различные профили, каталог моделей ведущих производителей.

Алюминиевое правило – строительный инструмент, представляющий собой длинную узкую рейку, которая предназначена для выравнивания слоя штукатурки на горизонтальных и вертикальных поверхностях, в том числе и по маякам. В нашем каталоге представлен большой выбор этого инструмента.

Каждое правило изготавливается методом прессовки профиля из алюминиевого сплава, легкого и прочного. Не подвержено коррозии, имеет долгий срок службы и максимально простую конструкцию.

Инструменты различаются по форме (сечению). В этом разделе представлено правило алюминиевое в форме трапеции. Это самый востребованный вид правила у профессионалов. Оно имеет выемку под пальцы для надежного захвата, а также две рабочие поверхности – прямую и косую, что делает процесс удаления излишков раствора, особенно в углах, более удобным.

Как выбрать строительное правило?

Следует обратить внимание на длину инструмента. В нашем интернет-магазине представлены правила от 1 до 3 м.

• до 1,5 м — подойдут для обработки узких, небольших по размеру участков. Такой инструмент можно применять одному человеку.
• 2 – 3 м — для больших поверхностей наилучшим вариантом будет использование подобного длинного правила. Его применяют вдвоем, удерживая с обоих концов.

Кроме длины обратите внимание на профиль алюминиевого правила. Инструменты, что имеют специальную форму «двухват», удобнее, так как их легче удерживать, так как оно имеет выемку под пальцы для надежного захвата, а также две используемые поверхности – прямую и косую, что делает процесс удаления излишков раствора и работу в углах более удобными.У нас также представлено строительное правило алюминиевое трапеция, которое также пользуется большой популярностью при отделочных работах.

На любой качественный инструмент распространяется гарантия производителя. У нас представлены правила алюминиевые ЭКСПЕРТ ЗУБР, хорошо зарекомендовавшие себя у профессионалов, а также модели других производителей, не уступающих по качеству, с которыми будет удобно и эффективно работать.

Строительное правило.Виды и применение.Параметры и особенности

Строительное правило – это ручной точный инструмент используемый при выполнении штукатурных работ и заливки стяжки пола. Он представляет собой ровную планку, обычно выполненную из алюминиевого профиля.

Где используется строительное правило

Инструмент является довольно универсальным, и может применяться для выполнения нескольких функций:

• Разравнивания строительного раствора.
• Контроля плоскости поверхности.
• Черчения разметки.
• Создания ровной плоскости для установки строительного уровня.

Главной функцией правила считается разравнивание строительного раствора. Поскольку инструмент имеет ровную поверхность, в частности рабочего ребра, то при протягивании с его помощью бетона по полу, или штукатурки по стене, смесь распространяется равномерно. Прижатое правило, также помогает срезать излишний раствор, который был нанесен ранее. Благодаря этому можно создать практически идеальную штукатурку или стяжку. Подготовленная с его помощью поверхность отлично подходит для выкладывания плитки, ламината и других отделочных материалов.

Также правило применяется для контроля плоскости поверхности. Поскольку оно ровное, то приложив его к полу или стене можно посмотрев на просвет оценить, насколько равномерно осуществляется касание инструмента. Если все ровное, то правило будет прикасаться по всей длине. Если же стена или пол изогнутые, то будут наблюдаться впадины. Можно нанести разметку карандашом на участки, где требуется применить выравнивающий раствор, чтобы штукатурить локально. После того как он будет нанесен, излишки срезаются тем же правилом, превращая взгорбленную поверхность в плоскость.

Также инструмент отлично подходит для

черчения разметки. Зачастую правило имеет большую длину чем линейка, поэтому его использовать удобнее. С его помощью можно нанести ровные линии для при выкладывании плитки, также они могут потребоваться при расклейке обоев или проведении малярных работ. Хотя правило считается строительным инструментом, его зачастую используют плотники и мебельные мастера, применяя в качестве устойчивой долговечной линейки для нанесения разметки. Пригодится оно и при резке больших листов гипсокартона.

Его можно применять не только для черчения, но и в качестве направляющей для монтажного ножа. При отсутствии плиткореза, иногда применяют правило, ребро которого выступает в роли упора при скольжении обычного стеклореза. Получаемая таким образом насечка на плитке потом переламывается, а образованный раскрой ничем не уступает по качеству использования специализированного инструмента. Во многом это заслуга именно правила, которое обеспечивает ровный ход стеклореза.

Инструмент также используется как упор для короткого строительного уровня. Большое правило благодаря своей ровной поверхности позволяет расширить параметры уровням, сделать больший захват, и проконтролировать соблюдение плоскости. Таким приемом часто пользуются при установке вертикальных штукатурных маяков на стены. Также правило может помочь в этом и без применения уровня, если предварительно зафиксировать на потолке подвес. Инструмент выставляется по его линии и прижимает маяк, выравнивая его по всей плоскости равномерно. Тандем правила и короткого уровня также подходит и при выполнении стяжки пола.

Формы

Существуют четыре формы данного инструмента. Каждая из них хорошо себя зарекомендовала при выполнении определенных строительных задач, В связи с этим нельзя сказать, какая самая лучшая.

Строительное правило бывает:

• h-образное.
• Трапециевидное.
• Прямоугольное.
• Угловое.

h-образные

Такой инструмент является самым дешевым и легким. Его главным недостатком является низкий уровни жесткости. В связи с этим, данное правило не подходит для выполнения тяжелой работы, когда на его поверхности создается нагрузка. Главное предназначение h -образного инструмента заключается в выполнении штукатурки стен легкими растворами. В первую очередь это гипсосодержащие смеси. Конечно, это довольно эластичный инструмент под нагрузкой, но работая с легкой штукатуркой, он не деформируется. Небольшой вес не создает дополнительной нагрузки на руки штукатура, поэтому используя такое строительное правило усталость наступает гораздо позже.

h-образная форма хорошо ложится в руку, когда нужно тянуть раствор снизу вверх. Наличие только одной стенки на рабочей кромке делает ее довольно острой, что позволяет проводить срез лишнего материала. Это необходимо, когда образовываются наплывы штукатурки под ее весом. После нанесения на стену слой может быть ровным, но постепенно раствор не имея хорошего сцепления немного опускается вниз, образовывая волну, которую отлично срезает h-образный инструмент.

Трапециевидное строительное правило

Пожалуй одно из самых универсальных. Оно в основном применяется тоже для обработки стен, но благодаря усиленной конструкции может работать с тяжелыми цементными штукатурками. Его рабочая часть имеет заострение, что также позволяет хорошо срезать наплывы. Это более жесткий инструмент, имеющий больший вес. Трапециевидное правило имеет две стенки, и как минимум одно ребро жесткости. Оно сделано в виде полукруга. Помимо укрепления конструкции, наличие ребра делает хороший упор для рук, необходимый при выполнении работы.

Бывает усиленное правило, внутри которого функцию главного элемента жесткости выполняет трубка, идущая по всему периметру. Такой инструмент весит значительно больше, но выдерживает значительный вес, не прогибаясь, что особенно важно, если инструмент имеет большую длину.

Прямоугольные

Такое строительное правило внешне немного напоминает уровень. Зачастую в нем также имеются колбы с пузырьком воздуха для контроля вертикали и горизонтали. Основное предназначение данного инструмента заключается в проведение выравнивания стяжки пола. Его форма позволяет выдерживать большие нагрузки, что особенно важно учитывая, что на полах используется тяжелый бетон, в состав которого кроме песка входит отсев.

Недостатком такой формы является отсутствие острых углов, что делает неудобным срезание легких штукатурок на стенах. Также без заостренной стороны не так удобно контролировать плоскость, просматривая линию примыкания между инструментом и поверхностью на просвет. Хотя обычно у таких правил и имеются спиртовые колбы с пузырьком воздуха, что позволяет их использовать как уровень, но со временем его настройки сбиваются. Это связано с тяжелой работой правила. Оно часто падает, по нему иногда стучат, чтобы придавить маяки. Создаваемая в результате вибрация негативно влияет на колбы с пузырьками. Они немного проворачиваются, поэтому уже не показывают правильный уровень.

Угловые

Строительное правило углового типа состоит из двух частей закрепленных между собой под углом 90 градусов. Оно предназначено для выравнивания раствора в двух плоскостях. С его помощью можно контролировать линии схода двух стен, или стены и пола. В результате возможно получить ровный прямой угол, что особенно важно для дальнейшей качественной и привлекательной чистовой отделки. Такой инструмент применяют только профессиональные строители и отделочники, поскольку он весьма специализированный и кроме как для штукатурки, больше ни на что не пригоден. Конечно, его можно применять как уголок 90 градусов, но инструмент массивный, что делает это неудобным.

Длина инструмента

Строительное правило может иметь различную длину. Предлагаемые в промышленном производстве образцы встречается с параметрами в 1, 1,5, 2, 2,5 и 3 м. Иногда бывают и более короткие правила, предназначенные для специфических работ. В большинстве случаев такой инструмент делается вручную при разрезе длинных правил.

Чем длиннее инструмент, тем скорее выполнение штукатурных работ. При этом нужно учитывать, что от увеличения размеров возрастает и нагрузка. В связи с этим при одиночной работе редко применяется инструмент длиной больше 2 м, и то только с легкими гипсовыми штукатурками. Верхняя граница в 2 м вполне под силу и для тяжелого бетона, но только при заливке стяжки на полу. Правила в 2,5 и 3 м используются только в паре. При штукатуре их тянут вдвоем.

Материал изготовления

В основном весь представленный в продаже инструмент сделан из алюминия. Иногда можно встретить усиленные правила, у которых имеется стальная вставка. Такой инструмент служит дольше в несколько раз, но его цена на порядок выше. Фактически нет смысла в его покупке, поскольку ресурс его остатка едва ли окупиться с выгодой. Практически, он стоит в 3 раза дороже алюминиевого, и служит тоже в 3 раза дольше. По цене будет одинаково, что купить 3 алюминиевых правила, что со стальной вставкой.

Рекомендации по использованию инструмента

При работе строительным правилом на маяках необходимо их устанавливать с таким интервалом, чтобы инструмент перекрывал их, имея свободный запас по бокам в четверть своей длины. Это необходимо для того, чтобы правило не соскальзывало. Дело в том, что его гораздо легче вести растягивая раствор делая волнообразные движения вправо и влево. Если вести все прямо, то нагрузка увеличивается в несколько раз.

Работая с правилом нужно стараться поменьше его ронять, не ставить на него тяжелые предметы и не наступать. Алюминиевый профиль довольно эластичный, и от созданного давления может загнуться, нарушив геометрию ровной стороны. В результате строительное правило потеряет в точности.

Похожие темы:

ПРАВИЛА СТРОИТЕЛЬНЫЕ

MONTOLIT (ИТАЛИЯ) ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ ПЛИТОЧНЫХ РАБОТ

 

Distar алмазный 

инструмент.

 

RUBI Инновационный инструмент для плиточных работ(Испания)

 

RAIMONDI(Италия)

Строительное оборудование 

 

DEWALT Имеет репутацию производителя высокопроизводительных инструментов.

 

ИНСТРУМЕНТ ЗУБР,KRAFTOOL,STAYERl.

 

ИНСТРУМЕНТ Профессионализм проявляется в мелочах.

 

Инструмент TAJIMA.

 

TYROLIT  Алмазный инструмент премиум

класса(Австрия).

 

    Ручной инструмент

                                                                   Измерительный инструмент  

             

              Садовый инвентарь           

 

        Зимний инвентарь  

 

Walmer оборудование

для резки настенной и напольной плитки.

 

SIGMA.(ИТАЛИЯ)

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ ПЛИТКОРЕЗЫ

 

Правило-уровень Slowik прямоугольное 150 см 23151

 цена товара 95 руб

Правило-уровень Slowik прямоугольное 200 см 23201

 цена товара 110 руб

Правило-уровень Slowik прямоугольное 250 см 23251

 цена товара 130 руб

Правило-уровень Slowik прямоугольное 300 см 23301

 цена товара 145 руб

Правило штукатурное Slowik трапецевидное

100 см 30101

 цена товара 52 руб

Правило штукатурное Slowik трапецевидное

150 см 30151

 цена товара 50 руб

Правило штукатурное Slowik трапецевидное

200 см 30201

 цена товара 55 руб

Правило штукатурное Slowik трапецевидное

250 см 30251

 цена товара 65 руб

Правило штукатурное Slowik трапецевидное

300 см 30301

 цена товара 70 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

150 см 34151

 цена товара 96 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

200 см 34201

 цена товара 108 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

250 см 34251

 цена товара 120 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

150 см 40151

 цена товара 96 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

200 см 40201

 цена товара 108 руб

Правило штукатурное Slowik профиль » h «

250 см 40251

 цена товара 120 руб

Что такое строительное правило, и где применяется инструмент

Строительным правилом именуется простейший вид инструмента, который относится к категории измерительных приборов. Такая принадлежность инструмента требует соблюдения некоторых немаловажных критериев. Этим критерием является ровность рабочей кромки, при нарушении которой прибор превращается из измерительного инструмента в обычную алюминиевую палку. Что такое строительное правило, для чего оно предназначено, и как правильно его выбрать, выясним более подробно.

Что это за инструмент и где он применяется

При выполнении штукатурных работ и заливке стяжки пола применяется специальный инструмент, посредством которого осуществляется выравнивание раствора. Таковым специальным инструментом является строительное правило, представляющее собой ровную планку, изготавливаемую из алюминиевого сплава.

Кроме выравнивания раствора при оштукатуривании стен и заливке пола, свое применение инструмент находит для реализации целого ряда следующих задач:

1. Контроль ровности поверхности
2. Нанесение разметочных линий
3. Создание ровной плоскости, посредством которой происходит установка уровня для измерения отклонений

Однако главной функцией рассматриваемого инструмента является выравнивание жидкого раствора при заливке полов или оштукатуривании стен. Равномерное распространение смеси при выравнивании пола или стены достигается за счет специальной конструкции инструмента. Такая конструкция обусловлена ровностью поверхности рабочего ребра. При прохождении правилом по поверхности жидкого раствора происходит срезание его излишней части. В итоге получается равномерная поверхность, на которую можно укладывать плитку, ламинат и прочие виды отделочных материалов.

