Как узнать угол прямой: Угол наклона прямой | Онлайн калькулятор

Содержание

Коэффициент наклона прямой

Что такое линейная функция и как выглядит ее график мы подробно разбирали здесь.

В этой статье мы остановимся на том, как находить коэффициент наклона прямой.

Как мы знаем, уравнение прямой имеет вид . В этом уравнении коэффициент при отвечает за наклон прямой и называется коэффициентом наклона. Он равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси .

Внимание! Не просто между прямой и осью , а именно между прямой и положительным направлением оси .

Например, в прямой коэффициент наклона равен , в прямой  коэффициент наклона равен .

В уравнении прямой  слагаемое, содержащее отсутствует, следовательно, коэффициент при  равен нулю. Угол наклона этой прямой к оси  равен нулю — прямая  параллельна оси .

 

Если прямая наклонена вправо, то угол между прямой и положительным направлением оси — острый, соответственно, тангенс этого угла больше нуля, и коэффициент .

Например:

Здесь

Если прямая наклонена влево, то угол между прямой и положительным направлением оси — тупой, соответственно, тангенс этого угла меньше нуля, и коэффициент :

Здесь .

Решим две задачи на нахождение коэффициента наклона прямой.

1. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (-1;-1) и (1;3).

Решим эту задачу  двумя способами.

А). Так как прямая проходит через точки (-1;-1) и (1;3), координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты каждой точки подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство. Так как у нас две точки, получаем систему:

или

Вычтем из второго уравнения первое, и получим , отсюда .

Б). Построим график этой функции. Для этого нанесем данные точки А(-1;-1) и В(1;3) на координатную плоскость и проведем через них прямую:

Коэффициент равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси , на чертеже это угол :

Чтобы найти рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с вершинами в данных точках.

Угол прямоугольного треугольника АВС равен углу (соответственные углы, полученный при пересечении параллельных прямых АС и ОХ секущей АВ):

равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Отсюда

2. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (4;0) и (0;8).

Решение с помощью системы уравнений абсолютно аналогично решению предыдущей задачи, можете воспроизвести его самостоятельно.

Выполним это задание с помощью графика.

Нанесем данные токи на координатную плоскость и проведем через них прямую:

Угол между прямой и положительным направлением оси ОХ — это угол :

Коэффициент наклона прямой  . Чтобы найти , построим прямоугольный треугольник ВОА: 

В этом прямоугольном треугольнике угол    — внешний. Мы можем найти тангенс внутреннего угла  .  .

. Отсюда  .

Еще раз! Если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицательный.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k.

Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Решение

Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

Ответ: k=-3.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k.

Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

Ответ: α=arctg 3.

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

Ответ: 5π6.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b.  В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1),  в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0)  в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом.

Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1).  Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

Решение

По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.

Ответ: y=-2x+7.

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1

Ответ: y=2x-1.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3

Ответ: x1=y-12-3.

Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y=17x-2⇔17x-y-2=0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 — нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.

Ответ: y=16x+14.

Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.

Ответ: y=32x-3.

Пример 11

Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x

Ответ: y=52x-6.

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

Ответ: k=2.

Угол между прямой и плоскостью. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Угловой коэффициент прямой

  Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:

— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.

Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.

Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:

где k это и есть угловой коэффициент прямой.

Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.

 

Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).

Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.

Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:

Подробнее об этой формуле рассказано в этой статье!

Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).

В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:

*Оба катета равны шести (это их длины).

Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.

Ответ: 1

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки  имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,

Приведём формулу к виду  y = kx + b   

Получили, что угловой коэффициент  k = – 1.

Ответ: –1

Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!

В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.

Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 40/3.

Ответ: 40/3

Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.

Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

По условию точки  имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,

Приведём к виду   y = kx + b:

Получили, что угловой  k = 2/3.

*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.

Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:

Найти величину b  мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:

Таким образом, прямая имеет вид:

Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:

Ответ: 18

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).

Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки  имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,

Приведём к виду   y = kx + b   

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:

Значение b  найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):

Получили уравнение прямой:

Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу  нужно подставить в найденное уравнение х = 0:

*Самый простой способ решения. При помощи параллельного  переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).

Искомая ордината равна  –12.

Ответ: –12

Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 

+ 2у = 6, с осью Oy.

Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:

Ордината  точки пересечения прямой с осью оу равна 3.

