Юмор за день и сестра
1.
Новость: пермскому стрелку ампутировали ногу
комментарий: теперь ему точно не уйти от правосудия
2.
— Папа, ты узнал результат ДНК теста?
— Да, сестрёнка)))
3.
Здравствуйте! Ваш звонок очень важен для нас. Вам ответит первый ОСВОБОДИВШИЙСЯ депутат. Среднее время ожидания… 6,5 лет с конфискацией.
4.
Самое ценное, что я сорок с лишним лет тому назад вынес из университета — это свидетельство о браке.
5.
Новое издание «Анны Карениной» Толстого вышло с подзаголовком: «Не смотревшим сериал — спойлеры внутри!»
6.
Беседуют двое приятелей:
— У моей жены нет никаких способностей.
— А с моей хуже, она на все способна…
7.
Подкаблучник это когда на работе ты робот-полицейский, а дома — робот-пылесос.
8.
Обычно болеешь одной болезнью, а лечат от той, которую хорошо знает доктор.
9.
Девушка сказала, что я у нее первый.
Но шрам от кесарева как-то напрягал…
10.
— Видел твоё селфи! Обалдеть: ты в клетке с тиграми! Фотошоп, или действительно идиот?
11.
— Видел твоё селфи! Обалдеть: ты в клетке с тиграми! Фотошоп, или действительно идиот?
12.
— Кто знает, какие успокоительные лекарства принимает медведь, в мультике про Машу? Я тоже такие хочу…
13.
Прикиньте! За две недели до защиты диплома выходит из строя жёсткий диск. В облаке ничего не сохранял. И это ещё хорошо, что я не начал писать диплом!
14.
Несмотря на стрельбу, профессор продолжил лекцию. И оно понятно: выстрел — не звонок, а звонка не было, так что, идем дальше.
15.
Пусть лучше в парламенте будет партия зеленых, чем голубых.
16.
— На моей работе нет места страху. Если проявишь страх — все, ты мертв!
— А кем вы работаете?
— Воспитательницей в детском саду.
17.
— В эту долбаную пандемию резко сократилась прибыль — моя деятельность основана на прямом контакте с людьми.
— А чем именно вы занимаетесь?
— Попрошайничеством.
18.
— Мам, мне холодно.
— Встань в угол, там 90 градусов.
19.
Чтобы женщину оценили — ей и в горящую избу, и коня на скаку…
Хорошо нам мужикам: вымыл посуду — и герой!
Подъем ног в положении лежа. Изучаем все тонкости и секреты.
И, как ни странно, но это опять мы, приветствуем!Сегодня про подъем ног в положении лежа.
На календаре среда 16 ноября, а это значит — время технической заметки на Азбука Бодибилдинга. По прочтении Вы узнаете все о мышечном атласе, преимуществах и технике выполнения упражнения, также мы выясним степень его эффективности и целесообразности включения в свою прессную программу тренировок.
Итак, занимайте свои места, мы начинаем.
Подъем ног в положении лежа. Что, к чему и почему?
Почему-то в головах у людей так сложилось, что если хочется что-то изменить в своей фигуре, то первым делом следует бежать в тренажерный зал и покупать абонемент (причем часто полугодовой или годовой). Придя в зал, человек первым делом начинает искать понятные ему снаряды и тренажеры. И на первый план тут выходят гантели и штанги, а также скамьи для жима и пресса. Причем зачастую на последней конструкции, римский стул, зависают достаточно серьезно, долбя пресс до потери пульса. В таких случаях сразу хочется задать вопрос: “Какого хрена ты пришел в зал?…зачем выполнять в зале те упражнения, которые можно выполнить дома?».
Согласитесь, довольно нерационально прийти в фитнес-центр, отдать деньги за абонемент (или даже разовое занятие) и большую часть времени посвятить прессным упражнениям. Почему? Да потому, что большинство из них можно выполнять в домашних условиях. Какие? — спросите Вы. И я Вам отвечу: например, подъем ног в положении лежа, о котором мы и поговорим далее по тексту.
Примечание:
Для лучшего усвоения материала все дальнейшее повествование будет разбито на подглавы.
Мышечный атлас
Упражнение относится к классу изолирующих с типом силы pull (тянуть) и имеет своей основной целью проработку мышц “нижнего” пресса.
Мышечный ансамбль включает в себя следующие единицы:
- таргетируемая – подвздошно-поясничная;
- синергисты – тензор широкой фасции, портняжная, гребенчатая, прямая мышца бедра, длинная/короткая приводящие;
- динамические стабилизаторы – бицепс бедра, икроножные;
- стабилизаторы – прямая и косые мышца живота, квадрицепс.
Полный мышечный атлас представляет собой такую картину.
Преимущества
Выполняя упражнение подъем ног в положении лежа, Вы вправе рассчитывать на получение следующих преимуществ:
- изоляционная проработка “нижнего” пресса;
- развитие силы мышц абдоминального региона;
- развитие силы сгибателей бедра;
- улучшение подвижности тазобедренного сустава;
- улучшение баланса и повышение стабильности;
- поддержка и укрепление мышц низа спины;
- массаж органов брюшной полости.
Техника выполнения
Подъем ног в положении лежа относится к упражнениям начального уровня сложности. Пошаговая техника выполнения выглядит следующим образом.
Шаг №0.
Постелите коврик и лягте спиной на пол полностью вытянув ноги пред собой. Положите руки ладонями вниз под ягодицы. Это Ваша исходная позиция.
Шаг №1.
Вдохните и на выдохе поднимите прямые (сомкнутые друг с другом) ноги вверх до угла
В картинном варианте все это безобразие выглядит следующим образом.
В движении так…
Вариации
Помимо классического варианта существует несколько вариаций упражнения, в частности:
- лежа на скамье;
- поочередные подъемы ног;
- одновременные подъемы рук и ног;
- подъемы ног и рук с гантелями в руках;
- подъем фитбола ногами.
Секреты и тонкости
Чтобы выжать максимум из упражнения, придерживайтесь следующих рекомендаций:
- следите за тем, чтобы на протяжении всего движения, ноги оставались сомкнутыми и прямыми;
- не допускайте опускания ног на пол (касания);
- в верхней точке траектории задержитесь на 1-2 счета и только потом возвращайтесь в ИП;
- медленно и подконтрольно опускайте ноги вниз и быстрее вверх;
- если Вам удобно, то располагайте руки под ягодицами или фиксируйте их рядом по бокам;
- если используете вариант лежа на скамье, то следите за тем, чтобы копчик лежал на ней, а ноги свисали;
- не используйте упражнение, если у Вас есть грыжа поясничного отдела;
- техника дыхания: выдох – на усилие/подъем ног вверх, вдох – на опускание вниз;
- численные параметры тренировки: количество подходов 3-4, повторений 20.
С теоретической стороной закончили, теперь давайте разберем некоторые практические моменты.
Подъем ног в положении лежа – эффективное упражнение?
