Как проверить прямой угол: простая технология

Чтобы проверить прямой угол, поможет очень старая и простая столярная хитрость. По сути, эта базовая хитрость и не хитрость вовсе. Она основана на теореме Пифагора, которая гласит «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы». Звучит сложно? Вовсе нет! Давайте разбираться.

Что вы узнаете

Как проверить прямой угол

Если вы хотите проверить, является ли ваше изделие или какая-то его часть строго прямоугольными, используя математику, сделайте следующее. Выберите один угол и с помощью комбинированного угольника предварительно проверьте, действительно ли он является прямым. Затем с помощью рулетки измерьте длину одной из сторон, составляющей прямой угол, и на калькуляторе умножьте полученное число на само себя (или, иными словами, возведите его в квадрат). Запишите это число или сохраните в памяти калькулятора.

Затем измерьте длину второй стороны, которая составляет прямой угол. Проделайте ту же операцию – умножьте это число на само себя. Затем сложите полученное число с тем, которые вы записали до этого. Одна часть уравнения готова!

Чтобы получить третью величину, измерьте расстояние от свободного конца одной стороны до свободного конца другой стороны. Это будет гипотенузой. Умножьте длину гипотенузы на саму себя. Если полученное число совпадает с суммой, которую вы получили до этого (когда складывали квадраты двух сторон), то угол действительно прямой.

Как проверить прямоугольник?

В столярном деле часто используют так называемое «правило 3-4-5». Вы всегда можете использовать его, чтобы определить прямой угол по любой шкале при разметке.

Однако есть более точный (и гораздо более быстрый) способ определить, является ли ваше изделие прямоугольным. Просто измерьте диагонали предполагаемого прямоугольника. Если диагональ, проведённая из левого нижнего в правый верхний угол в точности совпадает по длине с диагональю, проведённой из правого нижнего в левый верхний угол, то элементы действительно составляют прямоугольник.

А что же делать, если их длины не совпали? Скорректируйте изделие. Выберите ту диагональ, которая получилась длиннее, и слегка подтолкните один из её углов внутрь. После этого повторите измерения. Продолжайте корректировать положение до тех пор, пока длины диагоналей не буду совпадать.

Просто? Конечно! Теперь и вы можете использовать этот способ в своей работе.

Автор статьи:

Александра

Изучаю инженерное проектирование, механику, архитектуру и дизайн. Люблю создавать вещи своими руками

Подготовительные задачи к решению С4. Задача 2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите стороны треугольника

Математика — Планиметрия.

ПЛАНИМЕТРИЯ. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К РЕШЕНИЮ С4. ЗАДАЧА 2.     Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите стороны треугольника.   Решение:           А сумма этих двух углов будет равна 90о.               Так как медиана проведенная из прямого угла в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, то:           (углы при основании равнобедренного треугольника равны)     В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30о равен половине гипотенузы.     По теореме Пифагора из             Рекомендуемая литература:      < Предыдущая   Следующая >

Угол между прямой и плоскостью онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:

cosψ=cos(90−φ)=sinφ.

(3)

Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости

n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Тогда имеем:

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ.

(4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

или

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (

q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

 

Пример 2. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой

q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

Касательная к окружности, почему прямой угол?

Когда я проходил эту тему в школе лет 40 назад, у меня вообще в этом месте вопросов не возникало. Все вроде по умолчанию понятно, на инстинктивном уровне.  А тут, вишь ты, почему угол между касательной и радиусом именно прямой? Не 30, не 60, не 89,9, а именно 90°? Попробуй тут объясни.

— Вам что, на уроке не объясняли?

— Мы эту тему в прошлом году проходили. Я еще тогда ничего не поняла.

— Чего ж тогда не сказала?! Ладно, щас объясню.

Дочка у меня звезд с неба не хватает, но учится в целом неплохо. На геометрию давно жалуется, но за помощью не подходит. Ей проще за 5 минут найти и списать ГДЗ, чем полчаса, а то и час слушать мои объяснения вперемешку с язвительными замечаниями по поводу знаний.

В этот вечер, а точнее ночь, началось все с того, что в начале одиннадцатого жена погнала детей спать, на что дочка ответила, что у нее еще геометрия не сделана. Дальше состоялся эмоциональный диалог, который меня и разбудил. Я вышел из спальни помочь ребенку решить задачу.

Задача такая: Наибольшая диагональ ромба равна 24 см, наименьший угол между сторонами — 60°. Определить радиус окружности, вписанной в ромб.

— Мда… Так сразу не решу. — Я зевнул, прощаясь с остатками сна. — Давай эти словесные формулировки трансформируем в зрительные образы, так оно понятнее будет.

Я потянулся за тетрадью, но был остановлен.

— Это у меня чистовик!

— Оба-на! А черновик где?

— У меня нет черновика, я сразу в чистовик делаю.

Блллллин!.. Получается ребенок настолько ничего не понимает в геометрии, что даже черновик себе не завел. Тупо копирует ГДЗ в чистовик, даже не пытаясь разобраться. Плохи дела!

— Ну, — говорю, — то, что ты циркуль не любишь, потому что он колется, это я еще могу понять, планшетное поколение все-таки. Но вот как можно разобраться в задачах по геометрии без черновика? Ведь восьмой класс уже.

В общем, нашли листок в клетку. Я нарисовал ромб, диагонали, окружность, вписанную в ромб, радиусы окружности, проведенные в точки касания. Все это без циркуля, транспортира (тоже давно в руках у дочери не видел) и линейки. Только простой карандаш. Получилось примерно так:

Рисунок 652,1.

— Во! Совсем другое дело! Ну, смотри. Так как АС = 24 см, то ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см. При этом угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Пока понятно?

— Не совсем.

— Хорошо, попробуем поподробнее. Одна из особенностей ромбов в том, что между диагоналями ромба всегда образуются прямые углы, Т.е. угол АОВ — прямой. — Я добавил соответствующий значок на рисунок.

— Все потому, что любой ромб с одной диагональю можно рассматривать как два одинаковых равнобедренных треугольника с одной общей стороной. Например АDВ и DВС. Их общая сторона DВ — это и есть одна из диагоналей ромба. Далее, мы знаем, что у любого треугольника есть высота. Знаем, нет?

— Знаем.

— Уже хорошо. Высота — это прямая линия соединяющая вершину с основанием. Угол между высотой и основанием — 90°. У любого треугольника. Есть еще такое понятие, как биссектриса. Знаешь, что это?

— Да, такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

— Правильно. Так вот у равнобедренного треугольника высота и биссектриса совпадают. Таким образом АО – это высота треугольника АDВ и одновременно его биссектриса. Ну то есть так как треугольник АDВ равнобедренный, то у него равные по значению  2 стороны и два угла, а когда мы опускаем высоту из вершины, то получаем два прямоугольных треугольника АDО и АОВ. Два угла АDО и АОВ изначально были одинаковыми, прямые углы у треугольников тоже одинаковые. Соответственно и неизвестные углы тоже одинаковые и составляют половину от угла, из которого проведена высота. Если мы проведем биссектрису или высоту, что в данном случае одно и тоже, для угла DСВ, то высоты треугольников АDВ и DВС соединятся в одной точке, точке О и таким образом станут второй диагональю ромба. Вот поэтому угол между диагоналями ромба всегда прямой. Понятно?

— Пока да.

— А значит мы имеем прямоугольный треугольник АОВ, у которого одна сторона равна половине диагонали ОА = АС/2 = 24/2 = 12 см, а угол ОАВ= углу DАВ/2 = 60/2 = 30. Соответственно сторона ОВ чему равна?

Дело в том, что не смотря на восьмой класс, ученикам еще не рассказывали про синусы-косинусы (похоже берегут психику современных детей). Их просто заставили выучить следующую аксиому: У прямоугольного треугольника сторона, противоположная углу 30 равна 1/2 гипотенузы. Поэтому и в условии задачи угол DАВ = 60°.

— АО/2?

— Правильно, 6 см. – Тут я спросонья тупанул, перепутал катет с гипотенузой. – Осталось найти радиус… Так, значит, вот радиусы, вот стороны ромба, они касательные к окружности. Значит угол между радиусом ОМ и касательной АВ прямой. Так… Тут через подобие треугольников АМО и МОВ решать надо. Сейчас-сейчас… Ясно, что меньше 6 см, где то 5,1-5.2, но придется повозиться. А что там в твоем ГДЗ пишут?

