В геометрии фигуры человека вполне четко и очевидно заложено шесть главных направлений. Ими в человека заложена пространственная система координат. Эта «система координат», заложенная в человека внешней средой («принципы влияния»), и вся встроенная в нее система прямых углов (условий перпендикулярности и параллельности) позволяют человеку не только отлично выстраивать систему ориентации в пространстве, но и строить простейшие геометрические фигуры на земле. Вся геометрия человека подчинена условиям перпендикулярности и параллельности – основному геометрическому свойству окружающего пространства.

Важнейшей функцией прямого угла в геодезии являлись системы координат, которые во все времена были прямоугольными. В измерении и моделировании пространства необходимым условием является ориентировка в нем. Поэтому, как правило, определяется главная ориентирующая линия в пространстве (на местности или модели), которая затем становится одной из осей координат («Принцип четырех направлений»). К ней под прямым углом проводится вторая ось. Этим обеспечивается возможность координатизации окружающего пространства (в плоскости). Для трехмерного пространства ориентируется уже две оси (или плоскости), на базе которых строится пространственная система координат. В координатизации окружающего пространства и угловых измерениях роль прямого угла как важнейшей составной части сохраняется. Столь же велика роль прямого угла в моделировании, контроле объектов и явлений окружающего пространства. В инженерной геодезии при возведении сооружений и контроле их геометрии важнейшее значение имеют условия перпендикулярности и параллельности. Эти два важнейших свойства окружающего пространства есть свойство прямого угла (или двух прямых). Сформировавшаяся или формируемая геодезическая технология в существенной части предопределяла возможность реализации этих геометрических требований. Пока прямой угол остается некой нормой окружающей среды, пока сохраняется «геометрия» человека, до тех пор рассмотренное значение прямого угла в геодезии будет сохраняться.

Опубликовано: Вестник геодезии, картографии и геоинформатики

Исследовательский проект — Прочее — СУЗ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Озинский лицей строительных технологий и сервиса»

Исследовательский проект на тему: геометрия в геодезии

Выполнила: студентка 22 группы

Специальность «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Захламина А.А.

Озинки, 2019

Характеристика работы:

Проект « Геометрия в геодезии» подготовлен с применением проектной технологии. Пункты тематического учебного плана школьной программы, которым соответствует проект: — Подобие треугольников, Практические построения на местности и др., Геометрия 7-9 , под редакцией Л.С. Атанасяна. В данной работе исследуется научная, учебная литература по истории геодезии, геометрии, а также проводится сравнительный анализ их сходственных сторон и различий. Результатом работы стало обобщение знаний, их систематизация, знакомство с новыми геодезическими приборами . В работе исследуются задачи на построение и измерение на местности. Работа содержит много материала для использования его на факультативных занятиях.

1. Введение.

«Геодезия относится к числу прикладных математических наук, геодезию и называют иногда практическою геометриею» – С.М. Соловьев (1914 г.) .[2].

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности. Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли ничем, по существу, не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенном листе бумаги. Это не совсем так. Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой — любые прямые. На местности же, где расстояния между точками довольно велики, для подобных действий понадобилась бы длинная веревка или огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще чертить прямо на земле, какие бы то ни было линии-дуги или прямые — представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику.

Недавно на уроках математики я узнал, что существует наука, которая занимается измерениями и построениями на местности — геодезия. Я заинтересовался её. Появилась гипотеза: если использовать знания о свойствах геометрических фигур, то можно решить практические задачи на местности.

Актуальность моего исследовательского проекта заключается в том, наука геодезия не может развиваться без геометрии.

Изначально в геодезии все берется из математики [2]. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняют и развивают друг друга. Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики, инструментальной техники. Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности, и при разведках месторождений полезных ископаемых. Геодезические работы ведутся при планировке, озеленении и благоустройстве городов и рабочих поселков. Осушение и орошение земель, лесоустройство требуют применения геодезии. Большую роль геодезия играет и в военном деле. «Карта — глаза армии». Карта используется для изучения местности, для отражения на ней боевой обстановки, для разработки боевых операций и т.д.

Цель исследовательского проекта: узнать, какова связь между геометрией и геодезией и каковы различия.

Для реализации поставленной цели я определил следующие задачи:

• Изучить математическую литературу по данной теме;

• ознакомиться с приборами для измерения на местности;

• подобрать теоретический и практический материал, позволяющий продемонстрировать приложение геометрических фактов к решению задач;

• применить полученные знания на практике.

Объектом моих наблюдений стали:

● Определение высоты предмета.

Методы исследования: Находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу с применением проектной технологии. Основной метод, который использовался в работе, — это метод систематизации и обработки данных.

II. Основная часть. Геометрия в геодезии.

1.Что такое геодезия

Геодезия — наука о производстве измерений на местности, определении фигуры и размеров Земли и изображении земной поверхности в виде планов и карт. «Геодезия» — слово греческое и в переводе на русский язык означает «землеразделение». Название предмета показывает, что геодезия как наука возникла из практических потребностей человека. С развитием фотографии и особенно авиации стали широко применять для создания планов и карт фотоснимки земной поверхности. Геодезия развивается в тесной связи с другими научными дисциплинами. Огромное влияние на развитие геодезии оказывают математика, физика, астрономия. Математика вооружает геодезию средствами анализа и методами обработки результатов измерений. На основе физики рассчитывают оптические приборы и инструменты для геодезических измерений. Тесную связь геодезия имеет также с географией и геологией.

1. Из истории геодезии

Геодезия возникла в глубокой древности. Дошедшие до нас памятники свидетельствуют о том, что за много веков до нашей эры в Египте и Китае имелось представление о том, как в различных случаях измерять земельные участки. Приемы измерения земли были известны и в древней Греции, где они получили теоретическое обоснование и положили начало геометрии, что в переводе с греческого означает измерение земли. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали одна другую. Потребность в измерении Земли возникла на Руси еще в очень отдаленные времена. В 1068 г., т. е. в X I веке, было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керченский пролив по льду. В 1696 году начата первая съемка реки Дон. Преобладающая часть европейского цивилизованного мира также не имела точной географической карты, основанной на геодезических или астрономических работах. Петр I вместе с адмиралом Корнелием Крюйсом лично проводил эту съемку во время Азовского похода. Таким образом, русского царя можно назвать геодезистом. Измерения земной поверхности производились не только в интересах землевладения и земельного обложения налогами, но и для строительных и военных целей. .[1].

Сегодня геодезия – это, по большей части, спутниковая геодезия, основанная на системах GPS (США) и ГЛОНАСС (РОССИЯ). Трудно представить современную геодезию без тесного взаимодействия с аэрокосмическим зондированием, геоинформатикой. Электронные карты и атласы, трехмерные картографические модели и другие геоизображения стали привычными средствами исследования для геодезистов.

3.Геодезия — геометрия (различия-аналогии)

Истоки геометрии, как это вытекает из названия (геометрия– землемерие),

берут свое начало в землемерии. Формирование классической абстрактной

геометрии началось еще с Фалеса и приняло свое заключительное выражение в

«Началах» Евклида. Аристотель в своем трактате «Метафизика» положил

четкую границу между геодезией и геометрией, применительно к «чувственным» и «умопостигаемым» абстрактным объектам. Геодезия к этому времени стала специфической системой профессиональных знаний, применявшихся в землеустройстве, земельном кадастре. Из самого термина (геодезия– землеразделение) вытекают характер и специфика этого рода знаний. Классическая геометрия (греческая) – «геометрия циркуля и линейки», а геодезия – геометрия прямого угла и мерной ленты (веревки). В совокупности вся система знаний разделилась на теоретическую и практическую геометрию, сохранивших свое деление и название практически до XX в. Но одновременно практическая система знаний именовалась геодезией. Классическая геометрия развивалась и совершенствовалась благодаря заложенным в нее основам в виде постулатов и аксиом. По аналогии с теоретической геометрией, можно было бы в геодезии ввести постулаты и аксиомы, способствовавшие ее теоретическому развитию. В постулатах Евклида введены основные объекты геометрии: точки (то, что не имеет частей) и линия (не имеет ширины). В геодезии основными объектами являются введенные в работах [1, 2] структурные элементы (точки, линии, поверхности). Сохранив для точки и линии геометрическую

интерпретацию, поверхность можно определить как то, что имеет ширину и длину. В геодезии использование и восприятие линии многофункционально:

— линия деления;

— линия границы;

— линия как ориентир.

Особенно роль линии возросла ,когда человек начал строиться и заниматься земледелием, т.е. при планировке земель и т.п.

Свои задачи геодезия решает, используя структурные элементы точки, линии, поверхности, углы. В геодезии существует ориентирование по четырем направлениям. В глобальной ориентировки формировались две важнейшие перпендикулярные линии (линии ориентирования), прямой угол сыграл роль мирового геометрического стандарта.

Понятие симметрии очень важно для геодезии. С учетом симметрии, пропорциональности формировались требования и технологии в строительстве и в геодезии. Главными фигурами в геодезических сетях были прямой угол и связанные с ним две простейшие фигуры: прямоугольный треугольник и квадрат (или прямоугольник) ( рис.1а,б,2)

Рис. 1 рис.2

Вся совокупность геодезических задач, решавшихся в древнее время под знаком практической геометрии, была представлена великим механиком и математиком Героном Александрийским. С позиций предмета « Практической геометрии» Герон излагает 17 известных геодезических задач: .[1].

1.Измерить разность высот двух точек, невидимых одна от другой;

1. Провести прямую между двумя точками, невидимых одна от другой;

2. Найти расстояние места, где находишься, от другой недоступной точки;

3. Провести перпендикуляр на прямую, к которой нельзя приблизиться;

4. Измерить ширину реки;

5. Измерить глубину ямы;

6. Сквозь гору провести прямую, соединяющую две точки, данные с различных сторон горы;

7. Начертить контур реки;

8. Придать насыпи форму данного сферического сегмента;

9. Сообщить насыпи определенный уклон;

10. Измерить поле, не входя в него;

11. Разделить его на данное число частей посредством прямых, выходящих из одной точки;

12. Разделить трапецию и треугольник в данном отношении; и др..

Рис. 3. Трассировка дорог, каналов, водопроводов, использовавшаяся

римскими агрименсорами.

Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошѐ л от латинского слова «триангумом», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы уже изучили, и сегодня будем закреплять и применять.

В геометрии рассматриваются две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки (рисунки 4 -8). Решение этих задач основано на использовании теоремы синусов, теоремы косинусов, теоремы о сумме треугольника, следствие из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол) [2].

Рис.4. Рис.5.

рис.6. рис.7. рис.8, [2].

Метод Фалеса ( построение триангуляции). Определение расстояния до корабля

рис.9

Рассматривалась фигура прямоугольного треугольника в веревочном варианте —

узлы на веревке в интервале «Пифагоровы тройки»-3,4,5. Фалес при помощи такого построения треугольника определил расстояние до корабля (рис. 9.) Применение такого треугольника использовалось при пробивке тоннеля на острове Самос (рис.2.)

Наконец известен исторический факт. Фалес определил высоту пирамиды при помощи её тени.(рис.10) [1,4].

рис.10 ( Метод Фалеса) [3].

Прямоугольный треугольник использовался в Древнем Риме и других странах при проектировании водопроводов, каналов и городской канализации. Наклон стока воды задавался стандартным отклонением (1:200)

рис.11. Вертикальный треугольник в определении уклона при проложении римских водопроводов . [1].

Теорема Пифагора для геодезии имела громаднейшее значение, так как она определяла метрику окружающего (евклидова) пространства. В плане оценки площади прямоугольного треугольника и использовалась формула S=1/2 ab/

Прямоугольный четырехугольник и квадрат нашли более раннее применение при планировке отдельных сооружений и особенно в землеустройстве, межевании, земельном кадастре.

В римском земледелии все угодья делились на центурии(квадратной формы) (рис.12). [1].

рис.12.

1. Исследование. Измерение и построение на местности.