Об эффективности того или иного упражнения нам позволяет судить метод оценки электрической активности мышц. Данные по ЭМГ (исследование ресурса t-nation, 2016, США) применительно к поиску лучших упражнений на пресс, говорят (для региона нижний отдел прямой мышцы живота) следующее:
- подъем прямых ног в висе на перекладине – 124;
- подъем прямых ног в положении лежа на скамье – 120;
- ролик для пресса – 103;
- скручивания с весом лежа на фитболе – 102;
- классические скручивания с весом лежа на полу – 55,3.
Данные говорят о том, что подъем ног в положении лежа весьма эффективное упражнение для нарабатывания “нижних кубиков”, кроме того оно отлично нагружает подвздошно-поясничную мышцу, которой атлеты совсем не уделяют внимания.
Лучше тренировать пресс дома или в зале?
Однозначного ответа тут дать нельзя, ибо все зависит от конкретной программы тренировки. В качестве руководства по принятию решения можно использовать следующее правило. Если Вы занимаетесь по сплит-системе (разделение мышечных групп по дням), то тренировку пресса целесообразно проводить в дни мелких мышечных групп (руки, плечи) или в день спины. Если Вы прорабатываете за тренировку все тело, то можете вынести пресс домашним факультативом и не тратить на него время в зале. В любом случае помните, что если время тренировки поджимает, то на пресс всегда можно “забить” и “отбить” его дома.
Собственно, с сутевой частью закончили, переходим к…
Послесловие
Подъем ног в положении лежа – очередное упражнение, которое мы разобрали в техническом цикле статей. Если Вы до сего момента использовали в зале только прессные машинки и конструкции, то самое время попробовать что-то новое. Попробуете, а?
Скачать статью в pdf>>
PS: а у Вас есть любимые упражнения на пресс, какие?
PPS: помог проект? Тогда оставьте ссылку на него в статусе своей социальной сети — плюс 100 очков к карме гарантировано :).
С уважением и признательностью, Протасов Дмитрий.
Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.
Болезненная стройность: что такое скрытое ожирение
Что такое скрытое ожирение, кому оно грозит, как его выявить и, главное, как его вылечить? Давайте разбираться.
Ожирение под прикрытием«До недавнего времени показателем здорового или нездорового веса считался индекс массы тела (ИМТ), который рассчитывается по специальной формуле: если его показатели соответствуют норме, значит масса тела человека считается здоровой, — говорит терапевт Наталья Деменко. –
Так, в ходе наблюдений и детальных обследований «подозрительных» пациентов выяснилось, что, несмотря на их стройность, процент жира в их организме таки превышал норму: мышечная масса была значительно ниже нормы, а жировая – зашкаливала. При чем львиная доля жира приходилась именно на висцеральный – именно этот внутренний жир и несет больше всего угрозы здоровью, поскольку обволакивает органы брюшной полости и способствует выработке гормонов, негативно влияющих на обменные процессы в организме.
ИМТ = вес пациента в килограммах / (рост в метра * рост в метрах)
Например: 70 кг / (1.7м*1,7м) =24,3 – полученное число и означает ИМТ человека, по которому определяет норма или отклонения в весе.
Расшифровка результатов:
- Ниже 18,5 – недостаточная масса тела;
- 18,5 – 24,9 – здоровый индекс массы тела;
- 25-29,9 – избыточная масса тела;
- 30-34,9 – ожирение первой степени;
- 35-39,9 – ожирение второй степени;
- 40 и выше – морбидное или тяжелое ожирение.
Главная причина – малоподвижность
Причин для развития именно скрытого ожирения достаточно много, однако основная – это малоподвижный образ жизни. Дело в том, что образование избытка висцерального жира часто начинается на фоне недостаточной мышечной массы, что является прямым следствием малоподвижного образа жизни. Выходит, что вес человека в целом соответствует норме, но при этом в организме нарушен баланс «мышцы-жир».
Если же недостаточная физическая активность подкреплена еще и неправильными питанием (перекусы на ходу, фастфуды, частое употребление жирных и жареных блюд, снэков, нарушение баланса БЖУ (белки, жиры и углеводы) и т.д.), недостатком сна и постоянными стрессами, то проблема долго ждать себя не заставит.
«При этом главная коварность скрытого ожирения состоит в том, что пациент может даже не догадываться о нем, а значит и ничего не предпринимать: если у человека есть лишний вес, он четко осознает, с чем ему нужно бороться, чтобы почувствовать себя лучше, а люди с нормальным ИМТ долго не видят отклонений от нормы – вес в порядке, значит все хорошо», — отметила эксперт.
Диагностика: вооружаемся линейкой и весамиПросто «на глаз» диагностировать скрытое ожирение не всегда сможет даже опытный врач, тем более, что сбить с толку может и различия в конституции тела пациентов (у кого-то фигура «яблоко», у кого-то «треугольник» или «прямоугольник», а кто-то от природы – «песочные часы»). Потому, дабы определить наличие или отсутствие повода для беспокойства, нужно вооружиться вспомогательными средствами.
Способ первый. Самый простой, при этом не самый надежный способ диагностики (опять же, из-за различий в типе фигуры) – измерение окружности талии. Итак, при помощи сантиметровой ленты замерьте свои объемы и сверьте результат: у женщин показатели не должны превышать 88 сантиметров, у мужчин – 102 см. Все что выше считается отклонением от нормы.
Способ второй. Более надежный, чем предыдущий. Для его проведения понадобится линейка (а лучше штангенциркуль, если таковой имеется на хозяйстве), с помощью которой вы замерите толщину складки на животе. Итак, двумя пальца захватите кожу в области живота в районе пупка и «зажмите» ее у основания. Замерьте толщину (не длину от кончика и до торса, не ширину от края до края) этой складки: норма у мужчин – до 1-2 см, у женщин – до 2-4 см, все, что выше, требует внимания к своему здоровью и образу жизни.
Способ третий. Взвесьтесь на смарт-весах. Современные умные гаджеты при помощи импульсного сканирования тела просчитают процент общего и висцерального жира, мышц, воды и других показателей в вашем организме, и выведут на экран подключенного к ним смартфона вердикт.
Способ четвертый. Рентгенография, на которую вас может направить ваш терапевт, семейный врач или диетолог, также способна диагностировать скрытое ожирение. Такой способ диагностики поможет определить количество жира в организме, а также предоставит картину о состоянии плотности костной ткани пациента.
Способ пятый. Самым надежным методом диагностики скрытого ожирения считается биоимпендансный анализ (цена в Киеве – от 160 грн). Он основан на сканировании тела при помощи специальных приборов и датчиков (чаще крепятся к кистям и стопам), посылающих импульсы, благодаря чему оценивается электрическое сопротивление тела. Благодаря этому можно рассчитать объем жира, воды, мышечной ткани, содержащейся в организме.