— 6 см.

— Как 6 см?! Они гонят, ведь тут же!.. А нет, это я гоню, катет с гипотенузой перепутал. Не тот прямоугольный треугольник рассматривал. — Я добавил знак прямого угла в углу АМО. — Ну да, задача совсем простая, так как треугольник АОМ прямоугольный, то при угле ОАВ = 30° и длине гипотенузы АО = 12 см ОМ = АО/2 = 12/2 = 6 см. Стоило меня из-за такой мелочи будить?

— Па, а почему угол между радиусом и касательной — прямой?

Тут я понял, что начинать нужно действительно издалека и рассказал то, что изложено в начале статьи. Дочь слушала, но понимания в ее глазах я не видел.

— Хорошо, давай от противного. Предположим, что угол между радиусом и касательной не прямой. Что это означает? Это означает, что если мы проведем окружность через эту точку, а для этого как раз и нужен циркуль, то увидим, что линия пересекает окружность еще в одной точке. При этом угол ОАВ = углу АВС. А как мы уже говорили, если прямая имеет с окружностью две общих точки, то такая прямая не является касательной, а пересекает окружность, понятно?

— Пока не очень.

— Хорошо, копнем еще глубже. Вот смотри, есть некая прямая DN и есть несколько точек, например А, О, С. Как определить расстояние от DN до любой из этих точек?

— Провести прямую! — подсказала из спальни жена.

— Правильно. Но не просто прямую, а прямую, перпендикулярную DN и проходящую через рассматриваемую точку, например О. — Я нарисовал перпендикуляр и обозначения прямого угла. — Таким образом мы можем сказать, что линия ОN делит развернутый угол DMN (любую прямую мы можем рассматривать как развернутый угол) на два одинаковых угла и эти углы — прямые. Ну то есть линию DN мы можем соединить с точкой О любым количеством отрезков, но при этом все отрезки будут длиннее, чем отрезок ОМ. Вот смотри.

Я пририсовал отрезок NO.

— Таким образом мы получили прямоугольный треугольник MNO. Если мы представим, что ON — это радиус, то отрезок такой же длины будет у треугольника DMO. Тут мы как бы опять возвращаемся к особенностям равнобедренного треугольника, в данном случае треугольника DNO. То есть DM = DN, DO = ON, угол MDO = углу MNO, угол MOD = углу MON. И если мы теперь нарисуем окружность с радиусом ON, то увидим, что радиусы ON и DO — это не самые короткие расстояния до прямой DN. А самое короткое расстояние — это отрезок ОМ, который одновременно является высотой треугольника ODN и биссектрисой угла NOD. Так понятно?

— Вроде да. А почему любой треугольник, вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром окружности, является прямоугольным. Мы это недавно проходили, но я не поняла.

Было уже начало первого и я был не готов опять погружаться в глубины геометрии.

— Я тебе потом объясню. На синусах-косинусах, а сейчас уже время позднее, спи давай.

Тем не менее сам я заснуть не смог и начал крутить в полусонном уме эту задачку. Тут все не так наглядно, как с касательной, но тем не менее, должно же быть какое-то достаточно простое объяснение, понятное даже ученику восьмого класса?!

К 3 часам я нашел пару возможных объяснений.

1. Проведем радиус в точку В. Таким образом имеем 2 треугольника АВО и ВОС — оба равнобедренные, их бедра — радиусы окружности. Мы не знаем значения углов в этих треугольниках, но это не проблема! Например угол ВОА = х, то есть тупо нам неизвестен. Тогда угол ОВА = углу ОАВ = (180 -х)/2. По вышеизложенным причинам и потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

АОС — это у нас развернутый угол, равный 180°. Соответственно угол ВОС = 180 — х. Тогда угол ОВС = углу ОСВ = (180 — угол ВОС)/2 = (180 — 180 + х)/2 = х/2.

Так как угол АВС = угол ОВА + угол ОВС = (180 -х)/2 + х/2 = 180/2 = 90°. Вне зависимости от того, какое значение имеет неизвестная величина х.

Вроде бы красивое решение, но спать еще не хотелось (проклятый мозг перевозбудился). Поэтому второй возможный вариант выглядел так:

2. Вернемся к рисунку . Если мы продлим сторону ОN так, чтобы она стала диаметром, т.е. АN = D = 2R = 2ON, а точку А соединим с точкой D, то получим треугольник ADN.

У треугольника MNO и DNA есть общий угол MNO, ON = NA/2, MN = DN/2. Т.е. эти треугольники — подобные. Отсюда следует, что угол DAN = углу МОА, а угол ADN = углу OMN и является прямоугольным.

Но тут опять же, я рассуждал, то ли сидя, то ли лежа на вершине своего жизненного опыта. Я ж не знаю, какую тему дети уже проходили в школе, а какую — нет. Возможно и подобные треугольники будут для моей дочери великим откровением. Как знать?..

А какой вариант можете предложить вы? Мне-то по-любому еще придется искать решение под синусы-косинусы. В общем ни хрена я не выспался. Заснул только под утро, часов в 5 или в 6. Будь она неладна эта геометрия, не дает нормальным людям спать! А особенно касательная с окружности, да еще и под прямым углом.

P.S. Дочка на следующий день принесла из школы отличную оценку по геометрии, а из предложенных мной двух вариантов объяснения, почему любой треугольник вписанный в окружность так, что его гипотенуза совпадает с диаметром, является прямоугольным, выбрала второй. И вроде бы можно порадоваться, но меня смутил ответ на вопрос:

— Ну так что, теперь все понятно?

— Кое-что начинает проясняться.

Такие дела.

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Решение

Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

Ответ: k=-3.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

Ответ: α=arctg 3.

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

Ответ: 5π6.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b.  В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1),  в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0)  в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1).  Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

Решение

По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.

Ответ: y=-2x+7.

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1

Ответ: y=2x-1.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3

Ответ: x1=y-12-3.

Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y=17x-2⇔17x-y-2=0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 — нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.

Ответ: y=16x+14.

Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.

Ответ: y=32x-3.

Пример 11

Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x

Ответ: y=52x-6.

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

Ответ: k=2.

Построение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол, который прямая образует со своей проекцией на данную плоскость. Его величина может быть определена графически в соответствии с приведенным ниже алгоритмом.

Алгоритм построения

1. Из произвольной точки, взятой на прямой, проводят перпендикуляр к заданной плоскости.
2. Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла β° между построенным перпендикуляром и прямой.
3. Вычисляют искомый угол α° = 90° – β°.

Задача 1

Рассмотрим, как осуществляется описанный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже приведены построения, с помощью которых вычислен угол α° между прямой a и плоскостью γ, заданной параллельными прямыми c и d.

Решение

1. Строим проекции фронтали f и горизонтали h плоскости γ. Для этого используем вспомогательные точки 1 и 2, 3 и 4.
2. Из произвольной точки K, лежащей на прямой a, опускаем перпендикуляр b на плоскость γ. Как видно на рисунке, проекция b’⊥h’, а b»⊥f».
3. Определяем величину угла β° между прямыми a и b способом поворота вокруг линии уровня. Для этого сначала строим горизонталь h₁ и перпендикулярно её проекции h’₁ проводим луч K’O’. Центр поворота O’ = K’O’ ∩ h’₁.
   Определяем радиус вращения R как гипотенузу прямоугольного треугольника K₀K’O’, катет которого K₀K’ равен величине Z_O – Z_K. После этого по дуге окружности переводим точку K₀ в положение K’₁, как это показано на рисунке выше. Угол β° находится при вершине K’_1.
4. Вычисляем значение искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Задача 2

В данном примере прямая e занимает общее положение, а плоскость γ задана следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости достраивать горизонталь и фронталь, поскольку их роль выполняют следы h_0γ и f_0γ.

Решение

1. На прямой e возьмем произвольную точку N и из неё опустим перпендикуляр m на плоскость γ. Проекцию m’ нужно провести перпендикулярно h_0γ, а m»⊥f_0γ соответственно.
2. Определяем величину угла β° между прямыми m и е способом вращения вокруг линии уровня, в качестве которой в нашей задаче была использована горизонталь h.
3. Вычисляем величину искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Похожие задачи:

Конспект урока по математике на тему: «Прямой угол» (2 класс). | План-конспект урока по математике (2 класс) по теме:

Конспект урока по математике на тему: «Прямой угол» (2 класс).