При помощи этого простейшего прибора можно определить ровность или плоскость различных поверхностей. Достигается это за счет того, что боковая часть прибора ровная, поэтому при прикладывании его к поверхности, оценивается равномерность касания инструмента. Наличие участков просвета говорит о том, что поверхность является не идеально ровной. Идеально ровной считается поверхность, когда просвет полностью отсутствует. Перед тем, как проводить контрольные измерения плоскости, следует убедиться в исправности инструмента.

Еще правило используется в качестве длинной линейки, посредством которой осуществляется нанесение линий на различных поверхностях. Несмотря на то, что называется инструмент «строительное правило», применяется он не только в строительстве. Он имеется в распоряжении у плотников и мебельщиков, и применяется в качестве линейки. Достоинство такой линейки заключается в том, что она является долговечной, и подходит не только для черчения линий карандашом, но еще и используется в качестве направляющей при работе монтажным ножом.

Это интересно! Если резка кафеля или плитки осуществляется без применения плиткореза, то выполнить манипуляции можно при помощи обычного стеклореза и правила. Правило выступает в качестве ребра жесткости, а стеклорезом наносится линия будущего излома.  

Если необходимо определить ровность большой поверхности, но среди инструментов имеется только короткий уровень, то при помощи правила можно достичь соответствующей цели. Правила исключает необходимость применения длинного уровня, стоимость которого в несколько раз выше, чем алюминиевого направляющего. Для этого к поверхности прикладывается правило, на которое сверху ставится короткий уровень. В итоге пузырек воздуха покажет, насколько ровной является измеряемая поверхность по всей длине, а не на одном участке.

Виды строительного правила по форме

Пользуются правилом не только штукатуры и заливщики бетона, но и каменщики, укладчики и прочие мастера при выполнении различных строительных работ. Если Вы ищите строительное правило, то купить его можно в интернет магазине «Цилиндр». В магазине представлены варианты от разных производителей, поэтому каждый клиент сможет выбрать приглянувшееся изделие.

Перед тем, как купить строительное правило, рекомендуется разобраться не только с его предназначением (что было описано выше), но и с разновидностями. Ведь как и большинство инструментов, правила выпускаются разных видов, которые классифицируются по форме алюминиевого профиля. Каждый вид строительного правила имеет соответствующие отличия, но самое главное — они максимально эффективно подходят для выполнения тех или иных задач. Рассмотрим, какие виды строительных правил бывают, и чем они отличаются. Инструменты по форме бывают следующих видов:

1. h-образное
2. Трапециевидное
3. Угловое
4. Прямоугольное

Первым делом рассмотрим h-образный вид правила, который является одним из самых дешевых и легких по весу. Однако не спешите покупать такой вид инструмента, так как подходит он для выполнения далеко не всех видов работ, перечисленных выше. Недостатком устройства является низкая жесткость, что собственно ограничивает возможность его применения для выполнения тяжелых работ.

Главное предназначение прибора — оштукатуривание стен легкими растворами, которым является гипс. Правилом h-образной формы работать не только удобно, но и легко. Однако прибор не подходит для выравнивания цементного раствора, так как под действием большой нагрузки профиль будет изгибаться и деформироваться, что в итоге отразится на качестве полученной поверхности.

Малый вес инструмента является преимуществом для мастера, так как не устают руки. При выравнивании гипсового картона инструмент хорошо ложится в руку, и не соскальзывает, что является неоценимым преимуществом при работе правилом. На инструменте присутствует только одна стенка, посредством чего можно осуществлять удаление лишнего количества материала. Если планируется оштукатуривание стен гипсовыми смесями, тогда стоит выбрать строительное правило h-образной конструкции.

Строительное правило трапециевидного типа относится к категории универсальных устройств. С его помощью можно выполнять различные действия, которые описаны в первом разделе. Если оштукатуривание стен осуществляется тяжелыми цементными смесями, тогда стоит выбрать трапециевидное правило. Заостренные углы предназначены для эффективного удаления наплывов.

В отличие от первого варианта, трапециевидные модели отличаются высокой стоимостью и большим весом. Это негативно отражается на их приобретении и использовании, но их основное достоинство скрывается в том, что они обладают высокими параметрами жесткости. Именно за счет этой жесткости они подходят для выполнения простейших работ, например, черчение линий, а также при оштукатуривании стен и заливке стяжки пола.

Ребра прибора делают его похожим на полукруг. За счет ребер обеспечивается не только ровность и точность, но еще и представляет собой хороший упор для рук. Для усиления трапециевидных правил, при их изготовлении добавляется ребро жесткости в виде трубки, которая проходит по всему периметру. При этом инструмент весит еще больше, но при этом достигается максимальная жесткость.

Прямоугольные правила внешне очень схожи с пузырьковыми уровнями. Только в их конструкции отсутствует емкость с водой и пузырьком воздуха. Есть модели, где колба с водой присутствует, что позволяет использовать инструмент не только, как правило, но и уровень. Главным предназначением прямоугольных правил является выравнивание стяжки пола. Специальная конструкция прибора выдерживает колоссальные нагрузки, поэтому правилом можно разравнивать не просто цементную смесь, но и бетонную, состоящую из песка, цемента и отсева.

Не предназначен такой инструмент для штукатурки, что связано с отсутствием заостренных углов на инструменте. Не подходит инструмент для определения ровности плоскостей, так как широкая часть ребер не позволяет увидеть просвет.

Это интересно! Если предпочитаете выбирать правило прямоугольное с водным уровнем, тогда следует учитывать одну немаловажную особенность. Эта особенность заключается в том, что со временем эксплуатации прибора необходимо осуществлять настройку пузырька с водой. Если этого не делать, то результаты измерений  будут неправильными.

Строительное угловое правило напоминает по конструкции угольник. Состоит прибор из двух оснований, которые крепятся между собой под прямым углом. Главное назначение инструмента в том, чтобы выравнивать заливаемый раствор или штукатурку сразу между двумя плоскостями. В итоге получается ровный прямой угол, не требующий последующего выравнивания. Для удобства работы инструмент оснащен удобной рукояткой, посредством которой соединяются направляющие правила. Эта рукоятка не только упрощает эксплуатацию прибора, но еще и повышает степень жесткости.

Свое применение угловые правила нашли среди профессионалов, которые занимаются штукатурными и отделочными работами. Использовать инструмент можно также, как угольник, но при этом немаловажно учитывать один фактор — прибор не имеет класса точности, как это свойственно для угольников.

Зная о том, какие виды правил бывают, и чем они отличаются между собой, теперь не составит большого труда выбрать подходящий вид строительного инструмента. При покупке не помешает разобраться в некоторых нюансах, которые помогут выбрать максимально-эффективный инструмент.

При покупке важно учесть длину правила

По длине строительные правила бывают разными, и самыми популярными являются варианты на 1, 1,5, 2, 2,5 и 3 метра. Производители выпускают более короткие правила, а также длинные, которые предназначены для выполнения ряда специфических работ.

Чем больше длина инструмента, тем выше производительность. К примеру, использование более длинного правила позволяет захватить большой объем, и тем самым скорее завершить работу. Однако не стоит торопиться выбирать самые длинные правила, ведь при этом важно учитывать некоторые особенности:

• Чем длиннее прибор, тем труднее им работать
• Не всегда имеется возможность работать длинными инструментами. Если ширина комнаты меньше 3 метров, то воспользоваться 3-метровым правилом при стяжке пола не получится
• Чем больше длина, тем ниже параметр жесткости, что немаловажно учитывать при выборе инструмента
• Высокая стоимость — длинные правила имеют соответствующую стоимость, что обусловлено необходимостью применения большого количества алюминиевого сплава
• При работе длинными правилами понадобится помощник

Рассматриваемые приборы длиной до 2 метров предназначены для самостоятельного использования, а 2,5 и 3-метровые применяются совместно с помощником. Для домашнего применения вполне хватает правила, длина которого не превышает 1,5 метра. Им не только удобно работать, но и стоит прибор не дорого.

Почему правила изготавливают из алюминия и стоит ли покупать стальные модели

Для изготовления правил используется сплав алюминия. Свойства этого материала известны всем, но самым главным его преимуществом по сравнению со сталью является низкий вес. Есть и недостаток — малая прочность, которая зависит от толщины алюминиевого сплава. Усиленные правила оснащаются стальными проставками, что позволяет применять их для работы в тяжелых условиях.

Стальные правила не выпускаются, так как это экономически не выгодно. Для изготовления прибора требуется большое количество стали, а чем больше объем, тем тяжелее вес изделия. Это отрицательно влияет на эксплуатацию прибора, а также на его стоимость. Правила из пластика также не выпускаются, так как этот материал не способен обеспечить достаточную прочность и жесткость. Однако пластиковые правила стоили бы ниже, чем алюминиевые. Из дерева правила также не выпускаются, что обусловлено негативным воздействием влаги на материал. При воздействии влаги древесина начинает набухать, что способствует ее деформации.

Полезные советы — как пользоваться правилом

Чтобы правило не соскальзывало при его применении для штукатурки стен, следует устанавливать маяки с соответствующим интервалом. Этот интервал должен быть таковым, чтобы длина правила перекрывала их, и при этом имела свободный запас с боков. Этот запас нужен также для того, чтобы обеспечить свободный волнообразных ход инструмента. Осуществлять оштукатуривание стен намного удобнее, если делать зигзагообразные или волнообразные движения инструментом.

При эксплуатации инструмента категорически противопоказано наносить удары по нему молотком или прочим ударными приборами. Запрещается также воздействовать на боковые грани или ребра прибора, так как от этого зависит точность работы правилом. Алюминиевый сплав хотя и отличается жесткостью и прочностью, но если наступить на правило, то оно может согнуться. Согнутым инструментом пользоваться не рекомендуется, так как получаемые результаты будут не точными. Геометрия инструмента — это главное его оружие, при нарушении которого, прибор превращается в алюминиевую конструкцию.

Подводя итог, надо отметить, что правило является одним из основных инструментов штукатуров и укладчиков бетонных полов. В распоряжении у мастера должно быть несколько видов приборов, которые отличаются не только по длине, но и форме. Когда каким правилом лучше выполнять соответствующие работы, Вы сможете разобраться самостоятельно, прочитав статью. Приобрести соответствующий вид изделия Вы можете в интернет-магазине «Цилиндр».

Правило — Ручной инструмент — OLX.ua

Правило Инструменты » Ручной инструмент 300 грн. Договорная Тернополь 10 февр.

Днепр, Шевченковский 8 февр.

Киев, Святошинский 27 янв.

Черкассы 18 янв.

Правило с уровнем 888 3 м алюминиевое Прямоугольный 6923300

Описание правила с уровнем 888 3 м алюминиевое Прямоугольный 6923300

Правило с уровнем предназначено для выравнивания горизонтальных и вертикальных поверхностей при выполнении штукатурных работ. Изготовлено из алюминиевого сплава повышенной прочности.

Производитель оставляет за собой право изменять страну производства, характеристики товара, его внешний вид и комплектность без предварительного уведомления продавца. Уточняйте информацию у менеджеров!

1. Способы доставки

	Легковой транспорт (до 300 кг)	Грузовой транспорт (крупногабарит)	Постаматы и ПВЗ  PickPoint
Москва	500 руб	от 1700 руб**	200 руб
МО, область	500 руб*	от 1700 руб*	200 руб
Регионы, РФ			450 руб
Самовывоз	Выдача товара до 20:00, Раменский район, Михайловская слобода, Старорязанская улица, д.4. (при оплате — резерв товара) Пункт выдачи по адресу: Москва, Рязанский проспект, д.79 (пн-пт с 10:00 до 19:00)

* каждый 1 км за МКАД дополнительно 20 руб (легковой транспорт) или 50 руб (грузовой транспорт)

** полная информация по доставке крупногабаритных грузов смотрите в разделе Доставка и оплата

2.

Способы оплаты

      Банковской картой онлайн на сайте                        Яндекс Деньги

     Наличными курьеру                                                    QIWI кошелек

     Сбербанк-онлайн                                                           WebMoney

     Безналичный расчет

Вы можете вернуть товар, если был обнаружен производственный брак, дефекты и прочие повреждения. Срок возврата осуществляется в течение 14 дней с даты покупки товара. 

Возврат товара осуществляется в полном соответствии с законодательством РФ, включая Закон о Правах Потребителя.

Подробная информация о возратах и обмене

Чем уровень-правило в форме трапеции лучше других

Вряд ли есть хотя бы один штукатур или маляр, который никогда не имел дела с алюминиевым правилом. Без этого простого и недорого инструмента в ремонте совершенно никуда! Такой инструмент нужен для выравнивания поверхностей. Есть несколько видов уровня-правило, но в форме трапеции считается самым лучшим. Давайте разбираться почему это так.

Зачем нужен уровень-правило

Итак, для чего же нужно алюминиевое правило? Оно нужно для работы строителей при выравнивании стен или пола. Без этого инструмента не обойдется ни один мастер при штукатурке или окрашивании стен.

А алюминиевые правила для выравнивания поверхностей сегодня используют не только профессиональные мастера, но и многие из тех, кто делает ремонт своими силами. Но многие предпочитают выбирать уровень в форме трапеции, на самом деле, он намного удобнее и более распространен среди строителей. Как и везде, при выборе уровня-правило есть некоторые нюансы, которые обязательно следует учитывать, ниже мы обсудим их более подробно.

Делают такой инструмент из алюминиевого профиля. Инструмент не боится коррозии, он очень легкий и прочный. Конструкция этого ручного инструмента для строительных работ совершенно не сложная. Инструмент, который мы рекомендуем, имеет форму прямоугольной трапеции.