*Решается система:

Ответ: 3

Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 

3х + 2у = 6   и  у = – х.

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

В первом уравнении подставляем    – х   вместо у:

Ордината равна минус шести.

Ответ: 6

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).

Посмотреть решение

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Посмотреть решение

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Посмотреть решение

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Посмотреть решение

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6  и у = х.

Посмотреть решение

Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.

 

1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.

2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.

3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.

5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.

6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:

>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов <<

>> Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов <<

В данных двух случаях, по свойству тангенса:

То есть, чтобы найти уголвой коэффициент прямой, необходимо вычислить тангенс бетта в полученном прямоугольном треугольнике и записать результат с отрицательным знаком.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.

Определение Угол между прямыми — размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k1x + b1,
y = k2x + b2,

то угол между ними можно найти, используя формулу:

tg γ = k1 — k21 + k1·k2

Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX

tg α = k1
tg β = k2

Соответственно легко найти угол между прямыми

γ = α — β

tg γ = tg (α — β) = tg α — tg β1 + tg α ·tg β = k1 — k21 + k1·k2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + b

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x0l = y — y0m

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Если a — вектор нормали первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то вектор нормали имеет вид {A; B}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то вектор нормали имеет вид {1; -k}

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

sin φ = |a · b||a| · |b|

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = 2 — (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12 = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = -23x   (k1 = -23)

x — 23 = y4 => y = 43x — 83   (k2 = 43)

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = -23 — 431 + (-23)·43 = -631 — 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Угол между прямыми в пространстве

Если a — направляющий вектор первой прямой, а b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x0l = y — y0m = z — z0n

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + bz = n t + c

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Пример 4. Найти угол между прямыми x = 2t + 1y = tz = -t — 1 и x = t + 2y = -2t + 1z = 1.

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} — направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02 = 06 · 5 = 0

Ответ. φ = 90°

Пример 5 Найти угол между прямыми x — 23 = y4 = z — 35 и -x — 22 = 1 — 3y = 3z — 52.

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

-x — 22 = x — 2-2

1 — 3y = 1 + y-1/3 = y — 1/3-1/3

3z — 52 = z — 5/32/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2-2 = y — 1/3-1/3 = z — 5/32/3

{-2; -13; 23} — направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2 = -6 — 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49 = -450 · 41/9 = 12582 = 682205

Ответ. φ ≈ 74. 63°

Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости (рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

,   (1)

где — координаты точки , — угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

.   (2)

Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент и прямая проходит через точку .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:


Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угол наклона прямой и прямая проходит через точку .

Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:

Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.

Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.

Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, которая проходит через две данные точки и .

В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:

.   (3)

Нам остаётся лишь применять эту формулу.

Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если она проходит через точки и .

Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:

.

Теперь, используя формулу (1), получаем:

Итак, получили уравнение вида (2).

Проверяем — подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, проведённой через две данные точки и .

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

.

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Всё по теме «Прямая на плоскости

Урок 33. угол. виды углов: прямой, острый, тупой — Математика — 2 класс

Математика, 2 класс

Урок № 33. Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Какие бывают углы?

— Как распознавать углы?

Глоссарий по теме:

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.

Острый угол – это угол, который меньше прямого.

Тупой угол – это угол, который больше прямого.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

  1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.8-9.
  2. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.3.
  3. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. М. И. Моро, С. И. Волкова – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.16.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрите фигуры и выберите лишнюю.

Лишняя фигура под номером 2. Она образована незамкнутой линией.

Она называется угол.

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.

Посмотрите на рисунки: по-разному открытый веер, образует разные углы.

У каждого угла есть две стороны и вершина. Углы бывают прямые, острые и тупые. Углы определить можно помощью чертежного угольника.

Прямой угол определяем с помощью чертежного угольника.

Угол, который меньше прямого угла называется острым углом.

Угол, который больше прямого угла называется тупым углом.

Посмотрите, как из обычного листа бумаги можно сделать модель прямого угла. Моделью можно воспользоваться, если у вас нет чертежного угольника. Возьмите лист бумаги и перегните его 2 раза, как показано на рисунках 1 и 2. И получите модель прямого угла.

Разверните лист. Линии сгиба образовали 4 прямых угла.

Чтобы определить, какой угол начерчен, на него накладывают угольник или модель прямого угла.