Тип урока: изучение  нового материала.

Цель урока: познакомить учащихся с понятием «прямой угол».

Задачи:  формировать практические навыки определения прямого угла при помощи  чертежного треугольника; продолжить работу по совершенствованию техники устного счета; повторить названия геометрических фигур; формировать вычислительные навыки.

Оборудование: плакат «Геометрия», изображение геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, круг, овал, треугольник), раздаточный материал (аналогичные геометрические фигуры для каждой группы), чертежные треугольники, листочки для моделирования прямого угла, аудиозапись детской песни.

Класс разделен на 7 групп по 4 человека.

                                                    План

1. Оргмомент (1мин)
2. Сообщение темы и целей урока (2 мин)
3. Устный счет (5 мин)
4. Актуализация знаний (4 мин)
5. Практическая работа учащихся по моделированию прямого угла (5 мин)
6. Физкультминутка (1 мин)
7. Практическая работа по вычерчиванию прямого угла (5 мин)
8. Упражнения в определении прямого угла при помощи чертежного треугольника (10 мин)
9. Подведение итогов урока (1 мин)
10. Задавание д/з (1 мин)

                                             Ход урока

1. Оргмомент

-Здравствуйте, ребята! Садитесь. Начинаем урок математики.

Ну-ка, ты проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте

Все ль в порядке,

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

Каждый хочет получать

Только лишь оценку 5!

2. Сообщение темы и целей урока

— Ребята, сегодня мы с вами отравимся в путешествие в страну «Геометрия» (на доске плакат). А как вы думаете, что это за страна? Что изучает геометрия?

— Геометрия изучает геометрические фигуры. 

-Верно. О чем мы сегодня будем говорить на уроке?

— О геометрических фигурах.

— А зачем нам знать и изучать геометрические фигуры? (ответы детей)

3. Устный счет.

— Хорошо. Давайте повторим названия геометрических фигур, но немного в необычной форме. Сейчас мы поиграем в игру «Молчанка». Я вам показываю геометрическую фигуру, на которой записано выражение,  а вы записываете только его значение. Итак, начинаем.

На доске:

Квадрат – 30+56 (86)                 Треугольник – 50-35 (15)

Круг –33- 20    (13)                         Овал – 24-8 (16)

Прямоугольник – 45+ 6 (51)         «Клякса» – 34+10-4 (40)

— А теперь проверим, правильно ли вы выполнили задание (учитель переворачивает фигуры с записанными на них ответами).

Проверка результата.

4. Актуализация знаний.

— Посмотрите на изображения. Как мы можем их назвать?

(Дети должны увидеть, что одно изображение («клякса») не является геометрической фигурой).

— Давайте назовем геометрические фигуры.

— Квадрат, круг, прямоугольник, треугольник, овал.

— Эти же самые фигуры есть у каждой группы на партах. Сейчас вам нужно разделить эти фигуры на две группы.

Затем один ученик из самой быстрой команды выходит и выполняет задание на доске.

— Что общего у фигур первой группы?

— Нет углов.

— Что общего у фигур второй группы?

— У фигур этой группы есть углы.

— Как одним словом назовем фигуры второй группы?

— Многоугольники.

— Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить на уроке?

— Об углах.

— Тема нашего урока «Прямой угол» (учитель открывает тему урока).

— С какой целью мы будем изучать прямой угол? (ответы детей).

5.Практическая работа учащихся по моделированию прямого угла.

(Дети выполняют под руководством учителя).

— Сейчас мы с вами сделаем модель прямого угла из листа бумаги, которая затем нам поможет найти предметы с прямым углом.

Согните лист пополам. Согните еще раз слева направо. Получилась модель прямого угла.

— Покажите вершину прямого угла, его стороны.

— Моделью прямого угла является также прямой угол чертежного треугольника. Найдите на нем с помощью своей модели прямой угол. (Дети должны приложить модель к прямому углу на треугольнике так, чтобы стороны и вершина совпали).

-Теперь разверните лист бумаги, из которого вы сделали прямой угол. Сколько здесь прямых углов? (4). Возьмите карандаш и обведите прямые углы на своей модели.

6. Физкультминутка

— А теперь я посмотрю, как вы поняли, что такое прямой угол. Встаньте. Поднимите правую руку. Согните ее так, чтобы получился прямой угол. Поднимите левую руку. Согните ее так, чтобы получился прямой угол.

Поднимите правую ногу. Согните ее так, чтобы получился прямой угол. Сделайте то же самое с левой ногой.

7. Практическая работа по вычерчиванию прямого угла.

— Молодцы! А теперь давайте потренируемся чертить прямой угол. Но сначала скажите, а зачем нам это надо? (ответы детей).

(Дети выполняют чертеж под руководством учителя)

— Возьмите в руки карандаш и треугольник. Давайте приложим модель прямого угла и обведем. А теперь давайте отступим немного вправо, повернем треугольник и снова обведем прямой угол. А теперь снова отступим немного вправо, повернем в другую сторону и снова обведем.

— А теперь представьте, что у нас нет модели прямого угла, а есть только линейка и карандаш. А надо начертить прямой угол. Как это сделаем? (ответы детей).

— Наша тетрадь состоит из геометрических фигур – квадратов. А в квадрате есть прямой угол. Если мы обведем квадрат, то получится прямой угол.

8.  Упражнения в определении прямого угла при помощи чертежного треугольника.

— Закройте тетради. Есть ли на наших тетрадях прямые углы? Сколько их? (4). Покажите с помощью треугольника.

— Найдите еще прямые углы на своем рабочем месте с помощью модели прямого угла на чертежном треугольнике.

— А давайте вспомним, в какой стране мы находимся?

— В стране Геометрия.

— А вы знаете, что наш класс – это тоже страна Геометрия. Как думаете почему?

— Так как много предметов геометрической формы.

— А сейчас вам такое задание: каждая группа должна найти в классе предметы с прямым углом с помощью модели чертежного треугольника.

(Дети находят предметы с прямым углом под звучание аудиозаписи).

— Первая группа сколько нашла предметов? Вторая? Третья? Четвертая? Пятая? Шестая? Седьмая?

— Назовите эти предметы. Покажите в них прямые углы.

9. Подведение итогов. Рефлексия.

— Итак, вы сегодня хорошо поработали. Давайте подведем итоги. С чем мы сегодня познакомились?

— С прямым углом.

— Чем занимались? (ответы детей).

—  Поднимите руку, кто уверен, что он теперь знает, что такое прямой угол? А кто может его найти?

— На перемене все вместе еще раз поищите  предметы с прямым углом.

Оценки за урок.

10. Задавание д/з

— Откройте дневники, запишите д/з. Дома вам нужно будет вырезать из картона 5 фигур, чтобы в каждой из них был хотя бы один прямой угол.

Прямоугольный треугольник — Формула, Свойства

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90 градусам. Угол в 90 градусов называется прямым углом, поэтому треугольник с прямым углом называется прямоугольным. В этом треугольнике отношения между различными сторонами можно легко понять с помощью правила Пифагора. Сторона, противоположная прямому углу, является самой большой стороной и называется гипотенузой. Кроме того, на основе других значений углов прямоугольные треугольники классифицируются как равнобедренный прямоугольный треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник.Кроме того, длины сторон прямоугольного треугольника, такие как 3, 4, 5, называются тройками Пифагора.

Что такое прямоугольный треугольник?

Определение прямоугольного треугольника гласит, что если один из углов треугольника является прямым углом — 90º, треугольник называется прямоугольным треугольником или просто прямоугольным треугольником. На данном изображении треугольник ABC — это прямоугольный треугольник, в котором есть основание, высота и гипотенуза. Здесь AB — база, AC — высота, а BC — гипотенуза.Гипотенуза — важная сторона прямоугольного треугольника, которая является самой большой стороной и противоположна прямому углу внутри треугольника.

Здесь мы можем понять отличительные черты прямоугольного треугольника. Характеристики треугольника ABC следующие:

• AC — высота, высота или перпендикуляр
• AB — это база
• AC ⊥ AB
• ∠A = 90º
• Сторона BC, противоположная прямому углу, называется гипотенузой и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

Некоторые из примеров прямоугольных треугольников в нашей повседневной жизни — это треугольный кусок хлеба, квадратная папка из бумаги по диагонали или треугольная шкала 30-60-90 в геометрической рамке.