Почему именно в форме трапеции

В чем же его польза и почему следует использовать уровень-правило именно в форме трапеции?

Итак, преимущества уровня-правило в форме трапеции:

1. Внутри такие инструменты полые, это делает их легче (особенно важно для длинных 3-х метровых моделей).
2. Дополнительное ребро жесткости повышает их прочность.
3. То, что правила не цельнометаллические, удешевляет их производство и делает их достаточно бюджетными материалами.
4. Удобный уровень захвата. Намного удобнее держать и работать, чем правилами других форм.
5. Правило удобно поворачивать и управлять им при выполнении ремонтных работ.

Торцы правил-трапеций обычно закрывают специальными заглушками из пластика. Это позволяет никакому строительному мусору попадать в алюминиевое правило, что очень удобно. К слову, это из главных преимуществ правила такой формы. Если мусор с одной стороны попадет в инструмент, то он будет перевешивать и вы сразу же это заметите.

Также продаются и h-образные правила. Но они не очень удобные, инструменты в форме трапеции намного больше подходят для ремонта. Ведь h-образные правила представляют собой длинные полосы, которые совершенно неудобно использовать.

6. Правило Симпсона

М. Борна

Интерактивное исследование

См. Апплет, в котором можно изучить правило Симпсона и другие численные методы:

Аплет сумм Римана

В последнем разделе, Правило трапеции, мы использовал прямые линии для моделирования кривой и узнал, что это улучшение по сравнению с использованием прямоугольников для поиска областей под кривыми, потому что у нас было гораздо меньше «пропущенных» из каждого сегмента.

Мы ищем еще лучшее приближение для площади под кривой.3 (dx) / (x + 1) `с использованием правила Симпсона с` n = 4`.

Мы еще не видели, как интегрировать это с помощью алгебраических процессов, но мы можем использовать правило Симпсона, чтобы получить хорошее приближение для значения.

Ответ

Вот ситуация.

`Δx = (b — a) / n = (3 — 2) / 4 = 0,25`

`y_0 = f (а)`

`= f (2)`

`= 1 / (2 + 1) = 0,3333333`

`y_1 = f (a + Δx) = f (2.25)` = 1 / (2.25 + 1) = 0.3076923`

`y_2 = f (a + 2Δx) = f (2.bf (x) текст [d] x`

`приблизительно 0,25 / 3 (0,333333 + 4 (0,3076923)` +2 (0,2857142) +4 (0,2666667) « {: +0,25) `

`= 0,2876831`

Банкноты

1. Фактический ответ на эту проблему — 0,287682 (до 6 знаков после запятой), поэтому наш Ошибка приближения правила Симпсона составляет всего 0,00036%.

2. В этом примере кривая очень близка к параболе, поэтому две параболы, показанные выше, практически сливаются с кривой `y = 1 / (x + 1)`.

Не пропустите.

..

Существует интерактивный апплет, в котором вы можете изучить правило Симпсона, здесь:

Исчисление из апплета «Первые принципы»

Предпосылки и доказательства правила Симпсона

Мы стремимся найти площадь под следующей общей кривой.

Делим его на 4 равных отрезка. (Для работы правила Симпсона должно быть четное число сегментов.)

Затем мы строим параболы, которые почти соответствуют кривой в каждом из 4 сегментов.Если нам даны 3 точки, мы можем пропустить через эти точки уникальную параболу.

ПРИМЕЧАНИЕ: На самом деле нам не нужно строить эти параболы при применении правила Симпсона. Этот раздел предназначен только для того, чтобы дать вам некоторое представление о том, почему и как это работает.

Начнем с первых двух сегментов слева. Берем конечные точки и среднюю точку, как показано:

Мы можем провести измерения (используя наложенную сетку) и увидеть следующие три точки:

`(x_0, y_0) = (−1. 2 + 0,858x + 1,93`

Примечание: Конечно, мы используем всю точность калькулятора, но окончательные результаты округляются.

Вот как выглядит эта парабола:

Мы можем видеть, что парабола проходит через 3 точки, и она близка к нашей исходной кривой, так что это хорошее приближение для кривой в этой части графика. Как обычно, чем больше делений мы сделаем, тем точнее будет.

Мы проделываем тот же процесс для последних двух сегментов и получаем параболу, которая проходит через 3 показанные точки и выглядит так:

Между исходной кривой и нашими параболами есть заметные промежутки.2 + 6c) `

`= h / 3 (y_0 -2y_1 + y2 + 6y_1)`

`= h / 3 (y_0 + 4y_1 + y_2)`

Парабола, проходящая через следующий набор из 3 точек, будет иметь площадь:

`A = h / 3 (y_2 + 4y_3 + y_4)`

Складывая 2 области, получаем:

`A = h / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + y_4)`

Допустим, у нас есть 6 подинтервалов. Мы просто находим площади под тремя результирующими параболами и складываем их, чтобы получить:

`A = h / 3 [y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 +` 2y_4 + `4y_5 +` « {: y_6] `

Мы могли бы продолжать, создавая все больше и больше сегментов и добавляя области по мере продвижения.bf (x) dx` `~~ (Deltax) / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 +` 2y_4 … + « 4y_ (n-1) + « {: y_n) `

5.1 Двойные интегралы по прямоугольным областям — Calculus Volume 3

Learning Objectives

• 5.1.1 Распознавать, когда функция двух переменных интегрируема по прямоугольной области.
• 5.1.2. Признать и использовать некоторые свойства двойных интегралов.
• 5.1.3 Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, записав его как повторный интеграл.
• 5.1.4. Используйте двойной интеграл для вычисления площади области, объема под поверхностью или среднего значения функции по плоской области.

В этом разделе мы исследуем двойные интегралы и покажем, как мы можем использовать их, чтобы найти объем твердого тела в прямоугольной области на плоскости xyxy. Многие свойства двойных интегралов аналогичны тем, которые мы уже обсуждали для одиночных интегралов.

Объемы и двойные интегралы

Начнем с рассмотрения пространства над прямоугольной областью R .Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных f (x, y) ≥0f (x, y) ≥0, заданную на замкнутом прямоугольнике R :

R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ℝ2 | a≤x≤b, c≤y≤d} R = [a, b] × [c, d] = { (x, y) ∈ℝ2 | a≤x≤b, c≤y≤d}

Здесь [a, b] × [c, d] [a, b] × [c, d] обозначает декартово произведение двух отрезков [a, b] [a, b] и [c, d]. [CD]. Он состоит из прямоугольных пар (x, y) (x, y) таких, что a≤x≤ba≤x≤b и c≤y≤d.c≤y≤d. График ff представляет поверхность над плоскостью xyxy с уравнением z = f (x, y) z = f (x, y), где zz — высота поверхности в точке (x, y).(х, у). Пусть SS — тело, лежащее над RR и под графиком ff (рис. 5.2). Основанием твердого тела является прямоугольник RR в плоскости xyxy. Мы хотим найти объем VV твердого S. S.

Рис. 5.2 График f (x, y) f (x, y) над прямоугольником RR в плоскости xyxy представляет собой искривленную поверхность.

Разделим область RR на маленькие прямоугольники Rij, Rij, каждый с площадью ΔAΔA и сторонами ΔxΔx и ΔyΔy (рисунок 5.3). Мы делаем это, разделив интервал [a, b] [a, b] на подинтервалы mm и разделив интервал [c, d] [c, d] на nn подинтервалов.Следовательно, Δx = b − am, Δx = b − am, Δy = d − cn, Δy = d − cn и ΔA = ΔxΔy.ΔA = ΔxΔy.

Рисунок 5.3 Прямоугольник RR разделен на маленькие прямоугольники Rij, Rij, каждый площадью ΔA.ΔA.

Объем тонкой прямоугольной коробки над RijRij равен f (xij *, yij *) ΔA, f (xij *, yij *) ΔA, где (xij *, yij *) (xij *, yij *) — произвольный образец точки в каждом RijRij, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 5.4 Тонкий прямоугольный прямоугольник над RijRij высотой f (xij *, yij *). F (xij *, yij *).

Используя ту же идею для всех подпрямоугольников, мы получаем приблизительный объем твердого SS как V≈∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA. V≈∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA. Эта сумма известна как двойная сумма Римана и может использоваться для аппроксимации значения объема твердого тела. Здесь двойная сумма означает, что для каждого подпрямоугольника мы оцениваем функцию в выбранной точке, умножаем на площадь каждого прямоугольника, а затем складываем все результаты.

Как мы видели в случае одной переменной, мы получаем лучшее приближение к фактическому объему, если m и n становятся больше.

V = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔAorV = limΔx, Δy → 0∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA.V = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔAorV = limΔx, Δy → 0∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA.

Обратите внимание, что в любом случае сумма приближается к пределу, а предел — это объем твердого тела с основанием R . Теперь мы готовы определить двойной интеграл.

Определение

Двойной интеграл функции f (x, y) f (x, y) по прямоугольной области RR в xyxy-плоскости определяется как

∬Rf (x, y) dA = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA. ∬Rf (x, y) dA = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *) ΔA.

5.1

Если f (x, y) ≥0, f (x, y) ≥0, то объем V твердого тела S , который лежит выше RR в xyxy-плоскости и под графиком f , является двойным интегралом функции f (x, y) f (x, y) по прямоугольнику RR. Если функция когда-либо отрицательна, то двойной интеграл можно рассматривать как «подписанный» объем аналогично тому, как мы определили чистую знаковую область в Определенном интеграле.

Пример 5.1

Построение двойного интеграла и его аппроксимация двойной суммой

Рассмотрим функцию z = f (x, y) = 3×2 − yz = f (x, y) = 3×2 − y в прямоугольной области R = [0,2] × [0,2] R = [0,2 ] × [0,2] (Рисунок 5.5).

1. Установите двойной интеграл для нахождения значения подписанного объема твердого тела S , которое находится выше RR и «под» графиком f. f.
2. Разделите R на четыре квадрата с m = n = 2, m = n = 2 и выберите точку отсчета как верхнюю правую угловую точку каждого квадрата (1,1), (2,1), (1, 2), (1,1), (2,1), (1,2) и (2,2) (2,2) (Рисунок 5.6), чтобы приблизить подписанный объем твердого тела S , который находится выше RR и «под» графиком ff
3. Разделите R на четыре квадрата с m = n = 2, m = n = 2 и выберите точку отсчета в качестве средней точки каждого квадрата: (1 / 2,1 / 2), (3 / 2,1 / 2), (1 / 2,3 / 2) и (3 / 2,3 / 2) (1 / 2,1 / 2), (3 / 2,1 / 2), (1 / 2,3 / 2) и (3 / 2,3 / 2) для приближения подписанного объема.
   Рисунок 5.5. Функция z = f (x, y) z = f (x, y), построенная на прямоугольной области R = [0,2] × [0,2] .R = [0,2] × [0, 2].

Решение

1. Как видим, функция z = f (x, y) = 3×2 − yz = f (x, y) = 3×2 − y находится над плоскостью. Чтобы найти объем со знаком S , нам нужно разделить область R на маленькие прямоугольники Rij, Rij, каждый с площадью ΔAΔA и со сторонами ΔxΔx и Δy, Δy, и выбрать (xij *, yij *) (xij *, yij *) в качестве точек выборки в каждом Rij.Rij.Следовательно, двойной интеграл устанавливается как
   V = ∬R (3×2 − y) dA = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1n [3 (xij *) 2 − yij *] ΔA.V = ∬R (3×2 − y) dA = limm, n → ∞∑i = 1m∑j = 1n [3 (xij *) 2 − yij *] ΔA.
2. Аппроксимация подписанного объема с помощью суммы Римана с m = n = 2m = n = 2, мы имеем ΔA = ΔxΔy = 1 × 1 = 1.ΔA = ΔxΔy = 1 × 1 = 1. Кроме того, точки выборки: (1, 1), (2, 1), (1, 2) и (2, 2), как показано на следующем рисунке.
   Рисунок 5.6 Подпрямоугольники для прямоугольной области R = [0,2] × [0,2] .R = [0,2] × [0,2].
   Следовательно,
   V = ∑i = 12∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA = ∑i = 12 (f (xi1 *, yi1 *) + f (xi2 *, yi2 *)) ΔA = f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) = (3−1) (1) + (12−1) (1) + (3−2) (1) + (12−2) (1) = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. V = ∑i = 12∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA = ∑i = 12 (f (xi1 *, yi1 *) + f (xi2 *, yi2 *)) ΔA = f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) = (3−1) (1) + (12−1) (1) + (3−2) (1) + (12−2) (1) = 2 + 11 + 1 + 10 = 24.
3. Аппроксимируя объем со знаком с помощью суммы Римана с m = n = 2, m = n = 2, мы имеем ΔA = ΔxΔy = 1 × 1 = 1.ΔA = ΔxΔy = 1 × 1 = 1. В этом случае точки выборки: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2),
   и (3/2, 3/2).
   Следовательно,
   V = ∑i = 12∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA = f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3/2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3 / 2,3 / 2) (1) = (34−14) (1) + (274−12) (1) + (34−32) (1) + (274−32) (1) = 24 + 254 + (- 34) + 214 = 454.V = ∑i = 12∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA = f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3/2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3 / 2,3 / 2) (1) = (34−14) (1) + (274−12) (1) + (34−32) (1) + (274−32) (1) = 24 + 254 + (- 34) + 214 = 454.

Анализ

Обратите внимание, что приблизительные ответы различаются из-за выбора точек выборки. В любом случае мы вносим некоторую ошибку, потому что используем только несколько точек выборки. Таким образом, нам нужно исследовать, как мы можем получить точный ответ.

Контрольно-пропускной пункт 5.1

Используйте ту же функцию z = f (x, y) = 3×2 − yz = f (x, y) = 3×2 − y для прямоугольной области R = [0,2] × [0,2] .R = [0 , 2] × [0,2].