Вывод: Углы могут быть прямыми и непрямыми. Чтобы определить прямой угол или нет, нужно взять особый инструмент – угольник. Если, приложив угольник к углу, вершиной к вершине, стороны совпадут, то угол – прямой. Не совпадут – непрямой. Непрямые углы делятся на: тупые и острые. Угол, величина которого меньше величины прямого – острый, а, если величина угла больше величины прямого – тупой.

Тренировочные задания.

1.Посмотрите на крыши домов и домиков. Какие углы ты видишь на рисунке? Соотнесите вид угла с изображением домика.

Правильные ответы:

2. Выберите цифры, в записи которых присутствуют только прямые углы.

Правильные ответы:

Angles — Mathematics GCSE Revision — Revision Maths

Углы измеряются в градусах, записываются в °. Максимальный угол 360 °. Это угол вокруг точки. Половина этого угла составляет 180 ° на прямой.

Видео ниже объясняет, как вычислить связанные углы, смежные углы, внутренние углы и дополнительные углы.

Связанные уголки

Линии AB и CD параллельны друг другу (отсюда »на линиях).

a и d известны как , вертикально противоположные углам . Вертикально противоположные углы равны. (b и c, e и h, f и g также противоположны по вертикали).

g и c — это соответствующих углов . Соответствующие углы равны. (h и d, f и b, e и a также соответствуют).

d и e — это альтернативных углов . Альтернативные углы равны. (c и f также чередуются). Альтернативные углы образуют Z-образную форму и иногда называются Z-углами.

a и b — это смежных углов . Смежные углы в сумме составляют 180 градусов. (d и c, c и a, d и b, f и e, e и g, h и g, h и f также смежны).

d и f — это внутренние углы . В сумме они составляют 180 градусов (е и с также являются внутренними).

Любые два угла, которые в сумме составляют 180 градусов, называются дополнительными углами .

Сумма углов треугольника

Используя некоторые из приведенных выше результатов, мы можем доказать, что сумма трех углов внутри любого треугольника всегда в сумме составляет 180 градусов.

Если у нас есть треугольник, вы всегда можете нарисовать две параллельные линии следующим образом:

Теперь мы знаем, что альтернативных углов равны. Следовательно, два угла, обозначенные x, равны. Кроме того, два угла, обозначенные буквой y, равны.

Мы знаем, что x, y и z вместе составляют 180 градусов, потому что вместе они представляют собой просто угол вокруг прямой линии. Таким образом, сумма трех углов треугольника должна составлять 180 градусов.

Сумма углов четырехугольника

Четырехугольник — это фигура с 4 сторонами.

Теперь, когда мы знаем сумму углов в треугольнике, мы можем вычислить сумму углов в четырехугольнике.

Для любого четырехугольника мы можем провести диагональную линию, чтобы разделить его на два треугольника. Каждый треугольник имеет сумму углов 180 градусов. Следовательно, общая сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов.

Наружные углы

Внешние углы формы — это углы, которые вы получите, если удлинить стороны.Показаны внешние углы шестиугольника:

Многоугольник — это фигура с прямыми сторонами. Все внешние углы многоугольника составляют в сумме 360 °. потому что, если вы сложите их все вместе, они образуют угол на всем протяжении точки:

Следовательно, если у вас есть правильный многоугольник (другими словами, где все стороны имеют одинаковую длину и все углы одинаковы), каждый из внешних углов будет иметь размер 360 ÷ количество сторон. Так, например, каждый из внешних углов шестиугольника составляет 360/6 = 60 °.

Внутренние углы

Внутренние углы формы — это углы внутри нее. Если вы знаете размер внешнего угла, вы можете определить размер внутреннего угла рядом с ним, потому что в сумме они составляют 180 ° (поскольку вместе они составляют угол на прямой).

Внешний угол треугольника

Угол x — это внешний угол треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов в двух других вершинах.Другими словами, x = a + b на диаграмме.

Проба:

  • Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов. Итак, a + b + y = 180.
  • Сумма углов прямой линии составляет 180 градусов. Итак, x + y = 180.
  • Следовательно, y = 180 — x. Помещение этого в первое уравнение дает нам: a + b + 180 — x = 180. Следовательно, a + b = x после перестановки. Это то, что мы хотели доказать.