Формула прямоугольного треугольника

Великий греческий философ Пифагор вывел важную формулу для прямоугольного треугольника. Формула утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других катетов.Она была названа в его честь как теорема Пифагора. Формулу прямоугольного треугольника можно представить следующим образом: Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата основания и квадрата высоты .

В прямоугольном треугольнике имеем: (Гипотенуза) ² = (База) ² + (Высота) ²

Триплет Пифагора : Три числа, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, являются триплетами Пифагора. Например, (3, 4, 5) является триплетом Пифагора, потому что мы знаем, что 3 ² = 9, 4 ² = 16 и 5 ² = 25 и 9 +16 = 25.Следовательно, 3 ² + 4 ² = 5 ² Эти три числа, удовлетворяющие этому условию, называются триплетом Пифагора. Некоторые из других примеров пифагоровых троек: (6, 8, 10) и (12, 5, 13).

Периметр прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника — это сумма размеров всех трех сторон. Это сумма основания, высоты и гипотенузы прямоугольного треугольника. Здесь, для правого треугольника ниже, периметр равен сумме сторон BC + AC + AB = (a + b + c) единиц.Периметр является линейной величиной и имеет единицу длины.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника дает разброс или пространство, занимаемое треугольником. Он равен половине произведения основания на высоту треугольника. Это двумерная величина и поэтому представлена ​​в квадратных единицах. Единственные две стороны, необходимые для нахождения площади прямоугольного треугольника, — это основание и высота.

Применяя определение прямоугольного треугольника, площадь прямоугольного треугольника определяется по формуле: Площадь прямоугольного треугольника = (1/2 × основание × высота) квадратных единиц.

Свойства прямоугольного треугольника

Первое свойство прямоугольного треугольника состоит в том, что он имеет один из углов 90º. Угол 90º — это прямой угол и самый большой угол прямоугольного треугольника. Кроме того, два других угла меньше 90 ° или являются острыми углами. Свойства прямоугольного треугольника перечислены ниже:

• Наибольший угол всегда 90º.
• Самая большая сторона называется гипотенузой, которая всегда является стороной, противоположной прямому углу.
• Размеры сторон соответствуют правилу Пифагора.
• Не может иметь тупого угла.

Типы прямоугольных треугольников

Мы узнали, что один из углов прямоугольного треугольника равен 90º. Это означает, что два других угла в треугольнике будут острыми углами. Есть несколько специальных прямоугольных треугольников, а именно равнобедренный прямоугольный треугольник и разносторонний прямоугольный треугольник .Треугольник, у которого два других угла равны, называется равнобедренным прямоугольным треугольником, а треугольник с двумя другими углами, имеющими разные значения, называется разносторонним прямоугольным треугольником.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник называется треугольником 90–45–45 °. В треугольнике ABC угол A = 90º; поэтому по определению прямоугольного треугольника треугольник ABC является прямоугольным треугольником. Также AB = AC; поскольку две стороны равны, треугольник также является равнобедренным треугольником.Поскольку AB = AC, базовые углы равны. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180º. Следовательно, базовые углы в сумме составляют 90 °, что означает, что каждый из них составляет 45 °. Таким образом, в равнобедренном прямоугольном треугольнике углы всегда будут составлять 90 ° -45 ° -45 °.

Прямоугольный треугольник из чешуи

Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90 °, а два других угла до 90 ° имеют разные размеры. В треугольнике PQR ∠Q = 90º, следовательно, это прямоугольный треугольник. PQ не равно QR, следовательно, это разносторонний треугольник.Существует также особый случай разностороннего треугольника 30º-60º-90º, который также является прямоугольным треугольником, в котором отношение самой длинной стороны треугольника к его самой короткой стороне составляет 2: 1. Сторона, противоположная углу 30º, является самой короткой стороной.

Советы и хитрости

Здесь перечислены некоторые важные советы и рекомендации, относящиеся к прямоугольному треугольнику.

• Измерения длин сторон всегда удовлетворяют теореме Пифагора.
• В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, и это самая длинная сторона треугольника.
• Две другие ножки перпендикулярны друг другу; один — это основание, а другой — высота.

Важные примечания

1. В прямоугольном треугольнике (Гипотенуза) ² = (Основание) ² + (Высота) ²
2. Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 × основание × высота.
3. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме размеров всех трех сторон.
4. Равнобедренные прямоугольные треугольники имеют градусы 90º, 45º, 45º.

Темы, связанные с прямоугольным треугольником

Проверьте эти статьи, связанные с концепцией прямоугольного треугольника.

Примеры прямоугольных треугольников

1. Пример 1. Может ли прямоугольный треугольник иметь размеры 11 дюймов, 60 дюймов и 61 дюйм?

   Решение:

   Если 11, 60 и 61 — тройка Пифагора, они образуют прямоугольный треугольник. 11 ² = 121; 60 ² = 3600; 61 ² = 3721.Мы видим, что: 121 + 3600 = 3721. Следовательно, данные числа являются триплетом Пифагора и могут быть размерами прямоугольного треугольника. Следовательно, 11 дюймов, 60 дюймов и 61 дюйм образуют прямоугольный треугольник.

2. Пример 2: Найдите площадь прямоугольного треугольника, основание которого составляет 12 единиц, а высота — 5 единиц.

   Решение:

   Площадь формулы треугольника равна 1/2 × b × h. Подставляя b = 12 единиц и h = 5 единиц, получаем, что Площадь = 1/2 × 12 × 5 = 30 единиц ² .Следовательно, площадь прямоугольного треугольника составляет 30 квадратных единиц.

3. Пример 3: Периметр прямоугольного бассейна составляет 720 единиц. Три стороны бассейна имеют соотношение 3: 4: 5. Найдите площадь бассейна.

   Решение:

   Периметр прямоугольного треугольника — это сумма размеров всех сторон. Следовательно, 3x + 4x + 5x = 720
   12x = 720
   х = 60
   Стороны треугольника равны 3x = 180 единицам, 4x = 240 единицам и 5x = 300 единицам.Поскольку, 180 ² + 240 ² = 300 ² , эти стороны образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой в 300 единиц. Следовательно, площадь бассейна 1/2 × 180 × 240 = 21600 единиц ² . Таким образом, площадь бассейна составляет 21600 кв.

перейти к слайду перейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы о прямоугольном треугольнике

Что такое прямоугольный треугольник в геометрии?

Треугольник, в котором один из углов равен 90 градусам, называется прямоугольным или прямоугольным треугольником.

Какие бывают типы прямоугольных треугольников?

Треугольники классифицируются на основе измерения сторон и углов. Три типа прямоугольных треугольников указаны ниже.

• Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник с углами 90º, 45º и 45º.
• Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90º, а два других острых угла имеют разные размеры.
• Треугольник 30º — 60º — 90º — еще один интересный прямоугольный треугольник, в котором отношение самой длинной стороны треугольника к его самой короткой стороне составляет 2: 1.

Каков размер углов в прямоугольном треугольнике?

Прямоугольный треугольник имеет один из углов 90º.Два других угла — острые. И все три угла прямоугольного треугольника в сумме составляют 180 °, как и любой другой треугольник.

Какова формула прямоугольного треугольника?

Формула прямоугольного треугольника — это формула Пифагора. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Формула Пифагора: (Гипотенуза) ² = (База) ² <+ (Высота) ² . Эта формула дала тройки Пифагора, такие как 3, 4, 5.

Как определить площадь прямоугольного треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника — это пространство, занимаемое треугольником, и она равна половине произведения основания и высоты треугольника. Он двухмерный и представлен в квадратных единицах.

Площадь прямоугольного треугольника = 1/2 × Основание × Квадратные единицы высоты

Может ли прямоугольный треугольник иметь две равные стороны?

Да, прямоугольный треугольник может иметь две равные стороны. Самая длинная сторона называется гипотенузой, а две другие стороны могут быть равны или не равны друг другу.Прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным прямоугольным треугольником.

Как найти недостающую сторону прямоугольного треугольника?