Разделите R на те же четыре квадрата с m = n = 2, m = n = 2 и выберите точки выборки как верхнюю левую угловую точку каждого квадрата (0,1), (1,1), ( 0,2), (0,1), (1,1), (0,2) и (1,2) (1,2) (рисунок 5.6) для приближения подписанного объема твердого тела S , которое лежит выше RR и «под» графиком ff

Обратите внимание, что мы разработали концепцию двойного интеграла с использованием прямоугольной области R . Это понятие можно распространить на любой регион в целом. Однако, если область не является прямоугольной, все подпрямоугольники могут не полностью вписываться в R , особенно если основная область изогнута. Мы рассмотрим эту ситуацию более подробно в следующем разделе, где мы изучаем области, которые не всегда являются прямоугольными, а подпрямоугольники могут не идеально соответствовать области R . Кроме того, высоты могут быть неточными, если поверхность z = f (x, y) z = f (x, y) изогнута. Однако погрешности по бокам и высота, где части могут не идеально вписываться в твердое тело S , приближаются к 0, поскольку m и n приближаются к бесконечности.Кроме того, двойной интеграл функции z = f (x, y) z = f (x, y) существует при условии, что функция ff не слишком разрывная. Если функция ограничена и непрерывна на R , за исключением конечного числа гладких кривых, то двойной интеграл существует, и мы говорим, что ff интегрируема на R .

Поскольку ΔA = ΔxΔy = ΔyΔx, ΔA = ΔxΔy = ΔyΔx, мы можем выразить dAdA как dxdydxdy или dydx.dydx. Это означает, что при использовании прямоугольных координат двойной интеграл по области RR, обозначенной как ∬Rf (x, y) dA∬Rf (x, y) dA, может быть записан как Rf (x, y) dxdy∬Rf (x, y) dxdy или ∬Rf (x, y) dydx.∬Rf (x, y) dydx.

Теперь давайте перечислим некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении двойных интегралов.

Свойства двойных интегралов

Свойства двойных интегралов очень полезны при их вычислении или другой работе с ними. Перечислим шесть свойств двойных интегралов. Свойства 1 и 2 называются линейностью интеграла, свойство 3 — аддитивностью интеграла, свойство 4 — монотонностью интеграла, а свойство 5 используется для нахождения границ интеграла.Свойство 6 используется, если f (x, y) f (x, y) является произведением двух функций g (x) g (x) и h (y) .h (y).

Теорема 5.1

Свойства двойных интегралов

Предположим, что функции f (x, y) f (x, y) и g (x, y) g (x, y) интегрируемы по прямоугольной области R ; S и T являются частями R ; и предположим, что m и M — действительные числа.

1. Сумма f (x, y) + g (x, y) f (x, y) + g (x, y) интегрируема и
   ∬R [f (x, y) + g (x, y)] dA = Rf (x, y) dA + ∬Rg (x, y) dA.∬R [f (x, y) + g (x, y)] dA = Rf (x, y) dA + ∬Rg (x, y) dA.
2. Если c — константа, то cf (x, y) cf (x, y) интегрируемо и
   ∬Rcf (x, y) dA = c∬Rf (x, y) dA.∬Rcf (x, y) dA = c∬Rf (x, y) dA.
3. Если R = S∪TR = S∪T и S∩T = ∅S∩T = ∅, кроме перекрытия границ, то
   Rf (x, y) dA = ∬Sf (x, y) dA + ∬Tf (x, y) dA.∬Rf (x, y) dA = ∬Sf (x, y) dA + ∬Tf (x, y) dA.
4. Если f (x, y) ≥g (x, y) f (x, y) ≥g (x, y) для (x, y) (x, y) в R, R, то
   ∬Rf (x, y) dA≥∬Rg (x, y) dA.∬Rf (x, y) dA≥∬Rg (x, y) dA.
5. Если m≤f (x, y) ≤M, m≤f (x, y) ≤M, то
   m × A (R) ≤∬Rf (x, y) dA≤M × A (R).m × A (R) ≤∬Rf (x, y) dA≤M × A (R).
6. В случае, когда f (x, y) f (x, y) может быть разложен на множители как произведение функции g (x) g (x) только от xx и функции h (y) h (y) от yy только тогда по области R = {(x, y) | a≤x≤b, c≤y≤d}, R = {(x, y) | a≤x≤b, c≤y≤d}, двойной интеграл можно записать как
   ∬Rf (x, y) dA = (∫abg (x) dx) (∫cdh (y) dy) . ∬Rf (x, y) dA = (∫abg (x) dx) (∫cdh (y) dy ).

Эти свойства используются при вычислении двойных интегралов, как мы увидим позже. Мы научимся использовать эти свойства, когда познакомимся с вычислительными инструментами двойных интегралов.Итак, перейдем к этому сейчас.

Итерированные интегралы

До сих пор мы видели, как установить двойной интеграл и как получить для него приблизительное значение. Мы также можем представить, что вычисление двойных интегралов с использованием определения может оказаться очень длительным процессом, если мы выберем большие значения для mm и n.n. Поэтому нам нужен практичный и удобный способ вычисления двойных интегралов. Другими словами, нам нужно научиться вычислять двойные интегралы без использования определения, использующего пределы и двойные суммы.

Основная идея состоит в том, что вычисление становится проще, если мы можем разбить двойной интеграл на одиночные интегралы, интегрировав сначала по одной переменной, а затем по другой. Ключевой инструмент, который нам нужен, называется повторным интегралом.

Определение

Предположим, что a, b, c, a, b, c и dd — действительные числа. Определим повторный интеграл для функции f (x, y) f (x, y) по прямоугольной области RR = [a, b] × [c, d] = [a, b] × [c, d] как

1. 
   ab∫cdf (x, y) dydx = ∫ab [∫cdf (x, y) dy] dx∫ab∫cdf (x, y) dydx = ∫ab [∫cdf (x, y) dy] dx

   5.2

2. 
   ∫cd∫abf (x, y) dxdy = ∫cd [∫abf (x, y) dx] dy.∫cd∫abf (x, y) dxdy = ∫cd [∫abf (x, y) dx] dy.

   5,3

Обозначение ∫ab [∫cdf (x, y) dy] dx∫ab [∫cdf (x, y) dy] dx означает, что мы интегрируем f (x, y) f (x, y) относительно y , сохраняя константу x . Аналогично, обозначение ∫cd [∫abf (x, y) dx] dy∫cd [∫abf (x, y) dx] dy означает, что мы интегрируем f (x, y) f (x, y) относительно x , сохраняя константу y . Тот факт, что двойные интегралы можно разбить на повторные интегралы, выражен в теореме Фубини.Думайте об этой теореме как о важном инструменте для вычисления двойных интегралов.

Теорема 5.2

Теорема Фубини

Предположим, что f (x, y) f (x, y) является функцией двух переменных, непрерывной в прямоугольной области R = {(x, y) ∈ℝ2 | a≤x ≤b, c≤y≤d} .R = {(x, y) ∈ℝ2 | a≤x≤b, c≤y≤d}. Тогда мы видим из рисунка 5.7, что двойной интеграл от ff по области равен повторному интегралу,

∬Rf (x, y) dA = ∬Rf (x, y) dxdy = ∫ab∫cdf (x, y) dydx = ∫cd∫abf (x, y) dxdy.∬Rf (x, y) dA = ∬ Rf (x, y) dxdy = ∫ab∫cdf (x, y) dydx = ∫cd∫abf (x, y) dxdy.

В более общем смысле теорема Фубини верна, если ff ограничено на RR, а ff разрывно только на конечном числе непрерывных кривых. Другими словами, ff должна быть интегрируемой в пределах

р. Рисунок 5.7 (a) Интегрирование сначала по yy, а затем по xx, чтобы найти площадь A (x) A (x), а затем объем V ; (b) интегрирование сначала по xx, а затем по yy, чтобы найти площадь A (y) A (y), а затем объем V .

Пример 5.2

Использование теоремы Фубини

Используйте теорему Фубини, чтобы вычислить двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA∬Rf (x, y) dA, где f (x, y) = xf (x, y) = x и R = [0,2] × [0,1].R = [0,2] × [0,1].

Решение

Теорема Фубини предлагает более простой способ вычисления двойного интеграла с помощью повторного интеграла. Обратите внимание, как граничные значения области R становятся верхним и нижним пределами интегрирования.

∬Rf (x, y) dA = ∬Rf (x, y) dxdy = ∫y = 0y = 1∫x = 0x = 2xdxdy = ∫y = 0y = 1 [x22 | x = 0x = 2] dy = ∫y = 0y = 12dy = 2y | y = 0y = 1 = 2. Rf (x, y) dA = ∬Rf (x, y) dxdy = ∫y = 0y = 1∫x = 0x = 2xdxdy = ∫y = 0y = 1 [x22 | x = 0x = 2] dy = ∫y = 0y = 12dy = 2y | y = 0y = 1 = 2.

Двойное интегрирование в этом примере достаточно просто, чтобы напрямую использовать теорему Фубини, позволяющую преобразовать двойной интеграл в повторный интеграл. Следовательно, теперь мы готовы преобразовать все двойные интегралы в повторные интегралы и продемонстрировать, как свойства, перечисленные ранее, могут помочь нам вычислить двойные интегралы, когда функция f (x, y) f (x, y) более сложная. Обратите внимание, что порядок интегрирования можно изменить (см. Пример 5.7).

Пример 5.3

Иллюстрируя свойства i и ii

Вычислить двойной интеграл ∬R (xy − 3xy2) dA∬R (xy − 3xy2) dA, где R = {(x, y) | 0≤x≤2,1≤y≤2} .R = {(x, y) | 0≤x≤2,1≤y≤2}.

Решение

Эта функция состоит из двух частей: одна часть — это xyxy, а другая — 3xy2.3xy2. Также второй кусок имеет постоянную 3,3. Обратите внимание, как мы используем свойства i и ii для вычисления двойного интеграла.

∬R (xy − 3xy2) dA = ∬RxydA + ∬R (−3xy2) dAP Свойство i: Интеграл суммы — это сумма интегралов. = ∫y = 1y = 2∫x = 0x = 2xydxdy − ∫y = 1y = 2∫x = 0x = 23xy2dxdy Преобразуйте двойные интегралы в повторные интегралы. = ∫y = 1y = 2 (x22y) | x = 0x = 2dy − 3∫y = 1y = 2 (x22y2) | x = 0x = 2dyИнтегрировать относительно tox, holdyconstant. = ∫y = 1y = 22ydy − ∫y = 1y = 26y2dy Свойство ii: Поместите константу перед интегралом. = 2∫12ydy − 6∫12y2dyИнтегрируйте с учетом игрушки.= 2y22 | 12−6y33 | 12 = y2 | 12−2y3 | 12 = (4−1) −2 (8−1) = 3−2 (7) = 3−14 = −11.∬R (xy − 3xy2 ) dA = ∬RxydA + ∬R (−3xy2) dAP Свойство i: Интеграл суммы — это сумма интегралов. = ∫y = 1y = 2∫x = 0x = 2xydxdy − ∫y = 1y = 2∫x = 0x = 23xy2dxdy Преобразуйте двойные интегралы в повторные интегралы. = ∫y = 1y = 2 (x22y) | x = 0x = 2dy − 3∫y = 1y = 2 (x22y2) | x = 0x = 2dyИнтегрировать относительно tox, удерживая yconstant. = ∫y = 1y = 22ydy − ∫y = 1y = 26y2dy Свойство ii: Поместите константу перед интегралом. = 2∫12ydy − 6∫12y2dyИнтегрируйте с учетом toy. = 2y22 | 12−6y33 | 12 = y2 | 12−2y3 | 12 = (4 −1) −2 (8−1) = 3−2 (7) = 3−14 = −11.

Пример 5.4

Иллюстрация собственности v.

По области R = {(x, y) | 1≤x≤3,1≤y≤2}, R = {(x, y) | 1≤x≤3,1≤y≤2}, имеем 2≤x2 + y2≤13. 2≤x2 + y2≤13. Найдите нижнюю и верхнюю оценки интеграла ∬R (x2 + y2) dA.∬R (x2 + y2) dA.

Решение

Для получения нижней границы проинтегрируйте постоянную функцию 2 по области R.R. Для верхней границы проинтегрируйте постоянную функцию 13 по области R.R.

∫12∫132dxdy = ∫12 [2x | 13] dy = ∫122 (2) dy = 4y | 12 = 4 (2−1) = 4∫12∫1313dxdy = ∫12 [13x | 13] dy = ∫1213 ( 2) dy = 26y | 12 = 26 (2−1) = 26.∫12∫132dxdy = ∫12 [2x | 13] dy = ∫122 (2) dy = 4y | 12 = 4 (2−1) = 4∫12∫1313dxdy = ∫12 [13x | 13] dy = ∫1213 ( 2) dy = 26y | 12 = 26 (2−1) = 26.

Отсюда получаем 4≤∬R (x2 + y2) dA≤26.4≤∬R (x2 + y2) dA≤26.

Пример 5.5

Иллюстрация собственности vi

Вычислить интеграл ∬ReycosxdA∬ReycosxdA по области R = {(x, y) | 0≤x≤π2,0≤y≤1} .R = {(x, y) | 0≤x≤π2,0≤ y≤1}.

Решение

Это отличный пример свойства vi, потому что функция f (x, y) f (x, y) явно является произведением двух функций с одной переменной eyey и cosx. cosx. Таким образом, мы можем разбить интеграл на две части, а затем интегрировать каждую как задачу интегрирования с одной переменной.

∬ReycosxdA = ∫01∫0π / 2eycosxdxdy = (∫01eydy) (∫0π / 2cosxdx) = (ey | 01) (sinx | ​​0π / 2) = e − 1. ReycosxdA = ∫01∫0π / 2eycosxdxdy = (∫ 01eydy) (∫0π / 2cosxdx) = (ey | 01) (sinx | ​​0π / 2) = e − 1.