Для излечения добавьте активностиИзбавиться от скрытого ожирения можно только комплексным подходом. Во-первых, начните, наконец, высыпаться (спать по 7-8 часов) и учитесь справляться со стрессами (работа с психологом, медитация, рисование, складывание пазлов и т.д. вам в помощь). Во-вторых, меняйте свой привычный рацион в пользу здорового – замените жирное мясо (свинину, баранину) более легкими продуктами (курицей, кроликом, индейкой, рыбой или морепродуктами), измените способ готовки (вместо обжарки – гриль, паровая обработка, запекание или варка).
Ну и самое главное – начинайте вести активный образ жизни: больше ходите пешком, делайте физкульт-перерывы на работе и регулярно (хотя бы трижды в неделю, а лучше – пять раз) занимайтесь спортом.
Например, попробуйте выполнять дома небольшой комплекс упражнений для тренировки всего тела, который поможет укрепить и нарастить мышцы, благодаря чему лишний жир будет просто «таять». Для начала попробуйте выполнить 2-3 круга упражнений, позже, когда тело окрепнет – 5-7.
Упражнение №1Встаньте в планку на прямых руках, руки разведите чуть шире плеч (пальцы поставьте широко «веером», для лучшего баланса), ноги на ширине плеч, упор в ладони и пальцы ног. Одновременно поднимите правую руку и левую ногу так, чтобы они образовали параллель полу, задержитесь на две секунды, вернитесь в исходное положение (ИП), повторите на другу сторону. При этом тело должно быть постоянно напряжено. Выполните по 10-15 повторений на каждую сторону.
Упражнение №2Лягте на живот, руки вытянуты перед собой, ноги – на ширине плеч, носки натянуты, все мышцы напряжены. Одновременно поднимите максимально высоко левую ногу и правую руку, прогибаясь в спине. Задержитесь в крайней точке на 2 секунды и вернитесь в ИП. Повторите на другу сторону. Выполните по 10-15 повторений.
Упражнение №3Лягте на спину, поднимите руки и ноги под углом 90 градусов по отношению к торсу (перпендикулярно полу), ноги согните в коленях так, чтобы голени были параллельны полу, все мышцы напряжены. Одновременно выпрямите и опустите вниз правую ногу и отведите назад за голову левую руку так, чтобы они были максимально низко, но не касались пола. Задержитесь так на 2-3 секунды, вернитесь в ИП и повторите на другу сторону. Сделайте по 15-20 повторений.
Упражнение №4Сядьте на пол, отведите корпус немного назад так, чтобы получился угол приблизительно в 45 градусов, упор – на прямые руки. Это и есть ИП. За счет силы мышц пресса, ягодиц и бедер выпрямите и поднимите тело максимально вверх (тянитесь животом к потолку), задержитесь в верхней точке на 2-3 секунды, затем опуститесь в исходное положение. Сделайте 10-15 повторений.
Материал опубликован в газете «Вести» от 22 сентября №172. Полный выпуск газеты «Вести» вы можете приобрести в местах распространения прессы или оформить онлайн-подписку.
тригонометрия — Как будет выглядеть треугольник для греха 90 градусов
Хотя идея измерения синуса прямого угла с помощью вырожденного треугольника (гипотенуза, совпадающая с противоположным катетом, и основание нулевой длины) может быть интуитивно понятной для некоторых, не все находят ее удовлетворительной, как вы можете видеть из другого. ответы.
А как насчет синуса и косинуса углов между 90 и 180 градусами? Они нужны нам для того, чтобы применить закон синусов и закон косинусов к тупой вершине тупого треугольника.
В самом деле, продолжая заниматься математикой, вы, возможно, сочтете желательным найти синусы и косинусы углов, превышающих 180 долларов, и даже «углов», превышающих 360 долларов.
Математики решают эту проблему в определениях тригонометрических функций, расширяя определения функций синуса и косинуса так, чтобы они заботились о входных значениях любого размера. Расширения согласуются с определениями противоположных соседних гипотенуз для углов, которые больше нуля, но меньше прямого угла, и они сохраняют полезные свойства, такие как формулы суммы углов и формулы разности углов для входных значений вне этого диапазона.Некоторые из этих расширенных определений перечислены в ответах на предыдущий вопрос: Сколько способов определить синус и косинус?
Мое любимое расширенное определение для использования на уровне математики, где вы только начинаете выходить за рамки элементарного определения прямоугольного треугольника, — это определение единичного круга. Мы заметили, что если вы разместите прямоугольный треугольник с гипотенузой единичной длины на декартовой плоскости так, чтобы один катет находился на положительной оси $ x $, а один конец гипотенузы находился в начале координат, $ (0,0) , $ координаты $ (x, y) $ другого конца гипотенузы — это косинус и синус (соответственно) угла в начале координат.Если затем мы возьмем последовательность таких треугольников с увеличивающимися углами в начале координат, другой конец гипотенузы проведет точки вдоль окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Идея определения единичного круга состоит в том, что вы используете координаты $ (x, y) $ этих точек как определение косинуса и синуса, и чтобы найти косинус и синус, равный 90 градусам или большим углам, вы просто продолжаете идти по единичной окружности. Если вы примете это как определение, в синусе 90 градусов нет ничего двусмысленного или даже особенного, за исключением, возможно, того, что его значение необычно легко найти.
Прямой треугольник | Математика ∞ Блог
Триггер прямоугольного треугольника
Решение прямоугольных треугольников возможно с помощью тригонометрии, если известны две стороны или два угла и сторона. Прямой угол будет 90 градусов, поэтому всегда есть хотя бы один угол, который уже известен. Когда человеку нужно определить все стороны и углы треугольника, есть несколько формул, которые он может использовать в зависимости от информации в задаче.
Зная два угла и одну сторону, решите треугольник
Прямой угол всегда 90 градусов.Если известен другой угол, легко найти измерение третьего угла. Просто вычтите второй угол из 90 градусов, чтобы получить третий угол. Например, если второй угол равен 32, три угла треугольника будут 90, 32 и 58.
Когда одна сторона известна, можно определить оставшиеся стороны по определенной формуле. Неизвестная сторона, разделенная известным знаком, будет грехом угла поперек неизвестной стороны. Например, угол A равен 38 градусам, а сторона b равна 10.2. Три стороны решения этого уравнения равны 10, 6,16 и 11,75
.Знание двух сторон
Когда известны две стороны, третью можно найти с помощью теоремы Пифагора, как показано выше. После этого важно определить углы. Один из углов будет составлять 90 градусов, поэтому нужно еще два. В следующем примере предположим, что угол C равен 90. Стороны равны a = 10, b = 6 и c = 8. Чтобы найти второй угол, используйте cos A = 6/10 (8 и 10 — это стороны, соединенные с углом).Это означает, что cos A = 0,6, но необходим угол. Используйте трехзначную тригонометрическую таблицу, чтобы определить угол для A, который составляет 37 градусов.
Как только второй угол известен, третий можно определить путем вычитания второго из 90. В этом примере второй угол будет 53.