В своём исследовании я не ставил задачу изучить основы геодезии. Я подобрал практические задачи на построение и вычисление на местности, которые надо знать любому из нас. Построения на местности, основываясь на геометрических законах, имеют свою специфику: все прямые не проводятся на земле, а прокладываются, т. е. отмечается на них, например, колышками, достаточно густая сеть точек. Обычно прокладку прямых на местности называют провешиванием прямых. При геодезических работах используются специальные колышки длиной 15-20 см и диаметром 2-3 см, в торец которых забиваются гвоздики для более точного обозначения концов отмеряемого отрезка, и вехи – деревянные заостренные шесты длиной 1,5-2 м и диаметром 2-4 см. [3].

Приборы:

• Теодолит ― геодезический инструмент для определения направлений и измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах.

• Оптический нивелир ― геодезический инструмент для определения разницы высот точек земной поверхности.

• Астролябия И.Э.Эслинга – угломерный прибор, которым пользовались геодезисты, посланные Петром Великим для геодезической съемки Камчатки и Курильских островов. Этот прибор предназначен, главным образом, для измерения горизонтальных углов. Не имеет уровней, горизонтальная установка, возможно, выполнялась с помощью съемного уровня. (рис 13)

• Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояний на местности.

• Экер – прибор для измерения прямых углов на местности. (рис.12.)

• Вехи (вешки) – колья которые вбивают в землю.

• Земляной циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м. и шириной 2 м. для измерения на местности. [3,5].

рис.12 Экер. рис.13. Астролябия.

Как правило, участки местности представляют собой не идеально ровную поверхность, как тетрадный лист, на земле есть возвышения и углубления. Чтобы они не искажали геометрические образы прокладываемых линий, на местности строят не наклонные отрезки, а их ортогональные проекции на горизонтальную плоскость. Их можно определить, зная угол наклона – угол, образованный линией местности и ее проекцией на горизонтальную плоскость.

Эти углы измеряются специальными приборами эклиметрами.[1,3,5].

1. Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность (рис.14). Практическая работа: построение окружности. .[3].

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

рис.14.

1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом. [3].

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м. (Рис.15) .[3].

Рис.15.

1. Измерение средней длины шага

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое. [3].

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20м, проверьте с помощью рулетки.

1. Построение прямых углов на местности

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ) (рис.16). [3,5].

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

рис.16.

1. Построение и измерение углов с помощью астролябии

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.[3,5].

Практическая работа:

• измерение заданных углов,

• построение углов заданной градусной меры,

• построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

1. Измерение высоты горы.

У подножия горы прикрепим вертикальный шест, прикрепим горизонтальную палку так, чтобы один конец задел поверхность горы, измеряем высоту h_1. Таким образом поднимаемся до вершины горы M. Высота горы H=h₁+h₂+h₃+h₄+…(рис.17) [3].

рис.17.

1. Измерение ширины реки .

Для измерения ширины реки останавливаемся в точке В и проводим мнимую прямую до дерева А, стоящего на том берегу реки и прикрепим шест в точке В. По реке проходим расстояние ВЕ и прикрепим шест в точке Е. От точки Е до точки С откладываем отрезок равный пятой части отрезка ВЕ Проводим мнимую прямую через точку Е к дереву А и прикрепим шест в точке К, измеряем расстояние СК. Расстояние АВ= 5× СК.(рис.18.) .[3].

рис.18.

III. Заключение.

В ходе выполнения данной работы я выяснил, что человек, не знающий геометрию, не сможет понять что – либо в геодезии, а значит, эти науки неразрывно связаны между собой. Геодезия и геометрии дополняют друг друга. В моей работе я подобрал задачи на построение и измерение на местности, которые можно применять нам в практической жизни. Профессия землеустроителя и геодезиста с древних времен и до настоящего времени остается одной из самых востребованных.

IV. Библиографический список:

1. Г.Н. Тетерин «Феномен и проблемы геодезии» -Новосибирск:СТГА,2009,77 с.

2. В.Н. Клюшниченко « Многогранная геодезия» — Новосибирск:СТГА,2009.-164 с.

3. В.Н.Ганьшин «Простейшие измерения на местности», Москва, «Недра», 1983г, 110с.

4. Г.И.Глейзер «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1982г, 240с.

5. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- М: Просвещение, 2014г.

13

Технологическая карта урока «Построение прямых углов на местности» 7 класс

3. Постановка цели и

задач урока.

Мотивация учебной

деятельности

учащихся.

Обеспечение

мотивации учения

детьми, принятие

ими целей урока.

Мотивирует

учащихся, вместе с

ними определяет

цель урока;

акцентирует

внимание учащихся

на значимость темы

(использует ноутбук)

Определяют тему и

цель урока.

Познавательные: умение

осознанно и произвольно строить

речевое высказывание в устной

форме.

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: умение

вступать в диалог, участвовать в

коллективном обсуждении

вопроса.

4. Применение

знаний и умений в

новой ситуации

Показать

разнообразие задач

на измерение углов и

построение прямых

углов, решаемых в

жизни.

Организация и

контроль над

процессом решения

задач.

Работают в группах

над поставленными

задачами. Решают

учебно-практические

задачи, используя

различные

измерительные

инструменты,

подручные

материалы,

записывают свои

действия на

планшеты,

смартфоны

Познавательные: формирование

интереса к данной теме.

Личностные: формирование

готовности к самообразованию.

Коммуникативные: уметь

оформлять свои мысли в устной

форме; слушать и понимать речь

других.

Регулятивные: планирование

своей деятельности для решения

поставленной задачи и контроль

полученного результата.

5. Физкультминутка

Смена деятельности.

Сменить

деятельность,

обеспечить

эмоциональную

разгрузку учащихся.

Учащиеся сменили

вид деятельности и

готовы продолжить

работу

6. Контроль

усвоения,

обсуждение

допущенных

ошибок и их

Дать качественную

оценку работы

класса и отдельных

обучаемых.

Выявляет качество и

уровень усвоения

знаний, а также

устанавливает

причины выявленных

Учащиеся

анализируют свою

работу, выражают

вслух свои

затруднения и

Личностные: формирование

позитивной самооценки

Коммуникативные: слушать и

понимать речь других.

Регулятивные: умение

Названия инструментов, используемых для измерения углов

Мир наполнен углами. Вам нужны инструменты, чтобы точно измерить эти углы, от угла поперечной балки до ската крыши. У каждой профессии есть свои специальные инструменты для определения углов, но некоторые из них используются в различных профессиях и в классе. Выберите измерительный инструмент, который подходит для вашего применения.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Т-образные квадраты, регулируемые треугольники, уровни перехода, транспортиры и установочные квадраты — это некоторые из инструментов, используемых для измерения углов в архитектуре, геодезии, геометрии и плотницких работах.

Углы в архитектуре

Архитекторы, составляющие вручную чертежи мостов или ландшафтного дизайна, используют различные инструменты для точного измерения расстояний и углов. Используйте Т-образный квадрат, чтобы нарисовать горизонтальные линии и измерить углы 90 градусов по отношению к этим линиям. Используйте регулируемый треугольник для измерения углов от 0 до 90 градусов, поместив его на горизонтальную ось и отрегулировав шарнирный край, пока он не совпадет с наклонной линией, которую вы хотите измерить. Если вам нужно точно скопировать угол, соедините циркуль с линейкой, чтобы измерить угол, и нарисуйте такой же.

Углы в съемке

Геодезисты используют инструменты для измерения горизонтальных и вертикальных углов по отношению к поверхности земли. Транзитный уровень имеет подвижный телескоп, который направлен на стержень для определения горизонтального уровня и угла наклона в градусах, минутах и ​​секундах. От этого зависит класс дороги или фундамента дома. Специалисты в области лесоводства используют клинометр для вычисления высоты дерева по углу, образованному между клинометром и деревом. Чтобы измерить общую высоту дерева, посмотрите в окуляр клинометра на самом верхнем конце дерева, затем снимите показания на шкале.Добавьте измерение к высоте от инструмента до земли.

Углы в геометрии

В классе геометрии транспортир — это линейка с прикрепленным к ней полукругом. Положите линейку на горизонтальную сторону угла и прочтите, где гипотенуза — или наклонная сторона — пересекает транспортир, чтобы определить угол в градусах. Положите квадрат под углом 30, 45, 60 или 90 градусов, чтобы определить градусы. Угол треугольника предустановлен на 30, 60 и 90 градусов для одного типа, а его направление определяет градусы угла.Используйте второй квадрат для измерения углов 45 и 90 градусов.

Углы в плотницких работах

В плотницких работах скоростной квадрат представляет собой трехсторонний «квадрат» с размерами углов от 0 до 60, нанесенными на его диагональную сторону. Измерьте углы, положив его вдоль края доски и считывая градусы угла. Используйте транспортир для измерения угла на конце доски, вращая регулируемый рычаг транспортира, пока он не зафиксируется на дереве. Просто считайте градусы на циферблате, чтобы узнать, под каким углом пропиливается древесина.

Измерение окружности Земли с помощью тени

Ключевые концепции
Математика
Геометрия
Окружность
Уголки
Экватор Земли

Введение
Если бы вы хотели измерить окружность Земли, какой длины должна быть ваша рулетка? Придется ли вам обойти весь мир, чтобы найти ответ? Как вы думаете, вы можете сделать это с помощью всего лишь измерительной линейки в одном месте? Попробуйте этот проект, чтобы узнать!

Перед тем, как вы начнете, важно отметить, что этот проект будет работать только в течение примерно двух недель после весеннего или осеннего равноденствия (обычно около 20 марта и 23 сентября соответственно).

Фон
Какова окружность Земли? В век современных технологий ученым может показаться, что на этот вопрос легко ответить с помощью таких инструментов, как спутники и GPS, и вам будет еще проще найти ответ в Интернете. Может показаться, что измерить окружность нашей планеты одним измерителем невозможно. Однако греческий математик Эратосфен смог оценить окружность Земли более 2000 лет назад без помощи каких-либо современных технологий.Как? Он использовал немного знаний о геометрии!

В то время Эратосфен находился в городе Александрия в Египте. Он читал, что в городе под названием Сиена к югу от Александрии в определенный день года в полдень на дне глубокого колодца было видно отражение солнца. Это означало, что солнце должно было находиться прямо над головой. (Еще один способ подумать об этом: идеально вертикальные объекты не отбрасывают тени.) В тот же день в Александрии вертикальный объект действительно отбрасывал тень. Используя геометрию, он рассчитал окружность Земли, основываясь на нескольких вещах, которые он знал (и что он не знал):

• Он знал, что в круге 360 градусов.
• Он мог измерить угол тени, отбрасываемой высоким объектом в Александрии.
• Он знал расстояние по суше между Александрией и Сиеной. (Два города находились достаточно близко, чтобы расстояние можно было измерить пешком.)
• Единственное, что неизвестно в уравнении — это окружность Земли!

Полученное уравнение было:

Угол тени в Александрии / 360 градусов = Расстояние между Александрией и Сиеной / Окружность Земли

В этом проекте вы сделаете этот расчет самостоятельно, измерив угол, образованный тенью измерителя в вашем местоположении.Вам нужно будет сделать тест около осеннего или весеннего равноденствия, когда солнце находится прямо над земным экватором. Затем вы можете найти расстояние между вашим городом и экватором и использовать то же уравнение, которое Эратосфен использовал для вычисления окружности Земли. Как вы думаете, насколько близок ваш результат к «реальному» значению?

Существует геометрическое правило относительно углов, образованных линией, пересекающей две параллельные прямые. Эратосфен предположил, что Солнце находится достаточно далеко от нашей планеты, чтобы его лучи были фактически параллельны, когда они достигли Земли.Это говорило ему, что угол тени, который он измерил в Александрии, был равен углу между Александрией и Сиеной, измеренному в центре Земли. Если это звучит сбивающе с толку, не волнуйтесь! Визуализировать с помощью картинки намного проще. См. Ссылки в разделе «Еще для изучения» для получения некоторых полезных диаграмм и более подробного объяснения задействованной геометрии.