КПП 5.2

1. Используйте свойства двойного интеграла и теорему Фубини для вычисления интеграла
   ∫01∫ − 13 (3 − x + 4y) dydx.∫01∫ − 13 (3 − x + 4y) dydx.
2. Покажите, что 0≤∬RsinπxcosπydA≤1320≤∬RsinπxcosπydA≤132, где R = (0,14) (14,12).R = (0,14) (14,12).

Как мы упоминали ранее, когда мы используем прямоугольные координаты, двойной интеграл по области RR, обозначенной как ∬Rf (x, y) dA∬Rf (x, y) dA, может быть записан как ∬Rf (x, y) dxdy ∬Rf (x, y) dxdy или ∬Rf (x, y) dydx.∬Rf (x, y) dydx. Следующий пример показывает, что результаты одинаковы независимо от того, какой порядок интеграции мы выбрали.

Пример 5.6

Вычисление итерированного интеграла двумя способами

Вернемся к функции f (x, y) = 3×2 − yf (x, y) = 3×2 − y из примера 5.1, на этот раз по прямоугольной области R = [0,2] × [0,3] .R = [0,2] × [0,3]. Используйте теорему Фубини, чтобы вычислить ∬Rf (x, y) dA∬Rf (x, y) dA двумя разными способами:

1. Сначала проинтегрируем относительно y , а затем относительно x ;
2. Сначала проинтегрируйте относительно x , а затем относительно y .

Решение

На рис. 5.7 показано, как работает расчет двумя разными способами.

1. Сначала интегрировать относительно y , а затем интегрировать относительно x :
   ∬Rf (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = 3 (3×2 − y) dydx = ∫x = 0x = 2 (∫y = 0y = 3 (3×2 − y) dy) dx = ∫x = 0x = 2 [3x2y − y22 | y = 0y = 3] dx = ∫x = 0x = 2 (9×2−92) dx = 3×3−92x | x = 0x = 2 = 15. ∬Rf (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = 3 (3×2 − y) dydx = ∫x = 0x = 2 (∫y = 0y = 3 (3×2 − y) dy) dx = ∫x = 0x = 2 [3x2y − y22 | y = 0y = 3] dx = ∫x = 0x = 2 (9×2−92) dx = 3×3−92x | x = 0x = 2 = 15.
2. Сначала интегрировать относительно x , а затем интегрировать относительно y :
   ∬Rf (x, y) dA = ∫y = 0y = 3∫x = 0x = 2 (3×2 − y) dxdy = ∫y = 0y = 3 (∫x = 0x = 2 (3×2 − y) dx) dy = ∫y = 0y = 3 [x3 − xy | x = 0x = 2] dy = ∫y = 0y = 3 (8−2y) dy = 8y − y2 | y = 0y = 3 = 15. Rf (x, y ) dA = ∫y = 0y = 3∫x = 0x = 2 (3×2 − y) dxdy = ∫y = 0y = 3 (∫x = 0x = 2 (3×2 − y) dx) dy = ∫y = 0y = 3 [x3 − xy | x = 0x = 2] dy = ∫y = 0y = 3 (8−2y) dy = 8y − y2 | y = 0y = 3 = 15.

Анализ

При любом порядке интегрирования двойной интеграл дает нам ответ 15.Мы могли бы интерпретировать этот ответ как объем в кубических единицах твердой SS ниже функции f (x, y) = 3×2 − yf (x, y) = 3×2 − y в области R = [0,2] × [0,3] . R = [0,2] × [0,3]. Однако помните, что интерпретация двойного интеграла как (беззнакового) объема работает только тогда, когда подынтегральное выражение ff является неотрицательной функцией по базовой области RR

.

КПП 5.3

Вычислить ∫y = −3y = 2∫x = 3x = 5 (2−3×2 + y2) dxdy.y = −3y = 2∫x = 3x = 5 (2−3×2 + y2) dxdy.

В следующем примере мы видим, что на самом деле может быть полезно изменить порядок интегрирования, чтобы упростить вычисления.В этой главе мы еще несколько раз вернемся к этой идее.

Пример 5.7

Изменение порядка интеграции

Рассмотрим двойной интеграл ∬Rxsin (xy) dA∬Rxsin (xy) dA по области R = {(x, y) | 0≤x≤3,0≤y≤2} R = {(x, y) | 0≤x≤3,0≤y≤2} (рисунок 5.8).

1. Выразите двойной интеграл двумя способами.
2. Проанализируйте, проще ли вычислить двойной интеграл одним способом, чем другим, и почему.
3. Вычислите интеграл.
   Рисунок 5.8 Функция z = f (x, y) = xsin (xy) z = f (x, y) = xsin (xy) в прямоугольной области R = [0, π] × [1,2] . R = [ 0, π] × [1,2].

Решение

1. Мы можем выразить ∬Rxsin (xy) dA∬Rxsin (xy) dA следующими двумя способами: сначала интегрированием по yy, а затем по x; x; во-вторых, интегрированием по xx, а затем по y.y.
   ∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydxИнтегрируйте сначала относительно игрушки. = .Y = 1y = 2∫x = 0x = πxsin (xy) dxdyИнтегрируйте сначала относительно tox.∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydxИнтегрируйте сначала относительно игрушки. = .Y = 1y = 2∫x = 0x = πxsin (xy) dxdyИнтегрируйте сначала относительно tox.
2. Если мы хотим сначала проинтегрировать относительно y , а затем проинтегрировать по x, x, мы увидим, что мы можем использовать замену u = xy, u = xy, которая дает du = xdy.du = xdy. Следовательно, внутренний интеграл — это просто ∫sinudu∫sinudu, и мы можем изменить пределы, чтобы они были функциями x ,
   ∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydx = ∫x = 0x = π [∫u = xu = 2xsin (u) du] dx. ∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydx = ∫x = 0x = π [∫u = xu = 2xsin (u) du] dx.
   Однако сначала интегрирование по xx, а затем интегрирование по yy требует интегрирования по частям для внутреннего интеграла с u = xu = x и dv = sin (xy) dx.dv = sin (xy) dx.
   Тогда du = dxdu = dx и v = −cos (xy) y, v = −cos (xy) y, поэтому
   ∬Rxsin (xy) dA = ∫y = 1y = 2∫x = 0x = πxsin (xy) dxdy = ∫y = 1y = 2 [−xcos (xy) y | x = 0x = π + 1y∫x = 0x = πcos (xy) dx] dy.∬Rxsin (xy) dA = ∫y = 1y = 2∫x = 0x = πxsin (xy) dxdy = ∫y = 1y = 2 [−xcos (xy) y | x = 0x = π + 1y∫x = 0x = πcos (xy) dx] dy.
   Поскольку оценка усложняется, мы будем выполнять только те вычисления, которые проще выполнить, что явно является первым методом.
3. Вычислите двойной интеграл более простым способом.
   ∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydx = ∫x = 0x = π [∫u = xu = 2xsin (u) du] dx = ∫x = 0x = π [−cosu | u = xu = 2x] dx = ∫x = 0x = π (−cos2x + cosx) dx = −12sin2x + sinx | ​​x = 0x = π = 0. ∬Rxsin (xy) dA = ∫x = 0x = π∫y = 1y = 2xsin (xy) dydx = ∫x = 0x = π [∫u = xu = 2xsin (u) du] dx = ∫x = 0x = π [−cosu | u = xu = 2x] dx = ∫x = 0x = π (−cos2x + cosx) dx = −12sin2x + sinx | ​​x = 0x = π = 0.

КПП 5.4

Вычислить интеграл ∬RxexydA∬RxexydA, где R = [0,1] × [0, ln5] .R = [0,1] × [0, ln5].

Приложения двойных интегралов

Двойные интегралы очень полезны для определения площади области, ограниченной кривыми функций.Мы опишем эту ситуацию более подробно в следующем разделе. Однако, если область имеет прямоугольную форму, мы можем найти ее площадь, интегрировав постоянную функцию f (x, y) = 1f (x, y) = 1 по области RR

.

Определение

Площадь области RR определяется как A (R) = ∬R1dA.A (R) = ∬R1dA.

Это определение имеет смысл, потому что использование f (x, y) = 1f (x, y) = 1 и вычисление интеграла делают его произведением длины и ширины. Давайте проверим эту формулу на примере и посмотрим, как это работает.

Пример 5.8

Нахождение области с помощью двойного интеграла

Найдите площадь области R = {(x, y) | 0≤x≤3,0≤y≤2} R = {(x, y) | 0≤x≤3,0≤y≤2} по с использованием двойного интеграла, то есть путем интегрирования 1 по области RR

Решение

Область прямоугольная с длиной 3 и шириной 2, поэтому мы знаем, что площадь равна 6. Мы получаем тот же ответ, когда используем двойной интеграл:

A (R) = ∫02∫031dxdy = ∫02 [x | 03] dy = ∫023dy = 3∫02dy = 3y | 02 = 3 (2) = 6. A (R) = ∫02∫031dxdy = ∫02 [ х | 03] dy = ∫023dy = 3∫02dy = 3y | 02 = 3 (2) = 6.

Мы уже видели, как с помощью двойных интегралов можно найти объем твердого тела, ограниченного сверху функцией f (x, y) f (x, y) в области RR при условии, что f (x, y) ≥0f (x , y) ≥0 для всех (x, y) (x, y) в RR. Вот еще один пример, иллюстрирующий эту концепцию.

Пример 5.9

Объем эллиптического параболоида

Найдите объем VV твердого тела SS, ограниченного эллиптическим параболоидом 2×2 + y2 + z = 27,2×2 + y2 + z = 27, плоскостями x = 3x = 3 и y = 3, y = 3 и три координатные плоскости.

Решение

Сначала обратите внимание на график поверхности z = 27−2×2 − y2z = 27−2×2 − y2 на рисунке 5.9 (a) и выше в квадратной области R1 = [- 3,3] × [−3,3] .R1 = [−3,3] × [−3,3]. Однако нам понадобится объем твердого тела, ограниченного эллиптическим параболоидом 2×2 + y2 + z = 27,2×2 + y2 + z = 27, плоскости x = 3x = 3 и y = 3, y = 3 и три координаты самолеты.

Рисунок 5.9 (a) Поверхность z = 27−2×2 − y2z = 27−2×2 − y2 над квадратной областью R1 = [- 3,3] × [−3,3] .R1 = [- 3,3] × [ −3,3]. (b) Тело S лежит под поверхностью z = 27−2×2 − y2z = 27−2×2 − y2 над квадратной областью R2 = [0,3] × [0,3].R2 = [0,3] × [0,3].

Теперь давайте посмотрим на график поверхности на рис. 5.9 (b). Объем V определяется путем вычисления двойного интеграла по R2: R2:

V = ∬RzdA = ∬R (27−2×2 − y2) dA = ∫y = 0y = 3∫x = 0x = 3 (27−2×2 − y2) dxdy Преобразовать в повторный интеграл. = ∫y = 0y = 3 [27x− 23×3 − y2x] | x = 0x = 3dy Интегрировать по x. = ∫y = 0y = 3 (63−3y2) dy = 63y − y3 | y = 0y = 3 = 162.V = ∬RzdA = ∬R (27− 2×2 − y2) dA = ∫y = 0y = 3∫x = 0x = 3 (27−2×2 − y2) dxdy Преобразовать в повторный интеграл. = ∫y = 0y = 3 [27x − 23×3 − y2x] | x = 0x = 3dy Интегрировать относительно x. = ∫y = 0y = 3 (63−3y2) dy = 63y − y3 | y = 0y = 3 = 162.

КПП 5.5

Найдите объем твердого тела, ограниченного сверху графиком f (x, y) = xysin (x2y) f (x, y) = xysin (x2y) и ниже xyxy-плоскостью в прямоугольной области R = [0 , 1] × [0, π] .R = [0,1] × [0, π].

Напомним, что мы определили среднее значение функции одной переменной на интервале [a, b] [a, b] как

fave = 1b − a∫abf (x) dx.fave = 1b − a∫abf (x) dx.

Аналогичным образом мы можем определить среднее значение функции двух переменных в области R . Основное отличие состоит в том, что мы делим на площадь, а не на ширину интервала.

Определение

Среднее значение функции двух переменных по региону RR равно

. fave = 1AreaR∬Rf (x, y) dA.fave = 1AreaR∬Rf (x, y) dA.

5,4

В следующем примере мы находим среднее значение функции в прямоугольной области. Это хороший пример получения полезной информации для интегрирования путем выполнения отдельных измерений по сетке вместо попытки найти алгебраическое выражение для функции.

Пример 5.10

Расчет среднего количества ливневых осадков

Карта погоды на рисунке 5.10 показана необычно влажная штормовая система, связанная с остатками урагана Карл, в результате которого 22–23 сентября 2010 г. в некоторых частях Среднего Запада выпало 4–8 дюймов (100–200 мм) дождя. Площадь выпавших осадков составила 300 миль. с востока на запад и 250 миль с севера на юг. Оцените среднее количество осадков по всей территории за эти два дня.

Рис. 5.10 Последствия урагана Карл, в результате которого в некоторых частях юго-западного Висконсина, южной Миннесоты и юго-востока Южной Дакоты на протяжении 300 миль с востока на запад и 250 миль с севера на юг выпало 4-8 дюймов (100-200 мм) дождя. юг.

Решение

Поместите начало координат в юго-западном углу карты, чтобы все значения можно было рассматривать как находящиеся в первом квадранте и, следовательно, все положительные. Теперь разделите всю карту на шесть прямоугольников (m = 2andn = 3), (m = 2andn = 3), как показано на рисунке 5.11. Предположим, что f (x, y) f (x, y) обозначает ливневые осадки в дюймах в точке примерно в xx милях к востоку от исходной точки и y миль к северу от исходной точки. Пусть RR представляет собой всю площадь 250 × 300 = 75000250 × 300 = 75000 квадратных миль.Тогда площадь каждого подпрямоугольника равна

. ΔA = 16 (75000) = 12500. ΔA = 16 (75000) = 12500.

Предположим, что (xij *, yij *) (xij *, yij *) приблизительно являются серединами каждого подпрямоугольника Rij.Rij. Обратите внимание на отмеченные цветом области в каждой из этих точек и оцените количество осадков. Количество осадков в каждой из этих точек можно оценить как:

.