Решение прямоугольного треугольника стало проще, потому что один из углов всегда известен. Пока известны второй угол и сторона или две стороны, можно решить все углы и стороны.В более сложных задачах знание угла за пределами треугольника может помочь человеку решить все углы внутри него. Практика помогает запомнить, какие формулы необходимы для решения того, что нужно человеку, а учащемуся научиться легко пользоваться трехзначной тригонометрической таблицей. Попробуйте решить несколько задач сегодня, чтобы немного попрактиковаться в решении всех частей этих треугольников.
30 60 90 Правые треугольники
Треугольник особого вида
Прямоугольный треугольник 30-60-90 (буквально произносится как «тридцать шестьдесят девяносто») — это особый тип прямоугольного треугольника, в котором три угла составляют 30 градусов, 60 градусов и 90 градусов.Треугольник важен, потому что стороны существуют в легко запоминающемся соотношении: 1: \ (\ sqrt {3} \): 2. Иными словами, гипотенуза в два раза длиннее более короткого отрезка, а более длинное отрезок представляет собой квадратный корень из 3-кратного более короткого отрезка. Вы также можете вспомнить его как «корни X, 2X и X из 3», как я его помню, но тогда вы должны помнить, что на самом деле самая длинная сторона — это 2X, а не корни X из 3.
Какая сторона какая? Сторона, противоположная углу 30 градусов, будет иметь наименьшую длину.Сторона, противоположная углу 60 градусов, будет в \ (\ sqrt {3} \) раз длиннее, а сторона, противоположная углу 90 градусов, будет вдвое длиннее. Треугольник ниже показывает эту взаимосвязь. Помните, что самая длинная сторона будет напротив самого большого угла, а самая короткая — напротив самого маленького угла.
Мы можем использовать соотношение между углами и сторонами треугольника 30-60-90, чтобы найти недостающие углы или длины сторон. Взгляните на этот пример:
Пример 1
Для треугольника 30-60-90 ниже найдите длины недостающих сторон:
Поскольку это прямоугольный треугольник 30-60-90, мы знаем, что стороны существуют в пропорции 1: \ (\ sqrt {3} \): 2.Самая короткая сторона, 1, находится напротив угла 30 градусов. Поскольку сторона X противоположна углу в 60 градусов, мы знаем, что он равен \ (1 * \ sqrt {3} \), или примерно 1,73. Наконец, сторона Y противоположна прямому углу, и это в два раза короче сторона, или 2.
Откуда взялась формула?
Это еще одна выдуманная математическая формула? Нет! Это просто приложение базовой тригонометрии. В приведенном выше примере мы могли бы взять синус крайнего левого угла: sin (30) = 1/2.Поскольку синус дает нам отношение противоположности к гипотенузе, мы бы знали, что гипотенуза должна быть 2. По сути, вся причина, по которой треугольник 30-60-90 легко решить, заключается в том, что синус и косинус этих углов равны . тоже очень просто.
Пример 2
Используйте те же принципы для поиска неизвестных переменных X и Y.
Известная сторона — 4, и это самая длинная сторона. Помните, как длинная сторона в два раза длиннее самой короткой стороны для треугольника 30-60-90? Это означает, что Y должно быть 2!
Теперь мы можем найти оставшуюся сторону.Поскольку сторона , противоположная углу в 60 градусов, равна более короткой стороне, умноженной на квадратный корень из 3 , мы можем вычислить, что X равно \ (2 * \ sqrt {3} \).
Сводка
Для прямоугольного треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов стороны будут иметь длину в соотношении 1: \ (\ sqrt {3} \): 2, как показано на этой диаграмме:
Дополнительная справка
Как всегда, вы можете задать свои конкретные вопросы на нашей доске сообщений справки по математике, выполнить поиск в Google или пройти этот урок по 30-60-90 треугольникам или этот.Или, чтобы вычислить стороны и углы треугольника, используйте интерактивный инструмент ниже:
Простое руководство к треугольнику 30-60-90
Острый, тупой, равнобедренный, равносторонний… Когда дело доходит до треугольников, существует множество различных разновидностей, но лишь немногие из них являются «особенными». У этих специальных треугольников есть стороны и углы, которые согласованы и предсказуемы, и их можно использовать, чтобы сократить ваш путь через геометрические или тригонометрические задачи. И треугольник 30-60-90 — произносится как «тридцать шестьдесят девяносто» — действительно оказывается очень особенным типом треугольника.
В этом руководстве мы расскажем, что такое треугольник 30-60-90, почему он работает и когда (и как) использовать свои знания о нем. Итак, приступим!
Что такое треугольник 30-60-90?
Треугольник 30-60-90 — это специальный прямоугольный треугольник (прямоугольный треугольник — это любой треугольник, имеющий угол 90 градусов), который всегда имеет углы градусов 30, 60 и 90 градусов. Поскольку это особый треугольник, у него также есть значения длины стороны, которые всегда находятся в постоянном соотношении друг с другом.
Базовое соотношение треугольника 30-60-90:
Сторона, противоположная углу 30 °: $ x
Сторона, противоположная углу 60 °: $ x * √3 $
Сторона, противоположная углу 90 °: 2 доллара x
доллара США.Например, треугольник 30-60-90 градусов может иметь длину стороны:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
(Почему более длинная часть 3? В этом треугольнике самая короткая часть ($ x $) равна $ √3 $, поэтому для более длинной ветви $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $.А гипотенуза — это 2 кратчайшего отрезка, или 2√3 $)
И так далее.
Сторона, противоположная углу 30 °, всегда является наименьшим , потому что 30 ° — наименьший угол. Сторона, противоположная углу 60 °, будет средней длиной , потому что 60 градусов — это средний угол в этом треугольнике. И, наконец, сторона, противоположная углу 90 °, всегда будет самой большой стороной (гипотенуза) , потому что 90 градусов — это наибольший угол.
Хотя он может выглядеть аналогично другим типам прямоугольных треугольников, причина того, что треугольник 30-60-90 настолько особенный, заключается в том, что вам нужно всего три части информации, чтобы найти любое другое измерение. Пока вы знаете значение двух угловых мер и длины одной стороны (не имеет значения, с какой стороны), вы знаете все, что вам нужно знать о своем треугольнике.
Например, мы можем использовать формулу треугольника 30-60-90, чтобы заполнить все оставшиеся информационные поля треугольников ниже.
Пример 1
Мы видим, что это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза в два раза длиннее одного из катетов. Это означает, что это должен быть треугольник 30-60-90, а меньшая заданная сторона противоположна 30 °.
Следовательно, более длинная полка должна располагаться напротив угла 60 ° и иметь размер 6 * √3 $ или 6√3 $.
Пример 2
Мы видим, что это должен быть треугольник 30-60-90, потому что мы видим, что это прямоугольный треугольник с одним заданным размером 30 °.Тогда немаркированный угол должен составлять 60 °.
Поскольку 18 — это мера, противоположная углу 60 °, она должна быть равна $ x√3 $. Тогда самая короткая ветка должна иметь размер 18 долл. США / √3 долл. США.
