Построение прямых углов на местности

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Начальные геометрические сведения
5. Построение прямых углов на местности

На практике часто приходится строить прямые углы на местности. Простейший прибор, который служит для этого, — это экер. Экер состоит из двух брусков расположенных под прямым углом, и закрепленных на треножнике (Рис. 1). На краях брусков вбивают гвозди так, что прямые, которые проходят через них перпендикулярны друг другу. Отвес служит для точной установки экера в нужное место на местности.

Пример: Чтобы построить прямой угол с заданной стороной ОА, треножник с экером устанавливают в том месте, где должна располагаться

вершина прямого угла (в нашем случае точка O), при этом экер должен быть в горизонтальной плоскости, а отвес, повешенный в точке пересечения перпендикулярных прямых, проходящих через гвозди, должен находиться точно над вершиной угла О. Затем необходимо установить один из брусков так, чтобы его направление совпадало с направлением заданной стороны (в нашем случае OA), совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, установленной в точке

А. Далее по направлению второго бруска провешивают прямую линию (в нашем случае ОВ). Получаем прямой угол АОВ  на местности (Рис.2).

Существуют и более совершенные приборы для построения прямых углов, так, например, в геодезии используют теодолит.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Как делать прямой угол. Прямой угол. Построение прямого угла

В школе мы несколько лет подряд прилежно изучаем геометрию. Но не зря ли мы тратим время? Чем может помочь геометрия в жизни? Измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только? Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.

Вешаем зеркало

Вы решили повесить в прихожей зеркало. Тут же возникает вопрос: какой минимальной высоты должно быть зеркало, чтобы человек среднего роста мог видеть себя в нём целиком? И ещё: имеет ли при этом значение размер помещения, где будет висеть зеркало? Решение. Предмет и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала. Построим в нём изображение человека (рис. 1): АВ — человек, А 1 В 1 — его изображение, точка С — глаз, DE — зеркало. Из рисунка видно, что минимальная высота зеркала приблизительно равна половине роста человека, считая от уровня глаз. При этом высота Е нижнего края зеркала от пола должна быть вдвое меньше расстояния от пола до глаз. Легко понять, что, на каком бы расстоянии от такого зеркала ни находился человек, он сможет увидеть себя в нём с головы до ног, значит, размер помещения значения не имеет.

Завариваем чай

Перед вами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости (рис. 2). В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше? Решение. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере (S = d 2).

Выдерживаем прямые углы

Если вы решили склеить коробку, сделать шкатулку или выложить плитку, важно, чтобы все детали были точными прямоугольниками или квадратами. В противном случае всё пойдёт наперекосяк. Как проверить, имеет ли деталь нужную «геометрию»? Решение. Чтобы проверить, у всех ли деталей, с которыми вы работаете, прямые углы и одинаковые линейные размеры, можно использовать строи-тельный угольник (рис. 3), а можно применить знания по геометрии. Убедитесь в том, что противоположные стороны четырёхугольника равны и при этом диагонали тоже имеют одинаковую длину. Как вы и сами знаете, сделать это можно с помощью линейки. Но вот вопрос: обязательно ли проверять и стороны и диагонали? Геометрия утверждает, что да! Например, на рис. 4 диагонали в четырёхугольнике слева равны, но очевидно, что его углы совсем не прямые. А в четырёхугольнике справа противоположные стороны равны, но это тоже не прямоугольник. Для проверки прямоугольности геометрия ещё советует убедиться в равенстве всех четырёх отрезков, на которые разбиваются диагонали в точке их пересечения.

Строим прямой угол на земле

Известен старинный способ постро-ения прямого угла на поверхности земли. Его использовали ещё древние египтяне. Они строили прямой угол с помощью обычной верёвки, на которой через равные расстояния завязаны тринадцать узелков. Чтобы отрезки на верёвке были одинаковые, узелки завязывали вокруг колышков, вбитых в землю на равном расстоянии друг от друга. В чём состоит этот «верёвочный» способ?

Решение. В древности при закладке храма такую верёвку с узелками использовали для определения направлений его стен. Концы верёвки на месте крайних узелков связывали, а затем натягивали её на три колышка так, как показано на рис. 5. Стороны при этом имели соотношение 3:4:5. В таком треугольнике один из углов получается прямым. Впоследствии этот факт был доказан в теореме Пифагора. Поэтому первых геометров называли ещё «натягивателями верёвок». Нужно отметить, что таким способом построения прямого угла на местности пользуются и сегодня, например при закладке фундамента небольшого строения.

Проверяем перпендикулярность стен

Как проверить, перпендикулярны ли друг другу соседние стены в комнате, воспользовавшись верёвкой с узелками из предыдущей задачи? Решение. Если предположить, что стены в комнате вертикальны, а пол горизонтален, то проверку проводят так. От точки на полу в углу между стенами откладывают отрезки длиной 3 и 4 единицы (рис. 6). Если стены перпендикулярны, то расстояние между концами отрезков будет равно 5 единицам, так как построенный тре-угольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный.

Отмеряем нужный объём

Часто в рецептуре того или иного блюда требуется взять четверть (или половину) стакана жидкости, муки либо какого-либо другого продукта. Как отмерить такой объём с наибольшей точностью, не прибегая к дополнительным измерительным средствам? Решение. Воспользуемся стаканом цилиндрической формы — это важно для точности измерений. Чтобы отмерить четверть стакана жидкости, надо из наполненного стакана вылить столько, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла половину дна (рис. 7). Она займёт примерно четверть объёма стакана-цилиндра. Аналогично поступаем, если надо отмерить половину стакана. Наклоняем стакан так, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла всё дно (рис. 8). А можно ли геометрическим способом узнать объём бутылки? Конечно! Для этого надо заполнить бутылку водой чуть меньше чем наполовину (рис. 9, слева) и измерить объём воды, умножив площадь дна бутылки на высоту налитой в неё воды (напомним, что объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту). Затем нужно перевернуть бутылку горлышком вниз так, чтобы вода не вытекла, и измерить объём верхней цилиндрической части бутылки, оставшейся пустой (рис. 9, справа). Полный объём бутылки равен сумме найденных объёмов. Для точности можно учесть толщину стенок бутылки.

Укрепляем калитку

Прямоугольная калитка (рис. 10, слева) со временем расшатывается и становится похожей на параллело-грамм. Этого можно избежать, прибив к ней ещё одну планку. Только надо знать, как это сделать.

Решение. Выбор такого положения планки, как показано на рис. 10, справа, основан на свойстве жёсткости треугольника. Оно гласит: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. Планка и есть гипотенуза такого треугольника.

Выбираем табурет

Если вы решили предыдущую задачу, то без труда определите, на какой табурет (рис. 11) можно сесть без риска оказаться на полу. Решение. Безопасный табурет изображён на правой картинке, так как его сиденье и ножки образуют треугольник.

Исправляем ошибку кроя

Предположим, вам нужно вырезать для аппликации два разносторонних треугольника из цветной бумаги — «левый» и «правый». Вы случайно вырезали их одинаковыми — оба «левые». Можно ли, не используя новый кусок бумаги, исправить ошибку? Решение. Для исправления ошибки вы можете разрезать один из треугольников, например так, как показано на рис. 12, а затем сложить из него нужный треугольник.

Находим середину

Как без всяких измерений найти середину негнущегося прута, доски или металлического стержня? Решение. Можно отмерить размеры стержня на шнуре, затем сложить его пополам и отложить полученную длину. А можно воспользоваться геометрическим построением середины отрезка с помощью циркуля и линейки, если, конечно, размеры позволяют это сделать. Ещё более рациональное решение даёт физика. Середину однородного стержня легко найти, используя понятие центра тяжести (рис. 13).

Общие правила для любого фундамента

Выбираем точку отсчета. Первую сторону нашего фундамента нужно привязать к какому-нибудь объекту нашего участка.

Пример. Сделаем так, чтобы наш фундамент (дом) был параллелен одной из сторон забора. Следовательно, первую бечевку натягиваем равноудалено от этой стороны забора на нужное нам расстояние.

Построение прямого угла (90⁰). В качестве примера будем рассматривать прямоугольный фундамент, в котором все углы максимально близки к 90⁰.

Существует несколько способов как это сделать. Мы рассмотрим 2 основных. © www.сайт

Способ 1. Правило золотого треугольника

Для построения прямого угла будем применять теорему Пифагора.

Чтобы не углубляться в геометрию попробуем описать проще. Чтобы между двумя отрезками a и b сделать угол в 90⁰ нужно сложить длины этих отрезков и вывести корень из этой суммы. Получившиеся число будет являться длинной нашей диагонали соединяющей наши отрезки. Очень просто расчет сделать с помощью калькулятора.

Обычно при разметке фундамента берут размеры сторон, чтобы при выведении из корня получалось целое число. Пример: 3х4х5; 6х8х10.

Если у вас есть рулетка, то в целом проблем не возникнет, если вы будете брать отрезки отличные от общеиспользуемых. Например: 3х3х4,24; 2х2х2,83; 4х6х7,21

Если измерения мы производили в метрах, то значения получаются очень даже понятными: 4м24см; 2м83см; 7м21см.

Калькулятор

Также стоит отметить, что измерения можно производить в любых системах измерения длины главное использовать известное нам соотношение сторон: 3х4х5 метра, 3х4х5 сантиметра и т.п. То есть, если даже у вас нет инструмента для измерения длины, то можно взять, например, рейку (длина рейки не имеет значения) и померить ей (3 рейки х 4 рейки х 5 реек).

Теперь давайте посмотрим как это применить на практике.

Инструкция по разметке прямоугольного фундамента

Способ 1. Правила золотого треугольника (т.Пифагора)

Рассмотрим на примере построение прямоугольного фундамента с размерами 6х8м с помощью золотого треугольника (т.Пифагора).

1. Размечаем первую сторону фундамента. Это самая простая часть в построении нашего прямоугольника. Главное, что нужно помнить. Если хотим чтобы наш фундамент (дом) был параллелен одной из сторон забора либо другого объекта на участке или за его пределами, то первую линию нашего фундамента делаем равноудаленной от выбранного нами объекта. Данную процедуру мы описывали выше. Для размещения первой бечевки можно использовать колушки, прочно закрепленные в грунте, но в идеальном варианте для данной цели использовать обноску. Ее и будем использовать. Расстояние между обносками для данной стороны сделаем 14м: между обносками и будущими углами по 3м и 8м под фундамент.

2. Натягиваем вторую бечевку максимально перпендикулярно первой. Идеально перпендикулярно на практике натянуть сложно, поэтому на рисунке мы также отобразили ее не много отклоненной.

3. Скрепляем обе бечевки в точке пересечения. Скрепить можно скобкой либо скотчем. Главное чтобы надежно.

4. Приступаем к формированию прямого угла с применением теоремы Пифагора. Будем строить прямоугольный треугольник с катетами 3 на 4 метра и гипотенузой 5 метров. Для начала отмеряем на первой бечевке 4 метра от места пересечения бечевок, а на второй 3 метра. Ставим отметки на шнурке с помощью скотча (прищепка и т.п.).

5. Соединяем рулеткой обе отметки. Один конец рулетки фиксируем у отметки в 4 метра и ведем в сторону отметки в 3 метра на другой бечевке.

6. Если у нас прямоугольный треугольник, то обе отметки должны сойтись при расстоянии в 5 метров. В нашем случае отметки не сошлись. Поэтому перемещаем бечевку в нашем случае вправо до того момента когда отметка на 3 м совпадет с делением рулетки на 5 м.

7. В итоге у нас получился прямоугольный треугольник с углом в 90⁰ между двумя бечевками.

8. Больше отметки нам не нужны и их можно убрать.

9. Приступаем к построению прямоугольника. Отмеряем на обеих бечевках длины сторон нашего фундамента 6 и 8 метров соответственно. Ставим отметки на бечевках.

10. Натягиваем третью бечевку максимально перпендикулярно к первой бечевке. Скрепляем обе бечевки на отметке в 8 м.

11. Натягиваем четвертую бечевку максимально перпендикулярно ко второй бечевке. Скрепляем обе бечевки на отметки в 6 метров.

12. Делаем отметки на третьей бечевке 6 метров и на четвертой 8 метров.

13. Чтобы получить четырехугольник с прямыми углами в нашем случае необходимо, чтобы обе отметки на третьей и четвертой бечевках совпали. Для этого перемещаем обе бечевки до момента соединения отметок.

14. В итоге, если все правильно измерили, то у нас должен получиться правильный прямоугольник. Давайте проверим, получился ли он с помощью измерения диагоналей.

15. Измеряем длины диагоналей. Если они одинаковые, как в нашем случае, мы имеем правильный прямоугольник. Диагонали имеют одинаковую длину и в равнобедренной трапеции. Но у нас известен один угол в 90⁰, а в равнобедренной трапеции таких углов нет.

16. Готовая разметка прямоугольного фундамента с применением теоремы Пифагора. © www.сайт

Способ 2. Паутина

Очень простой способ сделать разметку в виде прямоугольника с углами в 90⁰. Самое главное что нам понадобится — это бечевка, которая не растягивается, и точность ваших измерений с помощью рулетки.

1. Нарезаем куски бечевки, которые нам понадобятся для формирования разметки. В данном примере мы строим фундамент со сторонами 6 на 8 метров. Также для правильного построения прямоугольника нам понадобятся равные диагонали, которые для прямоугольника 6 на 8 метров будут равны 10 метрам (т.Пифагора описана выше). Также нужно взять запас длины бечевок на крепление.

2. Соединяем нашу «паутину» как на рисунке. Скрепляем стороны с диагоналями в 4 местах по углам. Сами диагонали в точке пересечения скреплять не нужно.

3. Натягиваем первую бечевку (точки 1,2). Крепить ее будем с помощью колышков. Главное чтобы колышки крепко держались в земле и при натяжении нашей конструкции их не увело. Этот важный момент нужно учесть.

4. Натягиваем угол 3. Главное условие чтобы бечевка 1-3 и диагональ 2-3 не провисали и были максимально натянуты. После фиксации с помощь колышка в точке 3 мы имеем угол в точке 1 в 90⁰.

5. Натягиваем угол 4 и устанавливаем колышек. Следим, чтобы бечевка в точках 2-4, 3-4 и диагональ 1-4 не провисали и были максимально натянуты.

6. Если соблюдены все условия, то в результате у нас должен получиться прямоугольник с углами максимально близкими 90⁰.

Разметка под фундамент дома

Делаем двухъярусную обноску. Нижний ярус – это уровень столбов.

Верхний ярус обноски – уровень ростверка.

Создаем прямоугольник для внешнего контура применяя т.Пифагора. Затем отступаем на величину, равную ширине ленты и делаем внутренний контур.

Самой простой способ разметки. Строим прямоугольник по размерам фундамента применяя теорему Пифагора для нахождения прямого угла. © www.сайт

От автора

В данной статье мы рассмотрели, как произвести разметку под фундамент своими руками с построением прямоугольника с углами в 90⁰. В целом ничего сложно в разметке нет. Цена вопроса – это стоимость бечевки, доски для обноски (эконом вариант — колышки) и умение пользоваться рулеткой.

Часто домашнему мастеру необходимо срочно произвести какое либо измерение или сделать разметку под определенным углом, а под рукой нет либо угольника, либо транспортира. В этом случае его выручат несколько простых правил.

Угол 90 градусов.

Если нужно срочно построить прямой угол, а угольника нет, можно воспользоваться любым печатным изданием. Угол бумажного листа — очень точный прямой угол (90 град.). Резательные (вырубочные) машины в типографиях настроены очень точно. Иначе исходный рулон бумаги начнет резаться вкривь и вкось. Поэтому вы можете быть уверены, что этот угол — именно прямой.

А если нет даже печатного издания или необходимо построить угол на местности, например при разметке фундамента или листа фанеры с неровными краями? В этом случае нам поможет правило золотого (или египетского) треугольника.