В (x11, y11) (x11, y11) количество осадков составляет 0,08.

При (x12, y12) (x12, y12) количество осадков составляет 0,08.

В (x13, y13) (x13, y13) количество осадков составляет 0,01.

В (x21, y21) (x21, y21) количество осадков равно 1.70.

В (x22, y22) (x22, y22) выпадает 1,74 осадков.

В (x23, y23) (x23, y23) количество осадков составляет 3,00.

Рис. 5.11 Штормовой дождь с прямоугольными осями, показывающими середины каждого подпрямоугольника.

Согласно нашему определению, среднее количество ливневых осадков на всей территории за эти два дня составило

. fave = 1AreaR∬Rf (x, y) dxdy = 175000∬Rf (x, y) dxdy≅175,000∑i = 13∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA≅175,000 [f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x13 *, y13 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA + f (x23 *, y23 *) ΔA] 175 000 фунтов стерлингов [0.08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] ΔA≅175,000 [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500≅530 [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] ≅1,10. fave = 1AreaR ∬Rf (x, y) dxdy = 175000 Rf (x, y) dxdy≅175,000∑i = 13∑j = 12f (xij *, yij *) ΔA≅175000 [f (x11 *, y11 *) ΔA + f (x12 *, y12 *) ΔA + f (x13 *, y13 *) ΔA + f (x21 *, y21 *) ΔA + f (x22 *, y22 *) ΔA + f (x23 *, y23 *) ΔA] ≅ 175 000 [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] ΔA≅175,000 [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500 ± 530 [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] ≅1,10.

В период с 22 по 23 сентября 2010 г. в этом районе выпало в среднем около 1 ливневых осадков.10 дюймов.

КПП 5.6

Контурная карта показана для функции f (x, y) f (x, y) на прямоугольнике R = [- 3,6] × [−1,4] .R = [- 3,6] × [ -1,4].

1. Используйте правило средней точки с m = 3m = 3 и n = 2n = 2, чтобы оценить значение ∬Rf (x, y) dA.∬Rf (x, y) dA.
2. Оцените среднее значение функции f (x, y) .f (x, y).

Раздел 5.1 Упражнения

В следующих упражнениях используйте правило средней точки с m = 4m = 4 и n = 2n = 2, чтобы оценить объем твердого тела, ограниченного поверхностью z = f (x, y), z = f. (x, y), вертикальные плоскости x = 1, x = 1, x = 2, x = 2, y = 1, y = 1 и y = 2, y = 2, а горизонтальная плоскость z = 0.г = 0.

1.

f (x, y) = 4x + 2y + 8xyf (x, y) = 4x + 2y + 8xy

2.

f (x, y) = 16×2 + y2f (x, y) = 16×2 + y2

В следующих упражнениях оцените объем твердого тела под поверхностью z = f (x, y) z = f (x, y) и над прямоугольной областью R , используя сумму Римана с m = n = 2m. = n = 2, а выборочные точки — это нижние левые углы подпрямоугольников раздела.

3.

f (x, y) = sinx − cosy, f (x, y) = sinx − cosy, R = [0, π] × [0, π] R = [0, π] × [0, π]

4.

f (x, y) = cosx + cosy, f (x, y) = cosx + cosy, R = [0, π] × [0, π2] R = [0, π] × [0, π2]

5.

Используйте правило средней точки с m = n = 2m = n = 2, чтобы оценить ∬Rf (x, y) dA, ∬Rf (x, y) dA, где значения функции f на R = [8, 10] × [9,11] R = [8,10] × [9,11] приведены в следующей таблице.

2 Vertical Traces Parallel to the yz-Planeyz-Plane for the Function f(x,y)=sinxcosyf(x,y)=sinxcosy » data-label=»»>

	y
x	9	9,5	10	10,5	11
8	9,8	5	6.7	5	5,6
8,5	9,4	4,5	8	5,4	3,4
9	8,7	4,6	6	5,5	3,4
9,5	6,7	6	4,5	5,4	6,7
10	6,8	6,4	5,5	5,7	6. 8

6.

Значения функции f на прямоугольнике R = [0,2] × [7,9] R = [0,2] × [7,9] приведены в следующей таблице. Оцените двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA∬Rf (x, y) dA, используя сумму Римана с m = n = 2.m = n = 2. Выберите точки выборки, которые будут правыми верхними углами подквадратов R .

	y0 = 7y0 = 7	y1 = 8y1 = 8	y2 = 9y2 = 9
x0 = 0x0 = 0	10.22	10,21	9,85
x1 = 1×1 = 1	6,73	9,75	9,63
x2 = 2×2 = 2	5,62	7,83	8,21

7.

Глубина детского бассейна размером 4 на 4 фута, измеренная с интервалом в 1 фут, приведена в следующей таблице.

1. Оцените объем воды в бассейне с помощью суммы Римана с m = n = 2.m = n = 2. Выберите точки выборки, используя правило средней точки на R = [0,4] × [0,4].R = [0,4] × [0,4].
2. Примерная средняя глубина бассейна.
   

   	y
   x	0	1	2	3	4
   0	1	1,5	2	2,5	3
   1	1	1,5	2	2. 5	3
   2	1	1,5	1,5	2,5	3
   3	1	1	1,5	2	2,5
   4	1	1	1	1,5	2

8.

Глубина ямы в земле размером 3 на 3 фута, измеренная с интервалом в 1 фут, приведена в следующей таблице.

1. Оцените объем отверстия, используя сумму Римана с m = n = 3m = n = 3 и точками выборки, которые должны быть верхними левыми углами подквадратов R .
2. Приблизительно средняя глубина отверстия.
   

   	y
   x	0	1	2	3
   0	6	6. 5	6,4	6
   1	6,5	7	7,5	6,5
   2	6,5	6,7	6,5	6
   3	6	6,5	5	5,6

9.

Кривые уровня f (x, y) = kf (x, y) = k функции f показаны на следующем графике, где k — постоянная.

1. Примените правило средней точки с m = n = 2m = n = 2, чтобы оценить двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA, ∬Rf (x, y) dA, где R = [0,2,1] × [0 , 0,8] .R = [0,2,1] × [0,0,8].
2. Оцените среднее значение функции f на R .
   

10.

Кривые уровня f (x, y) = kf (x, y) = k функции f показаны на следующем графике, где k — постоянная.

1. Примените правило средней точки с m = n = 2m = n = 2, чтобы оценить двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA, ∬Rf (x, y) dA, где R = [0.1,0,5] × [0,1,0,5] .R = [0,1,0,5] × [0,1,0,5].
2. Оцените среднее значение функции f на R .
   

11.

Твердое тело, лежащее под поверхностью z = 4 − y2z = 4 − y2 и над прямоугольной областью R = [0,2] × [0,2] R = [0,2] × [0,2], показано на следующий график. Вычислите двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA, ∬Rf (x, y) dA, где f (x, y) = 4 − y2, f (x, y) = 4 − y2, найдя объем соответствующее твердое тело.

12.

Твердое тело, лежащее под плоскостью z = y + 4z = y + 4 и над прямоугольной областью R = [0,2] × [0,4] R = [0,2] × [0,4], показано на следующий график.Вычислите двойной интеграл ∬Rf (x, y) dA, ∬Rf (x, y) dA, где f (x, y) = y + 4, f (x, y) = y + 4, найдя объем соответствующее твердое тело.

В следующих упражнениях вычислите интегралы, поменяв местами порядок интегрирования.

13.

∫ − 11 (∫ − 22 (2x + 3y + 5) dx) dy∫ − 11 (∫ − 22 (2x + 3y + 5) dx) dy

14.

∫02 (∫01 (x + 2ey − 3) dx) dy∫02 (∫01 (x + 2ey − 3) dx) dy

15.

∫127 (∫12 (x3 + y3) dy) dx∫127 (∫12 (x3 + y3) dy) dx

16.

∫116 (∫18 (x4 + 2y3) dy) dx∫116 (∫18 (x4 + 2y3) dy) dx

17.

∫ln2ln3 (∫0lex + ydy) dx∫ln2ln3 (∫0lex + ydy) dx

18.

∫02 (∫013x + ydy) dx∫02 (∫013x + ydy) dx

19.

∫16 (∫29yx2dy) dx∫16 (∫29yx2dy) dx

20.

∫19 (∫42xy2dy) dx∫19 (∫42xy2dy) dx

В следующих упражнениях оцените повторенные интегралы, выбрав порядок интегрирования.

21.

∫0π∫0π / 2sin (2x) cos (3y) dxdy∫0π∫0π / 2sin (2x) cos (3y) dxdy

22.

∫π / 12π / 8∫π / 4π / 3 [cotx + tan (2y)] dxdy∫π / 12π / 8∫π / 4π / 3 [cotx + tan (2y)] dxdy

23.

∫1e∫1e [1xsin (lnx) + 1ycos (lny)] dxdy∫1e∫1e [1xsin (lnx) + 1ycos (lny)] dxdy

24.

∫1e∫1esin (lnx) cos (lny) xydxdy∫1e∫1esin (lnx) cos (lny) xydxdy

25.

∫12∫12 (lnyx + x2y + 1) dydx∫12∫12 (lnyx + x2y + 1) dydx

26.

∫1e∫12x2ln (x) dydx∫1e∫12x2ln (x) dydx

27.

∫13∫12yarctan (1x) dydx∫13∫12yarctan (1x) dydx

28.

∫01∫01 / 2 (arcsinx + arcsiny) dydx∫01∫01 / 2 (arcsinx + arcsiny) dydx

29.

∫01∫12xex + 4ydydx∫01∫12xex + 4ydydx

30.

∫12∫01xex − ydydx∫12∫01xex − ydydx

31.

∫1e∫1e (lnyy + lnxx) dydx∫1e∫1e (lnyy + lnxx) dydx

32.

∫1e∫1e (xlnyy + ylnxx) dydx∫1e∫1e (xlnyy + ylnxx) dydx

33.

∫01∫12 (xx2 + y2) dydx∫01∫12 (xx2 + y2) dydx

34.

∫01∫12yx + y2dydx∫01∫12yx + y2dydx

В следующих упражнениях найдите среднее значение функции по заданным прямоугольникам.

35.

f (x, y) = — x + 2y, f (x, y) = — x + 2y, R = [0,1] × [0,1] R = [0,1] × [0,1 ]

36.

f (x, y) = x4 + 2y3, f (x, y) = x4 + 2y3, R = [1,2] × [2,3] R = [1,2] × [2,3]

37.

f (x, y) = sinhx + sinhy, f (x, y) = sinhx + sinhy, R = [0,1] × [0,2] R = [0,1] × [0,2]

38.

f (x, y) = arctan (xy), f (x, y) = arctan (xy), R = [0,1] × [0,1] R = [0,1] × [0,1] ]

39.

Пусть f и g — две непрерывные функции такие, что 0≤m1≤f (x) ≤M10≤m1≤f (x) ≤M1 для любого x∈ [a, b] x∈ [a, b] и 0≤m2≤g (y) ≤M20≤m2≤g (y) ≤M2 для любого y∈ [c, d] .y∈ [c, d]. Докажите, что верно следующее неравенство:

m1m2 (b − a) (c − d) ≤∫ab∫cdf (x) g (y) dydx≤M1M2 (b − a) (c − d) .m1m2 (b − a) (c − d) ≤ ∫ab∫cdf (x) g (y) dydx≤M1M2 (b − a) (c − d).

В следующих упражнениях используйте свойство v. Двойных интегралов и ответ из предыдущего упражнения, чтобы показать, что следующие неравенства верны.

40.

1e2≤∬Re − x2 − y2dA≤1,1e2≤∬Re − x2 − y2dA≤1, где R = [0,1] × [0,1] R = [0,1] × [0,1]

41.

π2144≤∬RsinxcosydA≤π248, π2144≤∬RsinxcosydA≤π248, где R = [π6, π3] × [π6, π3] R = [π6, π3] × [π6, π3]

42.

0≤∬Re − ycosxdA≤π22,0≤∬Re − ycosxdA≤π22, где R = [0, π2] × [0, π2] R = [0, π2] × [0, π2]

43.

0≤∬R (lnx) (lny) dA≤ (e − 1) 2,0≤∬R (lnx) (lny) dA≤ (e − 1) 2, где R = [1, e] × [1 , e] R = [1, e] × [1, e]

44.

Пусть f и g — две непрерывные функции такие, что 0≤m1≤f (x) ≤M10≤m1≤f (x) ≤M1 для любого x∈ [a, b] x∈ [a, b] и 0≤m2≤g (y) ≤M20≤m2≤g (y) ≤M2 для любого y∈ [c, d].y∈ [c, d]. Докажите, что верно следующее неравенство:

(m1 + m2) (b − a) (c − d) ≤∫ab∫cd [f (x) + g (y)] dydx≤ (M1 + M2) (b − a) (c − d). (m1 + m2) (b − a) (c − d) ≤∫ab∫cd [f (x) + g (y)] dydx≤ (M1 + M2) (b − a) (c − d).

В следующих упражнениях используйте свойство v. Двойных интегралов и ответ из предыдущего упражнения, чтобы показать, что следующие неравенства верны.

45.

2e≤∬R (e − x2 + e − y2) dA≤2,2e≤∬R (e − x2 + e − y2) dA≤2, где R = [0,1] × [0,1] R = [0,1] × [0,1]

46.

π236≤∬R (sinx + cosy) dA≤π2336, π236≤∬R (sinx + cosy) dA≤π2336, где R = [π6, π3] × [π6, π3] R = [π6, π3] × [ π6, π3]

47.

π2e − π / 2≤∬R (cosx + e − y) dA≤π, π2e − π / 2≤∬R (cosx + e − y) dA≤π, где R = [0, π2] × [0 , π2] R = [0, π2] × [0, π2]

48.