Материалы

• Солнечный день в период весеннего или осеннего равноденствия или около него (примерно 20 марта или 23 сентября соответственно)
• Плоский ровный участок под прямыми солнечными лучами около полудня
• Измерительный стержень
• Вызовитесь помочь держать измерительную линейку во время проведения измерений (Или, если вы проводите тест в одиночку, вы можете использовать ведро с песком или грязью, чтобы вставить один конец измерительной линейки, чтобы удерживать ее в вертикальном положении.)
• Палка или камень, чтобы отметить место тени
• Калькулятор
• Транспортир
• Длинная веревка
• Дополнительно: отвес (его можно сделать, привязав небольшой груз к концу веревки) или опорный уровень, чтобы убедиться, что измерительная линейка расположена вертикально.
  

Препарат

• Посмотрите свой местный прогноз погоды на несколько дней вперед и выберите день, в который, по всей видимости, будет преимущественно солнечно около полудня.(У вас есть окно в несколько недель для выполнения этого проекта, поэтому не расстраивайтесь, если он окажется облачным! Вы можете попробовать еще раз.)
• Посмотрите время восхода и захода солнца для этого дня в местной газете или на веб-сайте календаря, погоды или астрономии. Вам нужно будет вычислить «солнечный полдень» — время точно на полпути между восходом и закатом, когда солнце будет находиться прямо над головой. Вероятно, это будет не ровно 12 часов дня.
• Выйдите на улицу и подготовьте материалы за 10 минут до солнечного полудня, чтобы у вас было все готово.
  

Процедура

• Установите свой счетчик вертикально на улице в солнечном месте незадолго до солнечного полудня.
• Если у вас есть доброволец, который может помочь, попросите его подержать измерительную линейку. В противном случае закопайте один конец измерительной линейки в ведро с песком или грязью, чтобы он оставался в вертикальном положении.
• Если у вас есть столбчатый уровень или отвес, используйте его, чтобы убедиться, что измерительная линейка находится в идеальном вертикальном положении. В противном случае постарайтесь не пропустить его.
• В солнечный полдень отметьте конец тени измерителя на земле палкой или камнем.
• Проведите воображаемую линию между вершиной измерительной линейки и кончиком ее тени. Ваша цель — измерить угол между этой линией и измерителем. Попросите добровольца протянуть веревку между вершиной измерительной линейки и концом ее тени.
• С помощью транспортира измерьте угол между тетивой и измерителем в градусах. Запишите этот угол.
• Посмотрите расстояние между вашим городом и экватором.
• Вычислите длину окружности Земли по этому уравнению:

Окружность = 360 x расстояние между вашим городом и экватором / угол тени, который вы измерили

• Какую ценность вы получаете? Насколько близок ваш ответ к истинной окружности Земли (см. Раздел «Наблюдения и результаты»)?
• Дополнительно: Попробуйте повторить тест в разные дни до, во время и после равноденствия; или в разное время до, в полдень и после него. Насколько изменится точность вашего ответа?
• Дополнительно: Попросите друга или члена семьи из другого города пройти тест в тот же день и сравнить ваши результаты. Получаете такой же ответ?

Наблюдения и результаты
В 200 г. до н. Э. Эратосфен оценил окружность Земли примерно в 46 250 километров (28 735 миль). Сегодня мы знаем, что окружность нашей планеты составляет примерно 40 000 километров (24 850 миль).Неплохо для оценки возрастом более 2000 лет, сделанной без использования современных технологий! В зависимости от погрешности ваших измерений — например, точного дня и времени, когда вы проводили тест, насколько точно вы смогли измерить угол или длину тени и насколько точно вы измерили расстояние между вашим городом и экватором, — вам следует уметь вычислить значение, довольно близкое к 40 000 километров (в пределах нескольких сотен или, может быть, нескольких тысяч). И все это не выходя из собственного двора!

Больше для изучения
Расчет окружности Земли, от Учеников
Урок: Измерение окружности Земли, от eGFI
Углы, параллельные линии и поперечные сечения, от Math Planet
Научная деятельность для всех возрастов !, от Учеников

Эта деятельность предоставлена ​​вам в сотрудничестве с Science Buddies

Раздел 4.3. Тригонометрия прямоугольного треугольника

Результаты обучения

• Используйте прямоугольные треугольники для оценки тригонометрических функций.
• Найдите значения функции для 30 ° (π / 6), 45 ° (π / 4) и 60 ° (π / 3).
• Используйте функции дополнительных углов.
• Используйте определения тригонометрических функций любого угла.
• Используйте тригонометрию прямоугольного треугольника для решения прикладных задач.

Использование прямоугольных треугольников для вычисления тригонометрических функций

В предыдущих разделах мы использовали единичный круг для определения тригонометрических функций .В этом разделе мы расширим эти определения, чтобы применить их к прямоугольным треугольникам. Значение функции синуса или косинуса [latex] t [/ latex] — это его значение в [latex] t [/ latex] радианах. Во-первых, нам нужно создать наш прямоугольный треугольник. На рисунке 1 показана точка на единичной окружности радиуса 1. Если мы опустим вертикальный отрезок линии из точки [латекс] \ влево (x, y \ вправо) \\ [/ latex] на ось x , у нас есть прямоугольный треугольник, вертикальная сторона которого имеет длину [латекс] y [/ латекс], а горизонтальная сторона имеет длину [латекс] x [/ латекс].Мы можем использовать этот прямоугольный треугольник, чтобы переопределить синус, косинус и другие тригонометрические функции как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Рисунок 1

Мы знаем

[латекс] \ cos t = \ frac {x} {1} = x [/ латекс]

Точно так же мы знаем

[латекс] \ sin t = \ frac {y} {1} = y [/ латекс]

Эти соотношения по-прежнему применяются к сторонам прямоугольного треугольника, когда не используется единичный круг, и когда треугольник находится не в стандартном положении и не отображается на графике с использованием координат [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] .Чтобы иметь возможность свободно использовать эти соотношения, мы дадим сторонам более общие имена: вместо [latex] x [/ latex] мы назовем сторону между заданным углом и прямым углом смежной стороной к углу [ латекс] т [/ латекс]. (Соседний означает «рядом».) Вместо [латекс] y [/ латекс] мы назовем сторону, наиболее удаленную от данного угла, противоположной стороной под углом [латекс] t [/ латекс]. И вместо [latex] 1 [/ latex] назовем сторону прямоугольного треугольника, противоположную прямому углу, гипотенузой , гипотенузой .Эти стороны обозначены на Рисунке 2.

Рисунок 2. Стороны прямоугольного треугольника по отношению к углу [латекс] t [/ латекс].

Понимание отношений правого треугольника

Дан прямоугольный треугольник с острым углом [латекс] т [/ латекс],

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ left (t \ right) = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} & \ csc \ left (t \ right) = \ frac { \ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \\ & \ cos \ left (t \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} & \ sec \ left (t \ справа) = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \\ & \ tan \ left (t \ right) = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} & \ кроватка \ left (t \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \ end {align} [/ latex]

Распространенным мнемоническим символом для запоминания этих отношений является SohCahToa, образованный из первых букв « S ine is o pposite over h ypotenuse, C osine is a djacent over h ypotenuse, Угол равен o pposite над a djacent.”

Как сделать: учитывая длины сторон прямоугольного треугольника и один из острых углов, найдите синус, косинус и тангенс этого угла.

1. Найдите синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
2. Найдите косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе.
3. Найдите касательную — это отношение противоположной стороны к прилегающей.

Пример 1: Вычисление тригонометрической функции прямоугольного треугольника

Для треугольника, показанного на рисунке 3, найдите значение [latex] \ cos \ alpha [/ latex].

Рисунок 3

Показать решение

Сторона, прилегающая к углу, равна 15, а гипотенуза треугольника равна 17, поэтому:

[латекс] \ begin {align} \ cos \ left (\ alpha \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {15} {17} \ end {align} [/ латекс]

Попробуй

Для треугольника, показанного на рисунке 4, найдите значение [latex] \ text {sin} t [/ latex].

Рисунок 4

Показать решение

[латекс] \ frac {7} {25} [/ латекс]

Углы и их функции

При работе с прямоугольными треугольниками применяются одни и те же правила независимо от ориентации треугольника.Фактически, мы можем оценить шесть тригонометрических функций любого из двух острых углов в треугольнике на рисунке 5. Сторона, противоположная одному острому углу, является стороной, смежной с другим острым углом, и наоборот.

Рисунок 5. Сторона, прилегающая к одному углу, противоположна другой.

Нас попросят найти все шесть тригонометрических функций для заданного угла в треугольнике. Наша стратегия — сначала найти синус, косинус и тангенс углов. Затем мы можем легко найти другие тригонометрические функции, потому что мы знаем, что величина, обратная синусу, является косекансной, обратная величина косинуса — секансной, а обратная величина касательной — котангенсом.

Практическое руководство. Учитывая длины сторон прямоугольного треугольника, вычислите шесть тригонометрических функций одного из острых углов.

1. При необходимости нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте полученный угол.
2. Укажите угол, прилегающую сторону, сторону, противоположную углу, и гипотенузу прямоугольного треугольника.
3. Найдите нужную функцию:
   • синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
   • Косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе
   • касательная как отношение противоположной стороны к соседней стороне
   • Секанс как отношение гипотенузы к смежной стороне
   • косеканс как отношение гипотенузы к противоположной стороне
   • Котангенс как отношение соседней стороны к противоположной стороне

Пример 2: Оценка тригонометрических функций углов, отличных от стандартного положения

Используя треугольник, показанный на рисунке 6, оцените [latex] \ sin \ alpha [/ latex], [latex] \ cos \ alpha [/ latex], [latex] \ tan \ alpha [/ latex], [latex] \ sec \ alpha [/ latex], [latex] \ csc \ alpha [/ latex] и [latex] \ cot \ alpha [/ latex].

Рисунок 6

Показать решение

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ alpha = \ frac {\ text {противоположный} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {4} {5} \\ & \ cos \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {3} {5} \\ & \ tan \ alpha = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {4} {3} \\ & \ sec \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {5} { 3} \\ & \ csc \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {5} {4} \\ & \ cot \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {3} {4} \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Используя треугольник, показанный на рисунке 7, оцените [latex] \ sin t [/ latex], [latex] \ cos t [/ latex], [latex] \ tan t [/ latex], [latex] \ sec t [ / latex], [латекс] \ csc t [/ latex] и [латекс] \ cot t [/ latex].

Рисунок 7

Показать решение

[латекс] \ begin {align} & \ sin t = \ frac {33} {65}, \ cos t = \ frac {56} {65}, \ tan t = \ frac {33} {56}, \ \ & \ sec t = \ frac {65} {56}, \ csc t = \ frac {65} {33}, \ cot t = \ frac {56} {33} \ end {align} [/ latex]

Нахождение тригонометрических функций специальных углов по длинам сторон

Мы уже обсуждали тригонометрические функции в связи с особыми углами на единичной окружности. Теперь мы можем использовать эти отношения для оценки треугольников, содержащих эти особые углы.\ circ [/ latex] треугольник, который также можно описать как [latex] \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {2} [/ latex ] треугольник, имеют длины в соотношении [latex] s, s, \ sqrt {2} s [/ latex]. Эти отношения показаны на рисунке 8.

Рисунок 8. Длины сторон особых треугольников

Затем мы можем использовать отношения длин сторон для оценки тригонометрических функций специальных углов.

Как: даны тригонометрические функции особого угла, вычислить с использованием длин сторон.

1. Используйте длины сторон, показанные на рисунке 8, для особого угла, который вы хотите оценить.
2. Используйте соотношение длин сторон, соответствующее функции, которую вы хотите оценить.

Пример 3: Оценка тригонометрических функций специальных углов с использованием длин сторон

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], используя длины сторон.