Золотым (или египетским, или Пифагоровым) треугольником называется треугольник со сторонами, которые соотносятся друг с другом как 5:4:3. По теореме Пифагора, у прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. 5х5 = 4х4 + 3х3. 25=16+9 и это неоспоримо.

Поэтому для построения прямого угла достаточно на заготовке провести прямую линию длиной 5 (10,15,20 и т.д. кратной 5 см). А затем, из краев этой линии начать отмерять с одной стороны 4 (8,12,16 и т.д кратно 4 см), а с другой — 3 (6,9,12,15 и т.д. кратно 3 см) расстояния. Должны получиться дуги с радиусом 4 и 3 см. Где эти дуги пересекутся между собой и будет прямой (90 градусов) угол.

Угол 45 градусов.

Такие углы обычно применяют при изготовлении прямоугольных рамок. Материал из которого делается рамка (багет) пилится под углом 45 градусов и стыкуется. Если под рукой нет стусла или транспортира, получить шаблон угла в 45 градусов можно следующим образом. Необходимо взять лист писчей бумаги или любого печатного издания и согнуть его так, что бы линия сгиба проходила точно через угол, а края загнутого листа совпадали. Получившийся угол и будет равен 45 градусам.

Угол 30 и 60 градусов.

Угол в 60 градусов требуется для построения равносторонних треугольников. Например, вам надо напилить такие треугольники для декоративных работ или точно установить силовой укос. Угол в 30 градусов редко применяется в чистом виде. Однако с его помощью (и с помощью угла в 90 градусов) строится угол 120 градусов. А это угол, необходимый для построения равносторонних шестиугольников, фигуры весьма популярной у столяров.

Для построения весьма точного шаблона этих углов в любой момент необходимо запомнить константу (число) 173. Они вытекает из соотношений синусов и косинусов этих углов.

Возьмите лист бумаги из любого печатного издания. Его угол равен точно 90 градусам. От угла по одной стороне отмерьте 100 мм (10 см.), а по другой — 173 мм (17,3 см). Соедините эти точки. Таким образом мы и получили шаблон, у которого один угол 90 градусов, один 30 градусов и один 60 градусов. Можете проверить на транспортире — все точно!

Запомните это число — 173, и вы всегда сможете построить углы в 30 и 60 градусов.

Прямоугольность заготовки.

При разметке заготовок или построений на деталях кроме самих углов весьма важно и их соотношение. Особенно это важно при изготовлении прямоугольных деталей или например при разметке фундамента, раскрое больших листов материала. Неправильное построение или разметка приносит впоследствии много лишней работы или к появлению большого числа отходов.

К сожалению, даже весьма точные разметочные инструменты, даже профессиональные, всегда имеют определенную погрешность.

Между тем, существует весьма простой метод определения прямоугольности детали или построения. В прямоугольнике диагонали абсолютно равны! Значит, после построения необходимо измерить длины диагоналей прямоугольника. Если они равны, все в порядке, это действительно прямоугольник. А если нет — вы построили параллелограмм или ромб. В этом случае следует немного «поиграть» смежными сторонами, что бы добиться точного (для данного случая) равенства диагоналей размечаемого прямоугольника.

Н ачиная изучение геометрии, на первом же уроке рассказывают, что геометрия с греческого переводится как измерение земли . А когда однажды приходится что-то строить или ремонтировать, и появляется необходимость мерить землю в прямом смысле этого слова, оказывается, что этого-то в школе и не преподавали! Потому что рисовать план дома на бумаге – это одно, а объяснять экскаваторщику, где и сколько копать, стоя на поросшем травой пустыре – совсем другое.

Но не святые горшки лепят, после изучения информации далее, вы сумеете и выполнить разбивку котлована будущего здания , и осуществить привязку к местности сооружения , существующего только на бумаге, определить высоты , построить горизонтальную линию , при этом используя самые простые инструменты.

Построение прямого угла на местности

Начнем с самого важного – построения прямого угла на местности. Сделать это несложно, а из инструментария нужна только десятиметровая рулетка, четыре колышка и моток капронового шнура.

Определяем линию, от которой будем строить прямой угол. К примеру, это стена будущего здания. Забиваем два колышка и натягиваем между ними шнур. Расстояние между колышками берем произвольное, но несколько больше четырех метров.

Колышек А будет вершиной нашего угла, а натянутый шнур – одной из сторон. Отмеряем от колышка А вдоль шнура четыре метра и забиваем колышек С .

Теперь нам понадобятся помощники. Один из них держит начало, или ноль, рулетки на колышке А , второй – на колышке С держит отметку 8 метров. Вы берете ленту рулетки на отметке 3 м и натягиваете ее так, чтобы образовался треугольник, одним из катетов которого будет натянутый шнур, вторым катетом – отрезок рулетки от ноля до трех, а гипотенузой – отрезок от трех до восьми метров. Рулетку стараемся держать ближе к поверхности земли – так, чтобы все отрезки по возможности лежали в одной плоскости.

И отрезок между нулем и тройкой (на рисунке синий цвет), и отрезок ленты между тройкой и восьмеркой метровыми отметками (красный) должны быть одинаково хорошо натянуты. Вбиваем колышек В точно в том месте, куда пришлась отметка три метра. Как это все выглядит, видно на рисунке.

Угол САВ будет равен 90 градусам, что и требовалось. Теперь, чтобы построить на местности любой прямоугольник, достаточно отложить длину и ширину на сторонах нашего угла, построить еще один прямой угол.

Оставляйте ваши советы и комментарии ниже. Подписывайтесь на новостную рассылку . Успехов вам, и добра вашей семье!

Прежде, чем узнать, как построить прямой угол, нужно вспомнить его определение. Прямым называется угол в девяносто градусов, образованный двумя перпендикулярными прямыми. Можно также сказать, что это половина развернутого угла. Существует несколько способов построения прямого угла.

Способы построения прямого угла

Самое простое – построение прямого угла при помощи чертежного угольника. Его прикладывают к бумаге и проводят линии вдоль перпендикулярных сторон: получается прямой угол.Также можно использовать транспортир. К проведенной карандашом линии приложить транспортир, отметить на бумаге угол девяносто градусов. Затем соединить линией (по линейке) эту отметку с линией на бумаге.

1. Существует метод построения прямого угла с помощью циркуля и линейки. Сначала нужно циркулем обрисовать окружность и начертить ее диаметр. Затем отметить на окружности произвольную точку и соединить ее с концами диаметра: получится треугольник, вписанный в окружность. Его угол (с вершиной в точке на окружности) будет прямым.
2. Второй способ – нарисовать две любые пересекающиеся окружности. Две точки пересечения соединить одной линией, другую – провести через центры окружностей. Два этих отрезка пересекутся под углом 90 градусов.
3. Если нет чертежных инструментов, можно воспользоваться любыми прямоугольными предметами. Это может быть лист картона, любая упаковка (от лекарства, пачка от сигарет, коробка конфет и т.д.), книжка, рамка для фото и др.

Построение прямых углов на местности

Вообще, построение прямых углов на местности необходимо в строительстве, при разделе участков земли и т.д. Для этого используются специальные приборы – экер, астролябия, теодолит. Но, вряд ли эти инструменты окажутся, к примеру, на дачном участке. Тогда можно воспользоваться методом, применяемым с давних времен. Понадобятся три колышка и веревки по 3, 4 и 5 метров. Воткнуть в землю колышек, к нему привязать веревки 3 и 4 метра, а к их концам – остальные колья. Последние два колышка соединить 5-метровой веревкой, натянуть получившийся треугольник, и забить эти колья в землю. Угол треугольника с первым колышком будет прямым.

Как видите, существует масса несложных способов построения прямого угла.

Феномен прямого угла и прямоугольности в геодезии Текст научной статьи по специальности «Биологические науки»

УДК 528 (091)

528 (092)

Г.Н. Тетерин, М.Л. Синянская СГГ А, Новосибирск

ФЕНОМЕН ПРЯМОГО УГЛА И ПРЯМОУГОЛЬНОСТИ В ГЕОДЕЗИИ

В статье рассматриваются роль и значение прямого угла и свойства прямоугольности в теории и практике геодезии, формирование и развитие геодезической технологии. Отмечается их историческая значимость.

G.N. Teterin, M.L. Sinyanskaya SSGA, Novosibirsk

THE PHENOMENON OF RIGHT ANGLE AND SQUARENESS IN GEODESY

The role and the significance of the right angle, the properties of the squareness in the theory and practice of geodesy as well as the formation and development of the geodetic technology are considered. Their historic significance is stated.

Около 10 тысячелетий назад человек перешел в строительстве жилищ от круглой формы к прямоугольной. Примерно в это же время (или чуть позднее) начали делить земельные угодья прямыми линиями с прямым углом между ними. Много ранее прямой угол люди стали использовать в организации окружающего пространства и ориентировке в нем. Все это возможно предопределило некую заданность развития геометрического и геодезического знания.

По крайней мере, это правомерно поскольку геодезия характеризуется как система знаний о геометрических построениях на земной поверхности.

Объяснение феномена раннего появления и использования прямого угла в деятельности людей лежит в сфере влияния внешней среды.

Это влияние в работе [1] выражено и сформировано в виде принципов влияния: принцип «Вертикаль-горизонталь» (ПВГ) и «Принцип четырех направлений» (П4Н). Они оказывали фундаментальное влияние на развитие геодезии в течение всей ее истории. Главной характеристикой и составной частью этих принципов является прямой угол.

Этот угол стал важнейшей характеристикой всей окружающей среды и всего пространства, как и два геометрических свойства —

перпендикулярность и параллельность. Но наиболее наглядно эти геометрические свойства выражены в фигуре человека.

В геометрии фигуры человека вполне четко и очевидно заложено шесть главных направлений, представленных стрелками на рис. 1. Ими в человека заложена пространственная система координат. Эта «система координат», заложенная в человека внешней средой («принципы влияния») и вся встроенная в него система прямых углов (условий перпендикулярности и параллельности) позволяет человеку не только отлично «строить» систему

ориентации в пространстве, но и «строить» простейшие геометрические фигуры на земле.

▲

Рис. 1. Геометрия фигуры человека

Роль прямого угла в жизни человека, общества, цивилизации огромна. Это предопределено всей физиологией человека, которая подчинена и устроена с учетом прямого угла. Все подвижные части человека в суставах имеют пределы движений в диапазоне одного или двух прямых углов. Вертикаль человека перпендикулярна разрезу глаз и линии плеч. Вся «геометрия» человека подчинена условиям перпендикулярности и параллельности — основному геометрическому свойству окружающего пространства. Эти соответствующие геометрические свойства человека определялись как основа гармонии, красоты, как основной закон и фундамент мироздания.

Как только человек начал создавать сложные механические системы (охотничий лук) и организовывать окружающее пространство, так прямой угол стал в некотором роде их сердцевиной. Первые отрасли (строительство и земледелие) в хозяйственной деятельности людей формировались изначально на использовании прямого угла. Вся искусственная, вторичная среда, созданная человеком, прямоугольна — прямолинейна, с соблюдением в ней условий параллельности и перпендикулярности. Реализация этих геометрических условий была возложена на человека.

В земледелии, в его организации (землеустройстве) геометрическую основу составляет межевание. В этой основе геометрический каркас создают прямые линии, прямые углы, соответствующие фигуры в виде квадрата и прямоугольника [1]. Правильная (геометрическая) система межевания земельных угодий берет свое начало в 3-ем тысячелетии до н.э. Но попытки деления угодий прямыми линиями на прямоугольные четырехугольники были много ранее- возможно в 5-6 тысячелетиях до н.э. Еще до изобретения специальных средств измерений (мерной веревки, землемерного креста)

человек мог построить на местности простейший квадрат, обходясь тем, «чем бог послал» ему в его фигуре [3].

В первых геометрических построениях на земле, которые необходимы были человеку и в которых прямой угол был важнейшей составляющей, реализация их происходила исходя из принципа «самодостаточности». Действительно, «выстроив» свое тело, его «геометрию» в нужном варианте (прямой взгляд, вытянутые в сторону руки) и продолжив линии рук и взгляда в пространстве и отметив эти линии на земле вешками (колышками), получали прямой угол в пространстве [3]. Естественно, его вершина находилась в точке стояния человека.

Далее нетрудно перейти к построению простейших фигур: квадрата, прямоугольного четырехугольника и треугольника путем отложения по полученным направлениям заданных отрезков с использованием пошаговой меры. Построение таких фигур при размежевании земель показано в работах [1,2,3]. Реализацию «геометрии» в строительстве и межевании осуществляли геодезисты, землемеры. Потребовалось создание соответствующих геометрических геодезических инструментов: мерной веревки, землемерного креста, ватерпаса, хорабаты и т.д. Геометрия в жизни человека есть условие его существования и процветания. Реализацию этого «геометрического» миропорядка осуществлял, в какой-то мере, только геодезист, в разные исторические времена носивший разные наименования, в том числе и геометра. В результате и была создана соответствующая технология. С глубокой древности в геодезии сформировалась прямоугольно-

прямолинейная технология [2], использовавшаяся в земледелии, строительстве и военном деле в течение почти пяти тысячелетий. В основе этой технологии было построение на местности прямых углов и прямых линий.

Геодезия в своей деятельности, связанной с геометрией объектов и явлений окружающего пространства, реализует указанные два «принципа влияния»- ПВГ и П4Н [1].

В геодезических инструментах и системах, с помощью которых осуществляется измерение и построение линий и поверхностей в

пространстве, в качестве их частей имеются линии (оси) и плоскости, во взаимном положении которых заложено важнейшее требование перпендикулярности и параллельности. Выполнение этого условия осуществляется с помощью поверок. Основные поверки представляют собою поверки прямого угла: поверки уровня, поверки перпендикулярности осей и плоскостей. Эти поверки характерны не только для современных

геодезических приборов, но еще в большей степени для инструментов

древнего и нового времени. Качество и точность приборов определялась степенью соблюдения при их создании основных геометрических требований. Точность измерений, по крайней мере, в древние времена зависела от точности построения и измерения прямых углов и линий на местности.

Второй важнейшей функцией прямого угла в геодезии, были системы координат, которые во все времена были прямоугольными. В измерении и моделировании пространства необходимым условием является ориентировка в нем. Поэтому, как правило, определяется главная ориентирующая линия в пространстве (на местности или модели), которая затем определяется как одна из осей координат (см. П4Н). К ней под прямым углом проводится вторая ось. Этим обеспечивается возможность координатизации окружающего пространства (в плоскости). Для трехмерного пространства ориентируется уже две оси (или плоскости), на базе которых строится пространственная система координат.

В координатизации окружающего пространства и угловых измерениях роль прямого угла, как важнейшая составная часть сохраняется, поскольку эти измерения выполняются в пределах одного, двух — четырех прямых углов (для широт, долгот с добавлением соответственно северная или южная, восточная или западная).

На протяжении многих столетий использовалось понятие румба -угловая величина, определявшаяся в пределах прямого угла (какой-либо четверти круга). Столь же велика роль прямого угла в моделировании, контроле объектов и явлений окружающего пространства.

В инженерной геодезии при возведении сооружений и контроле их геометрии важнейшее значение имеют условия перпендикулярности и параллельности. Эти два важнейших свойства окружающего пространства есть свойство прямого угла (или двух прямых). Формировавшаяся или формируемая геодезическая технология в существенной части предопределяла возможность реализации этих геометрических требований.

Пока прямой угол остается некой «нормой» окружающей среды, пока сохраняется «геометрия» человека, до тех пор рассмотренное значение прямого угла в геодезии будет сохраняться.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тетерин, Г.Н. Феномен и проблемы геодезии. — Новосибирск: СГГА, 2009. — 95

с.