1e≤∬R (e − y − lnx) dA≤2,1e≤∬R (e − y − lnx) dA≤2, где R = [0,1] × [0,1] R = [0, 1] × [0,1]

В следующих упражнениях функция f дается в терминах двойных интегралов.

1. Определите явный вид функции f .
2. Найдите объем твердого тела под поверхностью z = f (x, y) z = f (x, y) и над областью R .
3. Найдите среднее значение функции f на R .
4. Используйте систему компьютерной алгебры (CAS), чтобы построить z = f (x, y) z = f (x, y) и z = favez = fave в той же системе координат.

49.

[T] f (x, y) = ∫0y∫0x (xs + yt) dsdt, f (x, y) = ∫0y∫0x (xs + yt) dsdt, где (x, y) ∈R = [0,1] × [0,1] (x, y) ∈R = [0,1] × [0,1]

50.

[T] f (x, y) = ∫0x∫0y [cos (s) + cos (t)] dtds, f (x, y) = ∫0x∫0y [cos (s) + cos (t )] dtds, где (x, y) ∈R = [0,3] × [0,3] (x, y) ∈R = [0,3] × [0,3]

51.

Покажите, что если f и g непрерывны на [a, b] [a, b] и [c, d], [c, d], соответственно, то

∫ab∫cd [f (x) + g (y)] dydx = (d − c) abf (x) dx∫ab∫cd [f (x) + g (y)] dydx = (d − c ) ∫abf (x) dx

+ ab∫cdg (y) dydx = (b − a) ∫cdg (y) dy + ∫cd∫abf (x) dxdy.+ Ab∫cdg (y) dydx = (b − a) ∫cdg (y) dy + ∫cd∫abf (x) dxdy.

52.

Докажите, что ∫ab∫cdyf (x) + xg (y) dydx = 12 (d2 − c2) (∫abf (x) dx) +12 (b2 − a2) (∫cdg (y) dy) . ∫ab∫ cdyf (x) + xg (y) dydx = 12 (d2 − c2) (∫abf (x) dx) +12 (b2 − a2) (∫cdg (y) dy).

53.

[T] Рассмотрим функцию f (x, y) = e − x2 − y2, f (x, y) = e − x2 − y2, где (x, y) ∈R = [- 1,1] × [−1,1]. (X, y) ∈R = [- 1,1] × [−1,1].

1. Используйте правило средней точки с m = n = 2,4,…, 10m = n = 2,4,…, 10, чтобы оценить двойной интеграл I = ∬Re − x2 − y2dA.I = ∬Re − x2 − y2dA . Округлите ответы до сотых долей.
2. Для m = n = 2, m = n = 2 найдите среднее значение f по области R . Округлите ответ до сотых.
3. Используйте CAS для построения графика в той же системе координат твердого тела, объем которого задается как ∬Re − x2 − y2dA∬Re − x2 − y2dA, а плоскость z = fave.z = fave.

54.

[T] Рассмотрим функцию f (x, y) = sin (x2) cos (y2), f (x, y) = sin (x2) cos (y2), где (x, y) ∈R = [−1,1] × [−1,1]. (X, y) ∈R = [- 1,1] × [−1,1].

1. Используйте правило средней точки с m = n = 2,4,…, 10m = n = 2,4,…, 10, чтобы оценить двойной интеграл I = ∬Rsin (x2) cos (y2) dA.I = ∬Rsin (x2) cos (y2) dA. Округлите ответы до сотых долей.
2. Для m = n = 2, m = n = 2 найдите среднее значение f по региону R. Округлите ответ до ближайших сотых.
3. Используйте CAS для построения графика в той же системе координат твердого тела, объем которого задается как ∬Rsin (x2) cos (y2) dA∬Rsin (x2) cos (y2) dA, а плоскость z = fave.z = fave.

В следующих упражнениях даются функции fnfn, где n≥1n≥1 — натуральное число.

1. Найдите объем твердых тел SnSn под поверхностями z = fn (x, y) z = fn (x, y) и над областью R .
2. Определите предел объемов твердых веществ SnSn, поскольку n неограниченно увеличивается.

55.

f (x, y) = xn + yn + xy, (x, y) ∈R = [0,1] × [0,1] f (x, y) = xn + yn + xy, (x, y ) ∈R = [0,1] × [0,1]

56.

f (x, y) = 1xn + 1yn, (x, y) ∈R = [1,2] × [1,2] f (x, y) = 1xn + 1yn, (x, y) ∈R = [1,2] × [1,2]

57.

Покажите, что среднее значение функции f в прямоугольной области R = [a, b] × [c, d] R = [a, b] × [c, d] равно fave≈1mn∑i = 1m ∑j = 1nf (xij *, yij *), fave≈1mn∑i = 1m∑j = 1nf (xij *, yij *), где (xij *, yij *) (xij *, yij *) — точки выборки раздела R , где 1≤i≤m1≤i≤m и 1≤j≤n.1≤j≤n.

58.

Используйте правило средней точки с m = nm = n, чтобы показать, что среднее значение функции f в прямоугольной области R = [a, b] × [c, d] R = [a, b] × [c , d] приблизительно

fave≈1n2∑i, j = 1nf (12 (xi − 1 + xi), 12 (yj − 1 + yj)). fave≈1n2∑i, j = 1nf (12 (xi − 1 + xi), 12 ( yj − 1 + yj)). 59.

Карта изотермы — это карта, соединяющая точки, имеющие одинаковую температуру в заданное время в течение заданного периода времени. Используйте предыдущее упражнение и примените правило средней точки с m = n = 2m = n = 2, чтобы найти среднюю температуру в области, указанной на следующем рисунке.

Численное интегрирование

в Excel с использованием правила трапеции — 3 метода

---

Основы

---

Распространенная жалоба на Excel заключается в том, что он не предоставляет прямого метода для вычисления интеграла функции. Если функция представлена ​​в виде кривой на диаграмме, то интеграл определяется как (чистая со знаком) площадь под этой кривой. Итак, если вам нужно рассчитать площадь под кривой, вы должны придумать косвенный способ сделать это. Одним из популярных методов решения этой задачи является так называемое правило трапеции.

Согласно Википедии: «Правило трапеции — это метод аппроксимации определенного интеграла:

Правило трапеции работает, аппроксимируя область под графиком функции f (x) как трапецию и вычисляя ее площадь. Отсюда следует, что: ”

---

Вычислить площадь под кривой / интеграл функции

---

1-й метод: Расчеты в электронной таблице

Если n точек (x, y) на кривой известны, вы можете применить предыдущее уравнение n-1 раз, а затем просуммировать результаты. 2 мы знали 10 баллов, поэтому применили формулу 9 раз. Для первой точки результат был (1-0) * (4 + 0) / 2 = 2, для второй (2-1) * (16 + 4) / 2 = 10 и так далее. На картинке выше представлен весь набор расчетов.

---

2-й метод: формула СУММПРОИЗВ

С помощью этого метода вы избегаете промежуточных вычислений и, используя только одну функцию, вы получаете результат. Однако уровень сложности немного выше, чем у первого способа (особенно если вы новичок в Excel).Метод использует функцию СУММПРОИЗВ, синтаксис которой приведен ниже:

СУММПРОИЗВ (массив1, [массив2], [массив3],…)

Функция СУММПРОИЗВ умножает соответствующие компоненты в заданных массивах и возвращает их сумму. товары. Array1, array2… — это диапазоны ячеек или массивов, которые вы хотите умножить. Все массивы должны иметь одинаковое количество строк и столбцов, и вы должны ввести как минимум 2 массива (у вас может быть до 30 массивов).

Сложная часть — это определение массива / диапазона. Если известны n точек кривой (x, y), функцию можно записать:

В примере рабочей книги функция СУММПРОИЗВ используется в следующих диапазонах:

= СУММПРОИЗВ (A5: A13-A4: A12; ( B5: B13 + B4: B12) / 2).

На самом деле мы применили ту же функцию, что и в методе 1, но вместо отдельных ячеек у нас было несколько ячеек / массивов. Функция выполняет следующий расчет:

Без сомнения, второй метод намного проще первого.

---

3-й метод: пользовательская функция VBA

В файле Excel переключитесь в редактор VBA (ALT + F11), перейдите в меню «Вставить модуль» и добавьте следующие строки кода.

  Опция Явная

Функция CurveIntegration (KnownXs как вариант, KnownYs как вариант) как вариант
    
    '------------------------------------------------- --------------
    'Вычисляет площадь под кривой с использованием правила трапеции.
    'KnownXs и KnownYs - это известные (x, y) точки кривой.Автор: Христос Самарас
    Дата: 06. 12.2013
    Последнее обновление: 21.06.2020
    Электронная почта: [email protected]
    Сайт: https://www.myengineeringworld.net
    '------------------------------------------------- --------------
            
    'Объявление необходимой переменной.
    Dim i как целое число
    
    'Проверить, принадлежат ли значения X диапазону.
    Если не TypeName (KnownXs) = "Диапазон", то
        CurveIntegration = "Диапазон Xs недействителен"
        Функция выхода
    Конец, если
    
    'Проверьте, принадлежат ли значения Y диапазону.Если не TypeName (KnownYs) = "Диапазон", то
        CurveIntegration = "Диапазон Ys недействителен"
        Функция выхода
    Конец, если
    
    'Проверьте, равно ли количество значений X количеству значений Y.
    Если KnownXs.Rows.Count <> KnownYs.Rows.Count Тогда
        CurveIntegration = "Количество X <> Количество Y"
        Функция выхода
    Конец, если
    
    «Начни с нуля.
    CurveIntegration = 0
    
    'Прокрутите все значения.
    Для i = 1 To KnownXs. Rows.Count - 1
        
        'Проверить нечисловые значения.Если IsNumeric (KnownXs.Cells (i)) = False или IsNumeric (KnownXs.Cells (i + 1)) = False _
        Или IsNumeric (KnownYs.Cells (i)) = False или IsNumeric (KnownYs.Cells (i + 1)) = False Тогда
            CurveIntegration = "Нечисловое значение во входных данных"
            Функция выхода
        Конец, если
        
        'Примените правило трапеции: (y (i + 1) + y (i)) * (x (i + 1) - x (i)) * 1/2.
        'Используйте абсолютное значение в случае отрицательных чисел.
        CurveIntegration = CurveIntegration + Abs (0,5 * (KnownXs.Ячейки (i + 1, 1) _
        - KnownXs.Cells (i, 1)) * (KnownYs.Cells (i, 1) + KnownYs.Cells (i + 1, 1)))
    Далее я

Функция завершения  

Преимущество этой пользовательской функции в том, что вам не нужно беспокоиться о диапазонах ввода. Код проверяет, являются ли значения x и y (действительными) диапазонами, а также равны ли диапазоны x и y (например, если на входе 10 значений x и 10 значений y). Если что-то пойдет не так, функция возвращает сообщение об ошибке вместо значения. Итак, вам нужно только вставить входные диапазоны в функцию, и функция вернет область кривой.В примере книги, например, пользовательская функция использовалась со следующими диапазонами (у нас было 10 значений x и 10 значений y — 10 точек кривой):

= CurveIntegration (A4: A13; B4: B13)

---

Ограничения трапециевидной линейки

---

Как было подчеркнуто в начале, трапециевидная линейка — это приближенный метод вычисления площади под кривой / для выполнения численного интегрирования. В образце книги вы заметите, что для конкретной кривой все 3 различных способа, описанных выше, дают одно и то же значение (978).Вы можете подумать, что, поскольку 3 метода согласовывают окончательное значение, это правильный. К сожалению, это не так!

Точность правила трапеции напрямую зависит от количества известных точек кривой. Чем больше точек вы знаете, тем больше трапеций и тем лучше аппроксимация (для определенного диапазона). Если бы в конкретном примере мы знали 20 баллов (шаг 0,5) вместо 10 (шаг 1), то результат с 3 методами был бы 973,5.

Если бы мы знали 901 балл (шаг 0.2. Для диапазона x от 0 до 9 интеграл этой функции будет:

Подводя итог, хотя правило трапеции — это простой способ вычислить площадь под кривой, вы никогда не должны забывать, что это приблизительный метод. Чем больше у вас очков, тем лучше результат. Кроме того, будьте осторожны, чтобы не спутать площадь кривой со значением определенного интеграла. Они не совпадают, так как площадь не может быть отрицательной по определению!

Когда вы используете правило трапеции в качестве инструмента для вычисления площади кривой, вы должны быть осторожны в случаях, когда кривая находится ниже оси x или y.Если это так, то вы должны использовать функцию abs (возвращает абсолютное значение числа) в первых двух методах, чтобы получить правильную область, в то время как пользовательская функция VBA уже реализовала эту функцию.

---

Загрузки

---

Файл можно открыть в Excel 2007 или новее. Пожалуйста, включите макрос перед его использованием.

---

Читайте также

---

Численное интегрирование в Excel с использованием составного правила Симпсона
Расчет площади простого многоугольника с использованием алгоритма шнурков

Последнее обновление страницы: 21.06.2020

Правило трапеции | Правило трапеции: интеграция для уровня A — интерактивный

Интеграция — Правило трапеции / Правило трапеции или Правило трапеции

Площадь между функцией и осью x может быть вычислена путем интегрирования при условии, что рассматриваемая функция может быть интегрирована известными методами.Однако иногда встречаются функции, которые невозможно интегрировать. В таких ситуациях мы используем правило трапеции , чтобы справиться с этим. Правило трапеции никогда не дает точную площадь, а только ее приблизительную стоимость.

Техника предполагает разделение площади на конечное количество ступеней равной ширины. Если ширина достаточно мала, каждую полосу можно рассматривать как трапецию .

Предположим, что область под кривой разделена на четыре полосы равной ширины h; форма каждой полоски — почти трапеция.Итак, давайте посчитаем площадь каждой трапеции.