Показать решение

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj} } {\ text {hyp}} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1} {2} \\ & \ tan \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac { \ text {opp}} {\ text {adj}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {s} = \ sqrt {3} \\ & \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {adj}} = \ frac {2s} {s} = 2 \\ & \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right ) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {opp}} = \ frac {2s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ & \ cot \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj}} {\ text {opp}} = \ frac { s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], используя длины сторон. {\ circ} [/ latex] Косинус 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0 Синус 0 [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] 1 Касательная 0 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] Неопределенный Секант 1 [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] 2 Неопределенный Косеканс Неопределенный 2 [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 Котангенс Неопределенный [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 0

Теперь, когда у нас есть эта таблица, мы можем использовать ее для нахождения точных значений тригонометрических выражений. \ circ \ right) [/ latex], используя таблица выше.

Использование равных функций дополнений

Если мы посмотрим на таблицу выше, мы заметим закономерность. В прямоугольном треугольнике с углами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] мы видим, что синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], а именно [latex] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex], также является косинусом [latex] \ frac {\ pi} { 6} [/ latex], в то время как синус [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], а именно [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], также является косинусом [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ cos \ frac {\ pi} {6} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ sin \ frac {\ pi} {6} = \ cos \ frac {\ pi} {3} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1 } {2} \ end {align} [/ latex]

Рис. 9. Синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и наоборот.

Этот результат не должен вызывать удивления, потому что, как мы видим на Рисунке 9, сторона, противоположная углу [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], также является стороной, смежной с [latex] \ frac { \ pi} {6} [/ latex], поэтому [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi } {6} \ right) [/ latex] — это точно такое же соотношение тех же двух сторон, [latex] \ sqrt {3} s [/ latex] и [latex] 2s [/ latex].Аналогично, [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex ] также имеют такое же соотношение с использованием тех же двух сторон, [латекс] [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс].

Взаимосвязь между синусами и косинусами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] также сохраняется для двух острых углов в любой прямоугольный треугольник, так как в любом случае отношение одних и тех же двух сторон будет составлять синус одного угла и косинус другого.Поскольку три угла треугольника складываются в [латекс] \ pi [/ latex], а прямой угол равен [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], оставшиеся два угла также должны составлять [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]. Это означает, что прямоугольный треугольник может быть образован любыми двумя углами, которые складываются с [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] — другими словами, любыми двумя дополнительными углами. Таким образом, мы можем сформулировать идентичность кофункции : Если любые два угла дополняют друг друга, синус одного является косинусом другого, и наоборот.Эта идентичность проиллюстрирована на Рисунке 10.

Рис. 10. Тождество совместных функций синуса и косинуса дополнительных углов

Используя это тождество, мы можем утверждать, не вычисляя, например, что синус [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {5 \ pi} {12 } [/ latex], и что синус [latex] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex]. Мы также можем утверждать, что если для определенного угла [латекс] t [/ латекс], [латекс] \ cos \ text {} t = \ frac {5} {13} [/ latex], то [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) = \ frac {5} {13} [/ latex].

Общее примечание: идентификационные данные совместных функций

Идентификаторы совместных функций в радианах перечислены в таблице ниже.

[латекс] \ cos t = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ tan t = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ cot t = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ sec t = \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ csc t = \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]

Как: по синусу и косинусу угла найдите синус или косинус его дополнения.

1. Чтобы найти синус дополнительного угла, найдите косинус исходного угла.
2. Чтобы найти косинус дополнительного угла, найдите синус исходного угла.

Пример 5: Использование идентификаторов совместных функций

Запишите следующее как эквивалентное выражение косинуса: [latex] \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {12} \ right) [/ latex].

Показать решение

Согласно идентификаторам совместных функций для синуса и косинуса,

[латекс] \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex].\ circ \ right) [/ латекс]

Использование тригонометрических функций

В предыдущих примерах мы вычисляли синус и косинус в треугольниках, где мы знали все три стороны. Но настоящая сила тригонометрии прямоугольного треугольника проявляется, когда мы смотрим на треугольники, в которых мы знаем угол, но не знаем всех сторон.

Как: для прямоугольного треугольника, длины одной стороны и меры одного острого угла найдите оставшиеся стороны.

1. Для каждой стороны выберите тригонометрическую функцию с неизвестной стороной в качестве числителя или знаменателя.Известная сторона, в свою очередь, будет знаменателем или числителем.
2. Напишите уравнение, устанавливающее значение функции известного угла, равное отношению соответствующих сторон.
3. Используя значение тригонометрической функции и известную длину стороны, найдите недостающую длину стороны.

Пример 7: Поиск недостающих длин сторон с использованием тригонометрических соотношений

Найдите неизвестные стороны треугольника на рисунке 11.

Рисунок 11

Показать решение

Мы знаем угол и противоположную сторону, поэтому мы можем использовать касательную, чтобы найти прилегающую сторону.\ circ \ right)} \\ & = 14 \ end {align} [/ latex]

Попробуй

Прямоугольный треугольник имеет один угол [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] и гипотенузу 20. Найдите неизвестные стороны и угол треугольника.

Показать решение

[латекс] \ text {смежный} = 10 [/ латекс]; [латекс] \ текст {напротив} = 10 \ sqrt {3} [/ латекс]; отсутствующий угол [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Тригонометрия прямоугольного треугольника имеет множество практических применений. Например, способность вычислять длины сторон треугольника позволяет определить высоту высокого объекта, не взбираясь на вершину и не протягивая рулетку по его высоте.Мы делаем это, измеряя расстояние от основания объекта до точки на земле на некотором расстоянии, откуда мы можем смотреть на вершину высокого объекта под углом. Угол подъема объекта над наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. Правый треугольник, создаваемый этим положением, имеет стороны, которые представляют неизвестную высоту, измеренное расстояние от основания и наклонную линию обзора от земли до вершины объекта.Зная измеренное расстояние до основания объекта и угол прямой видимости, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления неизвестной высоты. Точно так же мы можем сформировать треугольник из вершины высокого объекта, глядя вниз. Угол наклона объекта под наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. На рисунке ниже [латекс] \ alpha [/ latex] представляет угол подъема , а [латекс] \ beta [/ latex] представляет угол углубления .

Рисунок 12

Как: для высокого объекта косвенно измерить его высоту.

1. Сделайте набросок проблемной ситуации, чтобы отслеживать известную и неизвестную информацию.
2. Разместите измеренное расстояние от основания объекта до точки, где верх объекта будет хорошо виден.
3. На другом конце измеренного расстояния посмотрите на верхнюю часть объекта. Измерьте угол, под которым линия визирования образует горизонталь.\ circ \ right) && \ text {Умножение}. \\ & h \ приблизительно 46,2 && \ text {Используйте калькулятор}. \ end {align} [/ latex]

   Дерево примерно 46 футов в высоту.

   Попробуй

   Какова длина лестницы, чтобы добраться до подоконника на высоте 50 футов над землей, если лестница упирается в здание под углом [латекс] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex]? Округлите до ближайшего фута.

   Обратная тригонометрическая функция на калькуляторе

   Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, обратная тригонометрическая функция может использоваться для нахождения острого угла в треугольнике.{-1} [/ латекс]. Калькулятор вернет угол в радианах или градусах, в зависимости от того, в каком режиме находится ваш калькулятор. Нам понадобится функция арктангенса для пеленга.

   Подшипник

   Пеленг — это направление, в котором вы движетесь по компасу. На большинстве карт N вверху, S внизу, W слева, а E справа. Подшипники записываются в такой форме: (N или S) (Острый угол) (E или W). Угол измеряется либо от севера, либо от юга, в зависимости от того, какая буква идет первой в вашем азимуте.\ circ E [/ latex] означает, что вы пойдете на север, а затем на 20 градусов на восток или вправо. На рисунке ниже показан пример рисования подшипников. Как видите, каждый угол измеряется от N или S в зависимости от первой буквы подшипника. Подшипники НЕ рисуются в стандартном положении, что означает, что НЕ отрисовываются от положительной оси x.
   

   Теперь мы рассмотрим некоторые прикладные задачи, связанные с пеленгами и прямоугольными треугольниками.

   Пример 9: Найдите подшипник

   Полуавтомат движется на восток на 8 миль, делает поворот направо, а затем едет на юг еще 11 миль.\ circ E [/ latex] на 5 миль. Как далеко на восток и как далеко на юг бегун от исходной точки? Округлите ответы до ближайшей мили.

   Показать решение

   4 мили на восток, 3 мили на юг

   Преобразовать процентную оценку в градусы

   Процентный уклон часто встречается на проезжей части или тропах, и это показатель крутизны. Например, если дорога имеет уклон 6%, это означает, что дорога поднимается на 6 футов на горизонтальное расстояние (пробег) в 100 футов. Процентный уклон определяется путем деления прибавки за пробег, как показано на Рисунке 14.Подъем и бег — это тоже противоположные и смежные стороны. Мы можем найти [latex] \ theta [/ latex], взяв арктангенс.

   Рисунок 14

   Чтобы вычислить градусное измерение степени в процентах, сначала измените процент на десятичное число, разделив его на 100. Затем возьмите арктангенс этого десятичного числа, и это даст угол в градусах. На самом деле это угол места и , который мы изучали ранее в этом разделе!

   Как: преобразовать процентную оценку в градусы

   Убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме.\ circ [/ latex]

   Ключевые уравнения

   Идентификаторы совместных функций	[латекс] \ begin {собранный} \ cos t = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \\ \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} { 2} -t \ right) \\ \ tan t = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \\ \ cot t = \ tan \ left (\ frac {\ pi} { 2} -t \ right) \\ \ sec t = \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \\ \ csc t = \ sec \ left (\ frac {\ pi} { 2} -t \ right) \ end {собрано} [/ latex]
   Процентная оценка до градусов	[латекс] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ dfrac {\ text {процентная оценка}} {100} \ right) [/ latex]

   Ключевые понятия

   • Мы можем определить тригонометрические функции как отношения длин сторон прямоугольного треугольника.
   • Можно использовать одну и ту же длину стороны для оценки тригонометрических функций любого острого угла в прямоугольном треугольнике.
   • Мы можем оценить тригонометрические функции особых углов, зная длины сторон треугольников, в которых они встречаются.
   • Любые два дополнительных угла могут быть двумя острыми углами прямоугольного треугольника.
   • Если два угла дополняют друг друга, тождества совместных функций утверждают, что синус одного равен косинусу другого и наоборот.
   • Мы можем использовать тригонометрические функции угла, чтобы найти неизвестные длины сторон.
   • Выберите тригонометрическую функцию, представляющую отношение неизвестной стороны к известной.
   • Тригонометрия прямоугольного треугольника позволяет измерять недоступные высоты и расстояния.
   • Неизвестную высоту или расстояние можно найти, создав прямоугольный треугольник, в котором неизвестная высота или расстояние являются одной из сторон, а другая сторона и угол известны.
   • Подшипники измеряются от N или S, в зависимости от первой буквы подшипника.
   • Уклон в процентах можно выразить в градусах, которые представляют собой угол подъема.

   Глоссарий

   смежная сторона

   в прямоугольном треугольнике, сторона между заданным углом и прямым углом

   угол наклона

   угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен ниже, чем наблюдатель

   угол возвышения

   угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, при условии, что объект расположен выше, чем наблюдатель

   противоположная сторона

   в прямоугольном треугольнике со стороной, наиболее удаленной от заданного угла

   гипотенуза

   сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла

   процентное содержание

   Коэффициент роста за период, выраженный в процентах.Это мера крутизны.

   Раздел 4.3 Домашние упражнения

   1. Для данного прямоугольного треугольника отметьте прилегающую сторону, противоположную сторону и гипотенузу для указанного угла.
   

   2. Когда прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 помещается в единичный круг, какие стороны треугольника соответствуют координатам x и y?

   3. Тангенс угла сравнивает стороны прямоугольного треугольника?

   4. Как соотносятся два острых угла в прямоугольном треугольнике?

   5.\ circ \ right) [/ латекс]

   13. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = \ cot \ left (\ text {__} \ right) [/ latex]

   Для следующих упражнений найдите длины недостающих сторон, если сторона [латекс] a [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] A [/ латекс], сторона [латекс] b [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] B [/ latex], а side [latex] c [/ latex] — гипотенуза.

   14. [латекс] \ cos B = \ frac {4} {5}, a = 10 [/ латекс]

   15. [латекс] \ sin B = \ frac {1} {2}, a = 20 [/ латекс]

   16. [латекс] \ tan A = \ frac {5} {12}, b = 6 [/ latex]

   17.{\ circ} [/ латекс]

   Для следующих упражнений используйте Рисунок 14, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].

   Рисунок 14

   21. [латекс] \ sin A [/ латекс]

   22. [латекс] \ cos A [/ латекс]

   23. [латекс] \ tan A [/ латекс]

   24. [латекс] \ csc A [/ латекс]

   25. [латекс] \ сек A [/ латекс]

   26. [латекс] \ кроватка A [/ латекс]

   Для следующих упражнений используйте Рисунок 15, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].

   Рисунок 15

   27. [латекс] \ sin A [/ латекс]

   28. [латекс] \ cos A [/ латекс]

   29. [латекс] \ tan A [/ латекс]

   30. [латекс] \ csc A [/ латекс]

   31. [латекс] \ сек A [/ латекс]

   32. [латекс] \ кроватка A [/ латекс]

   Для следующих упражнений решите неизвестные стороны данного треугольника.

   33.
   

   34.
   

   35.
   

   Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти длину каждой стороны с точностью до четырех знаков после запятой.\ circ [/ латекс]. Насколько высоко лестница поднимается к стене здания?

   58. Угол подъема к верху здания в Нью-Йорке составляет 9 градусов от земли на расстоянии 1 мили от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.

   59. Угол подъема к вершине здания в Сиэтле составляет 2 градуса от земли на расстоянии 2 миль от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.\ circ [/ latex], как далеко я от основания дерева?

   61. Автомобиль едет на запад 5 миль, поворачивает налево и затем 9 миль на юг. Каков пеленг от исходного положения автомобиля до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.

   62. Грузовик едет на восток 4 мили, поворачивает налево, а затем едет на север 6 миль. Каков подшипник от исходного положения грузовика до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.

   63.\ circ W [/ latex] на 20 дюймов. Как далеко на запад и как далеко на юг находится паук от начальной точки? Округлите ответы до двух десятичных знаков.

   65. Построен в 1901 году полковником Дж. У. Эдди, компания Angels Flight в Лос-Анджелесе, как говорят, является самой короткой в ​​мире железной дорогой с внутренним доступом. Машины с противовесом, управляемые тросами, преодолевают уклон 33% на расстояние 315 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?

   66. Saluda Grade — это самый крутой уклон магистральной железной дороги стандартной колеи в Соединенных Штатах.Между Мелроузом и Салудой, Северная Каролина, максимальный уклон составляет 4,9% на расстоянии около 300 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?

   Прямоугольные следы печатной платы: время уничтожить мифы

   Прямоугольные следы печатной платы: время уничтожить мифы

   З. М. Петерсон и пуля; 27 декабря 2019 г.

   Подходит к концу года, поэтому я подумал, что лучше всего завершить год, рассмотрев распространенный миф в дизайне печатных плат, который просто не умрет: никогда не использовать прямоугольные дорожки на печатной плате.Среди множества мифов о дизайне печатных плат, это один из самых известных мифов, за который до сих пор цепляются дизайнеры старой школы.

   Если вы читали некоторые руководства по проектированию печатных плат в Интернете, много говорится о трассировке под прямым углом и о том, как нельзя использовать эти острые углы. Сюда входит блог Eagle, где конкретная производственная проблема (кислотные ловушки), основанная на технологии десятилетней давности, упоминается как причина отказа от маршрутизации трассировки под углом 90 градусов. Я видел, как все, от новичков до проектировщиков с многолетним опытом, заявляли, что трассировки под углом 90 градусов следует избегать любой ценой.Откуда взялась эта идея и почему ее до сих пор преподносят как пример плохой маршрутизации?

   Возражения против прямоугольных следов печатной платы

   Если вы посмотрите на возражения против маршрутизации под прямым углом, они часто представлены без доказательств или достаточных оснований. Эти возражения делятся на пять областей:

   Утверждение 1: Электроны не могут двигаться под прямым углом. Они сбиваются в кучу в углу и отталкиваются друг от друга.

   Это полная чушь.Фактически, если бы это было правдой, то сигналы не могли бы перемещаться между слоями через переходное отверстие. Это один из тех забавных фактов, которые я видел, как упускают из виду ряд старших инженеров-проектировщиков печатных плат.

   Когда вы поймете, как в проводнике возбуждаются заряды, вы поймете, как поле может распространяться между двумя точками независимо от геометрии. Во-первых, давайте посмотрим на это электростатически. Когда проводник доводится до некоторого потенциала, некоторая плотность заряда затем переносится на поверхность проводника.Эта плотность заряда затем излучает электрическое поле, которое направлено перпендикулярно поверхности проводника. Если есть соседняя область отрицательного заряда (например, земля на печатной плате), то силовые линии электрического поля от положительной плотности заряда будут сходиться в область отрицательной плотности заряда. Это создает хорошо известные шаблоны полей, которые можно увидеть во многих учебных пособиях и при моделировании перекрестных помех на печатных платах.

   Если вы затем заставляете напряжение, подключенное к сигнальной дорожке, переключать полярность или каким-либо образом колебаться, это не означает, что электроны физически перемещаются от одного конца дорожки к другому.Электроны на самом деле перемещаются на очень короткое расстояние, прежде чем рассеиваются атомом, составляющим проводник, и тем не менее электронные сигналы все еще распространяются по следу независимо от «группировки» или рассеяния.

   Что действительно происходит в проводнике, так это то, что распространяющаяся электромагнитная волна возбуждает локальные колебания электрического заряда от положительного к отрицательному. Другими словами, чистая плотность заряда в области распространения волны переключается с положительной на отрицательную, и это бегущее возмущение является распространяющейся электромагнитной волной.

   Распределение электрического поля следует по дорожке на печатной плате независимо от прямых углов.

   Ток не проходит от одного конца дорожки к другому. Вместо этого это локализованное колебание нарастает и затухает по мере прохождения волны, но колебание существует только в пределах области, которая охватывает пространственную протяженность (например, длину волны) электромагнитной волны.Для токочувствительных приемников (например, буферов мощности) входной сигнал рассматривается только как колеблющийся электрический ток в непосредственной близости от входа приемника.

   Для цифрового сигнала у вас действительно есть бесконечное количество локализованных колебаний (то есть на разных гармониках некоторой основной частоты), которые производят кажущееся непрерывное движение заряда по межсоединению. Опять же, суперпозиция этих локализованных колебаний тока создает то, что кажется движением заряда непосредственно от драйвера к приемнику, но заряд в проводнике на самом деле не движется таким образом.

   Пункт 2: Сигналы тока / напряжения полностью отражаются от прямоугольных дорожек

   В этом есть крохотная доля правды, хотя это не имеет ничего общего с электронами, отскакивающими от края проводника. Да, это правда, что прямоугольные трассы создают разрыв импеданса, но он не более серьезен, чем разрыв импеданса, который можно увидеть на длинном переходном отверстии, слегка несовпадающей цепи фильтра / оконечной нагрузки, трассе под углом 45 градусов или серпантине. отрезок совпадения длины.Это означает, что вам следует позаботиться о создании трасс с согласованной геометрией, если вы хотите предотвратить скачки импеданса. Вы также должны свести к минимуму или исключить использование переходных отверстий в чрезвычайно высокоскоростных низкоуровневых ссылках.

   Стенка прямоугольной дорожки не вызывает полного внутреннего отражения электромагнитных волн обратно в дорожку; Фактически, молодой студент знал бы из основ физики, что этого не происходит при нормальных условиях. Точно так же не требуется след под углом 45 градусов, чтобы заставить электромагнитную волну повернуть за угол; если бы это было правдой, то только очень определенные пары изгиба под углом 45 градусов позволили бы сигналу достичь приемника на печатной плате.

   Что на самом деле происходит? Плотность электрического поля в углах прямоугольного следа немного выше, чем у гладкой стенки 45-градусного следа. Это фактически подводит нас к третьему утверждению в этом мифе о целостности сигнала…

   Претензия 3: Прямоугольные дорожки на печатной плате являются источником электромагнитных помех

   В этом утверждении есть доля правды, но это становится критичным только выше определенных частот. Большинство дизайнеров заявляют, что вы никогда не должны прокладывать прямоугольные дорожки на печатной плате из-за электромагнитных помех, возникающих в углу.Это создаст излучаемые электромагнитные помехи вдали от поверхности платы (излучение ближнего и дальнего поля), а также перекрестные помехи на близлежащих дорожках. Давайте сначала рассмотрим проблему перекрестных помех.

   Что касается перекрестных помех, то эту проблему целостности сигнала можно рассматривать как сигнал, индуцированный паразитной емкостью и / или индуктивностью между соседними дорожками, но перекрестные помехи будут происходить независимо от наличия прямоугольного угла на печатной плате. Кроме того, хотя поле, создаваемое внутри прямоугольного угла следа агрессора, будет сильнее, чем поле вдоль плоской стенки следа, поле может быть сконцентрировано в внешнем углу следа жертвы.В результате практически во всех ситуациях нет заметного влияния на перекрестные помехи.

   Истинный кусок истины можно найти, когда мы рассматриваем излучение в дальней зоне. Математически существует несоответствие импеданса между краем прямоугольной дорожки печатной платы и диэлектриком. Всякий раз, когда у вас есть рассогласование импеданса в конструкции с волнами, распространяющимися вперед и назад, у вас есть отражение и потенциал для резонанса стоячей волны, подобный резонансу линии передачи.Однако электромагнитные помехи становятся серьезными только в том случае, если вы можете вызвать резонанс стоячей волны или множественные резонансы в частично открытой структуре.

   Пример распределения тока на прямоугольной кривой. Источник изображения.

   Ограничивающим фактором, который определит, будут ли возбуждены какие-либо резонансы, является размер квадратной области на прямоугольной дорожке печатной платы. В частности, поперечный размер области будет примерно равен четверти длины волны резонанса самого низкого порядка, так что это дает вам хорошую основу для оценки основных резонансных частот.Остальные гармоники будут примерно нечетными кратными основной частоте. Если мы допустим очень большую ширину следа 30 мил с эффективной диэлектрической проницаемостью 3,5, частота самого низкого порядка будет 112 ГГц! Если мы возьмем эту частоту для цифрового сигнала, это эквивалентно времени нарастания 3 пс, что намного ниже, чем у коммерчески доступных цифровых компонентов.

   На сегодняшний день разработчикам цифровых технологий не нужно беспокоиться о прямоугольных дорожках печатной платы как источнике электромагнитных помех.Интеллектуальный ВЧ-разработчик уже должен использовать методы изоляции, чтобы предотвратить появление шума в других схемных блоках этой формой электромагнитных помех. Даже дизайнеры, работающие за пределами режима mmWave, будут реализовывать в своей плате достаточные меры изоляции, независимо от частоты.

   Пункт 4: Кислотные ловушки образуются во время производства

   Раньше это возражение было справедливо в 1980-х годах, но с более новыми решениями для травления, используемыми для травления меди во время производства, вы можете эффективно игнорировать эту проблему, если только вы не работаете с производителем, который сокращает углы.Несколько десятилетий назад растворы травителей имели тенденцию иметь более высокое поверхностное натяжение и вязкость, из-за чего они накапливались и располагались в углах под углом 90 градусов на прямоугольных дорожках печатной платы. Это может вызвать чрезмерное травление в углах, что приведет к чрезмерной шероховатости поверхности медных следов. Сегодня любой американский производитель, который хочет держать свои двери открытыми, знает, что нельзя использовать эти старые травители. Однако это по-прежнему является проблемой для зарубежных производителей некачественной продукции.

   Изображение под микроскопом, показывающее чрезмерное травление на некоторых следах меди.

   Пункт 5: Электромиграция

   Это, вероятно, наименее известное утверждение, которое чаще встречается у производителей, чем у дизайнеров. Считается, что высокая плотность тока вблизи углов (см. График выше) и возникающее в результате сильное поле вызывают сильную электромиграцию. Однако экспериментальные тесты Croes et al. (см. источник ниже) обнаружили, что электромиграция около прямоугольных дорожек печатной платы была не более серьезной, чем электромиграция от стандартных 45-градусных дорожек или изогнутых дорожек.

   • Источник: Croes, K., Li, Y., Lofrano, M., Wilson, C.J., and Tokei, Z. (2013). Внутреннее исследование влияния плотности тока и градиента плотности тока на электромиграцию в медных межсоединениях BEOL. В Proc. ИРПС , 2С.3.1-2С.3.4.

   Существует связанное с этим законное утверждение, которое следует учитывать, которое касается электрического поля, создаваемого прямоугольными дорожками печатной платы. Более высокое поле, излучаемое этими дорожками, означает, что в высоковольтных конструкциях следует использовать большие расстояния утечки и зазоры.Поскольку поле выше, пробой диэлектрика между двумя проводниками легче, поэтому расстояние изоляции высокого напряжения между двумя точками должно быть увеличено. Это единственное законное возражение против прямоугольных дорожек печатной платы.

   Приговор

   К настоящему времени должно быть ясно; проблемы с прямоугольными дорожками на печатной плате являются мифами и не должны привлекать внимания , если вы не работаете при высоком напряжении или с частотами в 100 ГГц . К сожалению, некоторые из этих дизайнерских мифов просто не исчезнут в ближайшее время, но мы будем здесь, чтобы попытаться пролить свет на правду.

   В NWES мы помогаем новаторам разобраться во всех аспектах их самых сложных технических проблем. Если вы ищете современное бюро услуг по проектированию печатных плат и услуги по продвижению идей в области маркетинга, свяжитесь с NWES для консультации.

   ---

   
   

   Готовы приступить к следующему дизайнерскому проекту?
   

   ---

   ---

   ---

   Как найти касательный угол

   Если вы где-то работаете с любым треугольником с прямым углом, найти касательный угол просто, если вам известны длины двух сторон треугольника.

   В Microsoft Excel это сделать еще проще, потому что есть встроенные функции, которые вы можете использовать.

   Информация в этой статье относится к Excel для Microsoft 365, Excel 2019, 2016, 2013, 2010 и Excel для Mac.

   Что такое касательный угол?

   Касательный угол — это угол в треугольнике, длина стороны которого противоположна углу, и стороны, прилегающей к нему.

   Представьте, например, что ваш начальник говорит вам установить лестницу точно на 70 градусов от земли.Если у вас нет специальных инструментов, было бы сложно измерить, составляет ли угол между лестницей и землей ровно 70 градусов.

   Бернард Ван Берг / Getty Images

   Однако, если у вас есть рулетка, вы можете измерить расстояние от нижней части лестницы до стены. Поскольку лестница у стены образует треугольник, это будет сторона , примыкающая к к касательному углу, который вы пытаетесь вычислить.

   Затем вы должны измерить расстояние от нижней части стены до того места, где ее касается верхняя часть лестницы.Это расстояние стороны , противоположной от касательного угла.

   Измеряя противоположные и смежные стороны, вы можете рассчитать угол у основания лестницы с помощью функции арктангенса.

   Если сторона стены (противоположная) составляет 10 футов, а сторона земли (смежная) — 5 футов, формула для касательного угла представляет собой противоположную сторону, деленную на соседнюю сторону. Это 10, разделенное на 5, или 0,5.

   Чтобы найти значение угла, вам нужно взять арктангенс 0.5.

   Найдите касательный угол с помощью Excel

   Вы можете найти калькулятор, который вычисляет арктангенс значения, но в Excel есть встроенная функция ATAN, которую вы можете использовать.

   Формула возвращает угол в радианах, который ваш начальник, вероятно, не поймет.

   Вы захотите преобразовать радианы в градусы, умножив полученное значение на 180 / пи. В Excel также есть функция PI, которую вы можете использовать для этой цели.

   В данном случае ответ — 63.43 градуса. Это означает, что вам нужно отрегулировать одну из длин, пока угол не будет ровно 70 градусов.

   Сделать это в Excel легко, потому что вы можете изменять значение противоположной стороны, пока результат арктангенса не будет равен 70.

   Использование ASIN и ACOS в Excel

   В этом же сценарии предположим, что у вас нет рулетки, достаточно длинной, чтобы измерить стену. Вы знаете только, что высота лестницы составляет 15 футов, и что она находится в пяти футах от стены.

   В Excel есть еще две функции, которые можно использовать для вычисления угла.

   Длина лестницы — это гипотенуза треугольника , а расстояние до земли — это , прилегающая к углу сторона. Пока треугольник имеет один прямой угол (90 градусов), имеющаяся у вас информация определяет формулу, которую вам нужно использовать.

   • Косинус : Вычислите угол косинуса, если вам известна длина гипотенузы и прилегающей стороны.
   • Синус : рассчитайте угол синуса, если вам известна длина гипотенузы и противоположной стороны.

   В этом случае угол — это арккосинус соседней стороны, деленный на гипотенузу.

   Поскольку вы знаете, что прилегающая сторона (расстояние до земли) составляет 5 футов, а длина лестницы (гипотенуза) — 15 футов, косинус угла равен 5, деленному на 15, или 0,333.

   Чтобы вычислить угол, используйте формулу арккосинуса в Excel.

   Результатом функции арккосинуса является Excel в радианах, поэтому вам нужно умножить его на 180 / PI, чтобы преобразовать его в градусы.

   Для 15-футовой лестницы, основание которой находится на расстоянии 5 футов от стены, угол составляет 70,53 градуса.

   Если бы вы знали, что высота стены (противоположная сторона) составляет 10 футов, а не расстояние от земли до стены (соседняя сторона), вы бы использовали формулу арксинуса в Excel.

   В этом случае синус угла — это сторона, противоположная делению гипотенузы.

   После преобразования в градусы угол в этом случае будет 48,12 градуса.

   Зачем использовать ATAN, ACOS или ASIN?

   Вот несколько примеров ситуаций, когда вам может потребоваться использовать одну из этих функций в Excel:

   • В столярных работах и ​​строительстве углы и длины используются во всех аспектах строительства домов и зданий.
   • Фотографы используют углы, чтобы тщательно согласовать освещение и свои творческие снимки.
   • В спорте понимание углов может улучшить навыки и стратегию.
   • Корабли и самолеты отображаются на радаре с использованием углов и расстояний.
   • Если вы хотите быть уверены, что мебель поместится прямо в вашей комнате, вам нужно знать, как рассчитывать длину и углы.

   Возможно, вы сможете выполнить эти расчеты на научном калькуляторе. Но если у вас нет под рукой, Excel может помочь вам в этих вычислениях.

   Спасибо, что сообщили нам!

   Расскажите, почему!

   Другой Недостаточно подробностей Трудно понять

   История тригонометрии — Часть 1

   
   

   Ранняя астрономия и начало математической науки

   Это первая из трех статей по истории тригонометрии. Часть 2 можно найти здесь. Некоторые термины, использованные в этой статье, описаны здесь более подробно.

   1. Древние инструменты и измерения звезд

   Самым древним устройством, обнаруженным во всех ранних цивилизациях, является «теневая палка».Тень, отбрасываемая теневой палкой, использовалась для наблюдения за движением Солнца и, таким образом, для определения времени. Сегодня мы называем этот инструмент гномоном. Название гномон происходит от греческого языка и относится к любому L-образному инструменту, который изначально использовался для рисования прямого угла.

   В Книге II Евклида, где Евклид имеет дело с преобразованием областей, гномон принимает форму «L-образной» области, касающейся двух смежных сторон параллелограмма. Сегодня гномон — это вертикальный стержень или подобное устройство, которое создает тень на солнечных часах.

   Подробнее о солнечных часах читайте в статье Лео «Краткая история измерения времени».

   В полдень тень от палки самая короткая, и цивилизации Месопотамии, Египта и Китая пошли в направлении север-юг от этого выравнивания. Напротив, индусы использовали направление Восток — Запад, восход и заход солнца, чтобы ориентировать свои «огненные алтари» для религиозных практик. Для этого они построили «круг гномона», радиус которого был квадратным корнем из суммы квадрат высоты гномона и его тени [см. примечание 2 ниже].

   Меркет — один из старейших известных астрономических инструментов. Он был разработан около 600 г. до н.э. и использует отвес, чтобы получить истинную вертикаль, как на картинке. Другой объект — это ребро пальмового листа, разрезанное на одном конце, чтобы сделать тонкую щель для взгляда. Вавилонские и египетские астрономы смогли измерить высоту и боковое смещение небесных объектов от конкретной точки. направление с помощью Меркета, давая, таким образом, самые ранние идеи поворота или угла.

   Пара меркетов использовалась для установления направления с севера на юг, выстраивая их один за другим с Полярной звездой. Просмотр отвесов через прицел убедился, что два мерхета и прицел находятся на одной прямой с Полярной звездой. Используя водяные часы для определения времени, такое расположение мерхетов позволяло людям измерять ночные события, например, моменты, когда определенные звезды пересекают вертикальную линию отвеса («транзитная линия»).

   Египтяне разделили 360 градусов эклиптики на 36 секций по 10 градусов каждая. [см. Примечание 1 ниже]. Это разделение было известно до 2300 г. до н. Э. Каждая секция в десять градусов (называемая деканом от греческого слова десять) содержала созвездие звезд, выстроенных вдоль эклиптики. Поскольку Земля совершает полный оборот за 24 часа, звезды в новом декане будут подниматься над горизонтом примерно каждые 40 минут. Система деканов использовалась для определения ночных часов и времен года.

   Деления в верхней части диаграммы представляют собой деканы. Карта была прочитана справа налево, а изображения представляют Марс (лодка и бык), Орион с тремя звездами, включая Солнце и Луну, Сириус, Юпитер, Сатурн, Меркурий и Венеру. Нижняя часть содержит изображения звездных богов или демонов. Они представляют собой одни из самых важные дни в году. Диаграмма в значительной степени символична и функциональна, но на ней есть изображения некоторых значительных групп звезд.

   2.Вавилонские астрономы

   Наблюдения за небесными телами вавилонянами примерно с 1800 г. до н.э. привели к окончательному разделению круга на 360 градусов, а примерно к 500 г. до н. дома зодиака. Вавилоняне записали события лунного месяца, ежедневное движение солнца по небу в течение года, и восход и заход главных планет. Итак, к 750 г. до н.э. астрономы имели достаточно точные средства измерения высоты (широты) и бокового направления (долготы) всех небесных объектов.Они собрали обширную коллекцию данных и составили таблицы положений объектов на небе в любой момент времени в течение года (эти таблицы называются эфемеридами).

   Используя методы наблюдений, такие как гелиакальный восход, который происходит, когда планета, звезда или другое тело впервые становится видимым над восточным горизонтом на рассвете, было обнаружено, что:

   • созвездия зодиака совершали полный круг по небу один раз в год
   • Ежедневное видимое движение Солнца по небу образовало $ \ frac {1} {360} $ круга
   • Луна проходила около $ \ frac {13} {360} $ круга каждый день.
   • г. Эклиптика была наклонена к горизонту (около $ 23 \ frac {1} {2} $ градусов)
   • планет двигались по звездному фону правильными путями, которые иногда возвращались назад по петле (ретроградно)
   • затмений Луны и Солнца можно было предсказать
   • транзитов планет (т.е.грамм. Венера) движется по лицевой стороне Солнца, и можно было наблюдать затмения (где луна покрывала звезды).

   Эти наблюдения продолжались на протяжении многих столетий, постепенно становясь все более точными, так что древние люди смогли составить звездные карты и обнаружить регулярные события на небесах.

   Многие сезонные явления, такие как наводнение Нила, или особые события, такие как религиозные церемонии, были связаны с астрономическими явлениями. Способность предсказывать некоторые из этих крупных астрономических событий породила астрологию, где люди верили, что существует связь между небесными и земными событиями, и что звезды имеют некоторый контроль над их жизнями.Смотрите эту новость BBC о доисторической звездной карте.

   И вавилоняне, и китайцы верили, что Земля и Луна имеют сферическую форму, что Земля и Луна вращаются вокруг оси, и что Солнце и планеты движутся по кругу вокруг Земли. Это позволило им объяснить фазы луны и предсказать лунные и солнечные затмения, веря, что земля отбрасывает тень на луну, а луна отбрасывает тень на луну. солнце. Они смогли предсказать пути других объектов через Солнце, например, прохождение Венеры, описание и объяснение которого можно найти здесь, в Википедии.

   Вавилонские астрономы систематически записывали астрономические данные, и к периоду Селевкидов (330–125 до н. Э.) Существовало огромное количество астрономических табличек с эфемеридами для Луны и больших планет. Многие таблички содержат «процедуры» или инструкции по вычислению интервалов между астрономическими событиями, используя свойства простой арифметики. прогрессии. Эти процедурные процессы были самыми ранними этапами математической астрономии, и и процедуры, и данные использовались теми, кто пришел позже.Вавилоняне записывали списки чисел в том, что мы назвали бы арифметической прогрессией, и признавали, что числа повторяются через определенные промежутки времени.

   Как видите, Нойгебауэр опубликовал шестидесятеричные значения для двенадцати измерений положения Луны, взятых с глиняной таблички, датированной 133/132 г. до н. Э.

   В приведенной выше таблице верхняя строка показывает конец 133 года до н. Э. С последним месяцем эйрес, поэтому начало вавилонского года приходилось на весеннее равноденствие, а нижняя строка представляет конец 132 года до н. Э.Высота линий на зигзагообразном графике ниже приблизительно соответствует последовательности числовых значений в таблице. Есть две группы числа, одно из которых начинается с 28, за ним следует другое, начиная с 29. Результаты для Близнецов и Рака различаются только третьим местом шестидесятичных, а минимум на графике интерполируется из результатов в таблице. Аналогичным образом результаты для Стрельца и Козерога указывают максимальное значение долготы.

   Рассмотрим первые три набора шестидесятеричных чисел: 28, 55, 57, 58; 28, 37, 57, 58 и 28, 19, 57, 58 мы можем заметить, что значительные различия во втором месте между 55, 37 и 19 все дают константу 18, которая представляет собой разницу в высоте вертикальных линий на зигзагообразный график (кроме минимума и максимума).График был нарисован на проиллюстрировать периодичность данных. Важно понимать, что вавилоняне распознали, что события повторились через некоторое время, но они не видели эти результаты как «график», как мы [см. Примечание 3 ниже].

   Использование графиков как способа записи данных взято из книги Нойгебауэра «Точные науки в древности».

   Вавилонские астрономы признали, что события были периодическими, но у них не было теории движения планет.

   3. Индусские сульбасутры

   Сульбасутры являются единственными ранними источниками индуистских математических знаний и изначально восходят к ведическому периоду (во втором тысячелетии до нашей эры). Самые ранние письменные тексты этой устной традиции датируются примерно 800 г. до н. Э. Сульбасутры — это инструкции по построению различных геометрических форм для создания «огненных алтарей» с использованием техники «Колышка и шнур». Каждый «огненный алтарь» была другой формы и ассоциировалась с уникальными дарами богов.

   Для получения дополнительной информации о геометрии колышка и шнура см .: Развитие алгебры, часть 1: раздел 4 «Ранняя индийская математика», статью Лео, уже опубликованную на NRICH.

   Ведические люди знали, как находить стороны света (NSEW). Сульбасутры описали порядок строительства алтарей, начиная с линии, обозначающей направление восток-запад (солнце восходит на востоке и опускается на западе), таким образом, направление восток-запад имело особое религиозное значение.

   В конце четвертого века до нашей эры индийская часть империи Александра Великого распалась на небольшие королевства, которыми управляли индийские греки.Примерно в это же время существовал набор математических знаний под названием дзёсиа, смесь астрономии, календарных расчетов и астрологии. 2} {10}} $.\ circ $. Это говорит о том, что индийское изобретение тригонометрии синуса было вдохновлено заменой геометрии греческого хорда прямоугольных треугольников в полукруге на более простую геометрию синуса прямоугольных треугольников. в квадранте [см. примечание 5 ниже].

   Это открытие произошло намного раньше, чем обычно приводится описание таблицы синусов, полученной из аккордов Арьябхатой Старшим (476–550 гг. Н. Э.), Который использовал слово jiya для обозначения синуса. Брахмагупта воспроизвел ту же таблицу в 628 году нашей эры, а Бхаскара дал подробный метод построения таблицы синусов для любого угла в 1150 году нашей эры.

   4. Китайская астрономия

   Китайцы были наиболее точными наблюдателями небесных явлений до арабов. Были найдены «кости оракула» с выгравированными на них названиями звезд, относящиеся к китайскому бронзовому веку (около 2000 г. до н.э.), а очень старые звездные карты были найдены на керамике, выгравированы на камнях и нарисованы на стенах пещер.

   Сохранившиеся записи астрономических наблюдений, сделанные двумя астрономами Ши Шеном и Ган Де, датируются 4 веком до нашей эры.

   Ши Шэнь написал книгу по астрономии, составил карту звездного неба и звездный каталог. В 364 г. до н.э. Ган Де провел первое зарегистрированное наблюдение солнечных пятен и спутников Юпитера, и они оба провели точные наблюдения за пятью большими планетами. Их наблюдения основывались на принципе вращения звезд вокруг полюса (эквивалент вращения Земли вокруг своей оси).

   Знаменитая карта Су Сун (1020–1101), нарисованная на бумаге в 1092 году, представляет собой все небо с положениями около 1350 звезд.

   Экватор представлен горизонтальной прямой линией, проходящей через звездную карту, а эклиптические кривые над ней.

   Самая старая звездная карта, найденная на данный момент, относится к Дуньхуану. Ранее считалось, что датируется примерно 940 годом нашей эры, он был сделан с помощью точных математических методов астрономом и математиком Ли Чуньфэном (602-670) и показывает 1339 звезд в 257 китайских звездных группах с точностью от 1,5 до 4 градусов дуги. Всего есть 12 карт, каждая из которых разделена на 30 градусов, отображая все небо, видимое с Северное полушарие.На сегодняшний день это самый старый полностью сохранившийся звездный атлас, обнаруженный во время любой цивилизации. В этом году он был выставлен в Британской библиотеке, чтобы отметить 2009 год как Международный год астрономии. [см. примечание 6 ниже]

   Некоторые элементы индийской астрономии достигли Китая с распространением буддизма (25–220 гг. Н. Э.). Позже, в течение периода (618–907 гг. Н. Э.), Ряд индийских астрономов перебрались в Китай, и исламские астрономы тесно сотрудничали со своими китайскими коллегами, особенно в период (1271–1368 гг.).

   Очень мало знаний индейцев и китайцев было известно в Европе до португальских мореплавателей и ученого-иезуита Маттео Риччи в пятнадцатом веке.

   Вавилонская астрономия внесла прямые эмпирические данные в основу греческой теории, и точно такие же данные, которые предоставили информацию для результатов «зигзагообразных» данных в вавилонской теории, были использованы Гиппархом для расчета средних движений Солнца и Луны.

   Педагогические заметки в поддержку этой статьи можно найти в «Записках для учителей», прилагаемых к этому ресурсу.

   Пояснения к некоторым астрономическим терминам, использованным в этой статье, можно найти здесь.

   Часть 2 «Истории тригонометрии» перенесет вас от Евдокса к Птолемею.

   Список литературы

   Кац, В. (1998) История математики. Нью-Йорк. Эддисон Уэсли. Рекомендован как лучший из доступных в настоящее время материалов по истории математики. Существует хорошее освещение аспектов астрономии в древности, и обсуждение «функций» (стр. 156) стоит прочитать. Тригонометрия рассматривается в разделах, посвященных древним цивилизациям, средневековой Европе, Ренессанс Европа

   Кац, В.(Ред.) (2007) Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама. Принстон. Издательство Принстонского университета. Эта книга содержит огромное количество современной информации по математике и некоторым аспектам астрономии этих древних цивилизаций.

   Линтон, К. М. (2004) От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Издательство Кембриджского университета Первая глава посвящена древним людям и ранней греческой астрономии.

   Нидхэм, Дж. (1959) Наука и цивилизация в Китае.Vol. 3. Математика и науки о небе и Земле. Издательство Кембриджского университета.

   Neugebauer, O. (1983) (1955) Астрономические клинописные тексты. Vol. 1 Луна. Гейдельберг. Springer-Verlag Эти две книги являются большой классикой по Китаю и Месопотамии, но с 1950-х годов в этих областях была проделана большая работа.

   Neugebauer, O. (1969) (оригинал 1952) Точные науки в древности. Нью-Йорк. Dover Книги. Это все еще доступная, но более популярная книга, в которой содержится много информации о Египте, Вавилоне и греческой науке.

   Плофкер К. (2009) Математика в Индии. Принстон. Издательство Принстонского университета. Это последняя книга известного эксперта по истории математики в Индии.

   Ссылки

   Википедия достаточно хороша для получения информации первого уровня по ранней астрономии и должна привести вас к более надежным источникам. Однако более поздние работы — как было обнаружено у Каца (2007) — являются лучшими, общедоступными на сегодняшний день.

   На сайте MacTutor есть список тем, и там вы можете найти материалы по тригонометрии и греческой астрономии, но посмотрите также и географию.В списке биографий можно найти Птолемея, Евдокса, Менелая, Брахмагупту и других.

   Примечание 6 ниже содержит ссылку на самую старую китайскую звездную карту

   .

   Вот огромная коллекция данных Гэри Томпсона по египетской, вавилонской, китайской и другой древней астрономии: http://members.westnet.com.au/gary-david-thompson/index1.html
   

   На этом сайте показаны некоторые из старейших звездных диаграмм с доисторических времен: http://www.spacetoday.org/SolSys/Earth/OldStarCharts.html

   Это сайт по египетской астрономии http: // www.egyptologyonline.com/astronomy.htm

   Здесь вы можете найти диаграмму Decan http://www.moses-egypt.net/star-map/senmut1-mapdate_en.asp

   Банкноты

   1. Радиус круга зависит от времени года. Наилучшее направление с востока на запад будет достигнуто, отметив конец тени на восходе и заходе солнца (возможно, в дни равноденствия). До тех пор, пока время отметки тени после восхода и до захода солнца одинаково, истинное направление E-W все еще можно найти.В сохранившихся документах схем нет, а инструкции есть. несколько неоднозначно. Эти древние люди знали, что диагональ любого прямоугольника равна квадратному корню из квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника по крайней мере на 2 000 лет до нашей эры. В то время квадратный корень из квадрата гипотенузы понимался как длина веревки, то есть сторона квадрата, а не числовой результат, как мы думаем об этом сегодня.
   2. Эклиптика — это видимый путь Солнца в небе в течение года на небесной сфере.\ circ $ 26 ‘и называется наклоном эклиптики. Вавилонские астрономы признали вращение созвездий звезды вдоль зодиакального круга (эклиптики). Пересечения небесного экватора и эклиптики являются точками равноденствия, где длины дня и ночи равны.
   3. Общей единицей измерения для этих расчетов обычно был нидан или локоть (около 50 см), но другие единицы использовались в разное время, поэтому между периодом и периодом нет согласованности.\ circ $). При сложении и вычитании шестидесятичных чисел мы работаем с основанием 60, поэтому, если мы подумаем о числах, представляющих градусы, минуты, секунды или часы, минуты и секунды — те же единицы, которые мы используем сегодня.
   4. Использование заглавной буквы S в синусе должно показать, что радиус используемой окружности не равен единице или равен sin $ \ theta $ в нашей системе, но может иметь произвольную длину R. Это означает, что Sin $ \ theta $ равно R sin $ \ theta $.
   5. Точная датировка этой «таблицы синусов» не известна.Эти тексты регулярно редактировались и добавлялись разными учеными. Сходство вычислений с греческой таблицей аккордов Гиппарха (190–120 гг. До н.э.) (мы знаем, что его данные пришли от вавилонян) предполагает, что эта индийская работа появилась где-то в первом веке нашей эры. Данные в индийской таблице поступили напрямую? от вавилонян или через греков? Точно никто не знает. Важным моментом является то, что индийцы технически и концептуально изменили «Аккорд» на «Синус».
   6. Карта звездного неба Дуньхуана, находящаяся в настоящее время в Британской библиотеке, признана созданной Ли Чуньфеном (602–670) примерно в 649–84 гг. До н.э. и построена с поразительной точностью. Проект Дуньхуан — это международный археологический проект, и гораздо больше информации о проекте и его открытиях можно найти на http://idp.bl.uk/ и на звездной карте. http://apod.nasa.gov/apod/ap0
   7. .html.
   
   

   10 лучших советов по прокладке печатных плат для начинающих | ОРЕЛ

   Есть старая поговорка, которая звучит примерно так: дизайн печатной платы — это 90% размещения и 10% трассировки.Это по-прежнему актуально сегодня, и размещение ваших компонентов в конечном итоге решит, сколько времени займет ваша маршрутизация, но это не означает, что трассировка вашей печатной платы менее важна. Это просто вопрос того, сколько времени вы тратите на каждое действие.

   Если вы впервые делаете разводку печатной платы, то увидеть хаотично выглядящее крысиное гнездо может быть немного пугающим. Используйте эти 10 лучших советов по прокладке печатной платы, а также наши 10 лучших советов по размещению компонентов, чтобы сделать вашу первую разводку печатной платы успешной.

   Совет №1 — Не полагайтесь на свой автотрассировщик

   В почти каждое программное обеспечение для проектирования печатных плат встроен инструмент, называемый автотрассировщиком, и, как новичок, ваши глаза могут загореться, думая, что это простой способ решить ваши проблемы с трассировкой. Но ждать! Автомаршрутизаторы, какими бы хорошими они ни были, никогда не заменяют саму маршрутизацию, и их следует использовать только по нескольким причинам, в том числе:

   • Точность . Вы можете использовать автотрассировщик после того, как разместите все свои компоненты, чтобы увидеть, какой у вас рейтинг завершения.Если оно ниже 85%, то это признак того, что вам нужно внести некоторые изменения в размещение вашей детали.
   • Узкие места . Вы также можете использовать автотрассировщик для обнаружения узких мест и других критических точек соединения, которые вы, возможно, не видели в процессе размещения компонентов.
   • Вдохновение . Наконец, вы можете использовать автотрассировщик в качестве источника вдохновения для того, чтобы развести некоторые трассы, которые вы просто не можете завершить. Быстрый пробег по автотрассировщику может показать вам новый путь, о котором вы раньше не задумывались.

   Помимо этих трех причин, мы не рекомендуем полагаться на вашу автотрассировку для завершения всей трассировки на макете вашей платы. Почему? Он не всегда самый точный, и если вы поклонник симметрии, то ваш автотрассировщик, скорее всего, вас разочарует. И, что наиболее важно, вы являетесь мастером своего дизайна и сможете добиться лучших результатов, выполняя процесс маршрутизации самостоятельно. Это тщательно продуманный процесс, требующий некоторой любви и внимания для достижения желаемых результатов.

   Избегайте соблазна полагаться на свой автотрассировщик. Нет ничего более приятного, чем создать такую ​​красивую доску, как эта.

   Совет № 2 — Изучите спецификации вашего производителя

   Прежде чем вы начнете прокладывать медную дорожку, сначала найдите время, чтобы позвонить своему производителю или отправить им электронное письмо, чтобы узнать, есть ли у них какие-либо особые требования к минимальной ширине дорожек, расстоянию между дорожками и количеству слоев, на которых они могут обрабатывать доска (по хорошей цене)

   Почему? Зная эту информацию заранее, вы можете установить значения ширины дорожек и интервалов в правилах проектирования и избежать необходимости перенаправлять всю компоновку платы вниз по линии.А используя ширину дорожек и интервалы, которые может указать ваш производитель, вы упростите жизнь всем, когда придет время создавать свою доску.

   Совет № 3 — Определите ширину вашего следа

   Когда у вас есть электричество, проходящее через все ваши медные дорожки, оно будет выделять серьезное тепло, и это всегда является проблемой для электроники. Контроль ширины ваших дорожек — один из многих способов уменьшить количество тепла, накапливаемого на вашей плате, и чем шире ваши дорожки, тем меньшее сопротивление будет испытывать электричество при прохождении через вашу цепь.

   Чтобы определить толщину ваших дорожек, вы можете использовать удобный калькулятор ширины дорожек, подобный этому от Advanced Circuits, который позволит вам подключить расчетный ток и толщину и получить значение ширины дорожки взамен для внутреннего и внешнего слоев. Небольшой совет — если у вас есть возможность использовать большую ширину трассы, чем показывает ваш калькулятор, дерзайте! Если вы соответствуете требованиям производителя, чем больше у вас следов, тем меньше вероятность того, что вы вернете плату с поврежденными соединениями.

   Знание толщины и силы тока, необходимых для вашей печатной платы, упрощает определение ширины дорожки. (Источник изображения)

   Совет № 4 — Оставляйте достаточно места между следами

   Важно оставлять достаточно места между всеми дорожками и контактными площадками на макете печатной платы. Почему? Если вы упаковываете вещи слишком близко друг к другу, вы рискуете вызвать короткое замыкание, когда ваша плата будет изготовлена, и следы непреднамеренного подключения.

   Помните, что процесс производства печатных плат не является точным на 100%, поэтому вам всегда нужно оставлять некоторый запас времени между контактными площадками компонентов и дорожками, чтобы оставаться в безопасности.Как минимум, мы рекомендуем всегда оставлять зазор от 0,007 дюйма до 0,010 дюйма между всеми соседними контактными площадками и дорожками на вашей плате.

   Совет № 5 — Упростите свою работу с помощью Snap Grid

   В Autodesk EAGLE у вас есть полный контроль над настройками сетки привязки, что полезно как во время размещения компонентов, так и в процессе трассировки. Нет причин не включать привязку к видимой сетке, и вы поблагодарите себя позже, когда начнете работать с более плотными макетами платы, которые требуют точного размещения следов и деталей.

   В качестве основного правила мы рекомендуем установить шаг сетки привязки на 0,050 дюйма для процесса трассировки. Вы также можете установить альтернативный интервал на 0,025 дюйма, когда вам нужно спроектировать плотно разнесенное соединение между компонентами. И, конечно же, всегда включайте видимую сетку!

   Совет № 6 — Избегайте использования углов трассировки 90 градусов

   Вы будете слышать это снова и снова, если поговорите с инженерами и производителями, не используйте углы трассировки 90 градусов. Почему? Когда у вас есть куча следов, которые имеют резкий поворот под прямым углом на вашей доске, внешний угол этого угла в 90 градусов с вероятностью будет вытравлен более узким, чем ваша стандартная ширина следа.А в худшем случае вы можете получить кучу следов под углом 90 градусов, которые не полностью протравлены, что приведет к коротким замыканиям.

   Избегайте использования угла трассировки 90 градусов , выберите 45 градусов, лучше всего подойдет плавный угол.

   В качестве решения этой проблемы попробуйте использовать трассы под углом 45 градусов. Это позволит создать несколько красивых макетов печатных плат, а также упростит жизнь вашему производителю, поскольку вы сможете легко удалить всю медь с вашей платы.

   Совет № 7 — Оставляйте место между дорожками и монтажными отверстиями

   В процессе размещения компонентов вы, вероятно, сначала разместили все свои монтажные отверстия, но выбросили ли вы их, оставив достаточно места между другими компонентами и всеми дорожками, которые будут соединять их вместе? В противном случае вы рискуете создать опасность поражения электрическим током на своей плате, и полагаться на паяльную маску как на единственный изолятор не является гарантией безопасности.Поэтому при работе с монтажными отверстиями всегда не забывайте оставлять кольцо за пределами физических размеров монтажного отверстия, чтобы защитить его от других компонентов и следов поблизости.

   Держите следы и компоненты вдали от монтажных отверстий, чтобы избежать поражения электрическим током.

   Совет № 8 — Всегда создавайте плоскость земли

   Наличие общего заземления на вашей печатной плате является обязательным, поскольку это дает всем вашим дорожкам одну и ту же точку отсчета для измерения напряжения. Это пригодится, если вы впервые работаете с аналоговой схемой.Если вы используете дорожки для трассировки к земле вместо использования заземляющей плоскости, вы обнаружите, что на вашей плате есть множество различных заземляющих соединений, все со своими значениями сопротивления и падениями напряжения, что может стать кошмаром.

   Чтобы избежать всей этой ерунды, мы всегда рекомендуем создавать специальную заземляющую поверхность на макете вашей печатной платы. Это может быть большая медная область на однослойной плате или даже весь слой, выделенный в качестве заземляющего слоя на многослойных платах. И как только ваша земляная поверхность добавлена, остается просто соединить все ваши компоненты, которые необходимо заземлить, с помощью переходных отверстий.

   Отличный пример сплошной заземляющей плоскости в Autodesk EAGLE, показанной сплошным красным цветом. Все переходные отверстия можно легко соединить с этой большой площадью поверхности. (Источник изображения)

   Совет № 9 — Расширьте дорожки питания и заземления

   Не все дорожки на макете вашей печатной платы созданы равными, и вам нужно убедиться, что вы увеличили ширину ваших дорожек, которые будут служить дорожками питания и заземления. Почему? По следам питания и заземления будет протекать больше тока, и если вы не сделаете их шире среднего, вы получите массу тепла, пытающегося пройти через эти узкие места, что может привести к сгоранию проводов и разрушению вашего устройства. доска.

   Ознакомьтесь с эталонным дизайном Arduino Mega 2560. Вы можете видеть большую ширину дорожки питания + 5В по сравнению со всеми дорожками сигнала, подключенными к интегральной схеме.

   Сделав проводы питания и заземления как можно более толстыми, вы также сможете быстро их распознать, если вам когда-нибудь понадобится пересмотреть и внести изменения в свой дизайн в будущем.

   Совет № 10 — Используйте переходные отверстия для отвода тепла

   Наш последний и последний совет касается переходных отверстий, которые, кажется, являются мастером на все руки при разводке печатной платы.Переходные отверстия не только идеальны для обеспечения электрического соединения между слоями, но также являются идеальным инструментом, когда вам нужно отвести тепло с одной стороны платы.

   Это пригодится, если вам когда-нибудь понадобится отвести тепло от одного из ваших сверхмощных компонентов, например от интегральной схемы (ИС). Поместив несколько переходных отверстий под кристалл ИС, вы сможете снизить рабочую температуру компонента, что, в свою очередь, сделает вашу конструкцию еще более надежной в долгосрочной перспективе.

   Используйте набор переходных отверстий под кристаллом интегральной схемы для отвода тепла от одной стороны платы к другой. (Источник изображения)

   Маршрут включен!

   Даже самое лучшее размещение компонентов может стать непонятным, если вы не уделите время тому, чтобы подумать о том, как вы планируете направить все ваши следы. Вы не забыли дать всем своим интегральным схемам достаточно места, чтобы все их контакты были подключены? И достаточно ли места в этих монтажных отверстиях? Рассмотрение всех этих и других вопросов поможет превратить ваш первый процесс проектирования печатной платы в успешный.Как и в случае с размещением компонентов, вы, вероятно, обнаружите, что трассировка печатной платы такая же творческая и художественная, и нет ничего лучше, чем увидеть великолепную компоновку печатной платы с 45-градусными дорожками, танцующими повсюду. Но помните, что желаемая симметрия будет стоить вам времени, но оно того стоит. Так что не забывайте избегать этого зуда от использования автотрассировщика и трассировки доски вручную!

   Готовы начать свой первый проект по дизайну печатной платы? Попробуйте Autodesk EAGLE бесплатно сегодня!

   .