Уголки по прямой | Геометрия прямых

В этой главе вы изучить отношения между парами углов, которые создается, когда прямые линии пересекаются (встречаются или пересекаются).Ты сможешь исследуйте пары углов, образованных перпендикулярными линиями, любыми двумя пересекающимися линиями и третьей линией, которая отрезает две параллельные линии. Вы поймете, что такое означает вертикально противоположные углы, соответствующие углы, чередующиеся углы и внутренние углы. Вы сможете определить различные пары углов, а затем использовать свои знания для поможет вам решить неизвестные углы геометрических фигур.

Уголки на прямой

Сумма углов на прямой

На рисунках ниже каждый угол присвоена метка от 1 до 5.{\ circ} \)


Сумма углов, которые образуется по прямой, равной 180 °. (Мы можно сократить это свойство как: \ (\ angle \) s на прямая линия.)

Два угла, сумма которых составляет 180 °, также являются называется дополнительными углами , например \ (\ hat {1} + \ hat {2} \).

Углы, имеющие общую вершину и общую сторону, равны Говорят, что это смежный .Следовательно, \ (\ hat {1} + \ hat {2} \) также называется дополнительными смежными углами .

Когда две строки перпендикулярны, их смежные дополнительные углы каждый равняется 90 °.

На рисунке ниже DC A и DC B смежные дополнительные углы, потому что они рядом друг с другом (рядом), и они в сумме составляют 180 ° (дополнительно).

Нахождение неизвестных углов на прямых

Определите размеры неизвестного углы внизу.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)


  • Рассчитать размер \(Икс\).


  • Рассчитать размер \ (у \).


  • Поиск новых неизвестных углов на прямых

    1. Рассчитать размер из:

      1. \ (х \)
      2. \ (\ hat {ECB} \)
    2. Рассчитать размер из:

      1. \ (м \)
      2. \ (\ hat {SQR} \)
    3. Рассчитать размер из:

      1. \ (х \)
      2. \ (\ hat {HEF} \)
    4. Рассчитать размер из:

      1. \ (к \)
      2. \ (\ hat {TYP} \)
    5. Рассчитать размер из:

      1. \ (п \)
      2. \ (\ hat {JKR} \)

    Что такое вертикально противоположные углы?

    1. Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов на рисунке.Написать свой ответы по фигуре.

    2. Уведомление какие углы равны и как эти равные углы сформирован.

    Вертикально напротив углы ( верт. опп. \ (\ angle \) s ) — углы, противоположные друг другу, когда две линии пересекаются.

    Вертикально противоположные углы всегда равны .

    Нахождение неизвестных углов

    Рассчитать размеры неизвестного углы на следующих рисунках.{\ circ} && \\ & = \ text {______} \\ \\ z & = \ text {______} && [\ text {vert. опп.} \ angle \ text {s}] \ end {align} \)


  • Вычислить \ (j, ~ к \) и \ (l \).


  • Вычислить \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).


  • Уравнения с вертикально противоположными углами

    Вертикально противоположные углы всегда равный.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)


  • Рассчитайте стоимость \ (т \).


  • Рассчитайте стоимость \(п\).


  • Рассчитайте стоимость \ (г \).


  • Рассчитайте стоимость \ (у \).


  • Рассчитайте стоимость \(р\).


  • Линии, пересекаемые трансверсалью

    Пары углов, образованные поперечиной

    Поперечная — это линия, пересекает как минимум две другие линии.

    Когда трансверсаль пересекает два линий, мы можем сравнить наборы углов на двух линиях глядя на их позиции.

    Углы, лежащие на одной стороне поперечины и находятся в совпадающих положениях, называются соответствующие углы ( корр. \ (\ угол \) с ). В на рисунке это соответствующие углы:

    • \ (а \) и \ (е \)
    • \ (б \) и \ (f \)
    • \ (г \) и \ (h \)
    • \ (с \) и \ (g \).
    1. На рисунке \ (a \) и \ (e \) оба лежат слева от трансверсали и над чертой.

      Запишите расположение следующих соответствующих углов.Первый сделан для тебя.