A1 = h / 2 [f (a) + f (p)]
A2 = h / 2 [f (p) + f (q)]
A3 = h / 2 [f (q) + f (r)]
A4 = h / 2 [f (r) + f (b)]

Итак, общая площадь = h / 2 [f (a) + 2f (p) + 2f (q) + 2f (r) + f (b)]

Если имеется n полос шириной h , формула просто принимает следующий вид:

Площадь = h / 2 [f (a) + 2f (1) + 2f (2) + 2f (3) + 2f (4) + …… + 2f (n — 1) + f (b) ]

h = (b — a) / n

Для максимальной точности количество полосок необходимо увеличить.Однако это может сделать вычисления немного более громоздкими.

Например, 1

Найдите площадь под кривой, y = x ² + 2, между x = 2 и x = 6.

Давайте разделим область на четыре равные полосы и сначала проведем вычисления.
Итак, h = (6-2) / 4 = 1
A = 1/2 [f (2) + 2f (3) + 2f (4) + 2f (5) + f (6)]
= 1/2 [6 + 2 (11) + 2 (18) + 2 (27) + 38]
= 1/2 [6 + 22 + 36 + 54 + 38]
= 1/2 [156] = 78

Теперь давайте воспользуемся интегрированием, чтобы найти точную площадь под кривой между x = 2 и x = 6.

A = ₂ ∫ ⁶ (x ² + 2) dx
= [x ³ /3 + 2x] ₂ ⁶
= [216/3 + 2X6] — [8/3 + 2X2]
= 77,3

Значение реальной площади значительно ниже, чем полученное нами по правилу трапеции. Это связано с тем, что полосы, которые мы используем, недостаточно тонкие для большей точности. Короче говоря, это было против оценки.

Например, 2

Вычислите площадь между x = 1 и x = 3 кривой, y = √x ² +1 и осью x.

Давайте воспользуемся следующей формулой для вычисления площади:

Итак, общая площадь = h / 2 [f (a) + 2f (p) + 2f (q) + 2f (r) + f (b)]

В данном случае воспользуемся четырьмя полосами. Следовательно, ширина каждой полосы h равна 0,5. В следующей таблице приведены значения f (x):

x	1	1,5	2,0 ​​	2,5	3,0
y	1,41	1,58	2.34	2,69	3,16

Итак, общая площадь полос = (0,5 / 2) [1,41 + 2 X 1,58 + 2 X 2,34 + 2 X 2,69 + 3,16] = 4,4475

На следующей анимации показана реальная площадь под кривой:

Правило трапеции — интерактивное

В следующем апплете вы можете изменить количество полос, n , и посмотреть, как это влияет на площадь под кривой; чем больше полос, тем выше точность.

Ошибка при расчете площадей

Как видите, площадь из правила трапеции немного меньше реального значения, полученного путем интегрирования, как показано на анимации.

При использовании правила трапеции важно помнить о неизбежных ошибках. На следующей анимации это ясно показано.

Как найти площадь трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Выполните следующие действия, чтобы отправить уведомление:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить преподавателям Varsity Tutors найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно уверены, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Формирование прямоугольника

Прямоугольник — это классический образец технического анализа, описываемый горизонтальными линиями, показывающими значимые уровни поддержки и сопротивления. Им можно успешно торговать, покупая на уровне поддержки и продавая на уровне сопротивления или ожидая прорыва от формации и используя принцип измерения.(Чтобы освежить в памяти уровни поддержки и сопротивления, прочтите Поддержка и развороты сопротивления .)

Прямоугольник в классическом техническом анализе

Формирование прямоугольника — это пример «ценовой модели» в техническом анализе. Ценовые модели происходят из работ Ричарда Шабакера, которого считают отцом технического анализа, а также Эдвардса и Маги, написавших то, что многие считают библией по этому вопросу. (Чтобы узнать больше о техническом анализе, см. Наше руководство по Технический анализ .)

Этот период технического анализа происходит из того времени, когда графики хранились вручную на миллиметровой бумаге, и даже простые скользящие средние (SMA) приходилось поддерживать вручную или с использованием большой неуклюжей счетной машины. (Чтобы узнать больше о том, как технический прогресс изменил мир финансов, прочтите От печатного станка к Интернету и История информационных машин . )

В отличие от современного технического анализа, который полагается на индикаторы, такие как расхождение конвергенции скользящих средних (MACD), технические аналитики предполагали, что ценовые модели повторяются снова и снова во времени.Распознавание образов означало предсказание образов и, следовательно, торговую прибыль. (Узнайте больше о скользящих средних в Moving Average MACD Combo и в нашем руководстве по скользящим средним .)

Многие ценовые модели основаны на геометрических фигурах. Есть восходящие, нисходящие и симметричные треугольники, вымпелы и клинья. Иногда можно увидеть более причудливые формы, такие как форма «голова и плечи». (Для более детального изучения модели «голова и плечи» прочтите Ценовые модели — Часть 2 .)

Прямоугольник: баланс спроса и предложения

Ценовой график или график можно рассматривать как рентгеновский снимок спроса и предложения. На рисунке 1 изображена прямоугольная модель, в которой спрос и предложение находятся в приблизительном балансе в течение длительного периода времени. Акции движутся в узком диапазоне, встречая сопротивление вверху прямоугольника и находя поддержку внизу. Прямоугольник может возникать в течение длительного периода времени или быстро формироваться среди относительно обширной серии ограниченных колебаний.Шабакер отмечает, что по своим пропорциям он может приближаться к квадрату. В любом случае, это паттерн, который показывает нерешительность трейдера, при котором быки и медведи примерно одинаково сильны. (Чтобы узнать больше о спросе и предложении, прочтите Основы экономики: спрос и предложение .)

Рисунок 1

Большинство технических специалистов согласны с тем, что прямоугольник может служить либо разворотом, либо продолжением. Как паттерн разворота, он завершает восходящий или нисходящий тренд. Как модель продолжения, это означает паузу в преобладающем тренде с ожиданием, что предыдущий тренд в конечном итоге возобновится.В любом случае прямоугольник показывает перетягивание каната между покупателями и продавцами. В конечном итоге преобладает либо накопление, либо распределение, а также разрыв или разрыв акций. (Подробнее о том, как получить прибыль во время прорывов и пробоев, см. В статье Trading Failed Breaks . Узнайте о подтверждении тенденций в «Определение тренда» с помощью линии накопления / распределения .)

«Значительная» поддержка и сопротивление

Понятия поддержки и сопротивления имеют решающее значение для понимания формирования прямоугольника.

• Поддержка определяется как любая ценовая точка ниже текущей рыночной цены, где должны возникать покупки, чтобы создать, по крайней мере, временную паузу в нисходящем тренде.
• Сопротивление, с другой стороны, — это любая цена выше текущей рыночной цены, при которой должны возникать продажи, чтобы создать, по крайней мере, временную паузу в восходящем тренде.

В прямоугольнике возникает то, что можно назвать «значительной» поддержкой или сопротивлением, то есть уровень цены, к которому снова и снова возвращается. В то время как линии тренда в техническом анализе обычно рисуются по диагонали, для построения диаграмм поддержки и сопротивления необходимы горизонтальные линии тренда. (Подробнее см. В Отслеживание цен на акции с помощью линий тренда .)

Системы ImClone: ​​пример формирования прямоугольника

На рисунке 2 ImClone Systems (IMCL) используются бары открытия-максимум-минимум-закрытие (а не свечи) и отсутствуют какие-либо индикаторы, такие как MACD. Единственное дополнение — 30-недельная скользящая средняя (MA), которую можно было рассчитать в классическую эпоху.(Прочтите о крахе ImClone в Trader’s Corner — Shoot The Moon … And Hit It! )

фигура 2

На этой диаграмме стоит сделать несколько наблюдений. Во-первых, обратите внимание на то, что линия промежуточного восходящего тренда, действующая примерно в течение года, пробита. Разрыв показывает, что восходящий тренд закончился. Таким образом, удлиненный прямоугольник может быть либо разворотом, либо консолидацией. Пока не произойдет пробой или прорыв за пределы прямоугольника — примерно от 37,50 до 47 долларов.50 — интерпретация паттерна сомнительна.

Во-вторых, горизонтальные линии, проведенные на графике, обозначают значимые уровни поддержки и сопротивления. Значительная поддержка была впервые установлена ​​в сентябре, протестирована дважды в начале года и повторно протестирована в июне. При каждом тесте поддержки покупательский интерес вызывал достаточный рост акций.

Существенное сопротивление на уровне 47,50 доллара было сначала затронуто в августе, затем исследовано в октябре, апреле и июле. На каждом этапе продавцы превосходили покупателей, и акции падали.Колебания между значительной поддержкой и сопротивлением создают форму прямоугольника.

Последнее наблюдение — наклон 30-недельной скользящей средней. Из всех скользящих средних это лучше всего описывает тренд. Он связан с прямоугольником, показывая боковой характер формации. В восходящем или нисходящем тренде 30-недельная MA будет наклоняться вверх или вниз, а не вбок. Обратите внимание, как на ранних стадиях графика он поднимался выше, имитируя восходящий тренд. Позже он сгладился и начал наклоняться в сторону, показывая длительную консолидацию.

Торговля прямоугольником

Ниже приведены две основные стратегии торговли прямоугольником:

• Первый — покупка на уровне поддержки и продажа на уровне сопротивления (можно также продать короткую продажу на уровне сопротивления и закрыть короткую продажу на уровне поддержки). Чтобы снизить риск, в случае, если акция прорвется от поддержки, можно использовать очень близкий стоп примерно на 3%. Например, если кто-то купил ImClone по цене 37,50 доллара, стоп-лосс будет на 3% ниже, чем 37,50 доллара или 1,12 доллара. Трейдер закроет позицию, если цена акции упадет до 36 долларов.38 (37,50–1,12 доллара).
• Другой метод торговли прямоугольником — это дождаться прорыва. Как и в случае со всеми техническими моделями, в идеале этот прорыв должен происходить на объеме выше нормы. Чтобы знать, когда следует рассмотреть возможность выхода из сделки, трейдер может использовать принцип измерения, описанный ниже. (Подробнее об объеме см. В статье Измерение поддержки и сопротивления с ценой по объему .)

Принцип измерения

Принцип измерения позволяет установить конкретную минимальную целевую цену.Такая цель должна дать вам объективность для удержания в периоды незначительного движения против тренда.

Принцип измерения работает с любым четко определенным паттерном технического анализа, таким как прямоугольник или треугольник. Чтобы рассчитать минимальную цель, сначала установите высоту шаблона. В случае систем ImClone на рис. 3 показаны следующие расчеты:

Сверху:	$ 47,50
снизу:	37 долларов.50
Высота:	10,00 баллов

Рисунок 3

Для бычьего прорыва, как только высота модели будет установлена, добавьте разницу к уровню прорыва. Поскольку уровень прорыва составляет 47,50 долларов, а высота — 10 пунктов, минимальная цель — 57,50 долларов. Конечно, достижение цели может занять некоторое время, поэтому трейдеру нужно набраться терпения. Кроме того, принцип измерения является утверждением вероятности, а не гарантией.Трейдер будет внимательно следить за технической картиной акции, несмотря на цель. (Подробнее читайте в Анатомия торговых прорывов .)

Как разрешился прямоугольник в IMCL? Bristol Myers Squibb предложила 60 долларов за акцию, чтобы приобрести 83% ImClone, которыми она еще не владела. Акционеры, которые видели, что их акции никуда не делись в течение года и видели, что акции закрылись на уровне 46,44 доллара, проснулись на следующее утро и обнаружили, что их акции открылись на уровне 64,16 доллара, что значительно превышает минимальную цель, установленную принципом измерения.Те, кто торговал прямоугольником, в данном случае оказались не «квадратными».

Заключение

Таким образом, прямоугольник — это классический образец технического анализа, ограниченный значительными уровнями поддержки и сопротивления и описываемый горизонтальными линиями тренда. По паттерну можно торговать, покупая на уровне поддержки и продавая на уровне сопротивления или покупая на прорыве и используя принцип измерения для установки цели.

Калькулятор гидравлического радиуса

| Смачиваемый периметр

Уравнение гидравлического радиуса для прямоугольного, трапецеидального и треугольного канала

Этот гидравлический вычислитель радиуса можно использовать для каналов различной формы, включая прямоугольники, трапеции и треугольники.Давайте проанализируем их более подробно, чтобы выяснить, какие уравнения гидравлического радиуса можно использовать в каждом случае.

1. Канал прямоугольный

В случае прямоугольного канала формулы очень просты. Гидравлический радиус просто равен площади прямоугольника, деленной на смоченный периметр, как объяснено в первом примере:

R = A / P = (b * y) / (b + y + y) = (b * y) / (b + 2y)

Вот и все — вы можете использовать эту формулу, чтобы найти гидравлический радиус прямоугольного открытого канала.

2. Канал трапециевидный

Формулы для гидравлического радиуса трапециевидного канала немного сложнее. Для начала вспомним формулу площади трапеции:

A = y * (B + b) / 2

Мы можем упростить эту формулу, используя значение наклона z , определяемое как усиление ширины канала на каждую единицу его глубины (градиент непараллельных сторон трапазоида). Подобно правилу треугольника, увеличение ширины на одной стороне трапеции составляет zy , и, следовательно, B = b + 2zy .Затем

A = by + y²z

Смачиваемый периметр равен b и длинам двух наклонных сторон канала. Используя теорему Пифагора, находим:

P = b + 2 * y * √ (1 + z²)

Отсюда можно сделать вывод, что:

R = A / P = (by + y²z) / [b + 2 * y * √ (1 + z²)]

3. Канал треугольный

Мы можем записать площадь треугольника двумя способами: одним способом, использующим стороны треугольника, и другим, который использует наклон, z :

A = B * y / 2 = y²z

Смоченный периметр треугольника аналогичен периметру трапеции, но на этот раз суммируем только наклонные стороны канала:

P = 2 * y * √ (1 + z²)

Наконец, мы приходим к уравнению гидравлического радиуса треугольника:

R = A / P = y²z / [2 * y * √ (1 + z²)] = yz / [2 * √ (1 + z²)]

.