Недостающую сторону прямоугольного треугольника можно найти, измерив две другие стороны. Правило Пифагора помогает найти значение недостающей стороны. Согласно правилу Пифагора, у нас есть квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов двух других сторон прямоугольного треугольника. Например, если a, b и c — три стороны прямоугольного треугольника (a — гипотенуза), то мы имеем отношение как ² = b ² + c ² .

Как найти угол прямоугольного треугольника?

Расчет углов прямоугольного треугольника очень прост. Один из углов прямоугольного треугольника — это прямой угол 90 ^º . Теперь, если известен еще один угол треугольника, то недостающий угол можно легко вычислить, используя формулу суммы углов, которая гласит, что сумма углов треугольника всегда равна 180º.

прямоугольных треугольников

прямоугольных треугольников

Давайте снова согласимся со стандартным соглашением для обозначения частей прямоугольного треугольника.Обозначим прямой угол C , а гипотенузу c. Пусть A и B обозначают два других угла, а a и b стороны, противоположные им, соответственно.

Решение прямоугольных треугольников

Мы можем использовать теорему Пифагора и свойства синусов, косинусов и касательных, чтобы решить треугольник, то есть найти неизвестные части в терминах известных частей.

• Теорема Пифагора: a ² + b ² = c ² .
• Синусы: sin A = a / c, sin B = b / c.
• Косинусы: cos A = b / c, cos B = a / c.
• Касательные: tan A = a / b, tan B = b / a.

Давайте сначала рассмотрим некоторые случаи, когда мы не знаем всех сторон. Предположим, мы не знаем гипотенузу, но знаем две другие стороны.Теорема Пифагора даст нам гипотенузу. Например, если a = 10 и b = 24, то c ² = a ² + b ² = 10 ² + 24 ² = 100 + 576 = 676. Квадратный корень из 676 равен 26, поэтому c = 26. (Приятно привести примеры, когда квадратные корни получаются целыми числами; в жизни обычно этого не происходит.)

Теперь предположим, что мы знаем гипотенузу и одну сторону, но должны найти другую.Например, если b = 119 и c = 169, то a ² = c ² — b ² = 169 ² — 119 ² = 28561 — 14161 = 14400, а квадратный корень из 14400 составляет 120, поэтому a = 120.

Мы можем знать только одну сторону, но мы также знаем угол. Например, если сторона a = 15 и угол A = 41 °, мы можем использовать синус и касательную, чтобы найти гипотенузу и другую сторону.Поскольку sin A = a / c, мы знаем, что c = a / sin A = 15 / sin 41. Используя калькулятор, это 15 / 0,6561 = 22,864. Кроме того, tan A = a / b, , поэтому b = a / tan A = 15 / tan 41 = 15 / 0,8693 = 17,256. Используете ли вы синус, косинус или тангенс, зависит от того, какую сторону и угол вы знаете.

Обратные триггерные функции: арксинус, арккосинус и арктангенс

Теперь давайте посмотрим на проблему определения углов, если вы знаете стороны.Опять же, вы используете триггерные функции, но в обратном порядке. Вот пример. Предположим, что a = 12,3 и b = 50,1. Тогда tan A = a / b = 12,3 / 50,1 = 0,2455. Раньше, когда люди использовали таблицы тригонометрических функций, они просто смотрели в таблицу касательных, чтобы увидеть, какой угол имеет тангенс 0,2455. В калькуляторе мы используем обратные триггерные функции с именами арктангенс, арксинус и арккосинус. Обычно на калькуляторе есть кнопка с надписью inv или arc, которую вы нажимаете перед нажатием соответствующей триггерной кнопки.Арктангенс 0,2455 равен 13,79, поэтому угол A равен 13,79 °. (Если хотите, можете преобразовать 0,79 градуса в минуты и секунды.)

Вот и все.

Остальные три тригонометрические функции: котангенс, секанс и косеканс

Для большинства целей достаточно трех триггерных функций: синуса, косинуса и тангенса. Однако бывают случаи, когда нужны другие. В исчислении часто используется секанс. Вы можете спросить: «Почему шесть триггерных функций?» Это своего рода симметрия.Есть шесть способов сделать отношения двух сторон прямоугольного треугольника, и это дает шесть функций:

1. sin A = кондиционер (opp / hyp)
2. cos A = b / c (прил / гип)
3. коричневый A = a / b (opp / adj)
4. детская кроватка A = b / a (прил. / Опп.)
5. сек A = c / b (hyp / adj)
6. csc A = c / a (hyp / opp)

Из списка видно, что котангенс (сокращенно cot, или иногда ctn) является обратной величиной тангенса, секанс (сокращенно sec) является обратной величиной косинуса, а косеканс (сокращенно csc или иногда cosec) является обратной величиной синуса.Они в значительной степени избыточны, но стоит знать, что они из себя представляют, на случай, если вы с ними столкнетесь. Обратите внимание, что котангенсы — это тангенсы дополнительных углов, что означает, что cot A = tan B, и косеканс являются секущими дополнительных углов, и это означает, что csc A = sec B.

Эти три другие функции также можно интерпретировать с помощью круговой диаграммы.

Мы рассматриваем угол AOB. Напомним, что его касательной является прямая AC. По симметрии тангенс угла FOB является линией FG, , но FOB является дополнительным углом AOB, , следовательно, котангенс AOB равен FG.

Затем, чтобы интерпретировать секущие геометрически. Угол AOB появляется в треугольнике COA как угол AOC, , поэтому sec AOB = sec AOC = hyp / adj = OC / OA = OC. Вот и все — секущая — это линия от центра окружности до касательной AC. Причина, по которой он называется секущей, состоит в том, что она разрезает круг, а слово «секанс» происходит от латинского слова, означающего «разрезание».

Аналогично, косеканс угла AOB — это линия OG от центра окружности до линии котангенса FG.

Упражнения

Примечание: как обычно, во всех упражнениях на прямоугольные треугольники, c обозначает гипотенузу, a и b для перпендикулярных сторон и A и B для углов, противоположных a и b соответственно.

26. В каждом из следующих прямоугольных треугольников, у которых даны две стороны, вычислите sin, cos и tan углов A, и B. Выразите результаты в виде общих дробей.
(i). c = 41, a = 9.
(ii). c = 37, a = 35.
(iii). a = 24, b = 7.

31. В прямоугольном треугольнике c = 6 футов 3 дюйма и загар B = 1.2. Найдите a, и b.

34. a = 1,2, b = 2,3. Найдите A, и c.

42. a = 10,11, b = 5,14. Найдите B, и c.

В следующих нескольких задачах треугольники не являются прямоугольными, но вы можете решить их, используя то, что вы знаете о прямоугольных треугольниках.

61. В наклонном треугольнике ABC, A = 30 °, B = 45 °, а длина перпендикуляра от C до AB составляет 12 дюймов. Найдите длину AB.

67. Если сторона равностороннего треугольника равна a, найдите высоту и радиусы описанных и вписанных окружностей.

202. От вершины здания высотой 50 футов углы подъема и понижения верха и низа другого здания составляют 19 ° 41 ‘и 26 ° 34’ соответственно.Какая высота и расстояние до второго дома.

207. От вершины маяка высотой 175 футов углы падения верха и низа флагштока составляют 23 ° 17 ‘и 42 ° 38’ соответственно. Какой высоты у шеста?

214. В двух точках на расстоянии 65 футов на одной стороне дерева и на одной линии с ним углы подъема вершины дерева составляют 21 ° 19 ‘и 16 ° 20’. Найдите высоту дерева.

215. Когда воздушный шар проходит между двумя точками A, и B, на расстоянии 2 миль друг от друга, углы подъема воздушного шара в этих точках составляют 27 ° 19 ‘и 41 ° 45’ соответственно. Найдите высоту воздушного шара. Возьмем A и B на одном уровне.

233. Вершина маяка находится на высоте 230 футов над уровнем моря. Как далеко находится объект, который находится только «на горизонте»? [Предположим, что Земля — ​​это сфера радиусом 3956 миль.]

234. Какая должна быть высота наблюдателя, чтобы он мог видеть объект на Земле на расстоянии тридцати миль? Предположим, что Земля представляет собой гладкую сферу.

На каждой из фигур, упомянутых в следующих нескольких задачах, объект должен выразить свою площадь (i) через радиус R, то есть радиус описанной окружности, (ii) через apothem r, , то есть радиус вписанной окружности, и (iii) относительно стороны a.