      \ (b \) и \ (f \): справа от поперечной и над строками


      \ (d \) и \ (h \):


      \ (c \) и \ (g \):


    Альтернативные углы ( alt. \ (\ angle \) s ) ложь на противоположных сторонах поперечного, но не смежные и вертикально напротив. Когда альтернативные углы лежат между две линии, они называются , чередующиеся внутренние углы .В на рисунке это альтернативные внутренние углы:

    • \ (г \) и \ (f \)
    • \ (с \) и \ (е \)

  • \ (а \) и \ (g \)
  • \ (б \) и \ (h \)
    1. Запишите расположение следующих альтернативных углов:

      \ (d \) и \ (f \):


      \ (c \) и \ (e \):


      \ (a \) и \ (g \):


      \ (b \) и \ (h \):


    Уголки внутренние ( совм. \ (\ угол \) с ) лежать на одной стороне поперечной и между двумя линий. На рисунке это внутренние углы:

    • \ (с \) и \ (f \)
    • \ (г \) и \ (е \)
      Запишите расположение следующего совместного интерьера углы:

      \ (d \) и \ (e \):


      \ (c \) и \ (f \):


    Обозначение углов

    Две прямые пересекаются поперечный, как показано ниже.

    Запишите следующие пары углы:

    1. две пары соответствующих углы:
    2. две пары чередующихся внутренние углы:
    3. две пары чередующихся внешние углы:
    4. две пары совмещенных салонов углы:
    5. две пары вертикально противоположные углы:

    Размер исследовательского уголка

    На рисунке внизу слева EF — это трансверсально к AB и CD.На рисунке внизу справа PQ — это трансверсально параллельным прямым JK и LM.

    1. Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Написать замеры на рисунках.
    2. Используйте свои мерки, чтобы заполните следующую таблицу.

      Corr.\ (\ угол \) с

      \ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {4} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)

      Доп. внутр. \ (\ angle \) s

      \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {6} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)

      Доп.доб. \ (\ angle \) s

      \ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)

      Ко-инт. \ (\ угол \) с

      \ (\ hat {4} + \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} + \ hat {6} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} + \ hat {13} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} + \ hat {14} = \ text {_______} \)

    3. Посмотрите на свой завершенный таблица в вопросе 2.Что вы заметили в образованных углах когда трансверсаль пересекает параллельные прямые?

    Когда линии параллельно:

    • соответствующие углы равны
    • альтернативные внутренние углы равны
    • чередующиеся внешние углы равны
    • Общие внутренние углы в сумме составляют 180 °

  • Заполните соответствующий углы к указанным.

  • Заполнить альтернативный экстерьер углы.

    1. Заполнить альтернативный интерьер углы.
    2. Обведите две пары внутренней части углы на каждом рисунке.

    1. Без замера заполнить все углы на следующих рисунках равны \ (x \) и \ (у \).
    2. Объясните причины каждого \ (x \) и \ (y \), которые вы заполнили своему партнеру.
  • Укажите значение \ (x \) и \ (y \) ниже.
  • Разработка неизвестных углов

    Определите размеры неизвестного углы. Обоснуйте свои ответы.{\ circ} && [\ angle \ text {s на прямой}] \ end {align} \)

  • Определите размеры \ (p, ~ q \) и \ (r \).


  • Найдите размеры \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).


  • Найдите размеры всех углов на этом рисунке.


  • Найдите размеры всех углов.(Вы видите две трансверсали и два набора параллельных линий?)


  • добавочный номер

    Два угла в следующая диаграмма обозначена как \ (x \) и \ (y \). Заполните все углы, равные \ (x \) и \ (y \).

    Сумма углов четырехугольника

    На схеме ниже показан фрагмент предыдущая диаграмма.

    1. Что за четырехугольник на схеме? Обоснуйте свой ответ.{\ circ} \)


      Вы можете придумать другой способ используйте диаграмму выше, чтобы вычислить сумму углов в четырехугольник?

    Решение других геометрических задач

    Угловые отношения на параллельных прямых

    1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {7} \).


    2. Рассчитать размеры \ (x, ~ y \) и \ (z \).


    3. Рассчитать размеры \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).


    4. Рассчитать размер \(Икс\).


    5. Рассчитать размер \(Икс\).


    6. Рассчитайте размер \ (x \).


    7. Рассчитать размеры \ (a \) и \ (\ hat {CEP} \).


    Включая свойства треугольников и четырехугольников

    1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {6} \).


    2. РСТУ — трапеция. Вычислите размеры \ (\ hat {T} \) и \ (\ hat {R} \).

