Периметр треугольника с прямым углом. Как найти периметр треугольника если известны не все стороны. Полезное видео: задачи на периметр труегольника
Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.
В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.
Возможные методы:
- известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
- как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
- известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.
Первый метод: известны все стороны фигуры
Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани , необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.
Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.
Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.
Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.
Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника.2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.
Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.
Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.
После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.
Прямоугольный треугольник — простая, но крайне важная для математики фигура. Знание о его свойствах и умение оперировать основными параметрами прямоугольного треугольника позволит вам справиться как со школьными, так и с реальными задачами.
Геометрия прямоугольного треугольника
Геометрически треугольник — это три точки, не лежащие на одной прямой, которые соединены между собой отрезками. Прямоугольный треугольник — фигура, две стороны которой образуют прямой угол. Эти стороны называются катетами треугольника, а третья, самая длинная сторона, носит название гипотенузы. Соотношение квадратов катетов и гипотенузы устанавливает теорема Пифагора — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии.
Соотношения гипотенузы и катетов также положили основу для целого раздела математики — тригонометрии. Изначально синусы и косинусы определялись как функции углов прямоугольного треугольника, но в современном значении тригонометрические функции расширены на всю числовую ось. Сегодня тригонометрия используется во многих областях человеческой деятельности: от астрономии и океанографии до анализа финансовых рынков и разработки компьютерных игр.
Прямоугольный треугольник в реальности
Непосредственно прямоугольный треугольник встречается в реальности на каждом углу, как в прямом, так и в переносном смысле. Форму прямоугольного треугольника имеют грани тетраэдров и призм, которые в реальности превращаются в детали машин, керамическую плитку или скаты крыш. Угольник — чертежный инструмент, с которым человек впервые встречается на уроке геометрии, имеет форму именно прямоугольного треугольника и используется в проектировании, строительстве и столярном деле.
Периметр треугольника
Периметр — это численная оценка длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Периметр n-угольника находится как сумма длин n сторон. Для определения периметра прямоугольного треугольника используется простая формула:
a и b – катеты, c – гипотенуза.
Вычисляя периметр треугольника вручную, вам пришлось бы измерять все три стороны, проводить дополнительные тригонометрические операции или вычисления по теореме Пифагора. Используя онлайн-калькулятор вам достаточно узнать следующие пары переменных:
- два катета;
- катет и угол;
- гипотенуза и угол.
В школьных задачах или на практике вам будут заданы исходные данные, поэтому калькулятор позволяет найти периметр, зная разные пары параметров. Кроме того, инструмент автоматически рассчитывает все остальные атрибуты прямоугольного треугольника, то есть длины всех сторон и величины всех углов. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из жизни
Школьная задача
Пусть в школьной задаче вам задан прямоугольный треугольник с длиной катета равным 5 см и прилежащим углом, величина которого составляет 60 градусов. Требуется найти периметр геометрической фигуры. Онлайн-калькулятор сопровождается рисунком, на котором изображены стороны и углы прямоугольного треугольника. Мы видим, что если катет a = 5 см, то его прилежащий угол — это угол бета. Это важный момент, так как если вы используете для расчетов угол альфа, то результат будет неверным. Вбиваем эти данные в форму и получаем ответ в виде:
Помимо непосредственно периметра, наша программа также определила величину противолежащего угла, а также длину второго катета и гипотенузы.
Обустройство клумбы
Допустим, вы хотите сделать ограду для клумбы, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для этого вам необходимо узнать периметр фигуры. Конечно, в реальности вы можете просто замерить все три стороны, но легко упростить себе задачу и измерить только два катета. Пусть они имеют длину 8 и 15 метров. Вбиваем эти данные в форму калькулятора и получаем ответ:
Итак, вам понадобится закупить материалы для обустройства 40 метров ограды. Наш калькулятор также подсчитал длину гипотенузы — 17 метров. Числа 8, 15 и 17 составляют пифагорову тройку — натуральные числа, которые удовлетворяют условиям теоремы Пифагора.
Заключение
Прямоугольные треугольники получили широкое распространение в повседневности, поэтому определение площади или периметра геометрической фигуры наверняка пригодится вам при решении школьных задач или бытовых вопросов.
Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии. Перед тем как мы рассмотрим основные способы нахождения периметра прямоугольного треугольника, хотелось бы напомнить, что периметр любой геометрической фигуры на плоскости равен сумме длин все ее сторон. Для все видов треугольников данное утверждение можно записать в виде следующего выражения:
где P — периметр треугольника;
a, b, c — стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике, как уже было сказано выше присутствует отличительная особенность в виде одного из углов, составляющего 90 градусов. Две стороны треугольника, прилегающие к данному углу называют катетами. Противоположную прямому углу сторону принято называть гипотенузой.
Необычные свойства прямоугольного треугольника было открыто Пифагором, который обнаружил, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов, что может быть записано в виде выражения:
Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии.
Где P — периметр треугольника;
A, b, c — стороны треугольника.
Исходя из теоремы Пифагора появилась возможность определять периметр прямоугольного треугольника по его двум любым сторонам известной длины. Если известны длины катетов, то периметр треугольника определяется через нахождение величины гипотенузы по формуле:
Если известен только один из катетов и длина гипотенузы, то периметр треугольника определяется через нахождение величины недостающего катета по формуле:
Если в прямоугольном треугольнике известна только длина гипотенузы с и один из прилегающих к ней острых углов α, то периметр треугольника в данном случае может быть определен по формуле:
В том случае, когда условиями задачи задана длина катета a и величина противолежащего ему острого угла α, то периметр прямоугольного треугольника в данном случае вычисляется по формуле:
Если же задан катет a с прилежащим к нему углом β, то периметр треугольника может быть рассчитан на основе выражения:
P = a + b + c, где, допустим,
P = v(a2 + b2) + a + b, или
P = v(c2 – b2) + b + с.
P = (1 + sin? + cos?)*с.
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)
Другие новости по теме:
Как найти периметр прямоугольного треугольника
Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от количества известных о нем данных.
В зависимости от случая, знание двух из трех сторон треугольника, а также одного из его острых углов.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти периметр прямоугольного треугольника» Как найти площадь поверхности пирамиды Как найти периметр если известна площадь Как найти периметр равностороннего треугольника
Способ 1.Если известны все три стороны треугольника, то, независимо от того, прямоугольный ли треугольник или нет, его периметр будет рассчитан так:
P = a + b + c, где, допустим,
Способ 2. Если в прямоугольнике известны только 2 стороны, то, используя теорему Пифагора, периметр этого треугольника можно рассчитать по формуле:
P = v(a2 + b2) + a + b, или
P = v(c2 – b2) + b + с.
Способ 3. Пусть в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то найти периметр можно будет таким образом:
P = (1 + sin? + cos?)*с.