2. Тетерин, Г.Н. История геодезии (до ХХВ.). — Новосибирск: Альянс-Регион, 2008. — 300 с.

3. Тетерин, Г.Н. Древние измерительные системы и два принципа влияния (ПВГ и П4Н) [Текст] / Тетерин Г.Н., Тетерина М.Л. // «ГЕ0-Сибирь-2009» V Междунар. выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. -Новосибирск: СГГА, 2009. — С. 123-124.

© Г.Н. Тетерин, М.Л. Синянская, 2010

Построение прямого угла при помощи теодолита полным приемом (кп, кл)

Сущность работы сводится к построению разбивочного угла  от исходной линии.

Построение угла с точностью, равной точности теодолита заключается в отложении от исходной линии МК (рис. 16) проектной величины угла  при двух положениях вертикального круга теодолита КП и КЛ и производится в следующем порядке [5].

Рис. 16. Схема построения проектного угла

1. Устанавливают теодолит в вершине угла (точка М), приводят его в рабочее положение – центрируют над точкой, приводят в горизонтальное положение при помощи установочного уровня.

2. При открепленной алидаде, наблюдая в окуляр отсчетного микроскопа, устанавливают по горизонтальному кругу отсчет равный 000 при положении КП.

3. Закрепив алидаду и открепив лимб, визируют на цель (веха), установленную в точке К. Лимб закрепляют, алидаду открепляют.

4. Наблюдая в окуляр отсчетного микроскопа поворачивают алидаду до тех пор, пока не будет достигнуто значение проектного угла (в данном случае 90).

5. В створе линии на необходимом расстоянии точку С1 закрепляют шпилькой или колышком.

6. Повторно откладывают тот же угол при положении КЛ. В результате получают точку С2. Расстояние между точками С1 и С2 зависит, в основном, от коллимационной ошибки прибора.

7. Окончательное положение точки закрепляется в середине отрезка С1-С2 (точка С).

Построение разбивочного чертежа здания, вынос в натуру

основных осей здания

Вынос основных осей здания в натуру производится от пунктов строительной координатной сетки или от геодезической опоры (рис.17). На практике в качестве геодезической опоры следует принять красную линию [5]. На красной линии через 6 метров на длинной стороне здания закрепляют кольями положения основных (1 и 4) и вспомогательных (2 и 3) осей.

Установив теодолит в точку М, откладывают от линии МК прямой угол и в створе линии МС разбивают короткую сторону через 6 метров, закрепляя кольями. Теодолит перемещают в точку К, вновь откладывают угол 90. Далее производят окончательную разбивку – намечают основные и вспомогательные оси.

Рис. 17. Вынос в натуру основных осей здания

Контроль правильности построения осей здания производится сравниванием фактических длин диагоналей прямоугольников с их расчетными значениями. Расхождение не должно превышать 1/3000 длины диагонали.

Например:

После этого намечается обноска на расстоянии с и створный знак.

Расчет положения внутренней и внешней бровок котлована

Расчет положения граней котлована и линий обноски ведется от основных осей здания, закрепленных в натуре кольями. Внутренняя грань котлована (рис. 18) должна отстоять от основной оси на 0,8 м. Внешняя грань должна отстоять от внутренней на величину

d = i h, (46)

где d – заложение откосов;

i – уклон;

h – глубина котлована.

Линия обноски должна отстоять от внешней грани котлована на величину 3 – 5м.

Рис. 18. Расчет положения линии обноски

Таким образом, линии обноски должны отстоять от основных осей на расстояние:

c = a + d + b, (47)

где a – расстояние от основной оси до внутренней грани котлована;

b – расстояние от внешней грани котлована до линии обноски;

d – расстояние, равное заложению откосов.

Вдоль основных осей, на их продолжении, откладывают расчетное расстояние с, закрепляя на местности линии обноски, параллельные основным осям. На готовую обноску основные оси переносят с помощью теодолита при двух положениях вертикального круга (КП и КЛ) и фиксируют среднее положение, забивая гвоздь на обноске. Между гвоздями, забитыми на противоположных линиях обноски, натягивают мягкую проволоку, обозначающую положение физической оси здания.

Разбивка на местности. Обноска.[Razbivka-na-mestnosti-Obnoska] | Мой загородный дом

Поскольку здания и сооружения на местности имеют прямые углы, попробуем построить такой угол на местности. Нам понадобится: три штыря из проволоки, диаметром 6-8 мм и длиной 40 см, а так же полипропиленовый шпагат- около 15 метров.

Отрежем два куска шпагата – 4м и 5 м.Выберем исходную точку на участке, где у нас планируется один из углов будущего сооружения. Возьмём один штырь, привяжем к нему оба куска шпагата и воткнём штырь в нашу исходную точку. Это и будет вершина первого прямого угла.

Затем рулеткой отмеряем на длинном куске шпагата ровно 4 м.На этом месте привязываем ещё один штырь.

Теперь на коротком куске шпагата отмеряем ровно 3 м и, точно так же, привязываем третий штырь.

У нас получилось, что один штырь воткнут в исходной точке, и к нему привязаны 2 отрезка шпагата- 3 и 4 м со штырями на концах. Берём третий отрезок шпагата и привязываем его к одному из не воткнутых в землю штырей. От штыря по этому отрезку отмеряем ровно 5 м и завязываем на этой отметке узелок.

Получился простейший, но довольно точный инструмент для построения прямых углов на местности.

Как им пользоваться? Воткнём в землю второй штырь. Обычно это штырь с четырёхметровым отрезком шпагата. Ориентируем его так, как пойдет длинная стена нашего будущего сооружения. Далее, совмещаем место 5и метровой отметки и место третьего штыря, как показано на рисунке 1.

Получился прямой угол на местности.

Таким же образом строим весь прямоугольник будущего сооружения. Теперь правим его диагональю.

Допустим, наше сооружение имеет размер по осям 6м на 8 м.Рассчитаем размер диагонали Д.

Д=6*6+8*8=36+64=100

Извлекаем корень квадратный из 100, получим 10 м

Берём отрезок шпагата чуть более 10м и двумя узелками отметим 10 м. Проверим диагонали, как показано на рисунке 2.

Если диагонали не попадают в углы, переставим штыри. Таким образом, мы вынесли план будущего сооружения в осях.

Выполнение обноски

о принципе «вертикаль – горизонталь» и значении прямого угла в геодезии — История геодезии

Мария Синянская – исследователь, защитивший кандидатскую диссертацию геодезии, популяризатор наук о Земле, сооснователь и редактор проекта «История геодезии», автор многочисленных научных и научно-популярных статей – представила статью с тонкими наблюдениями об условиях параллельности и перпендикулярности.

О принципе «вертикаль – горизонталь»

В человека природой изначально заложены прямой угол, условия параллельности и перпендикулярности. Этих знаний на первых этапах жизнедеятельности было достаточно для построения на земле прямоугольных фигур и выполнения различных измерений на местности, в том числе при разбивке земельных угодий.

В применяемых системах измерений, в конструировании всех геодезических инструментов раннего времени изначально был заложен принцип «вертикаль – горизонталь». Вследствие данного обстоятельства все приборы и устройства (ватерпасы, хоробаты, землемерные кресты, позднее – теодолиты, нивелиры и др. приборы) должны были иметь устройства для приведения их в рабочее положение, где одна ось была бы расположена вертикально, а другая горизонтально. Принцип четырех направлений являлся также основой таких геодезических понятий, как азимут, дирекционный угол, румб и т.д.

Геодезические системы измерения развивались на основе этих принципов, в том числе и для решения задач, связанных с геометризацией и координатизацией пространства, с практикой и теорией обработки результатов измерений. В основу структуры систем измерения был заложен, как правило, прямой угол, и поэтому, по существу, эти системы измерений представляли инструменты прямого угла. Конструирование геодезических инструментов начиная с ватерпаса, хоробата и землемерных крестов, а в дальнейшем – астролябии, теодолита, нивелира и других осуществлялось с жестким соблюдением условий прямоугольности основных частей приборов. Во всех геодезических инструментах такими составными частями являлись различные оси и плоскости: вертикальная ось вращения инструмента, ось вращения зрительной трубы, зрительная ось, ось уровня, плоскости лимба, алидады горизонтального и вертикального кругов.

О методах построения прямого угла

Во взаимном положении рассматриваемых плоскостей и осей закладывалось условие прямого угла, условие перпендикулярности. Соответственно основными поверками во всех геодезических инструментах закладывались соблюдения условий перпендикулярности взаимного положения плоскостей и осей. Например, зрительная ось должна быть перпендикулярна оси вращения трубы; ось уровня перпендикулярна или параллельна оси вращения инструмента; плоскости горизонтальных и вертикальных кругов перпендикулярны соответствующим осям и т.д.

Поверки перпендикулярности (поверки прямого угла) осуществлялись во все времена, начиная с использования ватерпаса. Поэтому конструктивной особенностью геодезических инструментов не только Древнего мира, но и Нового времени являлось жесткое условие взаимного расположения в инструменте рассматриваемых частей и обязательное выполнение соответствующих поверок и юстировок.

Угловых измерений как таковых, в нынешнем их понимании, в Древнем мире не существовало. Все измерения сводились в основном к построению прямого угла и разделялись (по тому времени) на приближенные и точные. В первом случае измерения осуществлялись с помощью всевозможных землемерных крестов, угольников и различных способов с использованием человеческой фигуры.

Во втором случае применялся египетский треугольник, в вещественном варианте представлявший собой веревочный шаблон из мерной веревки с метками на расстоянии в 3, 4, 5 единиц длины, в вершинах которых устанавливались колышки. Далее по ним натягивалась веревка, которая образовывала прямоугольный треугольник, у которого при вершине двух катетов получался прямой угол, как показано на рис. 1 (египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5).

Данный вариант имел наибольшую точность построения прямого угла, которая в большей степени зависела от точности изготовления (нанесения меток) мерной веревки.

Другой вариант точного построения прямого угла (циркульный) был в большей степени теоретическим способом построений и основывался на получении вписанного в окружность прямого угла, стороны которого опирались на концы диаметра (см. рисунок ниже). Для получения прямого угла нужно было провести полуокружность, на которой взять любую точку и соединить ее с концами диаметра. При вершине, противолежащей диаметру получившегося треугольника, образовывался прямой угол.

Проложение хода. При проложении ходов требовалось построение прямого угла. Например, на какой-либо выбранной стороне хода АВ в намеченной точке требуется построить прямой угол. Первоначально на основании отрезка АВ строился равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу окружности, а затем в эту окружность вписывался прямой угол. Третьей точкой (вершиной) для этого треугольника являлась точка О, как центр окружности. Далее на продолжении в направлении АО откладывался отрезок ОС, равный радиусу R. В этом случае отрезок АС является диаметром этой окружности, в которую вписан прямой угол АВС. Сторона ВС, естественно, является перпендикуляром к линии АВ. Если точки В или С являются крайними точками хода, то в них всегда имеется возможность построить прямоугольный треугольник, необходимый для решения той или иной инженерной задачи.

Способы, связанные с египетским треугольником и циркульным методом, послужили средством для получения образцовых мер построения прямого угла. Именно на их основе получали рабочие меры, в частности, различные землемерные кресты и т.п.

В решении различных землеустроительных задач и задач по созданию различных сооружений, в том числе инженерно-технических, в системе геодезических построений использовалось всего несколько главных фигур: прямой угол, прямоугольный треугольник, прямоугольный четырехугольник и квадрат.

Прямой угол. Прямой угол является универсальным мировым стандартом, заложенным в человека, в природу и взаимодействие различных физических сил.

Для реализации прямого угла в геодезических работах использовался угольник. Нивелирование с применением вертикальных реек или ватерпасов широко применялось с древнейших времен и вплоть до XX века. В различных системах координат, использовавшихся с древнейших времен, их основу составляли две взаимно перпендикулярные (координатные) линии (рис. 3): начальный меридиан и экватор (декуманус максимум и кардо максимум). На рисунке ниже изображён маркировочный центурийный камень (СМ – кардо максимум, ориентация с юга на север, DM – декуманус максимум, ориентация с востока на запад):

Построение прямого угла на местности было возможным начиная с глубокой древности с помощью ранее описанных различных вариантов. В Средневековье и в более позднее время применялись землемерные кресты различных видов и формы, в том числе экеры. В построении прямых углов использовались героновские диоптры, а также астрономические методы и устройства. Во всех видах построений их точность была невысокой (около ¼ градуса), но в особых случаях (как при сооружении египетских пирамид) достигала величины порядка 3 минут.

Человек в вершине угла

Следует отметить, что в глубокой древности, ещё до использования инструментов, люди могли проводить межевание с помощью фигуры человека. Так, например, человек вставал в вершине первого угла. По направлению створа плеч строилось одно направление, а по прямому взгляду – перпендикулярное ему направление. В одном из этих направлений человек шагами измерял нужное расстояние. Затем в другой точке операция повторялась. Такая реальность, возможно, предшествовала появлению первых геодезических инструментов. Точность построения прямого угла подобным способом находилась в пределах от 10^-1 до 10^-2.

Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник представляется структурным продолжением прямого угла. Эта фигура и ее материальные реализации, в том числе в веревочном варианте, находили самое разнообразное применение. Так, с помощью подобного построения треугольника Фалес определял расстояние до корабля. Иногда это построение считают открытием триангуляции. Фалес Милетский, находясь в Египте, использовал условие подобия прямоугольных треугольников для решения задач по определению высоты Гизехских пирамид. Он утверждал, что, как только его тень станет равной длине (высоте) его фигуры, в это время нужно измерить длину тени пирамиды, которая будет равна её высоте, что показано на рисунке ниже:

Реализация семнадцати героновских задач в большинстве случаев была возможна с применением прямоугольного треугольника. С помощью прямоугольного треугольника простейшим способом определялись длины катетов, гипотенуза и площадь треугольника. Египтяне еще в III тысячелетии до н.э. определяли эту площадь по известной формуле половины произведения двух катетов. Открытие Пифагором доказательства теоремы было значительным событием для теоретической и практической геометрии, а также для хозяйственной действительности. Формула Пифагора по существу определяет и характеризует метрику окружающего (евклидова) пространства. А такие фигуры, как прямоугольный четырехугольник и квадрат, получили свое раннее применение при планировке отдельных сооружений, особенно в землеустройстве, межевании, земельном кадастре. Прямоугольный треугольник использовался в Древнем Риме и других странах при проектировании водопроводов, каналов и городской канализации. Вместе с тем для подсчета площади прямоугольного треугольника использовалась формула:

где S – площадь; a, b – соответствующие прямоугольные катеты.

Возможно, данное выражение было известно еще с тех времен, когда люди изобрели формулы для подсчета площади квадрата и прямоугольного четырехугольника (как их половину). В плане исторического времени это уже совпадает со временем деления земельных угодий и их оценки (не позднее третьего тысячелетия до н.э.).

Важнейшим фактором для широкого использования прямоугольного четырёхугольника является его универсальность и оптимальность, а также его преимущество перед другими формами при разбивке, планировке сооружений, городов, земельных угодий и т.д. Необходимо заметить, что данная фигура в большей степени отвечает использовавшимся тогда формам координатизации пространства.

Около 10 тысячелетий назад в строительстве жилищ человек перешел от круглой формы к прямоугольной. Примерно в это же время (или чуть позднее) начали делить земельные угодья прямыми линиями с прямым углом между ними. Намного раньше прямой угол стали использовать в организации окружающего пространства и ориентировке в нем. Объяснение феномена раннего появления и использования прямого угла в деятельности людей лежит в сфере влияния внешней среды. Это влияние выражено и сформировано в виде принципов влияния: принцип «вертикаль – горизонталь» и принцип четырех направлений. Они оказывали фундаментальное влияние на развитие геодезии в течение всей истории ее развития. Главной характеристикой и составной частью этих принципов является прямой угол. Он стал важнейшей характеристикой окружающей среды и всего пространства, как и два других геометрических свойства – перпендикулярность и параллельность. Наиболее наглядно эти геометрические свойства выражены в фигуре человека. В геометрии фигуры человека вполне четко и очевидно заложено шесть главных направлений. Ими в человека заложена пространственная система координат. Эта «система координат», заложенная в человека внешней средой («принципы влияния»), и вся встроенная в нее система прямых углов (условий перпендикулярности и параллельности) позволяют человеку не только отлично выстраивать систему ориентации в пространстве, но и строить простейшие геометрические фигуры на земле. Вся геометрия человека подчинена условиям перпендикулярности и параллельности – основному геометрическому свойству окружающего пространства.

Важнейшей функцией прямого угла в геодезии являлись системы координат, которые во все времена были прямоугольными. В измерении и моделировании пространства необходимым условием является ориентировка в нем. Поэтому, как правило, определяется главная ориентирующая линия в пространстве (на местности или модели), которая затем становится одной из осей координат («Принцип четырех направлений»). К ней под прямым углом проводится вторая ось. Этим обеспечивается возможность координатизации окружающего пространства (в плоскости). Для трехмерного пространства ориентируется уже две оси (или плоскости), на базе которых строится пространственная система координат. В координатизации окружающего пространства и угловых измерениях роль прямого угла как важнейшей составной части сохраняется. Столь же велика роль прямого угла в моделировании, контроле объектов и явлений окружающего пространства. В инженерной геодезии при возведении сооружений и контроле их геометрии важнейшее значение имеют условия перпендикулярности и параллельности. Эти два важнейших свойства окружающего пространства есть свойство прямого угла (или двух прямых). Сформировавшаяся или формируемая геодезическая технология в существенной части предопределяла возможность реализации этих геометрических требований. Пока прямой угол остается некой нормой окружающей среды, пока сохраняется «геометрия» человека, до тех пор рассмотренное значение прямого угла в геодезии будет сохраняться.

Опубликовано: Вестник геодезии, картографии и геоинформатики

Как начертить прямой угол

Начертить прямой угол кажется простым, если под рукой есть технические приспособления. А если нет? Или вам необходимо построить прямой угол на большой площади, например, участке земли.И сколько существует способов построить прямой угол?Вам понадобится

Способ первый – с помощью линейки, карандаша и транспортира. Начертите с помощью линейки прямую. Отметьте на ней точку. Совместите точку с серединой транспортира. Найдите на шкале транспортира отметку 90о и обозначьте ее точкой. Проведите линию через две точки. Две прямые линии пересекаютсядруг с другом под прямым углом.

Способ второй – с помощью линейки-треугольника и карандаша. Один угол у треугольника прямой. Приложите его одной стороной к линии, от которой необходимо построить прямой угол. По перпендикулярной стороне треугольника от линии начертите отрезок. Угол между отрезком и линией будет прямым. Или просто обведите прямой угол треугольника карандашом на бумаге.

Способ третий – с помощью прямоугольного предмета. Так же, как и чертежный треугольник, вы можете использовать любой предмет, углы которого прямые. Например,книгу, папку, коробку.

Способ четвертый – с помощью линейки и карандаша. Из точки А отложите два отрезка АВ и АС одной длины под острым углом друг к другу. Соедините их концы – у вас получится равнобедренный треугольник. Найдите середину его основания D и соедините с вершиной A. Отрезок АD является медианой, биссектрисой, высотой, т.е. перпендикулярен основанию ВС.

Способ пятый – с помощью линейки, карандаша и циркуля. В геометрии вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой. Начертите циркулем окружность. Проведите диаметр через ее центр. Отметьте произвольную точку на окружности и соедините ее сконцами диаметра отрезками. Угол, образованный отрезками – прямой.

Способ шестой — другой вариант построения прямого угла с помощью циркуля и линейки.2. Значит, треугольник – прямоугольный.

Как найти углы прямоугольного треугольника

Обновлено 3 ноября 2020 г.

Крис Дезиел

Сложите значения трех углов в любом треугольнике, и вы получите 180 градусов. Если у вас прямоугольный треугольник, один из его углов по определению равен 90 градусам. Это означает, что сумма двух других углов должна составлять 90 градусов, и если вы знаете один из них, вы можете сразу найти другой. Но как найти углы, если вы тоже не знаете? Ответ заключается в том, чтобы полагаться на другое важное свойство треугольника — длину его сторон.Они связаны с величиной углов.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Найдите углы в прямоугольном треугольнике, вычислив их синус, косинус или тангенс, которые являются функциями длин сторон треугольника.

Синус, косинус и тангенс

Когда вы выбираете, какой из двух углов (ø) в прямоугольном треугольнике вы хотите найти, вы устанавливаете три стороны по отношению к нему. Линия, которая касается угла и продолжается до угла 90 градусов, называется стороной , прилегающей к , а сторона, противоположная углу, — это сторона , противоположная стороне .Гипотенуза всегда находится на стороне, противоположной прямому углу. Основываясь на этих определениях, математики используют три соотношения, которые определяют угол в терминах длин сторон:

Синус (sin) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе:

\ sin ø = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}}

Косинус (cos) — это отношение смежной стороны к гипотенузе:

\ cos ø = \ frac {\ text {смежный} } {\ text {hypotenuse}}

Касательная (tan) — это отношение противоположной стороны к смежной стороне:

\ tan ø = \ frac {\ text {Again}} {\ text {смежный }}

Каждое отношение каждой пары линий соответствует определенному углу, и эти отношения сведены в таблицу вместе с углами, которые они определяют.Если вы можете измерить длину хотя бы двух сторон прямоугольного треугольника, все, что вам нужно сделать, это вычислить синус, косинус или тангенс угла и использовать таблицу, чтобы найти его.

Лестница у стены

Одно из наиболее известных практических применений этих принципов — лестница, опирающаяся на вертикальную стену. Величины углов, которые лестница образует с землей и стеной, имеют решающее значение. Если угол относительно стены слишком мал, лестница упадет назад, а если угол на земле слишком мал, лестница соскользнет.Поскольку угол между стеной и землей составляет 90 градусов, вы можете рассчитать два угла, которые образует лестница, используя синус, косинус или тангенс, и таким образом вы можете предотвратить несчастный случай.

Лестница образует гипотенузу прямоугольного треугольника.

Это расстояние является соседней стороной при определении угла лестницы относительно земли.

Используйте таблицы косинусов, чтобы найти угол между лестницей и землей. Вычислите отношение соседней стороны к гипотенузе, а затем найдите это отношение в таблице косинусов, чтобы найти соответствующий угол.

Рассчитайте угол между лестницей и стеной, вычтя найденный угол из 90. Кроме того, вы можете найти значение этого угла с помощью таблицы синусов.

Пример

20-футовая лестница упирается в стенку дома, а расстояние от основания лестницы до фундамента составляет 12 футов. Каковы углы лестницы относительно земли и дома?

Вычислите косинус угла между лестницей и землей.Это

\ frac {12} {20} = 0,6

Используя таблицу косинусов (или научный калькулятор), вы обнаружите, что угол составляет почти точно 53 градуса. Это делает угол лестницы относительно стены

90 — 53 = 36 \ text {градусов}

Видео с вопросом: Использование тригонометрии прямоугольного треугольника для поиска неизвестного угла в реальной задаче

Стенограмма видео

Лестница прислонена к вертикальной стене так, что ее верх находится на высоте девяти метров над землей, а основание — на расстоянии трех метров от низа стены.Найдите угол между лестницей и землей. Ответьте с точностью до двух знаков после запятой.

Начнем с наброска схемы этого сценария. Помните, что эскиз не обязательно должен быть в масштабе, но он должен быть примерно пропорциональным, чтобы вы могли проверить пригодность любых полученных ответов.

Верх лестницы находится на высоте девяти метров над землей, а ее основание — в трех метрах от низа стены. Можно также предположить, что угол между землей и стеной составляет 90 градусов.Назовем угол, который мы пытаемся найти 𝜃. Это угол между лестницей и землей.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с двумя известными длинами, в котором мы пытаемся найти значение угла. Для этого нам нужно использовать тригонометрию под прямым углом. Мы можем начать с маркировки сторон треугольника. Гипотенуза — самая длинная сторона. Это сторона, расположенная прямо напротив прямого угла. Противоположная сторона — это сторона, противоположная заданному углу. Это самый дальний от 𝜃.Наконец, соседняя сторона — это другая сторона. Он находится рядом с углом 𝜃.

Мы видим, что знаем длину как противоположной, так и соседней сторон. Это означает, что нам нужно использовать коэффициент загара. Tan 𝜃 равно противоположному над смежным. Поскольку длина противоположной стороны равна девяти метрам, а соседней — трем, мы можем подставить эти значения в нашу формулу, в результате получим, что тангенс 𝜃 равен девяти на три. Девять разделенных на три — это просто три. Таким образом, наше уравнение становится tan 𝜃 равным трем.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти обратный тангенс угла для обеих сторон. Обратный тангенту tan 𝜃 равен просто 𝜃. Наше уравнение становится равным, обратному тангенту трех. Подстановка этих значений в нашу формулу дает нам 𝜃, равное 71,565.

Угол между лестницей и землей составляет 71,57 градуса с точностью до двух десятичных знаков.

ПРАВЫЙ УГОЛ — Диагональность

Как феномен диагональности изменил облик современной архитектуры

ДАРИНГ ДИАГОНАЛ

ГЛАВА ВТОРАЯ

ПРАВЫЙ УГОЛ

«Очень рано площадь стала символом истины, справедливости и праведности, и так остается по сей день, хотя прошло бесчисленное количество веков.”

Сэр Исаак Ньютон

БЕДРОК ОРИЕНТАЦИЯ ПРИРОДЫ

Что оправдало стойкую веру в правильный угол в течение последних семидесяти веков строительства зданий? Что такого особенного в правильном угле, что способствовало его распространению и почитанию при строительстве зданий и планировании площадок, и почему он вошел в употребление до использования диагоналей? Как ни странно, ответ на эти вопросы — гравитация.

Рис. 2.1 Гравитационные силовые линии расходятся веером из центра каждого космического тела

Гравитация — это фундаментальная сила природы, само существование которой восходит к неясным истокам Вселенной. Гравитация не только контролирует движение космических объектов, таких как звезды, галактики и планеты, но также влияет на все неорганические структуры, такие как горы, вода и тектонические плиты. [Рис. 2.1] Гравитация удерживает океан на морском дне, связывает нашу атмосферу с земной корой, уносит дождевую воду с горных вершин и переносит рыхлые породы с возвышенностей в долины.На обитаемых планетах, таких как наша, гравитация также влияет на рост растений и движение животных. Он заставляет большинство растений и деревьев подниматься преимущественно вертикально к свету, а не под углом. [Рисунок 2.2]

Рис. 2.2 Обычные деревья в Нормандии, Франция.

В мире микроорганизмов и клеток гравитация удивительно влияет даже на их размер относительно силы окружающего гравитационного поля. У более крупных существ гравитация формирует структуру скелета, чтобы обеспечить упорядоченное и эффективное движение в воздухе, на море и на суше.Что еще более неожиданно, прямой угол заключен в электромагнитных явлениях. Например, сила магнетизма проходит перпендикулярно электрическому току. Даже фотон, путешествующий в пространстве со скоростью света, состоит из дополнительных волн, бегущих под прямым углом друг к другу. [Рис. 2.3] Некоторые материалы, отталкиваемые магнитным полем, мгновенно выстраиваются под прямым углом к ​​полю: процесс, известный как диамагнетизм.

Рис. 2.3. Схема дополнительных сил, действующих в движущемся фотоне света.

Не будет преувеличением сказать, что гравитация — одна из самых фундаментальных сил, формирующих форму, влияющих на все органические и неорганические структуры на Земле.

ЧЕЛОВЕК И ТЯЖЕСТЬ

Мы, люди, не можем видеть саму силу гравитации, но мы реагируем на ее прохождение через наши тела и видим ее эффекты во всем на поверхности земли. Если мы стоим, наклоняясь в одном направлении, а затем наклоняемся еще дальше, мы опрокидываемся. Можно сказать, что наша реакция на гравитацию запечатлена в самом сердце нашего существа.У нас есть укоренившееся чувство того, что является прямым, когда мы встаем, и бессознательно ощущаем, что действительно вертикально или действительно горизонтально. Новорожденный смотрит в лицо своего родителя и видит, как глаза, уши и рот расположены перпендикулярно оси носа. [Рисунок 2.4]

Рис. 2.4 Перпендикулярные взаимоотношения в структурах человеческого лица.

То же самое и с осями плеч и бедер, поскольку они относятся к центральной оси позвоночника.[Рис. 2.5] Все эти переживания и телесные отношения способствуют нашему чувству перпендикулярности и нашему пониманию правильного угла.

Рис. 2.5 Перпендикулярные взаимоотношения в человеческом теле, показанные на этом рисунке Леонардо да Винчи.

Следствием этой всеобъемлющей перпендикулярности является то, что на пути от глаза к мозгу существуют клетки, которые реагируют только на импульсы энергии от вертикальных линий. Другие клетки реагируют только на горизонтальные линии, а третьи распознают только линии с наклонной ориентацией.Более того, у амбулаторных существ не только глаза определяют, что является вертикальным и горизонтальным; внутреннее ухо также посылает предупреждающие сигналы, когда животное теряет равновесие и / или не стоит в вертикальном положении. Эта вестибулярная система в ушах людей и других животных обеспечивает общее ощущение пространственной ориентации. Также интересно, что пространство, кажется, изображается в уме с его собственной причудливой, врожденной системой координат. Например, в наших снах то, что мы знаем как вертикальную и горизонтальную ориентацию с открытыми глазами, изображается как таковое, даже когда мы лежим на боку.Это говорит о том, что наши мысленные образы вертикальности преобладают над нашим телесным ощущением того, что находится в вертикальном положении … по крайней мере, во время сна. Можно предположить, что это может быть так, потому что, хотя тело склонно, внутреннее ухо (вестибулярная система) все еще реагирует на гравитационные силы. Эти примеры призваны указать на примат силы гравитации и на то, что наше глубоко укоренившееся чувство горизонтали и вертикали являются составными компонентами нашего сознания.

Во внешних частях человеческого тела перпендикулярность и соответствующий прямой угол очевидны.Это симметричное и перпендикулярное расположение частей тела к позвоночнику очевидно для почти всех организмов, которые свободно перемещаются в окружающей среде, будь то в воздухе, воде или на суше. Симметрия и движение неразрывно связаны. То же самое чувство симметрии всегда выражалось в дизайне зданий, независимо от того, имела ли симметрия смысл или нет.

Симметрия в плане этажа и фасада является неотъемлемой характеристикой и побочным продуктом перпендикулярных отношений и обеспечивает качество, которое обычно считается прекрасным.Однако симметрия часто достигается за счет программной функции. В симметричном здании потребности в пространстве в крыле справа от центральной оси обычно не совпадают с потребностями в пространстве в крыле слева. Тем не менее, стремление к красоте и покою часто преобладает над функциональными проблемами. Стремление к симметрии усиливает склонность к построению под прямым углом.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ И ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТНАЯ КОНСТРУКЦИЯ

Хотя временные сооружения, такие как палатки, вигвамы и юрты, были круглыми, именно прямой угол доминировал в геометрии постоянных зданий на протяжении большей части зарегистрированной истории.Поскольку прямые углы формировали бесчисленное количество отдельных комнат, они, в свою очередь, превращали след целых зданий в простые объемы в форме обувных коробок или их комбинации. [Рисунок 2.6]

Рисунок 2.6 Коттедж в стиле Кейп-Код

Если посмотреть на план этажа большинства зданий, построенных до двадцатого века, особенно величественных зданий, таких как трехэтажная усадьба елизаветинских времен под названием Лонглит, и наложить на план прозрачную пленку, отмеченную линиями сетки, подобными миллиметровой бумаге, он уверен, что стены здания будут параллельны линиям на сетке.[Рисунок 2.7] Эта геометрия прямых углов называется ортогональностью.

Рис. 2.7 Лонглит, особняк елизаветинской эпохи.

Кроме того, на протяжении всей истории несколько зданий, составляющих единый комплекс, часто располагались перпендикулярно друг другу, как белые плитки в домино для настольной игры. Запретный город в Пекине, Китай, является прекрасным примером такого расположения, где не только площадь отдельных зданий основана на квадратных углах, но и ортогональный формат также распространяется на общий план территории комплекса; все здания расположены параллельно и / или под прямым углом друг к другу.[Рис. 2.8] Это как если бы использование квадратных углов было предопределено неизменным биологическим императивом, заложенным в мозгах людей, которые обрабатывали камни, рубили бревна или рисовали планы.

Рисунок 2.8 План участка Запретного города в Пекине, Китай

Чтобы добиться стабильности и безопасности в строительстве, люди давно обнаружили, что стены должны строиться как можно ближе к отвесу (вертикальному). [Рис. 2.9] Сигналы, посылаемые внутренним ухом, датчиками в мышцах и суставах, а также функционирование глаз указывали строителю, что находится в вертикальном положении и, следовательно, перпендикулярно среднему уровню земли, на которой он стоял.Строитель мог одним глазком увидеть, «выглядит» ли стена вертикальной. Но этот метод не был абсолютно надежным, поэтому строители обнаружили, что подвешивание тяжелого объекта в форме стрелы острием вниз на веревке может точно установить вертикальную линию: сила тяжести в действии Этот объект в форме стрелы стал известен как отвес и до сих пор используется, чтобы определить, является ли стена идеально вертикальной. [Рисунок 2.9A] [Рисунок 2.9B] [Рисунок 2.9C]

Рисунок 2.9 Отвес.

Рисунок 2.9 B Перпендикулярная конструкция

Рис. 2.9C Стена обычно считается небезопасной, если она наклонена до такой степени, что отвес, проходящий через ее центр тяжести, не попадает внутрь средней трети ее основания (так называемое правило V-3)

.

В течение эонов четырехугольная конструкция находила отклик глубоко внутри строителей на бессознательном уровне. Было оценено, но не понято, что существует сила, которая удерживает вертикально расположенные объекты стабильно на поверхности земли и заставляет наклоненные объекты падать на землю.Это внутреннее чувство перпендикулярности стало мощным символом скрытого порядка вещей. [Рисунки 2.10]

Рисунки 2.10 Плантации деревьев в Нормандии во Франции.

Хотя это и загадочно, здесь был порядок вещей, которые в буквальном, переносном и структурном смысле оказались полезными и долговечными. [Рисунки 2.11]

Рисунки 2.11 Колоннада в Париже, Франция.

Архитекторы и строители также осознали, что стены, поддерживающие балки, следует возводить параллельно друг другу, потому что было более эффективно резать брус и куски камня для балок до одинаковой длины.Это относилось также к торцевым стенам комнаты, поскольку, если они находились не под прямым углом к ​​опорным стенам, бревна в конце комнаты должны были быть индивидуально измерены и отрезаны на разную длину. Следовательно, четырехугольная конструкция стала базовой геометрией строительства. [Рисунки 2.12]

[Рис. 2.12] Структурный отсек с однородными элементами каркаса, образующими пространство с прямыми углами.

Еще одним фактором в пользу прямоугольных помещений является то, что резка камня под острыми углами рискованна и непредсказуема.Чтобы разрезать конец каменной балки под углом 45 °, требуется гораздо больше времени, энергии и осторожности, чем для резки под углом 90 °, потому что при угловом пропиле необходимо пропилить гораздо больше материала, и возможна поломка в остром углу. . Эти острые углы также уязвимы для разрушения от внешнего воздействия или внутренних структурных сил. Следовательно, строители научились избегать обрезки концов балок под углом, когда это возможно.

Есть только один способ, которым одна линия может пересекать другую в двухмерной плоскости, в результате чего все четыре угла равны.То есть две линии должны быть перпендикулярны, и это дает четыре прямых угла 90 °. До 20-го века физические и абстрактные элементы прямого угла делали его геометрией по умолчанию при строительстве зданий, примером которой является, например, конструкция из колонн и балок таких структур, как Храм Хефрена в Гизе. [Рисунок 2.13]

Рисунок 2.13 Гиза, Храм Хефрена в долине.

Использование прямого угла дает также преимущества с точки зрения экономии места.Если посмотреть на прямоугольную комнату сверху, можно увидеть, что количество закрытой площади пола имеет решающее значение для общей длины четырех ограждающих стен. За счет самой короткой общей длины четырех стен создается наибольшее полезное пространство. Однако, если бы можно было свернуть прямоугольник, сделав угол любых двух противоположных углов тупым (что сделает два других противоположных угла острыми, что приведет к ромбовидному отпечатку или параллелограмму), площадь замкнутого пространства уменьшится пропорционально к серьезности задействованных углов.[Рис. 2.14]

Рис. 2.14. План квадратного, ромбовидного и восьмиугольного помещения с расчетами в квадратных футах при одинаковой длине стен.

Потребовалось немного геометрического интеллекта, чтобы оценить тот факт, что если ограждающие стены сходятся равномерно под прямым углом, наибольшая полезная площадь будет ограждена с минимальными конструктивными усилиями. Тем не менее, те, кто изучал геометрию, знают, что многоугольные формы, имеющие более четырех сторон, были бы более эффективны, чем прямоугольники, с точки зрения максимального увеличения внутреннего пространства по отношению к длине ограждающих стен.Однако многие древние культуры были недостаточно развиты в геометрическом плане, чтобы использовать эти более сложные многоугольники в строительстве.

Использование прямого угла имело также символические преимущества. Впечатление постоянства и стабильности было главной заботой в древних культурах, таких как Египет. Вечное путешествие души, пока она не воссоединилась с телом, требовало могилы, которая казалась способной длиться вечно. Кроме того, королевская власть требовала храмов, которые выглядели так, как будто они будут стоять вечно и никогда не поддадутся стихийным силам (таким как землетрясения и ураганы) или атакам врагов, намеревающихся захватить власть или революцию.По этим причинам прямоугольная конструкция с ее стабильным и долговечным внешним видом имела большое символическое значение. Тем не менее, египтяне осознали, что пирамида была окончательной формой, связанной со строительством, которое могло сохраняться бесконечно, и для этого требовалось слияние крыши и стены в наклонную плоскость. След пирамиды квадратный, но обращенные к небу плоскости — треугольники. Две диагонали пересекают квадрат, образуя треугольные внешние поверхности.

Наконец, мы обратимся к экономическим преимуществам использования прямого угла.В Древнем Египте был нужен способ передать землю фермерам, а затем, после того, как поднявшиеся воды Нила стерли границы владений, пересмотреть границы земельных участков. Великий греческий историк Геродот видел это наводнение до того, как египтяне научились укрощать реку с помощью дамб, каналов и водосборных бассейнов. Он писал: «Когда Нил затопляет землю, весь Египет становится морем, и только города остаются над водой, выглядя скорее как острова Эгейского моря».

Фиг.2.15 Раздел земли вдоль Нила в Египте.

После каждого сезонного наводнения земля делилась на огромное лоскутное одеяло из идеальных квадратов и прямоугольников с точностью, которая остается поразительной даже сегодня. [Инжир. 2.15]. Геродот сообщил об использовании этих квадратов и прямоугольников для расчета налога: «Этот царь разделил землю… так, чтобы дать каждому по четырехугольнику равного размера и… на каждого, обложив налогом. Но [к] каждому, с чьей стороны река что-то оторвала… он послал надзирателей, чтобы они измерили, насколько уменьшилась земля, чтобы владелец мог заплатить за то, что осталось.Таким образом, мне кажется, возникла геометрия, которая перешла оттуда в Грецию ».

Пол Калтер в своей книге «Квадрат круга: геометрия в искусстве и архитектуре» предполагает, что «если разлив Нила символизировал ежегодное возвращение водянистого хаоса, то геометрия, используемая для восстановления границ, возможно, рассматривалась как восстанавливающая закон и порядок на земле. Мы снова увидим это понятие геометрии как священного, потому что оно представляет порядок, особенно в средние века ». (Calter 2004)

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СЕТКА

Среди самых ранних примеров прямоугольного строительства — «укрепления и частично раскопанные прямоугольные дома в Иерихоне, которые могут быть датированы докерамической эпохой, а, согласно исследованию углерода 14, — серединой шестого и средним веками. седьмого тысячелетия [до нашей эры].”[Gideon, 1964] P. 183. Еще одним свидетельством доисторической конструкции под прямым углом являются ямы и траншеи длинных деревянных домов около 5000 г. до н.э. в районе Ситтарда в Нидерландах.

Примерами комплексов, расположенных в соответствии с ортогональной сеткой, являются Цитадель Саргона, возведенная в 742 г. до н.э. [рис. 2.16], и Персеполис, построенный в 518 г. до н.э., на территории современного Ирана.

Рисунок 2.16 План дворца Саргона (он же

Дур-Шаррукин ), Хорсабад (реконструкция 1905 года)

Другой пример одиночного здания, в котором используется ортогональная сетка, — это типичный дом, построенный в Индии в соответствии с традицией Ватсу Шастра .[Рис. 2.17] Требуемый квадратный план жилища состоит из 81 квадрата по девять сторон. Центр дома, внутренний двор, состоящий из девяти квадратов, подобен человеческим легким и поэтому оставлен открытым для неба. [Рис. 2.18] Во дворе не происходит обычных повседневных дел; он предназначен для религиозных и культурных мероприятий.

Рисунок 2.17 Индийский план дома, основанный на традиции

Ватасу Шастра .

Рисунок 2.18 A

Vatasu Pursha Mandala.

УСЛОВИЯ НЕСОВМЕСТИМЫЕ С ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТНОЙ КОНСТРУКЦИЕЙ

Хотя подавляющее большинство зданий, построенных на протяжении всей истории, имеют ортогональные планы, следует отметить, что угловые стены часто появлялись при строительстве — но не по выбору, не намеренно. Строители были вынуждены иногда искажать форму прямоугольного здания, чтобы приспособиться к уже существующим условиям участка, таким как извилистая дорога или примыкающая стена, идущая под углом к ​​ортогональной геометрии здания или многоквартирного комплекса.

Крепость Уронарти (), , [Рис. 2.19 A и B], построенная около 2000 г. до н.э., иллюстрирует, как преобладающая ортогональная геометрия комплекса может, без замысла проектирования, включать в себя треугольные комнаты. Но эти треугольные комнаты возникают как обязательный ответ на уже существующие условия. Эта крепость длиной 500 футов, которая «стала прототипом большинства крепостей, построенных в Европе и Азии в течение следующих 3000 лет», демонстрирует ортогональную геометрию, которую просто нужно было «срезать» под углом вдоль массивной северной стены.Геометрия получаемых в результате угловых комнат никак не влияет на геометрию прямоугольных пространств; они остаются верными ортогональной сетке. Следует понимать, что диагональность, рассматриваемая в этом трактате, не существует, когда требуемое приспособление к уже существующему состоянию приводит к угловым усеченным пространствам.

Рисунок 2.19 Древнеегипетская крепость

Уронати , расположенная на острове на реке Нил. 19 век до н.э., г.

Рисунок 2.19A Вид с воздуха на настоящую крепость Уронати.

Строительство здания отличается от создания городского поселения. Органические городские поселения возникли не по заранее составленному плану, а за счет наращивания отдельных построек. Процесс аккреции происходит в порядке, который иногда называют случайным или органическим, но только потому, что так он выглядит. Типичный средневековый город мог возникнуть в месте вдоль реки с плоскими берегами, или на холме с прекрасным видом, или с защищаемой местностью, или в определенном доме, где продавались или обменивались продукты или товары.Людей привлекало это место, и они приезжали по живописным или легко управляемым маршрутам. Тропинки превратились в проторенные тропы, которые огибали валуны и гостеприимно и эффективно следовали контурам. Вдоль этих извилистых троп возводились сооружения, и со временем из них образовалась деревня. Вдоль этих извилистых маршрутов возводились здания, которые для эффективности и / или порядка были составлены из комбинации прямоугольников. Однако их ортогональная геометрия часто уступала существовавшим ранее условиям, которые чаще всего были нерегулярными, то есть не ортогональными.Это примеры размещения, а не замысел дизайна. Архитектор или строитель не намеревался проектировать комнаты со скошенными стенами, но пассивно реагировал на внешние условия, как показано на фото углового угла в Париже. [Инжир. 20]. Нередки случаи, когда угловая стена была утолщена в форму клина, так что внутри сохранились квадратные углы комнат. [Инжир. 21]. Исключениями были храм, святыня или отдельное специальное здание, в котором, вне зависимости от формы и ориентации соседних построек и природных особенностей местности, можно было свободно использовать прямой угол.

Рис. 20 Тупой угол улицы в Париже, Франция, иллюстрирующий неортогональное «столкновение» соседних зданий.

Рис. 21 Вилла Франезе в Капароле, Италия.

ПРАВИЛЬНЫЙ ЯЗЫК

В английском языке слова right и square относятся как к прямому углу, так и к тому, что считалось правильным, хорошим или правильным. Таким образом, прямой угол в строительстве считался хорошим и считался правильным.Рассмотрим такие фразы, как «, пожалуйста, сравните это со мной, », или «, он на правильном пути, », или «она , как нельзя более правильная ».

И наоборот, слово «наклонный», в дополнение к отношениям, которые не были ортогональными, стало относиться к вещам, которые были « неправильный », « плохой, сомнительный или коварный ». Обратите внимание на эти цитаты на английском языке.

1713 Стил Гвардеец. № 20 с.2 Косым взглядом, которым всегда видит ненависть .

1770 Jortin Serm. (1771) I. vii. 128 Есть люди … которые становятся богатыми и великими … различными косвенными и скандальными путями.

В масонской традиции есть три определения квадрата: «(1) концепция прямого угла — наш ритуал говорит нам, что квадрат — это угол в девяносто градусов, или четвертая часть круга; (2) Инструмент строителя, один из наших рабочих инструментов, собственное недвижимое украшение Мастера; (3) То качество характера, которое сделало «квадратного человека» синонимом не только члена нашего Братства, но и порядочности, честности и надежности.Масоны считают квадрат символом добродетели ».

Видно, что язык усиливал обоснованность и полезность прямого угла и препятствовал рассмотрению того, что было наклонным или наклонным. Рассмотрим слово вертикальное . Слово может происходить от ветхозаветного еврейского слова, транслитерированного как yashar . Это означает прямой, прямой и ровный. Это также означает приятный, правильный, праведный и справедливый. Происхождение нашего английского слова upright — германское, с последующими вариациями на староанглийском, голландском, немецком и английском языках.В качестве прилагательного это слово означает вертикальный, прямой, перпендикулярный и отвесный. Но применительно к человеку или его поведению это слово также означает «честный, благородный, порядочный, законопослушный, этичный, добродетельный, принципиальный и благородный».

На более абстрактном уровне качества порядка, рациональности, единообразия и надежности, связанные с прямым углом, казались почти данными богами. Язык отражал предпочтение слова right и, как указано выше, наполнял его трансцендентным значением, включая такие качества, как надежность, честный, надежный, лояльный, устойчивый, равноправный, существенный и прямой.Подумайте о квадрате или квадратном обеде .

На этом фоне становится понятно, что на протяжении веков неквадратные конструкции избегались и избегались. Точно так же избегали того, что было наклонным и неквадратным, и слова, связанные с вещами , а не квадратом , имели уничижительный оттенок.

Что интересно с культурной точки зрения, так это то, что по мере того, как современный мир развивался в конце 19-го и 20-го веков, использование слова квадрат теперь приобрело новое, не столь благоприятное значение, и это соответствовало меняющимся дух времени современной эпохи.По мере того, как жесткая ортодоксальность прошлых веков начала разрушаться, честность, ясность и доброта, связанные со словом right , стали олицетворять вещи, которые были жесткими, устаревшими, недосягаемыми, ограничивающими, условными и нежелательными. Появились такие фразы, как «будь там или будь честным». Другие подобные фразы и значения включали: неклассный, неприличный, душный, старомодный и строго условный. На протяжении двадцатого века, по ряду причин, которые будут изложены далее в этой книге, архитектура укоренилась под прямым углом, а ортогональная сетка постепенно стала терять популярность в определенных обстоятельствах, и более смелые дизайнеры обращались к смелым геометрическим мотивам диагональный и косой.

Таким образом, очевидно, что на протяжении всей истории прямой угол с энтузиазмом применялся при строительстве зданий по нескольким причинам: (1) он создавал устойчивые конструкции; (2) Это было легко и эффективно при резке и соединении элементов конструкции; (3) Это также было полезно для разбивки земельных участков, расчета налогов на эти участки и восстановления границ после наводнения; (4) Созданные архитектурные пространства были простыми, открытыми и функциональными.

1.3: Приложения и решение прямоугольных треугольников

На раннем этапе своего развития тригонометрия часто использовалась как средство косвенного измерения, например определение больших расстояний или длин путем измерения углов и малых известных расстояний. Сегодня тригонометрия широко используется в физике, астрономии, инженерии, навигации, геодезии, а также в различных областях математики и других дисциплинах. В этом разделе мы увидим некоторые способы применения тригонометрии. Для этих примеров ваш калькулятор должен быть в градусном режиме.\ circ \) от его горизонтальной линии обзора до основания дома на земле. Если предположить, что земля плоская, как далеко от земли находится дом от дирижабля?

Решение:

Пусть \ (x \) будет расстояние по земле от дирижабля до дома, как на картинке справа. Поскольку земля и горизонтальная линия обзора дирижабля параллельны, мы знаем из элементарной геометрии, что угол подъема \ (\ theta \) от основания дома до дирижабля равен углу падения дирижабля на дирижабль. цоколь дома, т.\ circ \) к горизонту океана. Используйте это, чтобы оценить радиус Земли.

Рисунок 1.3.1

Решение:

Предположим, что Земля — ​​это сфера. Пусть \ (r \) — радиус Земли. Пусть точка \ (A \) представляет вершину горы, а \ (H \) — горизонт океана на линии прямой видимости из \ (A \), как на рисунке 1.3.1. Пусть \ (O \) будет центром Земли, и пусть \ (B \) будет точкой на горизонтальной линии обзора от \ (A \) (то есть на линии, перпендикулярной \ (\ overline {OA} \ )).\ circ} \\
& \ Rightarrow \ quad \ boxed {r ~ = ~ 3958,3 ~ \ text {miles}} ~.
\ end {align} \]

Примечание. Этот ответ очень близок к фактическому (среднему) радиусу Земли в \ (3956,6 \) миль.

Пример 1.15

В качестве еще одного приложения тригонометрии к астрономии мы найдем расстояние от Земли до Солнца. Пусть \ (O \) будет центром Земли, пусть \ (A \) будет точкой на экваторе, и пусть \ (B \) будет представлять объект (например, звезду) в космосе, как на картинке на Правильно.\ circ \ приблизительно 8,8 » \), о чем мы упоминаем только потому, что некоторые устройства измерения углов действительно используют минуты и секунды.

Пример 1.16

Наблюдатель на Земле измеряет угол \ (32 ‘\; 4’ ‘\) от одного видимого края Солнца до другого (противоположного) края, как на картинке справа. Используйте это, чтобы оценить радиус солнца.

Решение:

Пусть точка \ (E \) будет землей, а \ (S \) будет центром солнца.\ circ \).

Теперь \ (ES \) — это расстояние от поверхности Земли (где стоит наблюдатель) до центра Солнца. В Примере 1.15 мы обнаружили, что расстояние от центра Земли до Солнца составляет \ (92 908 394 \) миль. Поскольку в этом примере мы рассматривали Солнце как точку, то мы вправе рассматривать это расстояние как расстояние между центрами Земли и Солнца. Итак, \ (ES = 92

4 — ~ \ text {радиус Земли} = 92

4 — 3956,6 = 92

7.\ circ ~ = ~ \ boxed {433,293 ~ \ text {miles}} ~. \]

Примечание. Этот ответ близок к фактическому (среднему) радиусу Солнца в \ (432 200 \) миль.

Возможно, вы заметили, что для решения приведенных нами примеров требовался хотя бы один прямоугольный треугольник. В прикладных задачах не всегда очевидно, какой прямоугольный треугольник использовать, поэтому подобные задачи могут быть трудными. Часто прямоугольный треугольник не сразу бросается в глаза, поэтому вам придется его создать. Для этого не существует общей стратегии, но помните, что прямоугольный треугольник требует прямого угла, поэтому ищите места, где вы можете образовать перпендикулярные отрезки линии.Когда задача содержит круг, вы можете создать прямые углы, используя перпендикулярность касательной к кругу в точке с линией, соединяющей эту точку с центром круга. Мы сделали именно это в примерах 1.14, 1.15 и 1.16.

Пример 1.17

На схеме станка справа показан симметричный V-образный блок , в котором один круговой ролик расположен поверх меньшего круглого ролика. Каждый ролик касается обеих наклонных сторон V-образного блока.Найдите диаметр \ (d \) большого ролика, используя информацию на диаграмме.

Решение:

Диаметр \ (d \) большого ролика в два раза больше радиуса \ (OB \), поэтому нам нужно найти \ (OB \). \ circ \).\ circ} ~ = ~ 1.384 \]

Следовательно, диаметр большого ролика равен \ (\, d = 2 \ times OB = 2 \, (1.384) = \ boxed {2.768} \) ~.

Пример 1.18

Кривошипно-ползунковый механизм показан на Рисунке 1.3.2 ниже. Когда поршень движется вниз, шатун поворачивает кривошип по часовой стрелке, как показано.

Рисунок 1.3.2 Кривошипно-ползунный механизм

Точка \ (A \) является центром шатуна на запястье и перемещается только вертикально.Точка \ (B \) является центром шатуна и движется по окружности радиуса \ (r \) с центром в точке \ (O \), которая находится непосредственно под \ (A \) и не двигаться. При вращении кривошип образует угол \ (\ theta \) с линией \ (\ overline {OA} \). Мгновенный центр вращения шатуна в данный момент времени — это точка \ (C \), где горизонтальная линия, проходящая через \ (A \), пересекает удлиненную линию, проходящую через \ (O \) и \ (B \). Из рисунка 1.3.2 видно, что \ (\ angle \, OAC = 90 ^ \ circ \), и пусть \ (a = AC \), \ (b = AB \) и \ (c = BC \) .2} ~ \ tan \; \ theta ~. \]

Для некоторых задач может быть полезно помнить, что когда у прямоугольного треугольника есть гипотенуза длины \ (r \) и острый угол \ (\ theta \), как на рисунке ниже, прилегающая сторона будет иметь длину \ (r \, \ cos \; \ theta \), а противоположная сторона будет иметь длину \ (r \, \ sin \; \ theta \). Вы можете думать об этих длинах как о горизонтальных и вертикальных « компонентах » гипотенузы.

Обратите внимание, что в прямоугольном треугольнике выше мы получили две части информации: один из острых углов и длину гипотенузы.Клавиши {-1} \)} \) работают аналогично для синуса и косинуса соответственно. Эти клавиши используют обратные тригонометрические функции , которые мы обсудим в главе 5.

Авторы и ссылки

Задачи со словами в правом треугольнике

Правый треугольник Проблемы со словами После того, как вы узнали о тригонометрии отношения (и их обратные), вы можете решать треугольники.Естественно, многие из этих треугольников будут представлены в контексте текстовых задач. Хороший первый шаг после прочтения всего упражнения — нарисовать правильный треугольник и попытайтесь придумать, как его обозначить. Как только у вас появится полезный диаграмма, математика обычно довольно проста. Лестница длиной шесть метров прислоняется к зданию. Если лестница составляет угол 60 ° с на землю, как далеко до стены поднимается лестница? Как далеко от стена является основанием лестницы? Округлите ответы до двух знаков после запятой места по мере необходимости. Сначала я нарисую картинку. Это не обязательно быть «хорошим»; это просто должно быть ясно достаточно, чтобы я мог отслеживать то, что делаю. Моя фотография справа: Мне нужно найти высоту х . Поскольку они дали мне угловую меру и «противоположное» и гипотенуза для этого угла, я буду использовать коэффициент синуса для находим высоту: Подключив это к моему калькулятору, Я получаю приблизительное значение 5.196152423. Для базы я буду использовать косинусное отношение: Лестница тянется около 5,20 м вверх по стене, и его база находится в 3 метрах от стена. Примечание. Если вас не попросят предоставить ответ в десятичной форме, или округлить, или как-то иначе не до дать «точный» ответ, вы, вероятно, должны предположить, что «точная» форма — вот чего они хотят.Например, если они не сказал мне округлить в упражнении выше, мое значение для роста должно было быть значение с радикалом. Пятиметровая лестница прислоняется к стене так, чтобы верх лестницы был на четыре метра выше земля. Какой приблизительный угол образует лестница с земля? Как обычно, начну с картинки: Мне дали «противоположное» и гипотенуза, и спросил у меня значение угла.Для этого я необходимо использовать обратные триггерные отношения. Угол между лестницей и землей около 53 ° . Вы используете транзит до измерить угол падения солнца на небе; Солнце заполняет 34 фута дуги. Предполагая Солнце находится на расстоянии 92 919 800 миль, найдите диаметр Солнца. Круглый ваш ответ с точностью до ближайшей мили. Сначала нарисую картинку: Хм… Этот «рожок мороженого» картина не дает мне много работать, и нет права треугольник. Две линии по бокам Мой треугольник измеряет лучи взгляда от Земли по сторонам солнца. Что, если я добавлю еще одну линию, будучи прямой линией от Земли до центра Солнца? Теперь, когда у меня есть эта добавленная строка, У меня прямоугольный треугольник; на самом деле два прямоугольных треугольника, но я нужен только один. Потому что Солнце так далеко, очевидно, эта картина не «в масштабе», и я буду игнорировать тот факт, что измеренное расстояние не совсем совпадает картина. Но этого должно быть достаточно. (Угол мера, «тридцать четыре угловые минуты», равна 34/60 градусов. Разделив это пополам, я получил 17/60 степени для меньшего угла.) Мне нужно найти ширину Солнца. Эта ширина будет вдвое больше основания одного из прямоугольных треугольников. С участием Что касается моего угла, они дали мне «смежный» и попросил «противоположное», поэтому я буду использовать тангенциальное отношение: Авторские права © Элизабет Stapel 2010-2011 Все права защищены. Это только половина ширины; несущий вычисления в моем калькуляторе (чтобы минимизировать ошибку округления), я получаю значение 919002.8129. Это больше, чем фактический диаметр, который ближе к 864 900 милям, но этого значения будет достаточно для целей этого упражнения. Диаметр около 919 003 миль. Летит частный самолет 1,3 часа на скорости 110 миль в час по азимуту 40 °. Потом поворачивается и продолжается еще 1,5 часа на той же скорости, но по пеленгу 130 °.В в конце этого времени, как далеко самолет от начальной точки? Каково его значение с этой отправной точки? Подшипники говорят мне углы от «правильного севера» по часовой стрелке. Поскольку 130-40 = 90, эти два подшипника дадут мне прямоугольный треугольник. По времени и тарифам нахожу расстояния: Теперь, когда у меня есть длины двух ножки, могу составить треугольник: Я могу найти расстояние, используя теорему Пифагора: 165 находится напротив неизвестного угла, а 143 — рядом, поэтому я буду использовать обратное отношение тангенса, чтобы найти размер угла: Но это не «подшипник», так как пеленг — это угол по отношению к «правильному северу».Мне нужно добавить исходный угол в сорок градусов, чтобы получить ответ: Самолет находится на расстоянии около 218 миль с азимутом около 89 ° . Другой крупный класс слов в форме прямоугольного треугольника проблемы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, — это углы возвышение и депрессия …. Вверх | Вернуться к индексу Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.»Задачи о прямоугольных словах». Пурпурная Математика . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/rghtprob.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Здание встречается с землей под прямым углом.Верх 10-футовой лестницы размещается у нижнего края окна в b

.

x — количество взрослых билетов

y — количество студенческих билетов

{10,5x + 8,5y = 149,5

{x + y = 15

{x = 15 — y

{10,5 (15 — y) + 8,5y = 149,5

{x = 15 — y

{157,5 — 10,5y + 8,5y = 149,5

{x = 15 — y

{-2y = -8

{y = 4

{ x = 11

Купили 11 взрослых билетов.

Во-первых, мы должны найти, сколько раз 10 переходит в 15.

Мы можем разделить 15 на 10, и мы увидим, что 10 переходит в 15 1 все время, с оставшимися 5/10.

Теперь мы можем упростить!

Для упрощения мы должны найти GCF (наибольший общий множитель) 5 и 10. Перечислим факторы (числа, которые можно разделить на 5 и 10)

1 * 5

1 * 10
2 * 5

Наибольший коэффициент, как мы видим, равен 5! Давай решим 5 из 10 на 5.

5/5 = 1
10/5 = 2

Итак, 5/10 упрощается до 1/2, и, если мы уменьшим целое число, которое мы нашли ранее, 15/10 равно 1 и 1/2. ! 🙂

Мы можем проверить этот ответ, умножив целое число 1 на знаменатель (нижнее число дроби) 2 и прибавив числитель (верхнее число дроби) 1.

1 * 2 = 2
2 + 1 = 3

Оставьте знаменатель 2.

Неправильная дробь равна 3/2, что эквивалентно 15/10 (умножьте 3/2 на 5, чтобы увидеть)!

Итак, наш ответ — 1 1/2.

Надеюсь, я помог! 🙂

Ответ:

можно увидеть треугольник?

Пошаговое объяснение:

Пошаговое объяснение:

У меня нет ответа, но я думаю, он хочет, чтобы вы преобразовали ml в ярды, чтобы выяснить, насколько велик Колорадо.

Ответ: 90

Пошаговое объяснение:

20 + 3 (7 + 4) + 5 + 2 (7 + 9)

20 + 3 × 11 + 5 + 2 × 16

20 + 33 + 5 + 32

90

Тригонометрия прямоугольного треугольника | Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

• Используйте прямоугольные треугольники для вычисления тригонометрических функций.
• Найти значения функций для [latex] \, 30 ° \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right), 45 ° \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right), [/ latex] и [латекс] \, 60 ° \ влево (\ frac {\ pi} {3} \ right).[/ латекс]
• Используйте одинаковые функции дополнительных углов.
• Используйте определения тригонометрических функций любого угла.
• Используйте тригонометрию прямоугольного треугольника для решения прикладных задач.

Эверест, расположенный на границе между Китаем и Непалом, является самой высокой горой в мире. Измерение его высоты — непростая задача, и, фактически, фактическое измерение было источником споров на протяжении сотен лет. В процессе измерения используются треугольники и раздел математики, известный как тригонометрия.В этом разделе мы определим новую группу функций, известных как тригонометрические функции, и узнаем, как их можно использовать для измерения высоты, например, высот самых высоких гор.

Использование прямоугольных треугольников для вычисления тригонометрических функций

(Рисунок) показывает прямоугольный треугольник с вертикальной стороной длиной [латекс] \, y \, [/ latex] и горизонтальной стороной длиной [латекс] \, x. \, [/ Latex]. Обратите внимание, что треугольник вписанный в круг радиуса 1. Такой круг с центром в начале координат и радиусом 1 известен как единичный круг.

Рисунок 1.

Мы можем определить тригонометрические функции в терминах угла t и длин сторон треугольника. Соседняя сторона — это сторона, ближайшая к углу, x . («Соседний» означает «рядом».) Противоположная сторона — это сторона, противоположная углу, y . Гипотенуза — это сторона треугольника, противоположная прямому углу, 1. Эти стороны обозначены на (Рисунок).

Рисунок 2. Стороны прямоугольного треугольника относительно угла [латекс] \, t [/ латекс]

Для прямоугольного треугольника с острым углом [латекс] \, t, [/ латекс] перечислены первые три тригонометрические функции.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ phantom {\ rule {2.5em} {0ex}} \ text {Sine} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {sin} t \ hfill & = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ phantom {\ rule {1.5em} {0ex}} \ text {Cosine} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {cos} t \ hfill & = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {Tangent} & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {tan} t \ hfill & = \ frac {\ text {напротив} } {\ text {смежный}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Распространенным мнемоническим символом для запоминания этих отношений является SohCahToa, образованный из первых букв « S » — это o pposite на h ypotenuse, C osine is a djacent над h ypotenuse, T angent составляет o pposite over a djacent.”

Для треугольника, показанного на (Рисунок), мы имеем следующее.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {sin} t & = & \ frac {y} {1} \ hfill \\ \ hfill \ text {cos} t & = & \ frac {x} { 1} \ hfill \\ \ hfill \ text {tan} t & = & \ frac {y} {x} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Как это сделать

Зная длины сторон прямоугольного треугольника и один из острых углов, найдите синус, косинус и тангенс этого угла.

1. Найдите синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе.
2. Найдите косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе.
3. Найдите касательную как отношение противоположной стороны к смежной стороне.

Вычисление тригонометрической функции прямоугольного треугольника

Для треугольника, показанного на (Рисунок), найдите значение [latex] \, \ mathrm {cos} \, \ alpha. [/ Latex]

Рисунок 3.

Показать решение

Сторона, прилегающая к углу, равна 15, а гипотенуза треугольника равна 17.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ mathrm {cos} \ left (\ alpha \ right) & = & \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \ hfill \\ & = & \ frac {15} {17} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Для треугольника, показанного на (Рисунок), найдите значение [latex] \, \ text {sin} \, t. [/ Latex]

Рисунок 4.

Показать решение

[латекс] \ frac {7} {25} [/ латекс]

Взаимные функции

Помимо синуса, косинуса и тангенса, есть еще три функции.Они тоже определяются в терминах сторон треугольника.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ phantom {\ rule {2em} {0ex}} \ text {Secant} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {sec} t \ hfill & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ phantom {\ rule {1.3em} {0ex}} \ text {Cosecant} & \ hfill \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text { csc} t & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {Cotangent} & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {cot} t & = \ frac {\ text {смежный}} {\ текст {напротив}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Взгляните еще раз на эти определения.Эти функции являются аналогами первых трех функций.

[латекс] \ begin {array} {cccccc} \ hfill \ text {sin} t & = & \ frac {1} {\ text {csc} t} \ hfill & \ hfill \ phantom {\ rule {2em} {0ex }} \ text {csc} t & = & \ frac {1} {\ text {sin} t} \ hfill \\ \ hfill \ text {cos} t & = & \ frac {1} {\ text {sec} t} \ hfill & \ hfill \ phantom {\ rule {2em} {0ex}} \ text {sec} t & = & \ frac {1} {\ text {cos} t} \ hfill \\ \ hfill \ text {tan} t & = & \ frac {1} {\ text {cot} t} \ hfill & \ hfill \ phantom {\ rule {2em} {0ex}} \ text {cot} t & = & \ frac {1} {\ text {tan } t} \ hfill \ end {array} [/ latex]

При работе с прямоугольными треугольниками имейте в виду, что одни и те же правила применяются независимо от ориентации треугольника.Фактически, мы можем вычислить шесть тригонометрических функций любого из двух острых углов в треугольнике (рисунок). Сторона, противоположная одному острому углу, является стороной, смежной с другим острым углом, и наоборот.

Рис. 5. Сторона, прилегающая к одному углу, противоположна другому углу.

Во многих задачах требуются все шесть тригонометрических функций для заданного угла в треугольнике. Возможная стратегия — сначала найти синус, косинус и тангенс углов.Затем легко найдите другие тригонометрические функции, используя обратные.

Как это сделать

Учитывая длины сторон прямоугольного треугольника, вычислите шесть тригонометрических функций одного из острых углов.

1. При необходимости нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте полученный угол.
2. Укажите угол, прилегающую сторону, сторону, противоположную углу, и гипотенузу прямоугольного треугольника.
3. Найдите нужную функцию:
   • синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
   • Косинус как отношение соседней стороны к гипотенузе
   • касательная как отношение противоположной стороны к соседней стороне
   • Секанс как отношение гипотенузы к смежной стороне
   • косеканс как отношение гипотенузы к противоположной стороне
   • Котангенс как отношение соседней стороны к противоположной

Оценка тригонометрических функций углов, не находящихся в стандартном положении

Используя треугольник, показанный на (Рисунок), оцените [latex] \, \ mathrm {sin} \, \ alpha, \ mathrm {cos} \, \ alpha, \ mathrm {tan} \, \ alpha, \ mathrm {sec } \, \ alpha, \ mathrm {csc} \, \ alpha, \ text {and} \, \ mathrm {cot} \, \ alpha.[/ латекс]

Рисунок 6.

Показать решение

[латекс] \ begin {массив} {ccc} \ hfill \ text {sin} \ alpha & = \ frac {\ text {противоположный} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} \ hfill & = \ frac {4} {5} \ hfill \\ \ hfill \ text {cos} \ alpha & = \ frac {\ text {смежный с} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} \ hfill & = \ frac {3} {5} \ hfill \\ \ hfill \ text {tan} \ alpha & = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {примыкает к} \ alpha} \ hfill & = \ frac {4} {3} \ hfill \ \ \ hfill \ text {sec} \ alpha & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {рядом с} \ alpha} \ hfill & = \ frac {5} {3} \ hfill \\ \ hfill \ текст {csc} \ alpha & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив} \ alpha} \ hfill & = \ frac {5} {4} \ hfill \\ \ hfill \ text {cot} \ alpha & = \ frac {\ text {смежный с} \ alpha} {\ text {противоположный} \ alpha} \ hfill & = \ frac {3} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ

Другой подход — сначала найти синус, косинус и тангенс.Затем найдите их взаимные значения, чтобы определить другие функции.

[латекс] \ text {sec} \ alpha = \ frac {1} {\ text {cos} \ alpha} = \ frac {1} {\ frac {3} {5}} = \ frac {5} {3 } [/ латекс]

[латекс] \ text {csc} \ alpha = \ frac {1} {\ text {csc} \ alpha} = \ frac {1} {\ frac {4} {5}} = \ frac {5} {4 } [/ латекс]

[латекс] \ text {cot} \ alpha = \ frac {1} {\ text {tan} \ alpha} = \ frac {1} {\ frac {4} {3}} = \ frac {3} {4 } [/ латекс]

Попробуйте

Используя треугольник, показанный на (Рисунок), оцените [latex] \, \ text {sin} \, t, \ text {cos} \, t, \ text {tan} \, t, \ text {sec} \, t, \ text {csc} \, t, \ text {и} \, \ text {cot} \, t.[/ латекс]

Рисунок 7.

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {ccccccccc} \ hfill \ text {sin} t & = & \ frac {33} {65}, \ hfill & \ hfill \ text {cos} t & = & \ frac {56} { 65}, \ hfill & \ hfill \ text {tan} t & = & \ frac {33} {56}, \ hfill \\ \ hfill \ text {sec} t & = & \ frac {65} {56}, \ hfill & \ hfill \ text {csc} t & = & \ frac {65} {33}, \ hfill & \ hfill \ text {cot} t & = & \ frac {56} {33} \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Нахождение тригонометрических функций специальных углов по длинам сторон

Полезно оценить тригонометрические функции, поскольку они относятся к особым углам — кратным [латекс] \, 30 °, 60 °, [/ латекс] и [латекс] \, 45 °.\, [/ latex] Помните, однако, что при работе с прямоугольными треугольниками мы ограничены углами между [latex] \, 0 ° \ text {и 90 °} \ text {.} [/ latex]

Предположим, у нас есть треугольник [латекс] \, 30 °, 60 °, 90 ° \, [/ латекс], который также можно описать как [латекс] \, \ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] треугольник. Стороны имеют длину в соотношении [латекс] \, s, \ sqrt {3} s, 2s. \, [/ Latex] Стороны [латекса] \, 45 °, 45 °, 90 ° \, [/ латексный] треугольник, который также можно описать как [латекс] \, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex ] треугольник, имеют длины в соотношении [латекс] \, s, s, \ sqrt {2} s.\, [/ latex] Эти отношения показаны на (Рисунок).

Рисунок 8. Длины сторон особых треугольников

Затем мы можем использовать отношения длин сторон для оценки тригонометрических функций специальных углов.

Как это сделать

Даны тригонометрические функции специального угла, вычислить с помощью длин сторон.

1. Используйте длины сторон, показанные на (Рисунок), для особого угла, который вы хотите оценить.
2. Используйте соотношение длин сторон, соответствующее функции, которую вы хотите оценить.

Оценка тригонометрических функций специальных углов с использованием длин сторон

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \, \ frac {\ pi} {3}, [/ latex], используя длины сторон.

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ hfill \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) & = \ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp }} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3s}} {2s} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill & \\ \ hfill \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) & = \ frac {\ text {adj}} {\ text {hyp}} \ hfill & = \ frac {s} {2s} \ hfill & = \ frac {1} {2} \ hfill & \\ \ hfill \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) & = \ frac {\ text {opp}} {\ text {adj}} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3} s} {s} \ hfill & = \ sqrt {3} \ hfill & \\ \ hfill \ mathrm {sec} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right ) & = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {adj}} \ hfill & = \ frac {2s} {s} \ hfill & = 2 \ hfill & \\ \ hfill \ mathrm {csc} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) & = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {opp}} \ hfill & = \ frac {2s} {\ sqrt {3} s} \ hfill & = \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ hfill & = \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \ hfill \\ \ hfill \ mathrm {cot} \ left (\ frac {\ pi } {3} \ right) & = \ frac {\ text {adj}} {\ text {opp}} \ hfill & = \ frac {s} {\ sqrt {3} s} \ hfill & = \ frac {1 } {\ sqrt {3}} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3}} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \, \ frac {\ pi} {4}, [/ latex], используя длины сторон.

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {sin} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) & = & \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ text {cos} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {4 } \ right) = 1, \ hfill \\ \ hfill \ text {sec} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) & = & \ sqrt {2}, \ text {csc} \ left ( \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ sqrt {2}, \ text {cot} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Использование равных функций дополнений

Если мы более внимательно посмотрим на соотношение между синусом и косинусом особых углов, мы заметим закономерность.В прямоугольном треугольнике с углами [latex] \, \ frac {\ pi} {6} \, [/ latex] и [latex] \, \ frac {\ pi} {3}, [/ latex] мы видим, что синус [latex] \, \ frac {\ pi} {3}, [/ latex], а именно [latex] \, \ frac {\ sqrt {3}} {2}, [/ latex] также является косинусом [latex] \, \ frac {\ pi} {6}, [/ latex] в то время как синус [latex] \, \ frac {\ pi} {6}, [/ latex], а именно [latex] \, \ frac {1} {2}, [/ latex] также является косинусом [latex] \, \ frac {\ pi} {3}. [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ mathrm {sin} \ frac {\ pi} {3} & = \ mathrm {cos} \ frac {\ pi} {6} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} \ hfill & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ hfill \ mathrm {sin} \ frac {\ pi} {6} & = \ mathrm {cos} \ frac {\ pi} {3} \ hfill & = \ frac {s} {2s} \ hfill & = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

См. (Рисунок).

Рис. 9. Синус [latex] \, \ frac {\ pi} {3} \, [/ latex] равен косинусу [latex] \, \ frac {\ pi} {6} \, [ / латекс] и наоборот.

Этот результат не должен вызывать удивления, потому что, как мы видим из (Рисунок), сторона, противоположная углу [latex] \, \ frac {\ pi} {3} \, [/ latex], также является стороной, смежной с [ латекс] \, \ frac {\ pi} {6}, [/ latex] так [латекс] \, \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \, [/ latex] и [латекс] \, \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \, [/ latex] имеют точно такое же соотношение тех же двух сторон, [latex] \, \ sqrt {3} с \, [/ латекс] и [латекс] \, 2с.\, [/ latex] Аналогично [latex] \, \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \, [/ latex] и [latex] \, \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \, [/ latex] также имеют такое же соотношение с теми же двумя сторонами, [latex] \, s \, [/ latex] и [latex] \, 2с. [/ Латекс]

Взаимосвязь между синусами и косинусами [latex] \, \ frac {\ pi} {6} \, [/ latex] и [latex] \, \ frac {\ pi} {3} \, [/ latex] также справедливо для двух острых углов в любом прямоугольном треугольнике, поскольку в любом случае отношение одних и тех же двух сторон будет составлять синус одного угла и косинус другого.Поскольку три угла треугольника складываются в [латекс] \, \ pi, [/ latex], а прямой угол равен [latex] \, \ frac {\ pi} {2}, [/ latex], оставшиеся два угла должны также добавьте до [latex] \, \ frac {\ pi} {2}. \, [/ latex] Это означает, что прямоугольный треугольник может быть образован с любыми двумя углами, которые складываются с [latex] \, \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] — другими словами, любые два дополнительных угла. Таким образом, мы можем сформулировать идентификатор совместной функции : если любые два угла дополняют друг друга, синус одного является косинусом другого, и наоборот.Эта идентичность проиллюстрирована на (Рисунок).

Рис. 10. Идентичность совместных функций синуса и косинуса дополнительных углов

Используя это тождество, мы можем заявить, не вычисляя, например, что синус [latex] \, \ frac {\ pi} {12} \, [/ latex] равен косинусу [latex] \, \ frac { 5 \ pi} {12}, [/ latex] и что синус [latex] \, \ frac {5 \ pi} {12} \, [/ latex] равен косинусу [latex] \, \ frac { \ pi} {12}. \, [/ latex] Мы также можем заявить, что если для данного угла [латекс] \, t, \ mathrm {cos} \ text {} t = \ frac {5} {13} , [/ latex], затем [latex] \, \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) = \ frac {5} {13} \, [/ latex] также .

Идентификаторы совместных функций

Идентификаторы совместных функций в радианах перечислены на (Рисунок).

[латекс] \ mathrm {cos} \, t = \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ mathrm {sin} \, t = \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ mathrm {tan} \, t = \ mathrm {cot} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ mathrm {cot} \, t = \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
[латекс] \ mathrm {sec} \, t = \ mathrm {csc} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]	[латекс] \ mathrm {csc} \, t = \ mathrm {sec} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]

Как это сделать

Зная синус и косинус угла, найдите синус или косинус его дополнения.

1. Чтобы найти синус дополнительного угла, найдите косинус исходного угла.
2. Чтобы найти косинус дополнительного угла, найдите синус исходного угла.

Использование идентификаторов совместных функций

Если [латекс] \, \ mathrm {sin} \, t = \ frac {5} {12}, [/ latex], найдите [латекс] \, \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} { 2} -t \ right). [/ Latex]

Показать решение

Согласно тождествам совместных функций для синуса и косинуса, мы имеем следующее.

[латекс] \ mathrm {sin} \, t = \ mathrm {cos} \, \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]

Так

[латекс] \ mathrm {cos} \, \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) = \ frac {5} {12} [/ latex]

Попробуйте

Если [latex] \, \ mathrm {csc} \, \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = 2, [/ latex] найдите [latex] \, \ mathrm {sec} \, \ влево (\ frac {\ pi} {3} \ right). [/ latex]

Использование тригонометрических функций

В предыдущих примерах мы вычисляли синус и косинус в треугольниках, где мы знали все три стороны.Но настоящая сила тригонометрии прямоугольного треугольника проявляется, когда мы смотрим на треугольники, в которых мы знаем угол, но не знаем всех сторон.

Как это сделать

Дан прямоугольный треугольник, длина одной стороны и величина острого угла. Найдите остальные стороны.

1. Для каждой стороны выберите тригонометрическую функцию с неизвестной стороной в качестве числителя или знаменателя. Известная сторона, в свою очередь, будет знаменателем или числителем.
2. Напишите уравнение, устанавливающее значение функции известного угла, равное отношению соответствующих сторон.
3. Используя значение тригонометрической функции и известную длину стороны, найдите недостающую длину стороны.

Поиск недостающих длин сторон с использованием тригонометрических соотношений

Найдите неизвестные стороны треугольника на (Рисунок).

Рисунок 11.

Показать решение

Мы знаем угол и противоположную сторону, поэтому мы можем использовать касательную, чтобы найти прилегающую сторону.

[латекс] \ mathrm {tan} \ left (30 ° \ right) = \ frac {7} {a} [/ latex]

Переставляем решать для [latex] \, a. [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill a & = & \ frac {7} {\ mathrm {tan} \ left (30 ° \ right)} \ hfill \\ & \ приблизительно & 12.1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Мы можем использовать синус, чтобы найти гипотенузу.

[латекс] \ mathrm {sin} \ left (30 ° \ right) = \ frac {7} {c} [/ latex]

Опять переставляем, чтобы решить для [latex] \, c. [/ Latex]

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill c & = & \ frac {7} {\ mathrm {sin} \ left (30 ° \ right)} \ hfill \\ & = & 14 \ hfill \ end { array} [/ latex]

Попробуйте

Прямоугольный треугольник имеет один угол [латекс] \, \ frac {\ pi} {3} \, [/ латекс] и гипотенузу 20.Найдите неизвестные стороны и угол треугольника.

Показать решение

[латекс] \ text {смежный} = 10; \ text {противоположный} = 10 \ sqrt {3}; [/ latex] отсутствующий угол [латекс] \, \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Использование тригонометрии прямоугольного треугольника для решения прикладных задач

Тригонометрия прямоугольного треугольника имеет множество практических применений. Например, способность вычислять длины сторон треугольника позволяет определить высоту высокого объекта, не взбираясь на вершину и не протягивая рулетку по его высоте.Мы делаем это, измеряя расстояние от основания объекта до точки на земле на некотором расстоянии, откуда мы можем смотреть на вершину высокого объекта под углом. Угол возвышения объекта над наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. Правый треугольник, создаваемый этим положением, имеет стороны, которые представляют неизвестную высоту, измеренное расстояние от основания и наклонную линию обзора от земли до вершины объекта.Зная измеренное расстояние до основания объекта и угол прямой видимости, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления неизвестной высоты.

Точно так же мы можем образовать треугольник из вершины высокого объекта, глядя вниз. Угол наклона объекта под наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. См. (Рисунок).

Рис. 12.

Как это сделать

Для высокого объекта измерьте его высоту косвенно.

1. Сделайте набросок проблемной ситуации, чтобы отслеживать известную и неизвестную информацию.
2. Разместите измеренное расстояние от основания объекта до точки, где верх объекта будет хорошо виден.
3. Посмотрите на верхнюю часть объекта на другом конце измеренного расстояния. Измерьте угол, под которым линия визирования образует горизонталь.
4. Напишите уравнение, связывающее неизвестную высоту, измеренное расстояние и тангенс угла линии визирования.
5. Решите уравнение для неизвестной высоты.

Косвенное измерение расстояния

Чтобы определить высоту дерева, человек подходит к точке в 30 футах от основания дерева. Она измеряет угол [латекс] \, 57 ° \, [/ латекс] между линией обзора верхушки дерева и землей, как показано на (Рисунок). Найдите высоту дерева.

Рисунок 13.

Показать решение

Мы знаем, что угол подъема составляет [латекс] \, 57 ° \, [/ латекс], а длина прилегающей стороны составляет 30 футов.Противоположная сторона — неизвестная высота.

Тригонометрическая функция, связывающая сторону, противоположную углу, и сторону, прилегающую к углу, является касательной. Таким образом, мы будем формулировать нашу информацию в терминах тангенса [латекса] \, 57 °, [/ latex], позволяя [latex] \, h \, [/ latex] быть неизвестной высотой.

[латекс] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ text {tan} \ theta & = & \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} \ hfill & \\ \ hfill \ text { tan} \ left (57 ° \ right) & = & \ frac {h} {30} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {Решить для} h.\ hfill \\ \ hfill h & = & \ text {30tan} \ left (\ text {57 °} \ right) \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {Multiply} \ text {. } \ hfill \\ \ hfill h & \ приблизительно & 46.2 \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {Используйте калькулятор} \ text {.} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Дерево примерно 46 футов в высоту.

Попробуйте

Какова длина лестницы, чтобы добраться до подоконника на высоте 50 футов над землей, если лестница упирается в здание под углом [латекс] \, \ frac {5 \ pi} {12} \, [/ латекс] с земля? Округлите до ближайшего фута.

Ключевые уравнения

Тригонометрические функции	[латекс] \ begin {array} {cc} \ text {Sine} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {sin} t = \ frac {\ text {напротив}} {\ текст {гипотенуза}} \ hfill \\ \ text {косинус} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {cos} t = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {гипотенуза }} \ hfill \\ \ text {Tangent} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {tan} t = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {смежный}} \ hfill \\ \ text {Secant} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {sec} t = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \ hfill \\ \ text {Cosecant} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {csc} t = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \ hfill \\ \ text { Котангенс} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {cot} t = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \ hfill \ end {array} [/ latex ]
Взаимные тригонометрические функции	[латекс] \ begin {array} {cc} \ text {sin} t = \ frac {1} {\ text {csc} t} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text { csc} t = \ frac {1} {\ text {sin} t} \ hfill \\ \ text {cos} t = \ frac {1} {\ text {sec} t} \ hfill & \ phantom {\ rule { 1em} {0ex}} \ text {sec} t = \ frac {1} {\ text {cos} t} \ hfill \\ \ text {tan} t = \ frac {1} {\ text {cot} t} \ hfill & \ phantom {\ rule {1em} {0ex}} \ text {cot} t = \ frac {1} {\ text {tan} t} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Идентификаторы совместных функций	[латекс] \ begin {array} {c} \ text {cos} t = \ mathrm {sin} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \ hfill \\ \ text {sin} t = \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \ hfill \\ \ text {tan} t = \ mathrm {cot} \ left (\ frac {\ pi} { 2} -t \ right) \ hfill \\ \ text {cot} t = \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \ hfill \\ \ text {sec} t = \ mathrm {csc} \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ключевые понятия

• Мы можем определить тригонометрические функции как отношения длин сторон прямоугольного треугольника.См. (Рисунок).
• Можно использовать одинаковые длины сторон для оценки тригонометрических функций любого острого угла в прямоугольном треугольнике. См. (Рисунок).
• Мы можем оценить тригонометрические функции особых углов, зная длины сторон треугольников, в которых они встречаются. См. (Рисунок).
• Любые два дополнительных угла могут быть двумя острыми углами прямоугольного треугольника.
• Если два угла дополняют друг друга, тождества совместных функций утверждают, что синус одного равен косинусу другого и наоборот.См. (Рисунок).
• Мы можем использовать тригонометрические функции угла, чтобы найти неизвестные длины сторон.
• Выберите тригонометрическую функцию, представляющую отношение неизвестной стороны к известной стороне. См. (Рисунок).
• Тригонометрия прямоугольного треугольника облегчает измерение недоступных высот и расстояний.
• Неизвестную высоту или расстояние можно найти, создав прямоугольный треугольник, в котором неизвестная высота или расстояние являются одной из сторон, а другая сторона и угол известны.См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Для данного прямоугольного треугольника отметьте прилегающую сторону, противоположную сторону и гипотенузу для указанного угла.

Показать решение

Когда прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 помещен в круг радиуса 1, какие стороны треугольника соответствуют координатам x и y ?

Тангенс угла сравнивает стороны прямоугольного треугольника?

Показать решение

Тангенс угла — это отношение противоположной стороны к смежной стороне.

Какая связь между двумя острыми углами в прямоугольном треугольнике?

Объясните идентичность совместной функции.

Показать решение

Например, синус угла равен косинусу его дополнения; косинус угла равен синусу его дополнения.

Алгебраические

В следующих упражнениях используйте функции дополнительных углов.

[латекс] \ mathrm {cos} \ left (34 ° \ right) = \ mathrm {sin} \ left (\ _ \ _ \ _ ° \ right) [/ latex]

[латекс] \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ mathrm {sin} \ left (\ _ \ _ \ _ \ right) [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {csc} \ left (21 ° \ right) = \ mathrm {sec} \ left (\ _ \ _ \ _ ° \ right) [/ latex]

[латекс] \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = \ mathrm {cot} \ left (\ _ \ _ \ _ \ right) [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

Для следующих упражнений найдите длины недостающих сторон, если сторона [латекс] \, a \, [/ latex] находится под противоположным углом [латекс] \, A, [/ latex] сторона [латекс] \, b \, [/ latex] — это противоположный угол [latex] \, B, [/ latex], а сторона [latex] \, c \, [/ latex] — гипотенуза.

[латекс] \ mathrm {cos} \, B = \ frac {4} {5}, a = 10 [/ latex]

[латекс] \ mathrm {sin} \, B = \ frac {1} {2}, a = 20 [/ latex]

Показать решение

[латекс] b = \ frac {20 \ sqrt {3}} {3}, c = \ frac {40 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {tan} \, A = \ frac {5} {12}, b = 6 [/ latex]

[латекс] \ mathrm {tan} \, A = 100, b = 100 [/ латекс]

Показать решение

[латекс] a = 10,000, c = 10,00,5 [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {sin} \, B = \ frac {1} {\ sqrt {3}}, a = 2 [/ latex]

[латекс] a = 5, \ измеренный угол \, A = 60 ° [/ латекс]

Показать решение

[латекс] b = \ frac {5 \ sqrt {3}} {3}, c = \ frac {10 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс]

[латекс] c = 12, \ измеренный угол \, A = 45 ° [/ латекс]

Графический

Для следующих упражнений используйте (Рисунок), чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] \, A.[/ латекс]

Рисунок 14.

[латекс] \ mathrm {sin} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {5 \ sqrt {29}} {29} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {cos} \, A [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {tan} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {5} {2} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {csc} \, A [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {sec} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ sqrt {29}} {2} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {cot} \, A [/ латекс]

Для следующих упражнений используйте (Рисунок), чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] \, A.[/ латекс]

Рисунок 15.

[латекс] \ mathrm {sin} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {5 \ sqrt {41}} {41} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {cos} \, A [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {tan} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {5} {4} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {csc} \, A [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {sec} \, A [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ sqrt {41}} {4} [/ латекс]

[латекс] \ mathrm {cot} \, A [/ латекс]

Для следующих упражнений решите неизвестные стороны данного треугольника.

Показать решение

[латекс] c = 14, b = 7 \ sqrt {3} [/ латекс]

Технологии

Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти длину каждой стороны с точностью до четырех знаков после запятой.

Показать решение

[латекс] b = 9,9970, c = 12,2041 [/ латекс]

Показать решение

[латекс] a = 2,0838, b = 11,8177 [/ латекс]

[латекс] b = 15, \ измеренный угол \, B = 15 ° [/ латекс]

Показать решение

[латекс] a = 55,9808, c = 57,9555 [/ латекс]

[латекс] c = 200, \ измеренный угол \, B = 5 ° [/ латекс]

[латекс] c = 50, \ измеренный угол \, B = 21 ° [/ латекс]

Показать решение

[латекс] а = 46.6790, b = 17.9184 [/ латекс]

[латекс] a = 30, \ измеренный угол \, A = 27 ° [/ латекс]

[латекс] b = 3,5, \ измеренный угол \, A = 78 ° [/ латекс]

Показать решение

[латекс] a = 16,4662, c = 16,8341 [/ латекс]

Расширения

Найди [латекс] \, х. [/ Латекс]

Найди [латекс] \, х. [/ Латекс]

Найди [латекс] \, х. [/ Латекс]

Найди [латекс] \, х. [/ Латекс]

Радиовышка находится в 400 футах от здания.Из окна в здании человек определяет, что угол подъема к вершине башни составляет [латекс] \, 36 °, [/ латекс], а угол наклона к низу башни составляет [латекс] \, 23 °. \, [/ Latex] Насколько высока башня?

Радиовышка расположена в 325 футах от здания. Из окна в здании человек определяет, что угол подъема к вершине башни составляет [латекс] \, 43 °, [/ латекс], а угол наклона к низу башни составляет [латекс] \, 31 °.\, [/ latex] Насколько высока башня?

Вдали находится памятник высотой 200 футов. Из окна в здании человек определяет, что угол подъема к вершине памятника составляет [латекс] \, 15 °, [/ латекс], а угол наклона к низу памятника составляет [латекс] \, 2 °. \, [/ Latex] Как далеко от памятника находится человек?

Вдали находится памятник высотой 400 футов. Из окна в здании человек определяет, что угол подъема к вершине памятника составляет [латекс] \, 18 °, [/ латекс], а угол наклона к низу памятника составляет [латекс] \, 3 °.\, [/ latex] Как далеко человек от памятника?

На крыше здания есть антенна. Из места в 300 футах от основания здания угол подъема к верху здания измеряется как [латекс] \, 40 °. \, [/ Латекс]. Из того же места угол подъема до верхняя часть антенны измеряется как [латекс] \, 43 °. \, [/ латекс] Найдите высоту антенны.

На крыше здания установлен громоотвод. С точки в 500 футах от основания здания угол подъема на верхнюю часть здания измеряется как [латекс] \, 36 °.\, [/ latex] Из того же места измеренный угол подъема до вершины громоотвода составляет [латекс] \, 38 °. \, [/ latex] Найдите высоту громоотвода.

Реальные приложения

33-футовая лестница прислоняется к зданию так, чтобы угол между землей и лестницей составлял [латекс] \, 80 °. \, [/ Латекс] Насколько высоко лестница поднимается вверх по стене здания?

23-футовая лестница прислоняется к зданию, так что угол между землей и лестницей составляет [латекс] \, 80 °.\, [/ latex] Насколько высоко лестница поднимается к стене здания?

Угол подъема на верхнюю часть здания в Нью-Йорке составляет 9 градусов от земли на расстоянии 1 мили от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.

Угол подъема к вершине здания в Сиэтле составляет 2 градуса от земли на расстоянии 2 миль от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.

Если предположить, что гигантское красное дерево высотой 370 футов растет вертикально, если я отойду от дерева на определенное расстояние и измерю угол подъема до вершины дерева, который составит [латекс] \, 60 °, [/ латекс] насколько далеко от основания дерева я?

Глоссарий

смежная сторона

в прямоугольном треугольнике, сторона между заданным углом и прямым углом

угол наклона

угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен ниже, чем наблюдатель

угол возвышения

угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен выше, чем наблюдатель

противоположная сторона

в прямоугольном треугольнике со стороной, наиболее удаленной от заданного угла

гипотенуза

сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла

единичный круг

круг с центром в точке [латекс] \, \ влево (0,0 \ вправо) \, [/ латекс] и радиусом 1

.

No related posts.