    3. JKLM — ромб. Рассчитайте размеры \ (\ hat {JML}, \ hat {M_2} \) и \ (\ hat {K_1} \).

    4. ABCD — это параллелограмм. Рассчитайте размеры \ (\ hat {ADB}, \ hat {ABD}, \ hat {C} \) и \ (\ hat {DBC} \)

    1. Посмотрите на рисунок ниже. Имя предметы, перечисленные рядом.

      1. пара вертикально противоположные углы
      2. пара соответствующих углы
      3. пара альтернативных внутренние углы
      4. пара совместно интерьер углы
    2. На схеме AB \ (\ parallel \) CD.{\ circ} \).

      Рассчитайте значение \ (x \). Объясните причины вашего ответы.


    Как найти угол прямой

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить преподавателям Varsity Tutors найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Как найти угол прямой

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы вуза предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить преподавателям Varsity Tutors найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Угол между двумя линиями — Mathstopia

    Пусть y = m 1 x + c 1 и y = m 2 x + c 2 будут уравнениями двух прямых на плоскости, где,

    м  1  = уклон линии 1
    c  1  = точка пересечения по оси Y, сделанная строкой 1
    
    m2 = наклон линии 2
    c2 = y-точка пересечения, сделанная строкой 2 

     1 
     2
     
    ∴ m  1  = tan θ  1  и
      m  2  = tan θ  2  

    Пусть угол между линиями AB и CD равен Ø (

    Также, если мы рассматриваем как угол между линиями,

    Следовательно, угол между двумя линиями равен

    .

    Условие перпендикулярности

    Две линии являются перпендикулярными средними.Ø = 90 °

    Таким образом, линии перпендикулярны, если произведение их наклона равно -1.

    Условие параллельности

    Две линии являются средними перпендикулярными, Ø = 0 °

    Таким образом, прямые параллельны, если их наклоны равны.

    Угол между двумя линиями Примеры

    1. Найдите угол между прямыми 2x-3y + 7 = 0 и 7x + 4y-9 = 0 .

    Решение:

    Сравнивая уравнение с уравнением прямой, y = mx + c ,

    Наклон прямой 2x-3y + 7 = 0 равен (m 1 ) = 2/3

    Наклон прямой 7x + 4y-9 = 0 равен (m 2 ) = -7/4

    Пусть Ø будет угол между двумя линиями, тогда

    2.Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (3,2) и составляющую угол 45 ° с прямой x-2y = 3 .

    Решение:

    Пусть м — наклон искомой прямой, проходящей через (3,2). Итак, используя форму точки наклона, ее уравнение равно

    .

    y-2 = m (x-3) ——— (i)

    Наклон прямой x-2y = 3 равен 1/2.

    Т.к., эти линии составляют угол 45 ° , значит,

    Подставляя значения m в уравнение (i), получаем

    y-2 = 3 (x-3) и y-2 = — (x-3) / 3

    или, 3x-y-7 = 0 и x + 3y-9 = 0 — необходимые уравнения линии.

    Какой угол наклона прямой?

    Наклон используется для измерения наклона прямой линии относительно оси абсцисс (оси «x»). Например, прямую с наклоном 2, говоря обычным языком, можно объяснить так: на каждые две единицы прямая вертикально «идет вверх», а по горизонтали «идет вперед» на одну единицу.

    Есть несколько способов найти значение этого наклона:

    • Если мы знаем уравнение прямой линии y = mx + b, значение наклона будет равно m. Например, если у нас есть уравнение `y = 3x + 1`, наклон этой прямой будет` 3`.

    • Если нам даны две точки, через которые проходит прямая линия, мы можем использовать следующую формулу: `m = (y_1-y_2) / (x_1-x_2)`. Например, прямая, проходящая через точки `A (4, 7)` и `B (2, 3)`, ее наклон может быть вычислен с помощью следующей операции: `m = (7-3) / (4 -2) чАрр м = 4/2 чАрр м = 2`. Тогда мы можем сказать, что он имеет наклон 2.

    • Его также можно вычислить, если мы знаем наименьший положительный угол, образованный прямой линией вместе с осью x.Для этого достаточно использовать следующую формулу: `m = tg alpha`. Например, если угол равен 45º, тогда наклон будет равен 1, потому что `m = tg (45º) hArr m = 1`.

    • Наконец, его можно получить, зная вектор директора прямой, через следующее соотношение: `m = u_2 / u_1`. Например, если вектор прямой имеет следующие координаты `vec u = (2,8)`, то наклон рассчитывается через `m = 8/2 hArr m = 4`.