Способ 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а напротив него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
Способ 5. Пускай нам известен катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:
P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)
Другие новости по теме:
Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием дополнительных начальных данных. Спонсор размещения P&G
Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще. Вам
Периметр треугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, составляет сумма длин ограничивающих его отрезков. Поэтому, чтобы вычислить длину периметра, надо знать длины его сторон. Но в силу того, что длины сторон в геометрических фигурах связаны определенными соотношениями с
Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами. Спонсор
Периметр любой геометрической фигуры, в том числе треугольника, равен совокупной длине границ этой фигуры. Он обозначается заглавной латинской буквой P и легко находится методом сложения длин всех сторон данной фигуры. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить периметр треугольника»
Треугольник — это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр? Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как находить периметр треугольника» Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин Как найти площадь треугольника Как найти длину и ширину
Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она расположена противоположно прямому углу. Способ нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими исходными данными вы обладаете. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти гипотенузу треугольника» Как
Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как определить
Казалось бы, что может быть проще, чем вычисление площади и периметра треугольника – измерил стороны, поставил цифры в формулу – и все. Если вы так считаете, значит, забыли, что для этих целей существует не две простенькие формулы, а гораздо больше – для каждого вида треугольника – своя. Вам
Периметр треугольника – сумма длин его сторон. Найти периметр треугольника часто требуется как в задачах начальной геометрии, так и в более трудных заданиях. При их решении недостающие величины находят из других данных. Основные зависимости периметра треугольника от его других измерений отражены в
Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от числа знаменитых о нем данных.
Вам понадобится
- В зависимости от случая, умение 2-х из 3 сторон треугольника, а также одного из его острых углов.
Инструкция
1. Метод 1.Если знамениты все три стороны треугольника , то, самостоятельно от того, прямоугольный ли треугольник либо нет, его периметр будет рассчитан так:P = a + b + c, где, возможен,c – гипотенуза;a и b – катеты.
2. Метод 2. Если в прямоугольнике вестимы только 2 стороны, то, применяя теорему Пифагора, периметр этого треугольника дозволено рассчитать по формуле:P = v(a2 + b2) + a + b, илиP = v(c2 – b2) + b + с.
3. Метод 3. Пускай в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то обнаружить периметр дозволено будет таким образом:P = (1 + sin ? + cos ?)*с.
4. Метод 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а наоборот него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
5. Метод 5. Пускай нам вестим катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)
Видео по теме
Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,
Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.
Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:
Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.
Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.
Альтернативный вариант
В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:
.
Периметр по двум сторонам
Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:
- биссектриса вершинного угла;
- медиана к основанию;
- высота треугольника;
- срединный перпендикуляр.
Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.
В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».
В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:
Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.
Полезное видео: задачи на периметр труегольника
Треугольник прямоугольный
Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.
В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
.
На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.
.
Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:
.
Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.
Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:
.
Расчет через высоту
Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:
.
Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.
Полезное видео: нахождение периметра треугольника
Читайте также…
Вычисление углов
Виды треугольников. В следующей статье речь пойдёт о задачах на решение прямоугольного треугольника. Эти задания не связаны с нахождением сторон, синуса, косинуса, тангенса или котангенса углов, такие мы уже рассматривали.
Сначала основная теория о треугольниках для тех, кто её подзабыл, и для всех, кто хочет повторить 😉
Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (рисунок 1).
Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рисунок 2).
Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным (рисунок 3).
Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рисунок 4).
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (рисунок 5).
Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны (рисунок 6).
Медиана треугольника
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения делит каждую медиану в отношении 1:2 считая от основания медианы (этот факт следует помнить).
Высота треуголька
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.
Биссектриса треугольника
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
Вспомним ещё одну теорему.
Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусам
Выводы:
— если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы всегда сможем найти третий угол.
— в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.
О следующем свойстве нужно сказать отдельно. Только с его помощью можно будетбыстро решить задачи, где речь идёт о медиане в прямоугольном треугольнике. Сначала сам факт:
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из
прямого угла к гипотенузе равна её половине
ОВ = 0,5АС АО = ОС = ОВ
То есть, треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными, и углы при их основаниях равны. Эти выводы (об углах) при решении ряда задач крайне необходимы.
Небольшое пояснение. Почему всё-таки медиана в данном случае равна половине гипотенузы? Здесь стоит вспомнить информацию о том, что любой треугольник построенный на диаметре окружности, вершина которого принадлежит этой окружности является прямоугольным, об этом подробно говорилось в этой статье.
Посмотрите: АО, ОС и ОВ – это радиусы, они у окружности равны. И, конечно же, ОВ будет равно половине АС. Поэтому-то медиана в любом прямоугольном треугольнике проведённая к гипотенузе будет равна её половине.
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Угол. Прямой угол. 2-й класс
Данный урок разработан и проведён в рамках деятельности творческой группы «Современные педагогические технологии» с целью демонстрации опыта работы по применению деятельностной технологии в начальной школе по образовательной системе «Школа 2100» во 2 классе, автор учебника Л.Г. Петерсон.
Цель:
- Сформировать представление об угле и его элементах, способность к распознаванию и обозначению углов;
- Познакомить с понятием «прямой угол»;
- Учить находить прямой угол с помощью чертёжного угольника;
- Отрабатывать навыки анализа и решения задач;
- Пополнять активный запас детей; учить работать в паре;
- Развивать математическую речь, мыслительные операции;
- Формировать познавательный интерес;
- Способствовать здоровьесбережению детей;
- Соблюдать гигиенические требования к уроку;
Тип урока: ОНЗ.
Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, обобщение.
Ход урокаI. Мотивация к учебной деятельности.Цель: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
– В начале урока мне хочется напомнить известное вам высказывание А. Нивена.
(слайд 2)
Математику нельзя изучать наблюдая, как это делает сосед.
А. Нивен
– Прочитайте его хором.
– Как вы понимаете смысл этих слов? (Если смотреть, как другие анализируют, сравнивают, преодолевают какие-то трудности, а сам ты этого ничего не делаешь. То математику знать не будешь).
– Верно, я думаю, что вы успешно преодолеете все трудности, которые преподносит нам математика.
– Посмотрите, это … (Ёлочка.)
– Что необычного в изображении ёлочки? (Она составлена из геометрических фигур.)
– Назовите их. (Треугольники и прямоугольник.)
– А ведь ёлочка вам подсказывает, какому разделу математики будет посвящён урок. (Геометрии.)
– Да, и сегодня вам предстоит узнать новое из области геометрии.
– Молодцы! С чего начнём? (С повторения необходимого.)
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.Цель:
- активизировать представление о плоскости и луче;
- тренировать умения чертить, обозначать и называть лучи;
- активизировать мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение;
- организовать самостоятельное выполнение учащимися индивидуального задания на применение нового знания, запланированного для изучения на данном уроке;
- организовать фиксацию учащимися возникшего затруднения в обосновании правильности полученного результата.