(обратите внимание, что длина отрезка на самом деле будет $ 18 / {√3} * {√3} / {√3} = {18√3} / 3 = 6√3 $, потому что знаменатель не может содержать радикал / квадратный корень) .
А гипотенуза будет $ 2 (18 / √3) $
(Обратите внимание, что, опять же, у вас не может быть радикала в знаменателе, поэтому окончательный ответ будет в два раза больше длины ноги $ 6√3 $ => $ 12√3 $).
Пример 3
Опять же, нам даны два измерения угла (90 ° и 60 °), поэтому третье измерение будет 30 °. Поскольку это треугольник 30-60-90, а гипотенуза равна 30, самый короткий отрезок будет равен 15, а более длинный отрезок будет равен 15√3.
Не нужно обращаться к волшебному шару восьмерки — эти правила работают всегда.
Почему это работает: 30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике
Но почему этот специальный треугольник работает именно так? Как мы узнаем, что эти правила законны? Давайте подробно рассмотрим, как работает теорема треугольника 30-60-90, и докажем, почему эти длины сторон всегда будут согласованными.
Во-первых, давайте на секунду забудем о прямоугольных треугольниках и посмотрим на равносторонний треугольник .
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и углы равны. Поскольку внутренние углы треугольника всегда составляют в сумме 180 ° и $ 180/3 = 60 $, равносторонний треугольник всегда будет иметь три угла по 60 °.
Теперь давайте опустим высоту от самого верхнего угла до основания треугольника.
Теперь у нас созданы два прямых угла и два конгруэнтных (равных) треугольника.
Откуда мы знаем, что это равные треугольники? Поскольку мы сбросили высоту из равностороннего треугольника , мы разделили основание ровно пополам. Новые треугольники также имеют одну длину стороны (высоту), и каждый из них имеет одинаковую длину гипотенузы. Поскольку у них три общих длины стороны (SSS), это означает, что треугольников совпадают.
Примечание: два треугольника совпадают не только на основе принципов длины стороны-стороны или SSS, но также на основе измерений стороны-угла-стороны (SAS), угла-угла-стороны (AAS) и угла. -угловой (ASA).По сути? Они определенно совпадают.
Теперь, когда мы доказали конгруэнтность двух новых треугольников, мы можем видеть, что каждый из верхних углов должен быть равен 30 градусам (потому что каждый треугольник уже имеет углы 90 ° и 60 ° и в сумме должно составлять 180 °). . Это означает, что мы сделали два треугольника 30-60-90.
И поскольку мы знаем, что мы разрезаем основание равностороннего треугольника пополам, мы можем видеть, что сторона, противоположная углу 30 ° (самая короткая сторона) каждого из наших треугольников 30-60-90, составляет ровно половину длины треугольника. гипотенуза.2} / 4
долл. США$ b = {√3x} / 2 $
Итак, у нас осталось: $ x / 2, {x√3} / 2, x $
Теперь давайте умножим каждую меру на 2, просто чтобы облегчить жизнь и избежать всех дробей. Таким образом, у нас осталось:
$ x $, $ x√3 $, 2x $
Таким образом, мы можем видеть, что треугольник 30-60-90 всегда будет иметь одинаковые длины сторон $ x $, $ x√3 $ и $ 2x $ (или $ x / 2 $, $ {√3x } / 2 $ и $ x $).
К счастью для нас, мы можем доказать, что правила треугольника 30-60-90 верны без всего…это.
Когда использовать правила треугольника 30-60-90
Знание правил треугольника 30-60-90 поможет сэкономить время и силы при решении множества различных математических задач, а именно, большого разнообразия задач по геометрии и тригонометрии.
Геометрия
Правильное понимание треугольников 30-60-90 позволит вам решать вопросы геометрии, которые либо невозможно решить, не зная этих правил соотношения, либо, по крайней мере, потребуется значительное время и усилия для решения «долгого пути».«
С помощью специальных соотношений треугольников вы можете вычислить недостающие высоты или длины участков треугольника (без использования теоремы Пифагора), найти площадь треугольника, используя недостающую информацию о высоте или базовой длине, и быстро вычислить периметры.
Каждый раз, когда вам нужна скорость, чтобы ответить на вопрос, вам пригодятся такие ярлыки, как правила 30-60-90.
Тригонометрия
Запоминание и понимание соотношения треугольников 30-60-90 также позволит вам решать многие тригонометрические задачи без использования калькулятора или необходимости приближать ваши ответы в десятичной форме.
Треугольник 30-60-90 имеет довольно простые синусы, косинусы и тангенсы для каждого угла (и эти измерения всегда будут согласованы).
Синус 30 ° всегда будет $ 1/2 $.
Косинус 60 ° всегда будет $ 1/2 $.
Хотя другие синусы, косинусы и касательные довольно просты, их легче всего запомнить, и они, вероятно, обнаружатся на тестах. Таким образом, знание этих правил позволит вам как можно быстрее найти эти тригонометрические измерения.
Советы по запоминанию правил 30-60-90
Вы знаете, что эти правила соотношения 30-60-90 полезны, но как вы удерживаете информацию в своей голове? Чтобы помнить правила треугольника 30-60-90, нужно помнить о соотношении 1: √3: 2 и знать, что длина самой короткой стороны всегда противоположна самому короткому углу (30 °), а длина самой длинной стороны всегда противоположна наибольший угол (90 °).
Некоторые люди запоминают соотношение, думая: « $ \ bi x $, $ \ bo 2 \ bi x $, $ \ bi x \ bo √ \ bo3 $, », потому что последовательность «1, 2, 3» обычно легко запомнить. Единственная мера предосторожности при использовании этого метода — помнить, что самая длинная сторона на самом деле — это $ 2x $, , а не , $ x $ умноженное на $ √3 $.
Другой способ запомнить ваши отношения — это использовать мнемоническую игру слов на соотношении 1: корень 3: 2 в их правильном порядке. Например, «Джеки Митчелл выбил Лу Герига и« выиграл и Рути тоже »»: один, корень три, два. (И это, кстати, реальный факт из истории бейсбола!)
Поиграйте со своими собственными мнемоническими устройствами, если они вам не нравятся — спойте отношение к песне, найдите свои собственные фразы «один, корень три, два» или придумайте стихотворение о соотношении.Вы даже можете просто запомнить, что треугольник 30-60-90 — это половина равносторонней стороны, и вычислить оттуда размеры, если вам не нравится их запоминать.
Тем не менее, для вас имеет смысл запомнить эти правила 30-60-90, держать их в уме для будущих вопросов по геометрии и тригонометрии.
Запоминание — ваш друг, однако вы можете сделать это возможным.
Ваша школа сообщает ваш средний балл как взвешенный или невзвешенный? Каким будет ваш средний балл, с учетом 4.Шкала 0, 5.0 или 6.0? Воспользуйтесь нашим инструментом, чтобы рассчитать свой невзвешенный и взвешенный средний балл успеваемости, чтобы выяснить, как вы соотноситесь с другими поступающими в колледж. Вы также получите наш собственный расчет среднего балла среднего балла колледжа и советы о том, где можно улучшить, чтобы стать лучшим поступающим в колледж.
Пример 30-60-90 Вопросы
Теперь, когда мы рассмотрели «как» и «почему» 30-60-90 треугольников, давайте поработаем над некоторыми практическими задачами.
Геометрия
Строитель прислоняет 40-футовую лестницу к стене здания под углом 30 градусов от земли.Земля ровная, а сторона здания перпендикулярна земле. Как далеко вверх по зданию до ближайшего подножия ведет лестница?
Не зная наших специальных правил треугольника 30-60-90, нам пришлось бы использовать тригонометрию и калькулятор, чтобы найти решение этой проблемы, поскольку у нас есть только одно измерение стороны треугольника. Но поскольку мы знаем, что это особый треугольник , мы можем найти ответ за считанные секунды.
Если здание и земля перпендикулярны друг другу, это должно означать, что здание и земля образуют прямой (90 °) угол.Также известно, что лестница встречается с землей под углом 30 °. Таким образом, мы можем видеть, что оставшийся угол должен составлять 60 °, что составляет треугольник 30-60-90.
Теперь мы знаем, что гипотенуза (самая длинная сторона) этого 30-60-90 составляет 40 футов, что означает, что самая короткая сторона будет вдвое меньше. (Помните, что самая длинная сторона всегда вдвое длиннее — $ 2x $ — самой короткой стороны.) Поскольку самая короткая сторона находится напротив угла 30 °, и этот угол является мерой лестницы от земли в градусах, это означает, что верхняя часть лестницы ударяется о здание на высоте 20 футов от земли.
Наш окончательный ответ — 20 футов.
Тригонометрия
Если в прямоугольном треугольнике sin Θ = $ 1/2 $, а длина самого короткого участка равна 8. Какова длина недостающей стороны, НЕ являющейся гипотенузой?
Так как вы знаете свои правила 30-60-90, вы можете решить эту проблему без использования теоремы Пифагора или калькулятора.
Нам сказали, что это прямоугольный треугольник, и мы знаем из наших специальных правил прямоугольного треугольника, что синус 30 ° = $ 1/2 $.Следовательно, недостающий угол должен составлять 60 градусов, что делает треугольник 30-60-90.
И поскольку это треугольник 30-60-90, и нам сказали, что самая короткая сторона равна 8, гипотенуза должна быть равна 16, а недостающая сторона должна быть $ 8 * √3 $ или 8√3 $.
Наш окончательный ответ — 8√3.
Рекомендации
Запоминание правил для треугольников 30-60-90 поможет вам сократить свой путь через множество математических задач .Но имейте в виду, что, хотя знание этих правил — удобный инструмент, который нужно держать на поясе, вы все равно можете решить большинство проблем без них.
Следите за правилами $ x $, $ x√3 $, $ 2x $ и 30-60-90 любым понятным для вас образом и старайтесь придерживаться их, если можете, но не паникуйте, если вы ум исчезает, когда наступает время кризиса. В любом случае, у вас есть это.
И, если вам нужно больше практики, попробуйте эту викторину с треугольником 30-60-90. Удачной сдачи теста!
градусов и радиан — объяснение и примеры
Как и любая другая величина, у углов также есть единицы измерения. Радианы и Градусы — две основные единицы измерения углов . Существуют и другие единицы измерения углов (например, град и MRAD ), но в средней школе вы увидите только эти две единицы.
Что такое градусы и радианы?
Самая популярная единица измерения углов, с которой знакомо большинство людей, — это градус ( ° ). Единицы градуса — минуты и секунды. Есть 360 градусов, 180 градусов для полукруга (полукруга) и 90 градусов для четверти круга (прямоугольный треугольник) в полном круге или одном полном вращении.
Градусы в основном указывают направление и размер угла . Лицом к северу означает, что вы смотрите в направлении 0 градусов. Если вы повернете на юг, вы окажетесь лицом к лицу в направлении 90 градусов. Если вы вернетесь на север после полного поворота, вы повернетесь на 360 градусов. Обычно положительным считается направление против часовой стрелки. Если повернуть на запад с севера, угол будет либо -90 градусов, либо +270 градусов.
В геометрии есть еще одна единица измерения углов, известная как рад, ( рад, ).
Итак, зачем нам радианы, когда мы уже привыкли к углам?
Большинство математических вычислений связаны с числами. Поскольку градусы на самом деле не являются числами, предпочтительнее использовать радианы, которые часто требуются для решения проблем.
Хороший пример , который похож на эту концепцию, использует десятичные дроби, когда у нас есть проценты . Хотя процент может быть показан с помощью числа, за которым следует знак%, мы преобразуем его в десятичную дробь (или дробь).
Концепция нахождения угла по длине дуги использовалась давно. Радиан был введен намного позже. Роджер Котес дал понятие радиан в 1714 году, но не дал ему такого названия, а просто назвал его круговой мерой угла.
Термин « радиан, » впервые был использован в 1873 году. Это название впоследствии привлекло всеобщее внимание и получило разрешение.
Из этой статьи вы узнаете, как преобразовать градусы в радианы и наоборот (радианы в градусы).Давайте взглянем.
Как перевести градусы в радианы?
Чтобы преобразовать градусы в радианы, мы умножаем заданный угол (в градусах) на π / 180.
Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (Рад)
Где π = 22/7 или 3,14
Пример 1
Преобразование следующих углов из градусов в радианы
- 0 °
- 30 °
- 45 °
- 60 °
- 90 °
- 120 °
- 150 °
- 180 °
- 210 °
- 240 °
- 360 ° 9482
Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (рад)
1.0 ° x π / 180
= 0 Rad
2. 30 ° x π / 180
= π / 6
= 0,5 Rad
3. 45 ° x π / 180
= π / 4
= 0,785 рад
4. 60 ° x π / 180
= π / 3
= 1,047 рад
5. 90 ° x π / 180
= π / 2
= 1,571рад
6. 120 ° x π / 180
= 2π / 3
= 2,094 Rad
7. 150 ° x π / 180
= 5π / 6
= 2,618 Rad
8. 180 ° x π / 180
= π
= 3.14 Rad
9. 210 ° x π / 180
= 7π / 6
= 3.665 Rad
10. 240 ° x π / 180
= 3π / 2
= 4.189 Rad
11. 360 ° x π / 180
= 2π
= 6,283 Rad
Пример 2
Преобразование 700 градусов в радианы.
Решение
Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (Rad)
Путем замены,
Угол в радианах (Rad) = 700 x π / 180.
= 35 π / 9
= 12,21 рад.
Пример 3
Преобразовать — 300 ° в радианы.
Раствор
Угол в радианах = -300 ° x π / 180.
= — 5π / 3
= — 5,23 Rad
Пример 4
Преобразовать — 270 ° в радианы.
Решение
Угол в радианах = -270 ° x π / 180.
= — 3π / 2
= -4,71 Рад.
Пример 5
Преобразуйте 43 градуса, 6 минут и 9 секунд в радианы.
Solution
Первый экспресс 43 градуса, 6 минут и 9 секунд только до градусов.
43 ° 6 ′ 9 ″ = 43,1025 °
43,1025 ° x π / 180 = угол в радианах
= 0,752 рад.
Пример 6
Преобразовать 102 ° 45 ’54 ″ в радианы.
Раствор
102 ° 45 ′ 54 ″ равно 102,765 °
Угол в радианах = 102,765 ° x π / 180.
= 1,793 Рад.
Как преобразовать радианы в градусы?
Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте радиан на 180 / π.Таким образом, формула имеет вид,
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
Пример 7
Преобразуйте каждый из следующих углов в радианах в градусы.
- 1,46
- 11π / 6
- π / 12
- 3,491
- 7,854
- -8,14
- π / 180
Решение
Угол в радианах, x
- 46 x 180 / π
= 83.69 градусов.
- 11π / 6 x 180 / π
= 330 градусов.
- π / 12 x 180 / π
= 15 градусов.
- 491 x 180 / π
= 200,1 градуса
- 854 x 180 / π
= 450,2 градуса.
- -8,14 x 180 / π
= — 466,6 градуса.
- π / 180 x 180 / π
= 1 градус.
Пример 8
Преобразуйте угол π /5 радиан в градусы.
Решение
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
Путем замены
π /5 x 180 / π = 36 градусов.
Пример 9
Преобразование угла — π /8 радиан в градусы
Решение
-π /8 x 180 / π = — 22,5 градуса.
Пример 10
Радиус куска пиццы составляет 9 см.Если периметр куска составляет 36,850 см, найдите угол куска пиццы в радианах и градусах.
Решение
Пусть длина дуги детали = x
Периметр = 9 + 9 + x
36,850 см = 18 + x
Вычтите 18 с обеих сторон.
18,85 = x
Итак, длина дуги детали составляет 18,85 см.
Но, длина дуги = θr
Где θ = угол в радианах, а r = радиус.
18,85 см = 9 θ
Разделите обе стороны на 9
θ = 2.09 Rad
θ в градусах:
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
= 2,09 x 180 / π
= 120 градусов.
Пример 11
Радиус сектора 3 м, а его площадь 3π / 4 м 2 . Найдите центральный угол сектора в градусах и радианах.
Решение
Учитывая, что
Площадь сектора = (r 2 θ) / 2
Где θ = центральный угол в радианах.
Заменитель.
3π / 4 = (3 2 θ) / 2
3π / 4 = 9θ / 2
Перекрестное умножение.
6 π = 36 θ
Разделим обе части на 36, чтобы получить
θ = 0,52 рад.
Преобразует угол в градусы.
= 0,52 x 180 / π
= 29,8 градуса.
Пример 12
Найдите центральный угол сектора с радиусом 56 см и площадью 144 см 2 .
Раствор
A = (θ / 360) πr 2
144 = (θ / 360) x 3.14 x 56 x 56.
144 = 27,353 θ
Разделите обе стороны на θ.
θ = 5,26
Таким образом, центральный угол составляет 5,26 градуса.
Пример 13
Площадь сектора 625 мм 2 . Если радиус сектора равен 18 мм, найдите центральный угол сектора в радианах.
Решение
Площадь сектора = (θ r 2 ) / 2
625 = 18 x 18 x θ / 2
625 = 162 θ
Разделите обе стороны на 162.
θ = 3,86 радиана.
Практические вопросы
- Преобразование 330 ° в радианы.
- Преобразовать -750 ° в радианы
- Преобразовать каждый из следующих углов в радианах в градусы:
a. 21π / 5
б. -15π / 2
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокКалькулятор опорного угла | Pi Day
Чтобы использовать калькулятор опорного угла , , просто введите любой угол в поле угла, чтобы найти его опорный угол, который является острым углом, который соответствует введенному углу.Калькулятор автоматически применяет правила, которые мы рассмотрим ниже.
Что такое референтный угол?Представьте себе координатную плоскость. Допустим, мы хотим нарисовать на нашей плоскости угол 144 °. Мы начинаем с правой стороны оси x, где на часах три часа. Мы вращаемся против часовой стрелки, начиная с движения вверх. Мы продолжаем проходить точку 90 ° (верхняя часть оси Y), пока не дойдем до 144 °. Мы проводим луч от начала координат, которое является центром плоскости, к этой точке.Теперь у нас есть луч, который мы называем конечной стороной. Но нам нужно нарисовать еще один луч, чтобы получился угол. На данный момент у нас есть выбор. Наш второй луч должен быть на оси x. Если мы проведем его от начала координат вправо, мы получим угол 144 °. Если мы проведем его влево, мы получим угол, равный 36 °. Этот второй угол является опорным. Это всегда меньший из двух углов, всегда будет меньше или равен 90 °, и он всегда будет положительным.Вот анимация, которая показывает исходный угол для четырех разных углов, каждый из которых находится в разных квадрантах. Обратите внимание, как второй луч всегда находится на оси x.
Чем полезен опорный угол?Опорный угол всегда имеет те же значения триггерной функции, что и исходный угол. Обратите внимание, что слово там означает . Знак может быть другим, но значение всегда будет. Это полезно для обычных углов, таких как 45 ° и 60 °, с которыми мы будем сталкиваться снова и снова.Как только мы знаем их значения синуса, косинуса и тангенса, мы также знаем значения для любого угла, опорный угол которого также составляет 45 ° или 60 °. Что касается знака, помните, что синус положителен в 1-м и 2-м квадрантах, а косинус положителен в 1-м и 4-м квадрантах.
Как найти исходный угол без калькулятора?Способ определения опорного угла зависит от квадранта стороны вывода.
Когда сторона вывода находится в первом квадранте (углы от 0 ° до 90 °), наш опорный угол совпадает с нашим заданным углом.Это имеет смысл, поскольку все углы в первом квадранте меньше 90 °. Итак, если наш заданный угол равен 33 °, то его опорный угол также равен 33 °.
Когда сторона вывода находится во втором квадранте (углы от 90 ° до 180 °), наш опорный угол равен 180 ° минус наш заданный угол. Итак, если наш заданный угол равен 110 °, то его опорный угол будет 180 ° — 110 ° = 70 °.
Когда сторона вывода находится в третьем квадранте (углы от 180 ° до 270 °), нашим опорным углом является заданный нами угол минус 180 °.Итак, если наш заданный угол равен 214 °, то его опорный угол составляет 214 ° — 180 ° = 34 °.
Когда сторона вывода находится в четвертом квадранте (углы от 270 ° до 360 °), наш опорный угол равен 360 ° минус наш заданный угол. Итак, если наш заданный угол равен 332 °, то его опорный угол составляет 360 ° — 332 ° = 28 °.
Что делать, если наш угол больше 360 °?Если угол больше 360 °, это означает, что он полностью повернулся вокруг координатной плоскости и продолжил движение.Чтобы найти его опорный угол, нам сначала нужно найти соответствующий ему угол между 0 ° и 360 °. Это легко сделать. Мы просто продолжаем вычитать из него 360, пока он не станет ниже 360. Например, если наш угол равен 544 °, мы вычтем из него 360 °, чтобы получить 184 ° (544 ° — 360 ° = 184 °). Теперь мы заметим, что он находится в третьем квадранте, поэтому мы вычли из него 180 °, чтобы найти, что наш опорный угол равен 4 °.
Что делать, если наш угол отрицательный?Когда угол отрицательный, мы перемещаемся в другом направлении, чтобы найти нашу конечную сторону.Это означает, что при рисовании мы движемся по часовой стрелке, а не против часовой стрелки. Или мы можем вычислить это, просто добавив к 360 °. Например, если наш заданный угол равен –110 °, то мы должны добавить его к 360 °, чтобы найти положительный угол 250 ° (–110 ° + 360 ° = 250 °). Теперь нам нужно увидеть, что мы находимся в третьем квадранте, и применить это правило, чтобы найти наш опорный угол (250 ° — 180 ° = 70 °).
Этот калькулятор может быстро найти опорный угол, но в крайнем случае помните, что быстрый набросок может помочь вам запомнить правила вычисления опорного угла в каждом квадранте.
Учебное пособие по физике: критический угол
В предыдущей части Урока 3 было рассказано о явлении полного внутреннего отражения. Полное внутреннее отражение (TIR) - это явление, при котором весь падающий свет отражается от границы. МДП имеет место только при соблюдении обоих следующих двух условий:
- световой луч находится в более плотной среде и приближается к менее плотной среде.
- угол падения светового луча больше, чем так называемый критический угол.
Во введении к МДП мы использовали пример движения света через воду к границе с менее плотным материалом, таким как воздух. Когда угол падения в воду достигает определенного критического значения, преломленный луч проходит вдоль границы, имея угол преломления 90 градусов. Этот угол падения известен как критический угол; это наибольший угол падения, при котором рефракция все еще возможна. При любом угле падения, превышающем критический, свет будет подвергаться полному внутреннему отражению.
Расчет критического углаТаким образом, критический угол определяется как угол падения, обеспечивающий угол преломления 90 градусов. Обратите особое внимание на то, что критический угол — это значение угла падения. Для границы вода-воздух критический угол составляет 48,6 градуса. Для границы между стеклом и водой критический угол составляет 61,0 градуса. Фактическое значение критического угла зависит от комбинации материалов, присутствующих на каждой стороне границы.
Рассмотрим две разные среды — творчески названные среда i (падающая среда) и среда r (преломляющая среда). Критический угол равен Θ i , что дает значение Θ r , равное 90 градусам. Если эту информацию подставить в уравнение закона Снеллиуса, можно получить общее уравнение для прогнозирования критического угла. Вывод показан ниже.
n i * • синус (Θ i ) = n r • синус (Θ r )n i • синус (Θ крит ) = n r • синус (90 градусов)
n i • синус (Θ крит ) = n r
синус (Θ крит ) = n r / n i
Θ крит = синус -1 (n r / n i ) = invsine (n r / n i )
Критический угол можно вычислить, взяв обратный синус отношения показателей преломления.Отношение n r / n i меньше 1,0. Фактически, чтобы уравнение даже дало правильный ответ, отношение n r / n i должно быть меньше 1,0. Поскольку ПВО возникает только в том случае, если преломляющая среда менее плотная, чем падающая среда, значение n i должно быть больше, чем значение n r . Если в любой момент значения числителя и знаменателя случайно поменяются местами, значение критического угла не может быть вычислено.Математически это потребует нахождения обратного синуса числа больше 1,00, что невозможно. Физически это потребует нахождения критического угла для ситуации, когда свет проходит из менее плотной среды в более плотную среду, что, опять же, невозможно.
Это уравнение для критического угла можно использовать для прогнозирования критического угла для любой границы при условии, что известны показатели преломления двух материалов с каждой стороны границы.Примеры его использования показаны ниже:
Решение проблемы включает использование приведенного выше уравнения для критического угла.
Θcrit = sin -1 (n r / n i ) = invsine (n r / n i )Θcrit = sin -1 (1.000 / 1.52) = 41,1 градуса
Θcrit = sin -1 (n r / n i ) = invsine (n r / n i )
Решение проблемы включает использование приведенного выше уравнения для критического угла.Θcrit = sin -1 (1.000 / 2.42) = 24,4 градуса
МДП и блеск алмазовУсловно говоря, критический угол границы между алмазом и воздухом очень мал. Из всех возможных комбинаций материалов, которые могут взаимодействовать друг с другом, образуя границу, комбинация алмаза и воздуха обеспечивает одно из самых больших различий в значениях показателя преломления.Это означает, что будет очень маленькое отношение n r / n i и, следовательно, небольшой критический угол. Эта особенность границы алмаз-воздух играет важную роль в сиянии бриллиантового драгоценного камня. Имея небольшой критический угол, свет имеет тенденцию «застревать» внутри алмаза, как только он попадает в него. Луч света обычно несколько раз проходит ПВО, прежде чем окончательно преломиться из алмаза. Поскольку граница между алмазом и воздухом имеет такой малый критический угол (из-за большого показателя преломления алмаза), большинство лучей приближаются к алмазу под углами падения, превышающими критический угол.Это придает бриллианту склонность к сверканию. Эффект может быть усилен огранкой алмазного камня стратегически продуманной формы. На диаграмме ниже показано полное внутреннее отражение в алмазном камне как стратегической, так и нестратегической огранки.
Практика ведет к совершенству!Используйте виджет Find the Critical Angle ниже, чтобы исследовать влияние показателей преломления на критический угол.Просто введите показатель преломления; затем нажмите кнопку Рассчитать , чтобы просмотреть результат. Используйте виджет как инструмент практики.
Проверьте свое понимание1. Предположим, что угол падения лазерного луча в воде по направлению к воздуху установлен на 50 градусов. Использовать закон Снеллиуса для расчета угла преломления? Объясните свой результат (или его отсутствие).
2.Аарон Агин пытается определить критический угол поверхности алмазного стекла. Он ищет значения показателя преломления алмаза (2,42) и коронного стекла (1,52), а затем пытается вычислить критический угол, взяв
invsine (2.42 / 1.52).К сожалению, калькулятор Аарона продолжает говорить ему, что у него ОШИБКА! Аарон ударяет по калькулятору и несколько раз бросает его на землю; Затем он повторяет расчет с тем же результатом. Затем он произносит что-то странное о пицце, которую он съел накануне вечером, и выбегает из библиотеки с разочарованным расположением.В чем проблема Аарона? (То есть в чем проблема с его методом вычисления критического угла?)
3. Вычислите критический угол для границы этанол-воздух. При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.
4. Вычислите критический угол для границы между кремневым стеклом и воздухом.При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.