    Ознакомьтесь с нашим Списком вопросов, чтобы узнать немного больше о самых разных темах, связанных с математикой. Если у вас есть подходящий (математический) вопрос, ответ на который нелегко найти, отправьте нам электронное письмо с вопросом на странице контактов. Будем рады ответить. Если вы обнаружите какие-либо ошибки в наших ответах, не стесняйтесь обращаться к нам!

    Математическая сцена — Треугольники — Урок 1

    Правила урока 1 для треугольников


    Обычно вершины треугольника обозначают заглавными буквами. буквы и стороны строчными буквами.

    Также принято маркировать сторону, противоположную углу A, знаком малый a, сторона противоположного угла B с малым b и сторона противоположного угла C с маленькой c (см. диаграмму).

    Стороны, образующие ответвления угла A, называются смежными с A. Сторона, на которой стоит треугольник, называется основанием треугольника.

    сумма углов треугольника 180 °. В этом легко убедиться, нарисовав прямой прямая, проходящая через угол B и параллельная стороне b. (см. диаграмму).

    Углы, образованные этой линией, равны A, B и C (по правилу что чередующиеся углы между параллельными линиями равны).
    Также A + B + C = 180, так как вместе они составляют прямую линию.

    Прямая линия от угла B, перпендикулярная базовой линии b, называется высота треугольника. Высота обозначена буквой h на диаграмме ниже.

    Ранее вы узнали, что площадь треугольника задается формула.

    Площадь F = × b × h

    Буква G используется здесь для обозначения точки, в которой высота и базы пересекаются.Эту точку иногда называют перпендикулярной проекцией точку B на прямую b.

    Два треугольники называются подобными, если все углы одного треугольника равны все углы другого. Если мы хотим показать, что два треугольника похожи достаточно показать, что два угла равны. Если два угла равны, это Очевидно, что третий угол в каждом должен быть равен.

    Треугольники на диаграмме выше похожи. Отсюда следует, что отношения между соответствующими сторонами равны одно и тоже.
    Другими словами:

    и

    Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием этих соотношений.

    Пример 1

    Треугольники на схеме похожи на равные углы отмечены таким же образом. Мы хотим рассчитать длину сторон помечены как x и y.

    Начнем с маркировки треугольников, чтобы мы могли видеть больше легко, какие стороны соответствуют друг другу.

    Можно записать следующие соотношения:

    к / к = 36/33 = 24 / у = б / с

    Это означает, что y / 24 = 33/36
    и, следовательно, y = 24 × 33/36 = 22 см.

    Также a / b = х / 36 = 20/24 = а / б

    Это дает нам x = 36 × 20/24 = 30 см.

    Другое правило, использующее пропорции в треугольниках можно вывести.

    Рисуем прямую, разрезающую с двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне. Эта линия разделяет треугольник на две части, верхняя часть представляет собой треугольник, похожий на ABC, оригинальный треугольник. Обозначим стороны этого меньшего треугольника значком буквы x, y и z. Следующее сейчас правда:

    Проведенная линия разделяет сторону c на две части, x и r, и сторону a на z и t.Подставляя x + r для c и z + t in для a в приведенном выше уравнении, мы получаем следующий результат:

    Мы показали, что любая строка через две стороны треугольника и параллельно третьей стороне делит эти два стороны в таком же соотношении.

    Пример 2

    Две стороны треугольника ABC, AB и BC равны 30 см. длина и третья сторона AC, базовая линия, составляет 42 см. Проводим линию через точку X на AB, параллельную основанию, длиной 14 см.Найдите длину линий BX и AX.

    14 / 42 = XB / 30

    XB = 30 × 14 / 42 = 10 см

    AX = 30 — 10 = 20 см

    В большинстве случаев, если мы хотим узнать размер углов треугольника нам нужно нарисовать точную диаграмму и Измерьте углы или воспользуйтесь правилами тригонометрии.

    Равносторонний. Равнобедренный. Прямоугольный.

    В равностороннем У треугольника все стороны равны и все углы равны 60.

    В равнобедренном треугольнике две стороны одинаковой длины и два угла (углы, образованные основанием линии) равны. Если мы знаем один угол в равнобедренном треугольнике, мы можем найти другие углы. Перпендикуляр от вершины к базовой линии (высоте) в равнобедренный треугольник делит треугольник на два равных прямоугольных треугольники.