251. Равносторонний треугольник. [См. Проблему 67 выше.]
252. пл.
253. Правильный пятиугольник.
254. Правильный шестигранник.
255. Правильный восьмиугольник.

Подсказки

26. Вам нужны только sin, cos и tan углов A и B ; сами углы не нужны.Итак, вам нужна только третья сторона, которую вы можете вычислить с помощью теоремы Пифагора, а затем вычислить отношения двух сторон.

31. Вы знаете c и tan B. К сожалению, tan B — это отношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно b / a. Эту проблему можно решить несколькими способами. Вот два.

Метод 1. Возьмите уравнение 1.2 = tan B = b / a, , чтобы получить связь между a и b, а именно b = 1.2 а. Теорема Пифагора тогда дает 6,25 ² = a ² + 1,44 a ² , из которых вы можете определить a, и затем найти b.

Метод 2. Из tan B, вы можете определить угол B (используйте arctan). Отсюда вы можете найти cos B, , а затем a, , и вы можете найти sin B, , а затем b.

34. Поскольку у вас есть a и b, вы можете использовать касательные, чтобы найти A и теорему Пифагора, чтобы найти c.

42. Найдите B по касательным и c по теореме Пифагора.

61. Начните с рисования рисунка. Хотя треугольник ABC не является прямоугольным, он разбивается на два прямоугольных треугольника. Вы можете использовать касательные, чтобы найти две части стороны AB и сложить их.

67. Равносторонний треугольник ABC имеет три угла при вершине 60 °. Отбросьте перпендикуляр из одной вершины, скажем, вершины C, , и вы получите два конгруэнтных прямоугольных треугольника ACF и BCF, , и вы можете найти длину этого перпендикуляра, и это высота равностороннего треугольника. Описанная окружность — это круг, проходящий через три вершины, а вписанный круг — это круг, касающийся всех трех сторон.Отбрасывая перпендикуляры из другой вершины равностороннего треугольника и используя триггер на полученных маленьких треугольниках, вы можете найти радиусы этих двух окружностей.

202. Поскольку вам известна высота вашего здания и угол наклона основания другого здания, вы можете определить, как далеко оно находится. Тогда угол подъема к вершине другого здания покажет вам, насколько оно выше вашего.

207. Подсказка похожа на 202. Видите ли, триггер может быть полезен, если вы одинокий смотритель маяка и не знаете, что делать!

214. Это полезная задача. Вы можете использовать его, чтобы найти высоты недоступных вещей. Нарисуйте фигуру. Есть два неизвестных: высота дерева x и расстояние x ближайшей точки к дереву. Дальнейшая точка будет тогда x + 65 футов от дерева. Используя тангенсы известных углов, вы можете составить два уравнения, которые можно решить, чтобы определить y, и x.

215. Это похоже на 214, но в этой задаче баллон находится между двумя точками. Нарисуйте фигуру. Определитесь с вашими переменными. Составьте уравнения и решите их.

233. Очень интересная задача. На протяжении веков для вычисления радиуса Земли использовались различные обратные величины. В этой задаче мы предполагаем, что знаем о Земле. Все, что вам здесь нужно, это теорема Пифагора. Одна сторона прямоугольного треугольника равна r, — радиус Земли, а гипотенуза — r + h , где h — высота маяка.Теорема Пифагора о третьей стороне треугольника.

234. Задайте эту задачу аналогично 233, но известны другие переменные.

251–255. Вы можете сделать все это сразу, оставив вычисления напоследок. Пусть n — количество сторон правильного многоугольника. Проведите линии от центра фигуры к вершинам и серединам сторон. У вас получится 2 n маленьких треугольников. Каждый из них представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой R, с одним катетом r, и другим катетом a /2.Угол в центре составляет 360 ° / (2 n ) = 180 ° / n. Используя тригонометрию, вы можете легко написать уравнения, связывающие площадь правильного многоугольника, как требуется.

ответов

26. (i). b = 40. Итак sin A = cos B = 9/41, cos A = sin B = 40/41, tan A = 9/40, tan B = 40 / 9.
(ii). b = 12. Итак sin A = cos B = 35/37, cos A = sin B = 12/37, tan A = 35/12, tan B = 12 / 37.
(iii). c = 25. Итак sin A = cos B = 24/25, cos A = sin B = 7/25, tan A = 24/7, tan B = 7 / 24.

31. a = 4 фута, b = 4,8 фута, около 4 футов 10 дюймов.

34. A = 27,55 °, около 28 °. с = 2,6.

42. B = 26,95 ° или 26 ° 57 ‘. с = 11.3.

61. AB = 12 / tan A + 12 / tan B = 12 (√3 + 1) дюймов, около 33 дюймов.

67. ( a √3) / 2, ( a √3) / 3 и ( a √3) / 6 соответственно.

202. Расстояние = 50 / тангаж 26 ° 34 ‘= 100 футов. Высота = 50 + 100 см. 19 ° 41 ‘= 85,8’ = 85’9 дюймов.

207. Расстояние = 175 / тангенс угла 42 ° 38 ‘= 190 футов. Рост = 175 — 190 см. 23 ° 17 ‘= 93.23 ‘= 9’3 «.

214. Два уравнения:

0,293052 = загар 16 ° 20 ‘= ч / (65 + x ), и
0,3

= загар 21 ° 19 ‘= h / x .

где x — расстояние от ближайшей точки до основания дерева. Вы можете решить их одновременно для x и h.
Расстояние x = 196 футов. Высота х = 76,5 футов.

215. Если h — это высота воздушного шара, а x — это расстояние по земле от A до точки непосредственно под воздушным шаром, то два уравнения равны

tan 27 ° 19 ‘= h / x , и
tan 41 ° 45 ‘= h / (2 — x )

Вы можете решить эту пару уравнений для x и h.
Высота = 0,654 мили = 3455 футов.

233. Мелочь больше 18.5 миль.

234. 600 футов.

251–255. Площадь правильного n -угольника равна A = nra /2. Чтобы найти A в терминах R, r, или a, , используйте отношения

cos 180 & deg / n = r / R, и
tan 180 & deg / n = a / (2 r ).

потом

(i) через R, площадь A = nR ² cos 180 ° / n sin 180 ° / n ,
(ii) в единицах r, площадь A = nr ² tan 180 & deg / n , и
(iii) в терминах a, площадь A = na ² / (4tan 180 & deg / n ).

Проблема	форма	(i) R	(ii) r	(iii) a
251	треугольник	(3 R 2 √3) / 4	3 r 2 √3	( a 2 √3) / 4
252	квадрат	2 р 2	4 r 2	a 2
253	пятиугольник	(5 R 2 sin 108 °) / 2	5 r 2 tan 36 °	(5 a 2 загар 54 °) / 4
254	шестигранник	(3 R 2 √3) / 2	2 r 2 √3	(3 a 2 √3) / 2
255	восьмиугольник	2 R 2 √2	8 r 2 tan 22 ° 30 ‘	2 a 2 tan 67 ° 30 ‘

Отступление на пифагоровы тройки

Это не имеет отношения к тригонометрии, но интересно.Вы, наверное, заметили, как Кроули часто выбирал две стороны прямоугольного треугольника как целые числа, а третья также оказывается целым числом. Как и в задаче 26, где у всех трех прямоугольных треугольников стороны имеют целые числа, а именно 9:40:41, 12:35:37 и 7:24:25. Кроме того, в начале этой страницы был треугольник 5:12:13 (на самом деле 10:24:26, но он похож на треугольник 5:12:13). И, без сомнения, вы уже знаете о прямоугольном треугольнике 3: 4: 5.

Итак, существуют ли другие специальные прямоугольные треугольники, все стороны которых представляют собой целые числа? Да, и они давно изучаются.Три числа a, b, и c такие, что a ² + b ² = c ² , как говорят, образуют тройку Пифагора , в честь Пифагора. Он жил около 550 г. до н. Э. и, наверное, знаю немало из них. Но древние вавилоняне около 1800 г. до н. Э. знал их всех, и многие из них были известны в других древних цивилизациях, таких как Китай и Индия.

Прежде чем читать абзац, посмотрите, сможете ли вы найти еще несколько троек Пифагора.Не считайте те, у которых есть общий множитель, как новые, например 6: 8: 10, поскольку они будут похожи на меньшие.

В книге Евклида « Элементы » есть описание всех возможных пифагоровых троек. Вот современный пересказ Евклида. Возьмем любые два нечетных числа: m, и n, с m, n и взаимно простое число (то есть без общих множителей). Пусть a = mn, let b = ( n ² — m ² ) / 2, и пусть c = ( n ² + m ² ) / 2.Тогда a : b : c — тройка Пифагора. Например, если вы возьмете м = 1 и n = 3, то вы получите наименьшую тройку Пифагора 3: 4: 5.

Вот как найти гипотенузу прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора — важная теорема, поскольку она часто встречается в математике в старших классах. Это делает простой ответ на вопрос, как найти гипотенузу прямоугольного треугольника.

Кроме того, мы можем использовать его, чтобы найти основание специального прямоугольного треугольника и применить обратную теорему Пифагора.Давайте рассмотрим эту базовую, но основополагающую концепцию тригонометрии и ее отношение к поиску гипотенузы прямоугольного треугольника.

Определение гипотенузы

Во-первых, давайте проясним этот термин. «Гипотенуза» — это просто термин, обозначающий «самую длинную сторону прямоугольного треугольника». Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу треугольника. Это также самая длинная сторона треугольника.

Если в задаче требуется вычислить длину гипотенузы c в треугольнике со стороной a , стороной b и гипотенузой c , то вы работаете с прямоугольным треугольником.

Как применяется теорема Пифагора

Теорема Пифагора — хорошо известная теорема, разработанная греческим математиком Пифагором около 500 г. до н. Э. Он соотносил длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами катетов (катеты треугольника — это две более короткие стороны). Теорема Пифагора утверждает, что для любого прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов всегда равна квадрату длины гипотенузы.

Теорема Пифагора утверждает, что:

Благодаря теореме Пифагора, легко найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если нам заданы стороны прямоугольного треугольника.Фактически, если мы знаем длины любых двух сторон (отрезка A, отрезка B и гипотенузы C), мы можем легко определить недостающую сторону, применив формулу.

Это может помочь вам найти любую недостающую сторону. А пока давайте посмотрим на пример, в котором мы знаем длину сторон и хотим найти гипотенузу:

Здесь мы знаем длину стороны ( a = 3 и b = 4). Если подставить его в формулу, то получим:

И извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем, что гипотенуза c = 5!

Сводка по поиску гипотенузы

Теорема Пифагора помогает нам вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если мы знаем стороны треугольника.

Существуют более продвинутые тригонометрические функции, которые позволяют нам вычислять третью сторону треугольника, даже не прямоугольных треугольников, с учетом определенного угла в градусах и длины стороны.

Но в любом случае практикуйте применение теоремы Пифагора, пока не почувствуете уверенность в правильных треугольниках. Затем вы сможете узнать, как найти третью сторону любого треугольника.

Дополнительные домашние задания по математике

Калькулятор прямоугольных треугольников

Прямоугольник

A = угол A
a = сторона a
B = угол B
b = сторона b
C = угол C
c = сторона c

K = площадь
P = периметр

См. Схему ниже:
h a = высота a
h b = высота b
h c = высота c

* Единицы длины приведены только для справки, поскольку значение результирующих длин всегда будет одинаковым, независимо от единиц.

Использование калькулятора

Прямоугольный треугольник — частный случай треугольник, где 1 угол равен 90 градусам. В случае прямоугольного треугольника a ² + b ² = c ² . Эта формула известна как теорема Пифагора.

В наших расчетах для прямоугольного треугольника мы учитываем только 2 известные стороны, чтобы вычислить остальные 7 неизвестных. Например, если мы знаем a и b, мы можем вычислить c, используя теорему Пифагора.c = √ (a ² + b ² ). Зная стороны a, b и c, мы можем вычислить периметр = P, полупериметр = s, площадь = K и высоту: h a, h b и h c. Сообщите нам, если у вас есть другие предложения!

Формулы и вычисления для прямоугольного треугольника:

• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: a ² + b ² = c ²
• Периметр прямоугольного треугольника: P = a + b + c
• Полупериметр прямоугольного треугольника: s = (a + b + c) / 2
• Площадь правого треугольника: K = (a * b) / 2
• Высота a прямоугольного треугольника: h a = b
• Высота b прямоугольного треугольника: h b = a
• Высота c прямоугольного треугольника: h c = (a * b) / c

1.По заданным сторонам a и b найдите сторону c, а также периметр, полупериметр, площадь и высоту

.

,
• а и б известны; найти c, P, s, K, h a, h b и h c
• c = √ (a ² + b ² )
• P = a + b + c
• с = (a + b + c) / 2
• К = (а * б) / 2
• h a = b
• h b = a
• ч c = (a * b) / c

2.По заданным сторонам a и c найдите сторону b и периметр, полупериметр, площадь и высоту

.

,
• а и с известны; найти b, P, s, K, h a, h b и h c
• b = √ (c ² — a ² )
• P = a + b + c
• с = (a + b + c) / 2
• К = (а * б) / 2
• h a = b
• h b = a
• ч c = (a * b) / c

Подробнее о прямоугольных треугольниках см .:

Вайсштейн, Эрик В.»Прямоугольный треугольник.» Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Прямоугольный треугольник.

Вайсштейн, Эрик В. «Высота». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Высота.

Специальные значения углов: 30-60-90 и 45-45-90 Треугольники

Purplemath

Есть несколько ( очень несколько) углов, которые имеют относительно «аккуратные» тригонометрические значения, включая, в худшем случае, один квадратный корень.Из-за их относительно простых значений, это углы, которые обычно используются в математических задачах (особенно в исчислении), и вы будете ожидаемых , чтобы запомнить значения этих углов.

Ожидается, что вы будете использовать эти значения для получения «точных» ответов при решении прямоугольных треугольников и нахождении значений различных тригонометрических соотношений.

Обычно в учебниках эти значения представлены в виде таблицы, которую вы должны запомнить.Но картинки часто легче вспомнить на тестах и ​​т. Д., По крайней мере, для некоторых из нас. Если эти таблицы не работают для вас, то этот урок покажет, как многие люди (включая меня!) на самом деле отслеживают эти значения.

MathHelp.com

Далее я использую градусы для измерения углов.Обычно так студентов знакомят с угловыми мерами. Однако, если вы работаете с радианами, я также отмечу эквиваленты радианов для измерения угла.

---

Угол 45 ° (из треугольника 45-45-90)

Все треугольники 45-45-90 похожи; то есть все они имеют соотношения сторон. (Угол в 45 ° равен в радианах

π / 4.) Итак, давайте посмотрим на очень простой угол 45-45-90:

Гипотенуза этого треугольника, обозначенного выше как 2, находится путем применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику со сторонами, имеющими длину

sqrt [2] .Базовый угол в нижнем левом углу обозначен символом «тета» (θ, THAY-tuh) и равен 45 °. Так как же нам помогает знание этого треугольника?

Это помогает нам, потому что все треугольники 45-45-90 похожи. Следовательно, любой вопрос «оценки» или «решение треугольника», включающий треугольник 45-45-90 или просто угол 45 °, может быть выполнен с использованием этого треугольника. Эта картинка — все, что вам нужно.

---

Значения углов 30 ° и 60 ° (из треугольника 30-60-90)

Когда нам нужно работать под углом 30 или 60 градусов, процесс аналогичен описанному выше, но настройка немного дольше.(Угол 30 ° эквивалентен углу

π / 6 радиан; угол 60 ° эквивалентен углу π / 3 радиан.)

Для любого из углов это треугольник, с которого мы начинаем:

Это треугольник 60-60-60 (то есть равносторонний треугольник), длина сторон которого равна двум единицам.

Опускаем вертикальную биссектрису с верхнего угла вниз на нижнюю сторону:

Обратите внимание, что эта биссектриса также является высотой (высотой) треугольника.

Используя теорему Пифагора, мы получаем, что длина биссектрисы равна

sqrt [3]. И эта биссектриса образовала два треугольника 30-60-90.

Когда мы работаем с углом 60 градусов, мы используем левый треугольник наверху, он стоит, с основным углом (слева), обозначенным «α» (AL-phuh, забавно выглядящим «a»). «):

Когда мы работаем с углом 30 градусов, мы используем правый треугольник, перевернутый влево, базовый угол (слева) помечен как «β» (BAY-tuh, забавная буква «b»). ):

Мы можем найти тригонометрические значения и соотношения для треугольников с 30 и 60 градусами точно так же, как и с треугольниками с 45 градусами.Все, что вам нужно, — это изображения выше.

---

Вы можете найти одного из тех учителей, которые не хотят, чтобы вы рисовали эти картинки (потому что к этому моменту вы должны все запомнить). Вот почему у твоего карандаша есть ластик. Мой инструктор по исчислению II сказал, что если мы нарисуем картинки на наших тестах, вся задача будет засчитана неправильно. Я все равно рисовал картинки, но очень легко, и стер их все, прежде чем сдать тесты. Он так и не узнал, и я прошел курс.Делай то, что должен.

---

Использование таблицы

Рисунки выше — это то, что я всегда использовал, и многие находят их полезными. С другой стороны, некоторые люди предпочитают таблицы или другие методы. Если вам больше подходят столы, то настоятельно рекомендуется использовать этот стол, который прошел «полевые испытания» действующим инструктором:

Чтобы найти, скажем, синус угла в сорок пять градусов, вы должны провести поперек в строке «грех» и вниз по столбцу «45 °», взяв с собой символ квадратного корня и не забывая включите «деленное на 2» снизу, чтобы получить

sin (45 °) = sqrt (2) / 2.Аккуратный узор «1, 2, 3» в верхней строке и «3, 2, 1» в средней строке призван помочь вам запомнить значения таблицы. Имейте в виду, что квадратный корень из 1 равен 1, поэтому, например, cos (60 °) = sqrt (1) / 2 = 1/2. Чтобы найти тангенс, нужно разделить значение синуса на значение косинуса.

---

Используя пальцы

Другой метод использует вашу левую руку, чтобы сделать то же самое. Повернув ладонь к себе, отсчитайте основные исходные углы, начиная с большого пальца: 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

Чтобы найти значение триггера, вы опустите палец, соответствующий этому углу, держа ладонь к себе. В качестве значения синуса вы возьмете квадратный корень из числа пальцев слева от опущенного пальца и разделите его на 2; для значения косинуса возьмите квадратный корень из числа пальцев справа от опущенного пальца и разделите на 2; для касательной разделите квадратный корень из числа пальцев слева на квадратный корень из числа справа (и при необходимости рационализируйте).

Например, если вы хотите работать под углом в тридцать градусов, вы должны сориентировать руку следующим образом:

Синус — это квадратный корень из большого пальца (то есть квадратный корень из единицы) над двумя, что дает:

Косинус — это квадратный корень из трех ваших пальцев (то есть квадратный корень из трех) над двумя, что дает:

---

Филиал

---

С другой стороны, если вы хотите оценить sin (0 °), cos (0 °) и cot (0 °), вы должны сориентировать левую руку следующим образом:

Поскольку ваш большой палец сложен, 0 пальцев слева и 4 пальца справа.Тогда значения синуса и косинуса находятся как:

sin (0 °) = sqrt [0] / 2 = 0

cos (0 °) = sqrt [4] / 2 = 1

Котангенс — это величина, обратная касательной. Какое значение имеет тангенс?

загар (0 °) = sqrt [0] / sqrt [4] = 0

Переворачивание вышеуказанного приведет к делению на ноль, что недопустимо.Итак, cot (0 °) не определено.

(Угол в 0 ° эквивалентен углу в 0 радиан. Угол в 90 ° эквивалентен углу в

π / 2 радиан.)

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/specang.htm

Найдите длину стороны прямоугольного треугольника

Есть много способов найти длину стороны прямоугольного треугольника.Мы собираемся сосредоточиться на двух конкретных случаях.

Корпус II

Мы знаем 1 сторону и 1 угол прямоугольного треугольника, и в этом случае используйте sohcahtoa.

Видеоурок

по определению длины стороны прямоугольного треугольника

Рассчитайте длину сторон ниже.В любом случае округлите свой ответ до ближайшей сотой.

Задача 1

Найдите длину стороны X в треугольнике ниже.

Показать ответ Шаг 2 Остальные шаги

Подставим две известные стороны в формулу теоремы Пифагора:

$$ а ^ 2 + Ь ^ 2 = с ^ 2 \\ 8 ^ 2 + 6 ^ 2 = х ^ 2 \\ 100 = х ^ 2 \\ х = \ sqrt {100} \\ x = \ в коробке {10} $$

Задача 2

Найдите длину стороны X в прямоугольном треугольнике ниже.

Показать ответ Шаг 1 Шаг 1

Поскольку мы знаем 1 сторону и 1 угол этого треугольника, мы будем использовать sohcahtoa.

Шаг 2 Шаг 2

Составьте уравнение, используя соотношение sohcahtoa.Поскольку мы знаем гипотенузу и хотим найти сторону, противоположную углу 53 °, мы имеем дело с синусом

$$ sin (53) = \ frac {напротив} {гипотенуза} \\ sin (53) = \ frac {\ red x} {12} $$

Теперь просто решите уравнение: Шаг 3 Отвечать

$$ sin (53) = \ frac {\ red x} {12} \\ \ красный х = 12 \ cdot sin (53) \\ \ красный х = \ в коробке {11.98} $$

Задача 3

Найдите длину стороны X в прямоугольном треугольнике ниже. 2 = 25 \\ \ red t = \ в коробке {5} $$

Задача 4

Найдите длину стороны X в прямоугольном треугольнике ниже.

Показать ответ Шаг 1 Шаг 1

Поскольку мы знаем 1 сторону и 1 угол этого треугольника, мы будем использовать sohcahtoa.

Шаг 2 Шаг 2

Составьте уравнение, используя соотношение синуса, косинуса или тангенса. Поскольку мы хотим знать длину гипотенузы, и мы уже знаем сторону, противоположную углу 53 °, мы имеем дело с синусом.

$$ грех (67) = \ frac {opp} {hyp} \\ sin (67) = \ frac {24} {\ red x} $$

Теперь просто решите уравнение:

Шаг 3 Отвечать

$$ x = \ frac {24} {sin (67)} \\ х = 26.07 $$

Задача 5

Вычислите длину стороны X в прямоугольном треугольнике ниже.

Показать ответ Шаг 1 Шаг 1

Поскольку мы знаем 2 стороны и 1 угол этого треугольника, мы можем использовать либо теорему Пифагора (используя две стороны), либо использовать sohcahtoa (используя угол и 1 из данных сторон).

Шаг 2 Шаг 2

Выберите, каким способом вы хотите решить эту проблему.Есть несколько разных решений. Единственное, что вы не можете использовать, — это синус, поскольку коэффициент синуса не включает соседнюю сторону x, которую мы пытаемся найти.

Ответы немного отличаются (тангенс s 35,34 против 36 для остальных) из-за проблем с округлением. Я округлил угол до 23 ° для простоты диаграммы.Более точная угловая мера составила бы 22,61986495 °. Если вы используете это значение вместо 23 °, вы получите более последовательные ответы.

Шаг 3 Отвечать

$$ x = \ frac {24} {sin (67)} \ приблизительно 26.07 $$

Именование сторон прямоугольного треугольника

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Это самая большая сторона прямоугольного треугольника. Если вы стоите на A в треугольнике ABC , сторона BC находится напротив вас, а сторона AB находится рядом с вами. Мы поэтому скажем, что BC — это сторона , противоположная к углу A , а AB — это смежная сторона к углу A . Обозначение Тригонометрические отношения

Если у вас проблемы с запоминанием определений, просто запомните SOH CAH TOA . Использование графического калькулятора Если у вас есть графический калькулятор TI-83, выберите Degree в меню MODE и установите Float на 4, чтобы получить правильные ответы с точностью до 4 знаков после запятой. Нажмите QUIT, чтобы вернуться на главный экран и очистить при необходимости экран. Если вы используете другой калькулятор, обратитесь к его инструкции или спросите своего учителя, как вы можете установить для него режим «Degree mode» и десятичный мест дисплей до 4 мест. Пример 1 Вычислить до 4 знаков после запятой: Решение: Напомним, что: Это сокращенно: Пример 2 Решение: Примечание: Ключевые термины гипотенуза, противоположная сторона, смежная сторона, тета, тригонометрический отношения, синус, синус, косинус, косинус, тангенс, загар, SOH, CAH, TOA, SOH CAH TOA, градусы, минуты, секунды

.