(Слайд 3)
– Посмотрите, нас встречают жители этой страны
– Назовите эти фигуры одним словом. (Геометрические фигуры)
– Назовите многоугольники ( треугольник, квадрат, прямоугольник)
(По щелчку мыши многоугольники исчезают)
– Назовите геометрическую фигуру, которая состоит из 4-х звеньев ( незамкнутая ломаная линия)
(По щелчку мыши ломаная исчезает)
– Какая геометрическая фигура не имеет ни начала на конца? (прямая линия)
(По щелчку мыши прямая исчезает)
– Назовите лишнюю фигуру среди данных фигур. (отрезок)
(По щелчку мыши отрезок исчезает)
– Какие геометрические фигуры остались? (Лучи)
– Что вы знаете о геометрической фигуре луч? (Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны)
– Чем отличается луч от прямой? (Луч– это часть прямой, ограниченная с одной стороны, а прямая не имеет ни начала на конца).
– У вас на партах лежат модели лучей.
– Покажите точку, начало луча, покажите весь луч.
(Слайд 7)
– Сравните лучи АВ и АС.
– Что у них общего? (У них общее начало точка А)
– Возьмите модели лучей и наложите их друг на друга так, чтобы точки совпали, а части прямой расходились в разные стороны.
– На сколько частей лучи разделили плоскость? (На 2 части)
– Как бы вы назвали меньшую из этих частей) (Углом) (Слайд 8)
– Как докажете, что данная фигура является углом?
Дети обосновывают своё мнение и приходят к выводу, что не могут доказать, что данная фигура является углом.
– Почему же возникло затруднение при доказательстве того, что выбранная вами фигура угол? (Нам неизвестно, что такое угол, каковы признаки этой геометрической фигуры.)
– Молодцы! Поняв причину, дальше надо … (Поставить цель, выяснить, что такое угол, выявить его признаки.)
– Назовите тему урока. (Угол.)
Открыть часть темы на доске.
III. «Открытие» нового знания.Цель:
- организовать построение нового знания об угле;
- организовать фиксацию нового знания в речи;
- организовать выполнение задания, вызвавшего ранее затруднение;
- зафиксировать преодоление возникшего ранее затруднения
– Покажите точку, общее начало лучей.
– Посмотрите, как называется общее начало лучей. (Это вершина угла) (слайд 9)
– Покажите лучи, которые образуют угол.
– Как их называют? (Стороны угла.) (слайд 10)
– Сколько вершин у угла? (1)
– Сколько сторон у угла? (2)
– Так из чего состоит угол? (Из точки – вершины и двух лучей – сторон, которые выходят из этой точки — вершины)
– Кто может сказать, что же такое угол? (Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки — вершины и двух лучей — сторон, которые выходят из этой точки)
– Продолжаем заполнять геометрический словарь.
– Какие новые слова в него добавили? (Угол, вершина угла, сторона угла).
– Вы конечно знаете, что у каждой геометрической фигуры есть имя, и у углов тоже есть имя.
– Аня, как тебя называет мама? А тебя Саша?
– Вас дома называют разными именами.
– И угол тоже можно назвать по-разному.
– Прочитайте его имя в учебнике на стр. 38.
– Что интересного заметили при чтении имён угла? (Буква, которая называет вершину читается в середине)
– Записывают это так: слово «угол» заменяют специальным знаком:
– Запишем этот знак в тетради.
– Начинаем писать с верхнего правого угла клетки, ведём наклонную в нижний левый угол клетки и вправо по нижней стороне клетки в нижний правый угол. (Дети записывают знак в тетради)
– Как пишется ваше имя?
– А теперь обратите внимание на то, как пишется имя угла. (Все буквы заглавные)
– Как вы думаете, почему так записывают угол? (По названию вершины угла.)
– Правильно. Запишите имя угла в тетради.
IV. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речиЦель: создать условия для выполнения учащимися нескольких типовых заданий на применение изученного знания с проговариванием во внешней речи.
– А теперь потренируемся в записи углов.
– Выполним задание №2 с.38
– Прочитайте задание.
– Работать будем в парах.
– Один из вас назовёт имена углов. А другой вершины и стороны угла.
– А теперь запишите различные обозначения углов.
(слайд 11)
– Проверяем первый угол, если вы записали так, поставьте «+».
– Катя. Прочитай названия второго угла, если вы записали так, поставьте «+».
– Самостоятельно проверьте, так ли вы записали названия третьего угла, если вы записали так, поставьте «+».
– У кого получилось три «+», у кого два, у кого один.
– Молодцы. А теперь отдохнём и посчитаем.
Физминутка «Счёт через 4»
– Продолжаем работу.
V. «Открытие» нового знания (продолжение)Цели:
- организовать построение нового знания о прямом угле;
- организовать фиксацию нового знания в речи.
– Скажите, а можно ли угол сделать больше или меньше по размеру?
(слайд 12-13)
– Смоделируйте полученный угол так, чтобы он стал меньше, а теперь, чтобы он стал больше.
– Какой вывод можем сделать о размере углах? (Углы бывают разные по размеру)
– Верно, углы бывают разные, и наша задача узнать, какой угол самый главный
– Сложите лист бумаги пополам, а потом ещё раз пополам.
– Возьмите линейку и красный карандаш, проведите линии сгиба.
– На сколько частей прямые разделили плоскость? (на 4 части)
– Что можете сказать о прямых? (Они пересекаются)
– Сколько углов образовали пересекающиеся прямые? (4)
– Эти пересекающиеся прямые образовали особенные углы.
– Может кто-нибудь знает названия этих углов?
– Это прямые углы (слайд 14)
– Покажите пальчиком каждый прямой угол.
– Раскрасьте прямые углы разными цветами.
– Поставьте точку на пересечении прямых.
– Чем будет являться эта точка для каждого из углов? (Вершиной угла)
(слайд 15)
– Покажите, где в жизни встречается прямой угол?
– А вот, если две пересекающиеся прямые образуют прямой угол, то их называют перпендикулярными прямыми)
( Повесить на доску карточку)
– Какими новыми понятиями пополнился наш словарь? (Прямой угол, перпендикулярные прямые).
– Ребята, а вы обратили внимание, что у вас на партах лежит ещё один чертёжный инструмент.
– Кто знает, как он называется?
– Правильное его название чертёжный угольник.
– Прямые углы удобно находить и строить с помощью угольника.
– Рассмотрите его внимательно и подумайте, почему?
– Итак, какова наша задача? (Научиться с помощью угольника определять прямые углы.)
(слайд 16)
– Составим алгоритм.
- Совместить вершину прямого угла чертёжного угольника и вершину угла.
- Совместить одну из сторон чертёжного угольника и сторону угла.
- Если вторая сторона угла совпала со второй стороной угольника, то это прямой угол.
– Найдите прямые углы с помощью чертёжного угольника в окружающей нас обстановке.
VI. Самостоятельная работа c самопроверкой.Цель: организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на применение новых знаний.
Работа по учебнику с. 39 №4.
– А теперь самостоятельно найдите прямые углы с помощью чертёжного угольника.
Проверка работы с помощью доски.
– Самостоятельно проверьте, так ли вы нашли прямые углы, если так, поставьте «+».
– Каким новым понятием пополнился наш словарь? (чертёжной угольник).
– Какие новые жители поселились в стране Геометрия? (угол, прямой угол) (слайд 12-13)
– Посмотрите на все фигуры (слайд 17) и скажите, какие фигуры имеют углы?
– А какие имеют прямые углы?
– Что мы знали о прямоугольнике? А о квадрате?
– А что нового узнали?
VII. Повторение изученного.– Решим задачу, в которой говорится о прямоугольнике и квадрате.
Работа по учебнику с.40 №9.
Задача: Начерти прямоугольник со сторонами 6см и 2см и вычисли его периметр. А теперь начерти квадрат с таким же периметром.
– Прочитайте задачу про себя.
– А теперь прочитайте задачу вслух, чтобы узнать, что известно в задаче, а что надо найти.
– Что же нам известно в задаче?
– Что надо узнать?
– Прежде чем вычислить Р, что надо сделать? (Начертить прямоугольник)
– А потом? (Найти Р).
– Как найти Р прямоугольника? (Надо длину всех сторон сложить).
– Начертите прямоугольник и найдите его Р самостоятельно.
(Проверка: решение дети записывают на доске)
– Прочитайте, что ещё нужно сделать в этой задаче.
– Любой ли квадрат надо начертить? (Нет).
– А какой? (С таким же Р).
– Сможем начертить? Почему? (Не знаем сторону квадрата)
– Что мы знаем о квадрате?
– Как узнать сторону квадрата)
– Как представить 16 четырьмя одинаковыми слагаемыми?
– Значит чему равна сторона квадрата?
– Начертите квадрат.
VIII. Рефлексия учебной деятельности на уроке.Цели:
- организовать фиксацию учащимися степени соответствия поставленной цели и полученного результата учебной деятельности;
- создать условия для фиксации учащимися в речи нового знания, изученного на уроке: что такое угол, как определить прямой угол;
- организовать фиксацию затруднений, которые остались, и способов их преодоления;
- организовать самооценку учениками собственной учебной деятельности на уроке;
– Какую цель вы ставили перед собой на уроке? (Узнать, что такое угол, его признаки.)
– Достигли цели? Докажите.
– Что такое угол? (Это меньшая часть плоскости, ограниченная двумя лучами, имеющими общее начало.)
– Углы бывают разные. С каким видом угла вы познакомились сегодня? (С прямым углом.)
– Как называются прямые, образующие прямой угол? (Перпендикулярные.)
– Как вы находили прямой угол среди углов? (С помощью угольника: совмещали угол и одну из сторон угольника. Потом смотрели, совпадает ли другая сторона угла со стороной угольника.)
– Каким значком обозначают прямой угол?
– Как записывают название углов? (Пишут значок угла и букву, обозначающую вершину угла, или три буквы, причём букву, обозначающую вершину, пишут в середине.)
– Оцените свою работу на уроке.
– Выберите круги:
Зелёный – доволен собой, всё понял:
Жёлтый – допускал неточность, неуверен в знаниях;
Красный – надо постараться и успех придёт.
Список использованной литературы.
- Петерсон Л.Г. Математика 2 класс.
- Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Методические рекомендации для учителя.
- Петерсон Л.Г., И.Г. Липатникова. Устные упражнения на уроках математики.
- Петерсон Л.Г. деятельностный метод обучения. Образовательная система «Школа 2000…».
- «Школа 2000…» Математика для каждого. Технология, дидактика, мониторинг.
- Петерсон Л.Г., Кубышева М.А. Типология уроков деятельностной направленности в образовательной системе «Школа 2000…».
- Сценарии уроков к учебнику «Математика» 2 класс.
Презентация.
Синус, косинус угла треугольника
Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.2\) \(9+16=25\) \(AB=5\) откуда синус равен:
\(sin ∠ BAC = \frac{3}{5}\)
Пример 2. Вычислим синус угла \(ABC\) по углу\( BAC \) 30° градусов в прямоугольном треугольнике \(ACB\).
Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °.Найдем угол \(ABC\):
\(180\)° \(-30\)° \(-90\)°\(=60\)°.
\(sin\) \(60\)° возьмем из табличного значения: \(\frac{ \sqrt{3}} { 2}\)
Табличные значения \(sin\) и \(cos\):
Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат \((y)\) линия синуса, ось абсцисс \((x)\) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса \(90\) и \(180\) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит \(x\), на втором \(y\) \((x,y)\);
Теорема синусов:
Теорема косинусов:
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Свойства биссектрисы угла прямоугольного треугольника: прямого, острого
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.
Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые (<90°).
Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:
- a и b – катеты;
- c – гипотенуза;
- lc – биссектриса к гипотенузе.
Свойство 2
Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:
- la – биссектриса к катету;
- α – острый угол, из которого проведена биссектриса.
Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:
Примечания:
Примеры задач
Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:
Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.
Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).
Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c2 = a2 + b2 = 92 + 122 = 225.
Следовательно, c = 15 см.
Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:
Определение острого угла
Острый угол: определение
Определение 1
Острый угол — это угол, который меньше $90°$ в градусах или $\frac{π}{2}$ в радианах.
Помимо острых углов также существуют тупые и прямые углы. Прямой угол равен 90°, а если две прямые пересекаются под прямым углом, о них также говорят, что они перпендикулярны.
Рисунок 1. Как выглядит острый угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Тупой угол — это любой угол больше чем $90°$, но меньше $180°$.
Для того чтобы определить, является ли угол острым или тупым, достаточно приложить любой предмет, имеющий прямой угол к данному углу так, чтобы их вершины совпадали, например, линейку.
Если прямой угол полностью вмещает в себя нарисованный — то этот угол является острым, если же наоборот нарисованный угол помещает в себя прямой — то рассматриваемый угол тупой.
Более точно угол можно измерить с помощью транспортира. Транспортир — это инструмент, состоящий из линейки и полуокружности.
Для того чтобы им воспользоваться, нужно наложить центр транспортира на вершину угла, причём так, чтобы один из образующих угол лучей совпадал с гранью линейки.
Рисунок 2. Измерение острого угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Второй же луч укажет на значение угла.
Также с помощью транспортира можно построить острый или тупой угол: для этого нужно нарисовать один из лучей, затем разместить его начало в центре транспортира, приложить линейку к необходимому числу градусов и провести по ней линию.
Особенности острых углов
- Если рассматривать 2 смежных угла, один из которых острый, то второй смежный угол обязательно будет тупым;
- В любом треугольнике есть по крайней мере один острый угол;
- Существуют треугольники, все три угла которых являются острыми. Они называются остроугольными.
Пример 1
Какой из углов не является острым?
Рисунок 3. Углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Острым не является угол под буквой «б», так как он больше $90°$.
Как правильно рассчитать высоту крыши дома
Какая оценка была у вас в школе по тригонометрии? Строительство дома даст вам шанс освежить свои знания и, при необходимости, наглядно докажет вашим детям, что школьная программа все-таки применима в реальной жизни. Расчет высоты крыши – красивая задачка по теме «прямоугольные треугольники». Приступим!
Зачем вообще ее рассчитывать?
Основной параметр крыши – угол ее наклона, он выбирается не наобум, а исходя из климатических особенностей региона и предполагаемого типа кровельного покрытия. Производители материалов обычно определяют диапазон применимости своих продуктов – от минимального угла наклона до максимального, в нормативных документах тоже чаще всего прописаны не конкретные значения уклона, а лишь граничные условия. Как же выбрать точное значение?
Можно выбрать несколько допустимых значений угла наклона кровли и рассчитать для каждого случая ее высоту. Этот параметр уже делает будущую кровлю более осязаемой. Ее можно нарисовать в правильных пропорциях, раскрасить в желаемый цвет и прикинуть – гармонично ли она будет выглядеть на готовом здании, не будет ли казаться слишком массивной, позволит ли обустроить мансардный этаж? Именно на этом этапе можно увидеть, например, что протяженный скат выглядит скучно и настоятельно требует украсить себя мансардным окном.
А вот дальше, имея высоту и углы наклона, можно посчитать общую площадь кровли и примерно оценить ее вес. На этом этапе в прекрасный мир архитектурных фантазий чаще всего грубо вмешивается Его Величество Бюджет, и все варианты сводятся к одному — выбирается угол наклона кровли, минимально допустимый по климатическим условиям и отвечающий минимальной смете на кровельные материалы. Что ж, почему бы и нет?
Расчет высоты односкатной кровли
Односкатная кровля в плане представляет собой самый настоящий прямоугольный треугольник. Те его стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, оставшаяся сторона – гипотенузой. Переводя с языка геометрии на язык строительства, мы увидим, что катеты – это длина стены здания и искомая высота кровли, гипотенуза – длина будущих стропил. Один из катетов – длина стены здания (а) — нам точно известен, также мы знаем и угол наклона (α).
Расчет высоты односкатной кровли
Теперь вспомним определение тангенса угла наклона – он равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего. В нашем треугольнике прилежащий катет – это длина стены, а противолежащий – высота кровли.
Тангенсы углов собраны в таблицах Брадиса. Помните такие? Теперь за ними не нужно идти в библиотеку, как в школьном детстве – их можно просто скачать в интернете и найти значение тангенса для нужного нам угла! После чего просто перемножим найденный тангенс угла и длину стены здания – и получим высоту кровли.
Формула расчета высоты односкатной кровли
За наши старания мудрый дедушка Пифагор предлагает нам бонус – теперь по теореме, носящей его имя, можно легко рассчитать и длину стропил.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а значит, длина стропил (L) будет равна корню квадратному из суммы квадратов длины стены и высоты кровли.
Формула расчета длины стропил односкатной кровли
Важно: по этой формуле мы рассчитываем длину стропил до пересечения со стеной. Если по плану стропила заканчиваются ниже уровня крыши, образуя свес, то к полученному значению нужно прибавить длину этого свеса.
Расчет высоты двускатной кровли
Чем двускатная кровля отличается от односкатной? В геометрическом смысле – тем, что ее сечение сложено из двух прямоугольных треугольников, а не из одного. Если крыша симметрична, то прилежащий катет при угле наклона будет равен не длине стены, а половине этого значения. В остальном расчет идентичен.
Расчет высоты двускатной кровли
Формула расчета высоты двускатной кровли
Зависимость полезной площади мансарды от угла наклона крыши
Кстати:
- Если угол наклона двускатной кровли равен 45°, то высота кровли будет равна половине длины стены;
- Если угол наклона двускатной кровли равен 30°, то длина стропил будет в два раза больше высоты кровли;
- Если угол наклона двускатной кровли равен 60°, то длина стропил будет равна длине стены.
Расчет высоты ломаной крыши
Скаты ломаной крыши имеют два угла наклона – верхний и нижний. Нижний обычно превышает 45°, верхний – составляет от 15 до 45°.
Расчет высоты ломаной крыши
Катеты нижнего треугольника обозначены как h2 и b1, верхнего – h3 и b2. Соответственно, общая высота кровли будет равна сумме h2 и h3.
Проблема заключается в том, что, в отличие от случая односкатной и обычной двускатной кровли, мы не знаем значения b1 – оно никак не связано с общей длиной стены а. Однако, скорее всего, нам уже известна высота h2 – ломаная кровля чаще всего проектируется для размещения под ней мансарды, и h2 – это комфортная для человека высота внутреннего помещения, равная 2,4 м.
Что касается h3, то этот параметр мы можем рассчитать по уже знакомому алгоритму, через тангенс угла α2.
Расчет высоты других типов кровель
Высота кровель любого другого типа рассчитывается по тому же принципу – сечение крыши разбивается на простейшие фигуры – треугольники, трапеции, квадраты — и анализируется с помощью законов геометрии.
Вместо заключения
После прочтения этой статьи может создаться ложное впечатление о том, что расчет кровли прост и доступен даже школьнику. Однако определение высоты кровли – всего лишь один, довольно незначительный этап полного расчета. Вы можете воспользоваться предоставленной информацией для того, чтобы подстегнуть свою фантазию, чтобы определиться с типом кровли, кровельным покрытием, чтобы лучше понимать строителей и проектировщиков, но, пожалуйста, предоставьте расчет кровли профессионалам – от этого зависит не только состояние вашего кошелька, но и ваша безопасность!
Угол и гипотенуза прямоугольного треугольника Калькулятор
- Цель использования
- Расчет угла стрельбы / азимут для артиллерийского орудия
[1] 2021/06/05 01:56 Мужчина / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень /
- Цель использования
- Квадрат большого садовый участок / забор
[2] 2021.05.29 08:11 Мужчина / 60 лет и старше / Офисный работник / Государственный служащий / Полезный /
- Цель использования
- Для использования в строительных работах на стройплощадке
- Комментарий / Request
- Я не хочу найти угол скоса в регуляторе напора при орошении
[3] 2020/12/30 13:12 Мужчина / Моложе 20 лет / Инженер / Очень /
- Цель использования
- Определите ширину экрана Iphone 8 Plus, когда я использую его для Измерьте ширину кусочка зубной нити, которым я измеряла безымянный палец моей подруги без линейки, чтобы купить обручальное кольцо.
[4] 2020/10/14 17:58 Мужчина / 30-летний уровень / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /
- Назначение
- Для определения угла наклона крыши садовой постройки.
[5] 2020/09/11 18:57 Мужской / Уровень 50 лет / Другое / Очень /
- Цель использования
- Требуется для определения оптимального размера телевизора, если рекомендуемый угол обзора составляет 30 градусов от конца до конец телевизора при измерении из положения сидя.
[6] 2020/08/18 00:21 Мужской / Уровень 40 лет / Другое / Полезное /
- Цель использования
- Направление направленной антенны на вышку сотовой связи на вершине горы
[7] 2020/07/29 05:31 — / 60 лет и старше / Пенсионер / Полезно /
- Цель использования
- Обеспечение квадратной планировки машинного навеса и дизайн.
[8] 2020/06/30 21:44 Мужчина / 60 лет и старше / Пенсионер / Очень /
- Цель использования
- Определение угла и длины гипотенузы для резки деревянной балки для рамы A на my kids fort roof
[9] 2020/06/06 19:33 Мужчина / Уровень 40 лет / Инженер / Очень /
- Цель использования
- Кардиолог, 67 лет. Расчет длин и углов для проекта изготовления металлических изделий Плюс, отличный обзор, отличный обзор тригонометрии!
[10] 2020/06/01 20:35 Мужчина / 60 лет и старше / Самозанятые / Очень /
Треугольник 45 ° -45 ° -90 ° — пояснения и примеры
Теперь, когда мы знаем, что такое прямоугольный треугольник и что такое специальные прямоугольные треугольники, пришло время обсудить их индивидуально.Давайте посмотрим, что такое треугольник 45 ° -45 ° -90 ° .
Что такое треугольник 45 ° -45 ° -90 °?
Треугольник 45 ° -45 ° -90 ° — это специальный прямоугольный треугольник, который имеет два угла 45 градусов и один угол 90 градусов. Длины сторон этого треугольника пропорциональны;
Сторона 1: Сторона 2: Гипотенуза = n: n: n√2 = 1: 1: √2.
Прямоугольный треугольник 45 ° -45 ° -90 ° составляет половину квадрата . Это связано с тем, что каждый квадрат имеет угол, равный 90 °, и когда он разрезан по диагонали, один угол остается равным 90 °, а два других угла 90 ° делятся пополам (разрезаются пополам) и становятся 45 ° каждый.
Диагональ квадрата становится гипотенузой прямоугольного треугольника, а две другие стороны квадрата становятся двумя сторонами (основанием и противоположностью) прямоугольного треугольника.
Прямоугольный треугольник 45 ° -45 ° -90 ° иногда называют равнобедренным прямоугольным треугольником, потому что у него две равные длины сторон и два равных угла.
Мы можем вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника 45 ° -45 ° -90 ° следующим образом:
Пусть сторона 1 и сторона 2 равнобедренного прямоугольного треугольника равны x.
Примените теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 , где a и b — сторона 1 и 2, а c — гипотенуза.
x 2 + x 2 = 2x 2
Найдите квадратный корень из каждого члена уравнения
√x 2 + √x 2 = √ (2x 2 )
х + х = х √2
Следовательно, гипотенуза 45 °; 45 °; Треугольник 90 ° равен x √2
Как решить треугольник 45 ° -45 ° -90 °?
Учитывая длину одной стороны треугольника 45 ° -45 ° -90 °, вы можете легко вычислить длины других недостающих сторон, не прибегая к теореме Пифагора или функциям тригонометрических методов.
Вычисления прямоугольного треугольника 45 ° -45 ° -90 ° делятся на две возможности:
Чтобы вычислить длину гипотенузы, если задана длина одной стороны, умножьте заданную длину на √2.
Зная длину гипотенузы треугольника 45 ° -45 ° -90 °, вы можете вычислить длины сторон, просто разделив гипотенузу на √2.
Примечание. Используя метод соотношения 1: 1: √2, можно решить только треугольники 45 ° -45 ° -90 °.
Пример 1
Гипотенуза 45 °; 45 °; Треугольник 90 ° равен 6√2 мм.Рассчитайте длину его основания и высоту.
Решение
Передаточное отношение 45 °; 45 °; Треугольник 90 ° равен n: n: n√2. Итак, у нас есть;
⇒ n√2 = 6√2 мм
Возведите обе части уравнения в квадрат.
⇒ (n√2) 2 = (6√2) 2 мм
⇒ 2n 2 = 36 * 2
⇒ 2n 2 = 72
n 2 = 36
Найдите квадратный корень.
n = 6 мм
Следовательно, основание и высота прямоугольного треугольника равны 6 мм каждая.
Пример 2
Вычислите длины сторон прямоугольного треугольника, один угол которого равен 45 °, а гипотенуза — 3√2 дюйма.
Решение
Учитывая, что один угол прямоугольного треугольника составляет 45 градусов, это должен быть прямоугольный треугольник 45 ° -45 ° -90 °.
Следовательно, мы используем отношения n: n: n√2.
Гипотенуза = 3√2 дюйма = n√2;
Разделите обе части уравнения на √2
n√2 / √2 = 3√2 / √2
п = 3
Следовательно, длина каждой стороны треугольника составляет 3 дюйма.
Пример 3
Короткая сторона равнобедренного прямоугольного треугольника равна 5√2 / 2 см. Какая диагональ треугольника?
Решение
Равнобедренный прямоугольный треугольник совпадает с прямоугольным треугольником 45 ° -45 ° -90 °. Итак, мы применяем соотношение n: n: n√2 для вычисления длины гипотенузы.
Учитывая, что n = 5√2 / 2 см;
⇒ n√2 = (5√2 / 2) √2
⇒ (5/2) √ (2 x 2)
⇒ (5/2) √ (4)
⇒ (5/2) 2
= 5
Следовательно, две катеты треугольника имеют длину 5 см каждая.
Пример 4
Диагональ прямоугольного треугольника 45 ° -45 ° -90 ° составляет 4 см. Какова длина каждой из ног?
Решение
Разделите гипотенузу на √2.
⇒ 4 / √2
⇒ √4 / √2
⇒ 4√2 / 2
= 2√2 см.
Пример 5
Диагональ квадрата 16 дюймов, рассчитать длину сторон
Решение
Разделите диагональ или гипотенузу на √2.
⇒ 16 / √2
⇒ 16√2 / √2 = 8√2
Следовательно, длина ножек составляет 8√2 дюйма каждая.
Пример 6
Угол подъема верха этажного дома от точки на земле в 10 м от основания здания составляет 45 градусов. Какая высота здания?
Решение
Если один угол равен 45 градусам, предположим, что прямоугольный треугольник 45 ° — 45 ° -90 °.
Примените соотношение n: n: n√2, где n = 10 м.
⇒ n√2 = 10√2
Следовательно, высота здания 10√2 м.
Пример 7
Найдите длину гипотенузы квадрата с длиной стороны 12 см.
Решение
Чтобы получить длину гипотенузы, умножьте длину стороны на √2.
⇒ 12 √2 = 10 √2
Следовательно, диагональ 10 √2 см.
Пример 8
Найдите длины двух других сторон квадрата с диагональю 4√2 дюйма.
Решение
Половина квадрата образует прямоугольный треугольник 45 ° — 45 ° -90 °. Поэтому мы используем отношения n: n: n√2.
n√2 = 4√2 дюйма.
разделите обе стороны на √2
п = 4
Следовательно, стороны квадрата имеют длину 4 дюйма каждая.
Пример 9
Рассчитайте диагональ квадратного цветника, длина стороны которого 30 м.
Решение
Примените соотношение n: n: n√2, где n = 30.
⇒ n√2 = 30 √2
Следовательно, диагональ равна 30 √2 м
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокКалькулятор прямоугольного треугольника — Онлайн калькулятор прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого равен 90 °. Прямоугольный треугольник следует теореме Пифагора.
Что такое калькулятор прямоугольного треугольника?
«Калькулятор прямоугольного треугольника Cuemath» — это бесплатный онлайн-инструмент, который в течение нескольких секунд определяет, является ли треугольник прямоугольным или нет.
Как пользоваться калькулятором прямоугольного треугольника?
Следуйте инструкциям ниже, чтобы найти прямоугольный треугольник.
- Шаг 1 — Введите значения гипотенузы, базы и высоты в соответствующие поля ввода.
- Шаг 2 — Щелкните « Вычислить », чтобы определить, является ли треугольник прямоугольным или нет.
- Шаг 3 — Щелкните « Reset », чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как рассчитать прямоугольный треугольник?
Прямоугольный треугольник имеет 3 стороны: основание, высоту и гипотенузу. Угол, образованный точкой соединения высоты и основания, составляет 90 °. Прямоугольный треугольник следует теореме Пифагора.
Рисунок: Прямоугольный треугольник
Формула теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника: Гипотенуза 2 = База 2 + Высота 2
Давайте узнаем на примере, как определить, является ли треугольник прямоугольным или нет.
Хотите найти сложные математические решения за секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. Cuemath находит решения простым и легким способом.
Забронируйте бесплатную пробную версию Класс
Решенный пример:Если три стороны треугольника равны 13 единицам, 12 единицам и 5 единицам. Вычислите, является ли полученный треугольник прямоугольным или нет.
Решение:Самая длинная сторона треугольника — это гипотенуза, то есть гипотенуза = 13 единиц
Две другие стороны: База = 12 единиц и высота = 5 единиц
Теперь примените теорему Пифагора, и если формула теоремы Пифагора удовлетворяет, то треугольник является прямоугольным.
Гипотенуза 2 = База 2 + Высота 2
13 2 = 12 2 + 5 2
169 = 144 + 25
169 = 169
Поскольку теорема Пифагора удовлетворяет, треугольник является прямоугольным.
Теперь воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором «Прямоугольный треугольник» и выясните, является ли треугольник прямоугольным треугольником или нет, стороны которого равны:
1) 15 шт., 5 шт. И 10 шт.
2) 25 единиц, 24 единицы и 7 единиц
Теорема Пифагора
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой, которая всегда противоположна прямому углу.
В любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата гипотенузы равна сумме площадей квадратов на других сторонах.
Для любого прямоугольного треугольника это правило можно использовать для вычисления длины гипотенузы, если известны длины меньших сторон.
(Гипотенуза) 2 = (Самая короткая сторона) 2 + (Другая сторона) 2
так
(самая длинная сторона) 2 = (самая короткая сторона) 2 + (другая сторона) 2
Чтобы найти длину гипотенузы
Пример
Найдите длину гипотенузы:
Найти длину более короткой стороны
- Эскиз треугольника
- Отметить гипотенузу
- Запишите теорему Пифагора для треугольника
(Гипотенуза) 2 = (Самая короткая сторона) 2 + (Другая сторона) 2 - Решить
- Выпишите решение
Пример
Найдите длину недостающей стороны:
Обратное Пифагора
Если (Гипотенуза) 2 = (Самая короткая сторона) 2 + (Другая сторона) 2
Тогда треугольник прямоугольный.
Пример
Это прямоугольный треугольник?
Скрытый Пифагор
Очень часто вам нужно решить вопрос, где использование теоремы Пифагора не кажется очевидным.
Пример
Вычислить периметр треугольника ABD. (Ответьте правильно с точностью до 1 дп.)
Для определения периметра необходимо знать длину компакт-диска.
Поскольку ACB — прямоугольный треугольник, теорему Пифагора можно использовать для определения длины BC. Треугольник BCD также имеет прямой угол, поэтому теорему Пифагора можно снова использовать со значением, вычисленным для BC, и заданными 11 см, чтобы найти CD.
Наконец, можно сложить длины, чтобы найти периметр.
так
Таким образом,
Периметр = 12 + 11 +9 +7.6 = 39,6 см (1 дп)
Пример
Фронтон симметричного здания окрашен в желтый цвет.
Вычислить площадь окрашенной поверхности.
Это составная область, поэтому разделена на две части:
A 1 — прямоугольник,
так
A 2 — треугольник,
т.
Чтобы найти высоту перпендикуляра, x
Используйте теорему Пифагора
Подставляем в уравнение для A 2 :
Таким образом, площадь окрашиваемой поверхности
A 1 + A 2 = 50 + 16.6 = 66,6 м 2
Пифагор с координатами
Пример
Рассчитайте длину линии, соединяющей точки
А (-5, 10) и В (3, 0)
Решение:
Постройте точки и проведите линию.
Заполните прямоугольный треугольник
решить, используя теорему Пифагора
Это основа формулы расстояния, которая является частью приложения высшей математики.
© Александр ФоррестГеометрические свойства прямоугольного треугольника
Определения
Геометрия
Прямой треугольник — это треугольник с одним внутренним углом, равным 90 °. Поэтому две его стороны перпендикулярны. Это ноги. Третья сторона, которая является большей, называется гипотенузой. Все тригонометрические функции (синус, косинус и т. Д.) Могут быть определены как отношения между сторонами прямоугольного треугольника (для углов до 90 °).\ circ. Следовательно, это дополнительные углы. Зная одно, можно найти другое.
Тригонометрия
Тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс, котангенс — могут быть определены как отношения длин сторон прямоугольного треугольника. Можно сделать следующие определения:
\ begin {split} & \ sin {\ varphi} & = \ frac {a} {c} & = \ frac {\ textrm {противоположная нога}} {\ textrm {hypotenuse}} \\ \\ & \ cos {\ varphi} & = \ frac {b} {c} & = \ frac {\ textrm {смежная нога}} {\ textrm {hypotenuse}} \\ \\ & \ tan {\ varphi } & = \ frac {a} {b} & = \ frac {\ textrm {противоположная нога}} {\ textrm {смежная нога}} \\ \\ & \ cot {\ varphi} & = \ frac {b} { a} & = \ frac {\ textrm {смежная нога}} {\ textrm {противоположная нога}} \\ \\ \ end {split}
Окружность и вписанная окружность
Существует уникальный круг, который проходит через все вершины треугольника, называется описанной окружностью или описанной окружностью.Для прямоугольного треугольника гипотенуза — это диаметр описанной окружности. Следовательно, радиус описанной окружности равен:
R = \ frac {c} {2}
Существует также уникальная окружность, касающаяся всех трех сторон прямоугольного треугольника, называемая вписанной окружностью или вписанной окружностью. Его радиус определяется по формуле:
r = \ frac {a + b-c} {2}
Высота
Высота по направлению к стороне треугольника — это сегмент, перпендикулярный этой стороне, начиная с противоположной вершины.Поскольку в прямоугольном треугольнике два катета перпендикулярны, должно быть, чтобы высота по отношению к любому из двух катетов была другой ногой. Высота в направлении гипотенузы может быть найдена, учитывая, что гипотенуза делит прямоугольный треугольник на два дочерних прямоугольных треугольника, и тригонометрические функции могут быть применены к любому из них (см. Предыдущий рисунок):
\ begin {split} h & = b \ sin {\ varphi} & = b \ cos {\ theta} & \ quad \ textrm {или …} \\ h & = a \ sin {\ theta} & = a \ cos {\ varphi} \ end { split}
Площадь
Площадь любого треугольника со стороной L и высотой по направлению к этому краю, равной H, можно найти по формуле: A = \ frac {1} {2} LH.Применяя это уравнение для одного катета или для гипотенузы прямоугольного треугольника, мы находим два эквивалентных выражения для вычисления его площади:
\ begin {split} A & = \ frac {1} {2} ab \\ A & = \ frac {1} {2} ch \ end {split}
Приведенные выше выражения раскрывают еще одну полезную взаимосвязь для сторон α, b, c и высоты h прямоугольного треугольника:
h = \ frac {ab} {c}
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора (Пифагор, 570-495 гг. до н.э., впервые доказал ее) гласит, что: квадрат наибольшей стороны прямоугольного треугольника (гипотенуза) равен сумма квадратов двух меньших сторон (ног).2
Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника, когда известны две другие. На рисунке ниже показана визуализация теоремы Пифагора. С каждой стороны треугольника нарисован квадрат. Согласно теореме, площадь самого большого квадрата (c 2 ) равна сумме площадей меньших (a 2 + b 2 ).
| 1D линия, круговая дуга, парабола, спираль, кривая Коха
2D Правильные многоугольники: Равносторонний треугольник, Квадрат, Пентагон, Шестиугольник, Семиугольник, Восьмиугольник, Нонагон, Десятиугольник, Хендекагон, Додекагон, Шестиугольник, N-угольник, Кольцо многоугольника Другие многоугольники: 90 815 круглых форм: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр архимедова Solids: Каталонских Сухой остаток: Твердые тела Джонсона: Другие многогранники: | Anzeige Расчеты на правой трапеции (или правой трапеции).Это трапеция с двумя смежными прямыми углами. Введите длины двух параллельных сторон a и c, а также основания b или наклонной стороны d. Выберите количество десятичных знаков и нажмите Рассчитать. Углы рассчитываются и отображаются в градусах, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Формулы: Длины сторон, диагонали и периметр имеют одинаковые единицы измерения (например,грамм. метр), площадь равна этой единице в квадрате (например, квадратный метр). Доля:© Jumk.de Webprojects Anzeige |
Как найти высоту треугольника (правого, равностороннего, равнобедренного …)
Треугольники имеют три высоты, каждый связан с отдельным основанием. Независимо от того, имеется ли до трех разных высот, у одного треугольника всегда будет только одна мера площади. В некоторых треугольниках, таких как прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники, определить высоту легко одним из двух способов.
Как найти высоту треугольника
Каждый треугольник имеет три высоты или высоты, потому что у каждого треугольника три стороны. Высота треугольника — это длина перпендикулярного отрезка прямой, начинающегося на одной стороне и пересекающего противоположный угол.
В равностороннем треугольнике, таком как △ СОЛНЦЕ ниже, каждая высота — это отрезок прямой, разделяющий сторону пополам, а также биссектрису противоположного угла. Это произойдет только в равностороннем треугольнике.
По определению равностороннего треугольника вы уже знаете, что все три стороны равны, и все три угла равны 60 °. Если сторона помечена, вы знаете ее длину.
У нашего яркого маленького △ СОЛНЦА одна сторона обозначена 24 см, поэтому все три стороны равны 24 см. Каждый отрезок линии, показывающий высоту с каждой стороны, также делит равносторонний треугольник на два прямоугольных.
Формула высоты треугольника
Ваша способность разделить треугольник на прямоугольные или распознать существующий прямоугольный треугольник — это ваш ключ к определению высоты исходного треугольника.Вы можете взять любую сторону нашего великолепного △ СОЛНЦА и увидеть, что отрезок линии, показывающий его высоту, делит сторону пополам, так что каждая короткая ножка только что созданного прямоугольного треугольника составляет 12 см. Мы уже знаем, что гипотенуза равна 24 см.
Зная все три угла и две стороны прямоугольного треугольника, какова длина третьей стороны? Это работа для теоремы Пифагора :
Использование теоремы Пифагора
Ориентируйтесь на длину; углы не важны в теореме Пифагора.Подключите то, что вы знаете:
а2 + Ь2 = с2
122 + b2 = 242
144 + b2 = 576 см2
b2 = 432 см2
b2 = 432 см2
b = 20,7846096908 см
Большинство людей с радостью скажут, что высота (сторона b) составляет приблизительно 20,78, или b ≈ 20,78.
Вы можете решить для себя, сколько значащих цифр нужно вашему ответу, поскольку десятичная дробь будет продолжать повторяться. Не забудьте использовать для ответа линейные измерения!
Решение теоремы Пифагора работает с прямоугольными, равнобедренными и равносторонними треугольниками.На разносторонних треугольниках не получится!
Используя формулу площади, чтобы найти высоту
Формула для площади треугольника: 12 основание × высота, или 12 bh. Если вы знаете площадь и длину основания, вы можете рассчитать высоту.
В отличие от метода теоремы Пифагора, если у вас есть две из трех частей, вы можете найти высоту для любого треугольника!
Здесь у нас есть scalene △ ZIG с базой в 56 ярдов и площадью 987 квадратных ярдов, но никаких подсказок об углах и двух других сторонах !:
Вспоминая формулу для площади, где A означает площадь, b — основание, а h — высота, мы вспоминаем
A = 12 bh
Это можно переставить с помощью алгебры:
А = bh3
ч = 2 (Ab)
Введите наши известные значения:
h = 2 (987 квадратных ярдов 56 ярдов)
ч = 2 (17.