    Стороны справа угловой треугольник ABC удовлетворяет правилу Пифагора, то есть 2 + b 2 = c 2 .

    Также обратное истинный. Если верно правило Пифагора, то треугольник прямоугольный.

    Мы можем проверить, что Третий треугольник на диаграмме выше расположен под прямым углом с использованием правила Пифагора.

    5 2 + (53) 2 = 10 2

    25 + 75 = 100

    Обратите внимание, что длина гипотенуза (10 см) в этом треугольнике вдвое больше длины кратчайшей стороны (5 см).
    В этом случае углы треугольника всегда равны 30, 60 и 90 °.

    Пример 3

    Найдите площадь равностороннего треугольника со сторонами длиной 20 см.

    Начнем с рисования высоты h треугольника. Это разделяет треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Используя правило Пифагора, мы можем рассчитать h.

    ч 2 + 5 2 = 10 2

    ч 2 = 10 2 -5 2 = 100 — 25 = 75 = 5 2 × 3

    ч = 53 ≈ 8.7

    Площадь A = × 10 × h ≈ × 10 × 8,7 ≈ 43 см 2

    Пример 4

    Руки равнобедренного треугольника 30 см. в длину, а базовая линия — 42 см. Найдите длину линии, проведенной через две равные стороны, параллельной основание и 10 см от основания.

    Сначала делим треугольник на два правых угловые треугольники, проведя по высоте h от вершины до основания.Сейчас же мы используем правило Пифагора для расчета высоты.

    ч 2 + 21 2 = 30 2

    ч 2 = 30 2 -21 2 = 459

    ч ≈ 21,4

    y = h — 10 ≈ 21,4 — 10 ≈ 11,4 см

    Использование правила отношения для подобных треугольников получаем:

    y / h = x / 21

    x ≈ 21 × 11.4 / 21,4 11 см

    Следовательно, длина параллельная линия 22 см .

    Нарисуйте прямоугольный треугольник с помощью гипотенуза AB в качестве базовой линии, так что угол при вершине C равен 90. Мы затем нарисуйте высоту от C до AB, как показано на диаграмме:

    Эта линия делит угол при вершине на два части (не равны, если треугольник не равнобедренный).Если одна часть — x, тогда другой должен быть 90− x. Легко видеть, что два базовых угла должны составлять 90 — x (на справа) и x (слева) как сумма углов в любом треугольнике всегда равна 180.

    Обратите внимание, что все углы в обоих меньших треугольники, а также в исходном треугольнике ABC равны и равны 90, х и 90 — х. Следовательно, эти три треугольника подобны.

    Следующее правило выполняется для всех прямоугольных треугольники:

    высота, проведенная от вершины до гипотенузы, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, которые похожи на исходный треугольник.

    Это дает три набора соотношений.

    Используя греческие буквы a для стороны, противоположной угол

    , обозначенные x и b, для стороны, противоположной углу, обозначенному 90− x, как показано на на диаграмме получаем следующее:

    Два меньших треугольника похожи, поэтому

    Исходный треугольник и треугольник с верхним углом x аналогичны поэтому

    Исходный треугольник и треугольник с верхним углом 90 − x аналогичный

    Пример 5

    Прямоугольный треугольник обозначен две более короткие стороны длиной 7 см и 10 см. Высота, нарисованная на гопотенузе делит треугольник на два треугольника. Найдите площадь этих двух треугольников.

    Сначала воспользуемся Пифагором для вычисления длины гипотенузы, c.

    c 2 = 10 2 + 7 2 = 149, Тогда c ≈ 12,2 см

    Затем мы используем одно из указанных выше соотношений для вычисления a.

    a / c = a / a

    a = a 2 / c ≈ 10 2 / 12.2 ≈ 8,2 см

    А потом б.

    b ≈ 12,2 — 8,2 ≈ 4 см

    Теперь нам нужно рассчитать высоту h.

    b / c = h / a

    h = ab / c 10 × 7 / 12,2 ≈ 5,7 см

    Области теперь легко найти.

    Площадь F 1 = × b × h ≈ × 4 × 5,7 ≈ 11,4 см 2

    Площадь F 2 = × a × h ≈ × 8.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *